启航2024考研数学（一）回忆版真题试卷及参考答案（详细版）_27考研真题_考研数学一、二、三历年真题+考研数学资料（1994-2026）_考研数学真题（1987-2026）_考研数学一真题1987-2024

2024 考研数学（一） 真题
试卷及解析
一、选择题：1～10小题，每小题5分，共50分．下列每题给出的四个选项中，只有一个选
项是符合题目要求的．
1. 设 f(x)  x ecostdt,g(x)  sinx et2 dt ，则下列正确的是
0 0
A． f(x) 为奇函数, g(x) 为偶函数
B. f(x) 为偶函数, g(x) 为奇函数
C. f(x),g(x) 均为奇函数
D. f(x),g(x) 均为周期函数
1．【答案】C
【解析】ecost关于t是偶函数，则 x ecostdt是奇函数，由 g(x)  sinx et2 dt，则
0 0
g(x)  sinx et2 dt   sinx et2 dt ，令t  u，则g(x) sinx eu2 du，
0 0 0
于是g(x)g  x  ，g(x)是奇函数.
2.已知P P  x,y,z  ,QQ  x,y,z  均连续， 为z  1x2  y2,x0,y 0的上侧，
则
PdydzQdzdx

 x y 
A.  P Qdxdy
 z z 

 x y 
B.   P Qdxdy
 z z 

 x y 
C.  P Qdxdy
 z z 

 x y 
D.   P Qdxdy
 z z 

2．【答案】A由转换投影公式。
 z  z 
P   dxdyQ  dxdy
 x  y

  x  y
 P   Q dxdy
  z  z 

Px Qy
   dxdy.
 z z 

选A
 
3.幂级数  a xn 的和函数为ln(2 x)，则  na 
n 2n
n0 n0
1 1
A. B.
6 3
1 1
C. D.
6 3
3．【答案】A
 x
【解析】ln  2x ln1

ln2
 2
n
 x
 
 2
ln2 (1)n1
n
n1
2 3 4 6
 x  x  x  x

       
 x 2 2 2 2
ln2
 
    
2 2 3 4 6

 na 0a 2a 3a 4a 
2n 2 4 6 8
n0
1  1  1
 2



3 
222  244 266
 1 1 1 


  
23 25 27 
 1  1
 23  8 1 4 1
    
1 3 8 3 6
1 
 22  44.设函数 f  x  在区间 1,1  上有定义，且limf  x 0,则
x0
f x
A.lim  m,则f0 m.
x0 x
f x
B.f0 m,则lim  m.
x0 x
C.limf
x
m,则f
0
m.
x0
D.f
0
m，则limf
x
m.
x0
4．【答案】B
f(x) f(0)
【解析】由 f (0)  m. 则lim mlim  f(x) f(0) 0
x0 x0 x0
从而 f(0)0
f(x) f(x) f(0)
于是lim lim  m，B选项正确
x0 x x0 x0
  
1 1
   
5. :axbycz d  i1,2,3  ,  a,b,c  ,  a,b,c,d  ,r  m,r  n,
i i i i i i i i i i i i i i  2  2
   
 
   
3 3
则m ,n
.
A.m 1,n  2. B.mn2.
C.m  2,n 3. D.mn3.5．【答案】B
【解析】由题意可知， , , 相交于一条直线，且不重合
1 2 3
a xb yc z  d
1 1 1 1

即方程组a xb yc z d 有无穷多解，且α ,α ,α 两两不相关
2 2 2 2 1 2 3

a xb yc z  d
3 3 3 3
α   β 
1 1
   
故r  α 3 r  β 2 3，r  α
i
,α
j
  2i  j
   
α  β 
3 3
故mn2. a  1  1 
     
1 1 a
     
6.设向量  ,  ,  ,若, , 线性相关，且其中任意两个向量均线
1 1 2 b 3 1 1 2 3
     
 1  a  1 
性无关，则
A.a 1,b1 B.a 1,b  1
C.a  2,b2 D.a 2,b2
6.【答案】 D.
【解析】 由
 a 1 1  1 1 a  1 1 a 
     
1 1 a 0 1a 1a2 0 1a 1a2
A α ,α ,α         
1 2 3 1 b 1 0 b1 a1 0 b1 a1 
     
 1 a 1  0 a1 1a  0 0 2a2a
由 r  α ,α ,α  2 且 r  α ,α   2i  j
1 2 3 i j
故 r

α ,α ,α

2
1 2 3
1 当a1时，α 与α 相关，不满足题意
1 3
1 1 a  1 1 a 
   
0 1 1a 0 1 1a
2 当a1时， α ,α ,α      
1 2 3 0 b1 a1 0 0 b  a1 2
   
0 0 a2 0 0 a2 
故要满足题意，则a20且b  a1 20
a2

b27.设A是秩为2的3阶矩阵，是满足A=0的非零向量，若对满足Τ= 0 的3维列向
量 ，均有A=，则
A.A3的迹为2 B.A3的迹为5
C.A2的迹为8 D.A2的迹为9
【答案】A
【解析】由Aα0且r  A 2可知0为特征值（且为单根），α为特征向量
由于Aβ  β 1β且β与α正交
所以β为特征值1对应的特征向量，且1为二重根
1 0 0
 记
所以存在可逆P ,使得P1AP  0 1 0 Λ
 
 
0 0 0
所以P1AnP  Λn  Λ
即tr
 An
 tr
 Λn
 2，选A
8.设随机变量X,Y 相互独立，且 X 服从正态分布N  0,2  ，Y服从正态分布N 2,2  ，若
P  2X Y a  P  X Y  ，则a 
A.2 10. B.2 10.
C.2 6. D.2 6.
8．【答案】B
【解析】E(2X Y)  2EX  EY  2, D(2X Y)4DX DY 422102X Y 2 a2 a2
所以2X Y ~ N(2,10), X Y ~ N(2,4), P    ,
 10 10   10 
X Y 2 02
a2
P  =1(1) (1), 1，即a  10 2
 2 2  10
9.设随机变量 X 的概率密度为 f x   21 x,0 x 1 在X  x  0 x1  条件下，随机
0,其他.
变量Y服从区间  x,1  上的均匀分布，则Cov  X,Y 
1 1
A. . B. .
36 72
1 1
C. . D. .
72 36
9．【答案】D
 1
 ， x y1 2(1x), 0 x1
【解析】由题意可知 f (y∣x)1x f(x)
Y∣X 

0， 其他.  0, 其他.
2, 0 x y 1,
f(x,y)
0, 其他.
1 1 1 1
EX  2x(1x)dx 2    
0 2 3 3
E  XY   1 dx 1 2xydy  1
0 x 4
 y
 2dx2y, 0 y1, 1 2
f (y) 0 EY  2y2dy
Y
  0, 其他. 0 3
1 2 1
Cov(XY)  
4 9 36
10. 设随机变量X,Y 相互独立，且均服从参数为的指数分布，令Z  X Y ,则下列随机
变量中与Z 同分布的是X Y
A. X Y B.
2
C. 2X D. X
10．【答案】D
2e(xy), x0, y 0
【解析】X与Y的联合概率密度为 f(x,y) f (x) f (y) 
X Y  0, 其他
设Z 的分布函数为F (z)，则F (z) P  Z  z  P  X Y  z 
Z Z
1 当z 0时，F (z)0；
Z
2 当z 0时，F (z) P z  X Y  z 2P  0 X Y  z 
Z
 yz
2 eydy exdx.
0 y
2  ey ey e(yz) dy
0
 
2 e2ydy2ez e2ydy
0 0
1ez.
 
所以Z  E 1 ，从而Z与X服从相同的分布，选D.
二、填空题：11～16小题，每小题5分，共30分．
 1ax2sinx
1
11.lim 6，则a _______.
x0 x3
11.【答案】a6.
 sinx  
1ax2 1 esinxln(1ax2) 1 sinxln 1ax2 ax3
【解析】lim lim lim lim 6.
x0 x3 x0 x3 x0 x3 x0 x3
所以a6.
12.设函数 f(u,v)具有二阶连续偏导数，且df(1,1)3du4dv，令 y f
 cosx,1x2
，
d2y
则 _______.
dx2 x0
12.【答案】5【解析】由df(1，1)3du4dv，则 f(1.1)3, f(1.1)4，由 y f  cosx,1x2
x y
dy
则  f' (sinx) f' 2x，
dx 1 2
d2y
 f(sinx) f2x(sinx) f(cosx)   f(sinx) f 2x  2x f2.
dx2  11 12  1 21 22 2
因此
d2y
 f 1,1  (1) f(1,1)2385.
dx2 1 2
x0
a 
13. 已 知 函 数 f  x  x1 ， 若 f  x  0 a cosnx,x 0,π  ， 则
2 n
n1
limn2sina _______.
2n1
n
1
13.【答案】

【解析】由
1  2  2 
a   f(x)cosnxdx   (x1)cosnxdx   xcosnxdx
n    0  0
2  2    
  xdsinnx  xsinnx   sinnxdx
n 0 n  0 0 
 2 1 cosnx    2 1 (1)n 1   2  (1)n1  .
   
nn 0 nn  n2
4 4
当为奇数时，a  ，则a  ，于是
n n2π 2n1 (2n1)2π
4 4 1
limn2sina limn2 sin limn2   .
n 2n1 n (2n1)2 n (2n1)2 
1
14.微分方程 y 满足条件 y(1)0的解为 .
(x y)2
π
14.【答案】 arctan  x y  y
4
dx
【解析】方程化为 (x y)2
dydx du
令 u  x y 则  1
dy dy
du 1
即 u2 1则 dudy
dy u2 1
arctanu  yc
π
代 x1,y 0,u 1. 得 c
4
π
得 arctan  x y  y
4
a1 a
15.设实矩阵A  ,若对任意实向量
 a a
x  y 
= 1 ,β  1 ,  ΤAβ 2 ΤAβΤAβ
x  y 
2 2
均成立，则a的取值范围是________.
15.【答案】 a0
【解析】易知 AT  A A可正交相似对角化且A的特征值为实数,
 
即存在正交阵 Q 使 QTAQ 1  Λ  AQΛQT

 
2
又α, 有  ΤAβ 2 ΤAβΤAβ，
即  αTQΛQTβ 2 αTQΛQTαβTQΛQTβ
a  b 
记 QTαα  1 ,QTβ  β  1 
1 a  1 b 
2 2
即  αTΛβ 2 αTΛβαTΛβ
1 1 1 1 1 1
即 ab a b 2   a2 a2  b2 b2 
1 1 1 2 2 2 1 1 2 2 1 1 2 22a2b2 2a2b2 2aba b  2a2b2 2a2b2 a2b2 a2b2
1 1 1 2 2 2 1 2 1 1 2 2 1 1 1 2 2 2 1 2 1 2 1 2 2 1
 2aba b a2b2a2b2  a2b2a2b22aba b 0
1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 2 2 1 2  1 2 2 1 1 1 2 2 
a1 a
 ab a b 2 0 0| A| a2 aa2 a0
1 2 1 2 2 1 1 2 a a
16. 设随机试验每次成功的概率为 p，现进行3次独立重复试验，在至少成功1次的条件下，
4
3次试验全部成功的概率为 ，则 p .
13
2
16．【答案】 p 
3
【解析】设事件A：全成功，B：至少成功一次，则
P(AB) P(A) p3 4
P  A|B     ,
P(B) P(B) 1(1p)3 13
13p3 44(1 p)3
2
整理得 p(3p2)(3p6)0 p .
3
三、解答题：17～22小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
  x
17. 已知平面区域D  (x,y)| 1 y2  x1,1 y1 ，计算 dxdy.
x2  y2
D
【解析】
x x
 dxdy 2 dxdy
x2  y2 x2  y2
D D
1
π 1 rcos  1 rcos
2[4dcos rdr 2dsin rdr]
0 1 r  1 r
4
则
1
π 1 π 1 cos
I 4dcosrcosdr 4cos r2 d
1 0 1 0 2
1π
1 π 1  1 π 1 4 1  
 4 d 4secd  ln(sectan)  ln 21
2 0 cos 2 0 2 2
0
1
π 1 π 1 sin
I 2dsinrcosdr 2cos r2 d
2 π 1 π 2
4 4 1
π
1 π cos 1 1 2 1 1
 2 d  (1 2) ( 21)
2 πsin2 2 sin π 2 2
4
4
故原积分
ln( 2 1)( 2 1)
18.已知函数 f  x,y  x3 y3 x y 2 3，为曲面z  f  x,y  在点(1,1,1)处的切平
面.D为与坐标平面所围有界区域在xOy平面上的投影.
（1）求的方程；（2）求 f  x,y  在D上的最大值与最小值.
【解析】（1）F(x,yz) x3 y3(x y)2 3z.
F 3x22(x y)
x

则F 3y22(x y) 记P(1,1,1).
y
 F 1
 z
F 1. F 1. F 1.
x y z
p p p
即F(x,y,z)在(1,1,1)处的切平面方程的法向量为(1,1,1)，且过(1,1,1)
所以(1)(x1)(1)(y1)(1)(z1)0
即的方程为x yz 3
（2）由（1）可知：有界区域在xoy平面上的投影为：D {(x,y∣)0 x3,0 y3x}f 3x2 2(x y)0 4 4
（i）在区域D内： x 得唯一驻点：P , 
 f
y
 3y2 2(x y)0 1 3 3
（ii）在x轴上， f(x,y) x3x2 3 g(x) (0 x3)
2 2 
令g(x)3x2 2x0 x . 所以P  ,0
3 2 3 
 2
（iii）在 y轴上，同理可得P 0, 
3  3
（iv）在直线 y 3x, f(x,y) x3(3x)36h(x)(0 x3)
3 3
令h(x)3x2 3(3x)2 0 P  , 
4 2 2
端点P

0,0
,P 
3,0
,P 
0,3

5 6 7
4 4 17
代入各点，最大值 f(3,0) f(0,3)21，最小值为 f  ,   .
3 3 27
19.设函数 f  x  具有2阶导数，且 f 0  f 1  , f x  1.证明：
x  1x 
（1）当x 0,1  时， f  x  f  0  1x  f  1  x  ;
2
（2）  1 f  x  dx f

0

f

1

 1 .
0 2 12
证明：（1）
f
f(x) f(0) f(0)x 1 x2（1）
2
f
f(x) f(1) f(1)(x1) 2 (x1)2（2）
2
(1x)（1）+x（2）f f 
 f(x) f(0)(1x) f(1)x f (0)x(1x) f '(1)(x1)x  1 x 2 1x  2 (x 1)2x
2 2
f(x) f(0)(1x) f(1)x
1 1
„
x2(1x) x(1x)2
2 2
1
 x(1x)(x1x)
2
x(1x)
 .
2
0
（2）  1 f(x) f(0)(1x) f(1)x  dx   1 f(x)dx f(0) (1x)2  f(1) 1
0 0 2 2
1
1 f(0) f(1) 1x(1x) 1
  f(x)dx „  dx .
0 2 0 2 12
20.已知有向曲线L为球面x2  y2 z2 2x与平面2xz10的交线.从z 轴正向往z
轴负向看去为逆时针方向，计算曲线积分
  6xyz yz2 dx2x2zdyxyzdz.
L
5x2 6x y2 1=0 .
【解析】曲线在xOy平面上的投影为L :  方向为逆时针，记L 围成的
1  z 0 1
区域面积为D.
则原积分 

6xy(2x1) y(2x1)2

dx2x2(2x1)dyxy(2x1)d(2x)
L
1
   
 12x2 4x1 ydx 4x32x2 dy
L
1
   
由格林公式，可得 12x2 4x  12x2 4x1 d  d S
D
D D
2
 3
x

 5 y2 2 2 4 5 4 5
即  1.S    .所以原积分为 .
2 2  2  2 D 5 5 25 25
   
5  5x 2x 2z ,
n n1 n1

21.已知数列  x  ,  y  ,  z  满足x 1,y 0,z 2,且y 2y 2z , 记
n n n 0 0 0 n n1 n1

z 6x 3y 3z ,
n n1 n1 n1
x 
n
 
  y 写出满足  A 的矩阵A，并求An及x ,y ,z (n1,2,).
n  n n n1 n n n
 
z 
n
x 
n1
 
【解析】 (1) 由题意可知,   y
n1  n1
 
z 
n1
x  2 0 2 x 
n n1
    
   y  0 2 2 y
n n1  n    n1
    
z   6 3 3 z 
n n1
2 0 2 
 
故  0 2 2
 
 
 6 3 3 
2 0 2
(2) 由  0 2 2 1 2 0
6 3 3
解得 0, 1, 2
1 2 3
 1 
 
当 0 时，解得线性无关特征向量为   1
1 1  
 
 1 
2
 
当  1 时, 解得线性无关特征向量为   2
2 2  
 

3
 1 
 
当  2 时, 解得线性无关特征向量为   2
3 3  
 
 0  1 2 1  0 
   
故存在可逆矩阵P ,,  1 2 2 ，使得P1AP  1
1 2 3    
   
 1 3 0   2
故A PP1
即
 
 1 2 1  0  6 3 2
 
An   PΛP1n  PΛnP1   1 2 2   1   2 1 1 
   
   
 1 3 0   2 n  1 1 0 
 
(1)n12n 4 (1)n12n 2 2  x  x  x 
   n   n1   n2 
 (1)n2n14 (1)n2n12 2

y
n
 A

y
n1
 A2

y
n2
  6 3 3    z n    z n1    z n2  
x  (1)n12n 4 (1)n12n 2 2 1  (2)n 8 
 0      
 An

y
0
 (1)n2n14 (1)n2n12 2 0

 (2)n18
 z 0     6 3 3     2     12  
22.设总体X 服从  0, 上的均匀分布，其中 0， 为未知参数， X ,X ,,X 为来
1 2 n
自总体X 的简单随机样本，记X  maxX ,X ,,X ,T cX .
n 1 2 n c n
（1）求c ，使得T
c
是的无偏估计;
（2）记h  c  E  T 2 ,求c使得h  c  最小.
c
22．【解】（1）E

cX 

cEX cEmax  X ,X X 
(n) (n) 1 2 n
0 x0
1 
 0 x x
f (x) F (x) , 0„x
X X 
 0 其他 


1, x 0, x0

xn
max  X ,X X  ~ F (x)  ,0„x 
1 2 n Xn

n


1, x 
 n
 xn1 0 x
f (x)n
Xn   0 其他.

nx 1 n n
Emax  X ,,X   xn1d  xn1  ，
1 n 0 n n n1 n1

n1
所以c .
n
 
（2）h(c) E T222T  ET2E22ET
c c c c
 2  
 E cX 22E cX c2EX2 2 2cEX
n n n n
nx2 1 n  n
因为EX2   xn1dx  xn2 2
n 0 n n n2 n2
0

 nx 1 n n
EX    xn1dx   xn1  
n 0 n n n1 n1
0
n n  nc2 n 
所以h(c) c2222c  = 12c 2
n2 n1 n 2 n1
n n 2n 2n
令 f(x) x212 x， f(x) x 0
n2 n1 n2 n1
n2 n2
解得x ，即c 时，h  c  取最小值.
n1 n1