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2021全国硕士研究生入学统一考试
数学(三)
(科目代码：303)
一、选择题(1~10小题，每小题5分，共50分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符
合题目要求的，请将所选项前的字母写在题后的括号内.)
(1) 当工—0时，「(J
—l)dz是工？的( ).
J 0
(A)低阶无穷小 (B)等价无穷小
(C)高阶无穷小 (D)同阶但非等价无穷小
[eJ - 1
(2) 函数 /(x ) = J -r ""在「0
处( ).
11，
工=0
(A)连续且取极大值 (B)连续且取极小值.
(C)可导且导数为零 (D)可导且导数不为零
(3)设函数/(j; ) =ax — 61n x (a > 0)有两个零点，贝[j®的取值范围是( ).
a
(A)(e, +*) (B)(0,e)
((CoJ)) (6(右+呵
(4) 设函数 fCx ,y)可微，且 +1 ,ex ) = + l)2 ,j;2) = Zz'ln z ,则 d/(l,1)=( ).
(A) dr + Ay (E)cLz — djy
(dCj/) (D) -dj/
(5) 二次型/XG，工2'力3)=(工1 + ^2)2 +(S + ^3)2 —(広3 — Ml)'的正惯性指数与负惯性指
数依次为( ).
(A)2,0 (B)l,l (02,1 (D)l,2
(6)设 A (ct i , ® 3 ,a「为4阶正交矩阵』= ,k表示任意常数，则线性方程
9 u 2
组BX =0的通解X =( ).
(A)(Z 2 +。3 Ct 4 + ku ! (B)(x! + of 3 +(X 4 + ka 2
(Oct ] (x 2 + s ka 3 (D)0t] (X 2 +。3 H- kci 4⑺已知矩阵"I； 若存在下三角可逆矩阵P和上三角可逆矩阵Q,使嘶
1 2 —5）
为对角矩阵，则P,Q可以分别取（ ）.
/I 0 0\ /I 0 1
(A) 0 1 0,0 1 3
'o 0 U ^0 0 1
/ 1 0 0\ d 0 1
(C) 2 - 1 0,0 1 3
3 2 U 'o 0 1
\一
（8）设为随机事件，且0 P(A),则 P(A | B) > P(A)
(C)若 PGA | B) > P(A | B),则 P(A | B) > P(A)
(D)若 P(A | A U B)> P(A | A U B),则 P(A) > P(E)
⑼设（Xi，Yi）,（X2，Y2），・“，（X”，Y”）为来自总体N（4，“2；看，话；°）的简单随机样本,
-^Yt,6= X-Y,则( ).
令 0 =幻一 〃2,x = — ,y=
",=1 ",=i
62 十I 兀2 时+
^2 —
2po
1 (7 2
(A)E(0) =0,D(0) (B)E(0) =0,D(0)
n n
2 十i 62
(C)E(0)工 0,D(&) (D)E(0)工 0,D(0)= -------——匕丄^
n n
1—0 字，利用来自总
（10）设总体X的概率分布为P{X=1} ,P{X =2} =P{X =3}=
2 4
体的样本值1,3,2,2,1,3,1,2可得0的最大似然估计值为（ ）.
1 3 1 5
（A） T （B） y （C） y （D）y
二、填空题（11〜16小题，每小题5分，共30分.请将答案写在题中的横线上.）
（11）若 y hcose-77，则翌 | =
ClX I x = l
——
（13）设平面区域D由曲线夕=丘sin 7tj； （0 a： £1）与z轴围成，则D绕z轴旋转所成的
旋转体的体积为________ .
（14）差分方程=t的通解为yt =________ .
x x 1 2工
2 —1
jc
(15)多项式 /(j: ) = £ ］中工3项的系数为
1 x
2 1 1
一 X（16） 甲，乙两个盒子中各装有2个红球和2个白球，先从甲盒中任取一球，观察颜色后放入乙
盒中，再从乙盒中任取一个球，令X,Y分别表示从甲盒和乙盒中取到的红球个数，则X
与Y的相关系数为________.
三、解答题（17〜22小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
（17） （本题满分10分）
_ 1 11
已知lim a arctan----（1十| | ）"存在，求a的值.
jc
■r—0 X
(18)(本题满分12分)
(T — ])2 I 2
求函数/'Cz,y)=21n|_r | +比_ 化 ”的极值.
2x
（19）（本题满分12分）
设有界区域D是圆r2+y2= 1和直线夕=工以及工轴在第一象限围成的部分，计算二重
积分""彳—y2 ）dj： dy.
D（20）（本题满分12分）
设n为正整数,y =yn （工）是微分方程xy' — （n + 1）夕=0的满足条件歹”（1）
的解.
（I ）求夕”（夂）;
（n）求级数工几（工）的收敛域及和函数.
n = 1
（21）（本题满分12分）
/2 1 0\
设矩阵A =1 2 0仅有两个不同的特征值，若A相似于对角矩阵，求a,b的值，并求
'1 a J
可逆矩阵P,使P~ AP为对角矩阵.
（22）（本题满分12分）
在区间（0,2）上随机取一点，将该区间分成两段，较短一段的长度记为X,较长一段的长
y
度记为Y,令2=-.
（I ）求X的概率密度；
（U）求Z的概率密度；
（DI）求 E（y）.
