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1988年数学（二）真题解析
—、填空题
（1）【答案】1.
【解】/(0) = /(0 — 0) = a , /(0 + 0) = 1,
因为/'(工)在(―°°, + °°)内连续，所以a = 1.
(2)【答案】(l + 2t)e".
【解】fCt) = lim/ (1 + —) Ztx =t lim + 2t
■zf 8 \ x /
则 /(O = / +2te2t = (l + 2z)e2\
(3)【答案】1.
lim tan x»ln —y lim ~ r "I lim.
【解】lim e e —o+ e l。M j = 1.
（4）【答案】2（e2 + 1）.
【解】 2J tel dt = 21 *2 )
0 0
2 2 2
=2te e At = 4e2 — 2ez =2(e2 + 1).
0 0 0
1
（5）【答案】
【解】1 f (t)dt = jc — 1两边对x求导得
1 0
3jc2 f(x3 — 1) = 1,
2得/'⑺=轄
取z =
二、选择题
（1）【答案】 (A).
【解】 厂（无）=工？ +工+ 6,厂（0） = 6：
切线方程为夕一1 = 6（工一0）,即y = 6工+ 1,切线与工轴的交点为（----，0），应选（A）.
（2） 【答案】（C）.
【解】 因为在（一oo’+x ）上可导，所以于（无），£（工）在（一^‘+兀）上连续,
于是 f C^o ） = lim /'（z）,g（«zo）= limg（x）,
由 /（x） V g（H）得 /（x0 ） V g（"o） 9 即 lim /（x） V lim g（«z）,应选（C）・
一工0 x_*x0
（3） 【答案】（E）.
【解】 因为/（乂）在工=JCq可导，所以/（工）在H =乂0可微，
于是dy = f〈兀品de = -y Aj:，故函数在无=Xq处的微分dy是与5同阶而非等价的无穷小，应选（E）・
(4)【答案】(E).
【解】V=tt[ y2 Ajc = tS sir?无 dr = 2tS2 sin'h dr =字，应选(E).
J 0 J 0 Jo 3
・4 •
淘宝店铺：光速考研工作室（5）【答案】（A）.
【解】 由条件，在方程yf — 2yf + 4j/ = 0中代入工。‘得
/'〃（工。）—2/z（j70）+ 4/（j7o）=
因为 fCxQ ）〉0 且 ff （xq） = 0,得 ff,（x0） = —4f（x0） V 0.
由极值的第二充分条件知，/（工。）为fS 的极大值•应选（A）.
三、【解】（1）由（x） = 1—工，得申（工）=/n（l —工）,
由1—工彳1得卩（工）的定义域为（一
（2）当无=0 时，;y = 1,
y = 1 +工尹两边对工求导9得j/ = exy + xexy （y + ,
将x = 0,j/ = 1代入得/ I工=0 = 1 ；
yf = exy + xexy (y + 两边再对x求导，得
yf = 2exy (y + 23/) + x^y (y + 3cyf}2 + xexy (2yf + xy，y),
将 z = 0,y = 1,3/ = 1 代入得 yf |x=0 = 2.
（3）由一阶非齐次线性微分方程通解公式得
1 e ■ =丄(arctan h + C)(C为任意常数).
dz+C
夕= X(J：2 + 1) x
四、【解】
函数夕= ---n~厂7的定义域为（一°°，+°°），
r 一 2工十4
12(工一1)
由y = ~ =0 得 H = 1 ,
(工2 — 2工 + 4)2
当工c（—00,1）时>0；当工e（i, + oo）时
