文档内容
第 04 讲 随机事件、频率与概率
目录
01 模拟基础练......................................................................................................................................2
题型一：随机事件与样本空间............................................................................................................2
题型二：随机事件的关系与运算........................................................................................................2
题型三：频率与概率............................................................................................................................3
题型四：生活中的概率........................................................................................................................5
题型五：互斥事件与对立事件............................................................................................................6
题型六：利用互斥事件与对立事件计算概率....................................................................................8
02 重难创新练....................................................................................................................................10
03 真题实战练....................................................................................................................................17题型一：随机事件与样本空间
1．袋中装有形状与质地相同的 个球，其中黑色球 个，记为 ，白色球 个，记为 ，从袋中
任意取 个球，请写出该随机试验一个不等可能的样本空间： .
【答案】 （答案不唯一）
【解析】从袋中任取 个球，
共有如下情况 .
其中一个不等可能的样本空间为 ，
此样本空间中两个黑球的情况有1个，一黑一白的情况有2个，是不等可能的样本空间.
故答案为： .(答案不唯一)
2．从含有 件次品的 件产品中任取 件，观察其中次品数，其样本空间为 ．
【答案】
【解析】由分析可知取出的 件产品的次品个数为 ， ， ， ， ，
所以样本空间为 ，
故答案为： .
3．将一枚硬币抛三次，观察其正面朝上的次数，该试验样本空间为 .
【答案】
【解析】因为将一枚硬币抛三次，其正面朝上的次数可能为 ，
所以该试验样本空间为 .
故答案为： .
题型二：随机事件的关系与运算
4．抛掷一枚骰子，“向上的面的点数是1或2”为事件 ，“向上的面的点数是2或3”为事件 ，则
（ ）
A． B．
C． 表示向上的面的点数是1或2或3 D． 表示向上的面的点数是1或2或3【答案】C
【解析】由题意可知， ， ， ， ，
所以 ， ，2， ，
则 表示向上的面的点数是1或2或3，故ABD错误，C正确．
故选：C．
5．已知事件A、B、C满足A B，B C，则下列说法不正确的是（ ）
A．事件A发生一定导致事件C发生
⊆ ⊆
B．事件B发生一定导致事件C发生
C．事件 发生不一定导致事件 发生
D．事件 发生不一定导致事件 发生
【答案】D
【解析】由已知可得A C，又因为A B，B C，如图事件A，B，C用集合表示：
则选项A，B正确，
⊆ ⊆ ⊆
事件 ，则C正确，D错误
故选：D．
6．抛掷3枚质地均匀的硬币，记事件 {至少1枚正面朝上}， {至多2枚正面朝上}，事件 {没有
硬币正面朝上}，则下列正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】记事件 {1枚硬币正面朝上}， {2枚硬币正面朝上}， {3枚硬币正面朝上}，则
， ，
显然 ， ， ，C不含于A.
故选：D
题型三：频率与概率
7．（2024·高三·重庆沙坪坝·期中）在一次男子羽毛球单打比赛中，运动员甲和乙进入了决赛（比赛采用3局2胜制），假设每局比赛甲获胜的概率为0.6，现采用随机模拟方法估计甲获得冠军的概率，先由计算机
产生1~5之间的随机数，指定1，2，3表示一局比赛中甲胜，4，5表示一局比赛中乙胜､经随机模拟产生
了如下20组随机数：
334 221 433 551 454 452 315 142 331 423
212 541 121 451 231 414 312 552 324 115
据此估计甲获得冠军的概率为 .
【答案】
【解析】20组数据中， 共13组数据表示甲获得冠军，
故估计甲获得冠军的概率为 .
故答案为：
8．已知某运动员每次投篮命中的概率都为 ，现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有两次
命中的概率：先由计算器产生 到 之间取整数值的随机数，指定 、 、 、 表示命中， 、 、 、 、
9、0表示不命中，再以每三个随机数为一组，代表三次投篮的结果，经随机模拟产生了如下 组随机数：
据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为 .
【答案】 /
【解析】 组随机数中表示三次投篮恰好有两次命中的是 、 、 、 、 ，
其频率为 ，以此估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为 .
故答案为：
9．一家药物公司试验一种新药，在500个病人中试验，其中307人有明显疗效，120人有疗效但疗效一般，
剩余的人无疗效，则没有明显疗效的频率是 ．
【答案】0.386/
【解析】由题意可得没有明显疗效的人数为 ，
所以没有明显疗效的频率为 ，
故答案为：0.386
10．若随机事件A在n次试验中发生了m次，则当试验次数n很大时，可以用事件A发生的频率 来估计
事件A的概率，即 ．【答案】
【解析】在相同的条件下，随着试验次数的增加，事件 发生的频率会在随机事件 发生的概率
附近摆动并趋于稳定，这个性质成为频率的稳定性.因此，可以用事件A发生的
频率 来估计事件A的概率，即 .
故答案为：
题型四：生活中的概率
11．某地区牛患某种病的概率为0.25，且每头牛患病与否是互不影响的，今研制一种新的预防药，任选12
头牛做试验，结果这12头牛服用这种药后均未患病，则此药 (填“有效”或“无效”)．
【答案】有效
【解析】若此药无效，则 头牛都不患病的概率为 ，这个概率很小，
故该事件基本上不会发生，所以此药有效．
故答案为：有效.
12．有以下说法：
①昨天没有下雨，则说明“昨天气象局的天气预报降水概率为95%”是错误的；
②“彩票中奖的概率是1%”表示买100张彩票一定有1张会中奖；
③做10次抛硬币的试验，结果3次正面朝上，因此正面朝上的概率为 ；
④某厂产品的次品率为2%，但该厂的50件产品中可能有2件次品．
其中错误说法的序号是 .
【答案】①②③
【解析】①中降水概率为95%，仍有不降水的可能，故①错误；
②中“彩票中奖的概率是1%”表示在设计彩票时，有1%的机会中奖，但不一定买100张彩票一定有1张会
中奖，故②错误；
③中正面朝上的频率为 ，概率仍为 ，故③错误；
④中次品率为2%，但50件产品中可能没有次品，也可能有1件或2件或3件…50次品，故④正确.
故答案为：①②③
13．在一个大转盘上，盘面被均匀地分成12份，分别写有1~12这12个数字，其中2，4，6，8，10，12
这6个区域对应的奖品是文具盒，而1，3，5，7，9，11这6个区域对应的奖品是随身听.游戏规则是转盘
转动后指针停在哪一格，则继续向前前进相应的格数.例如：你转动转盘停止后，指针落在4所在区域，则
还要往前前进4格，到标有8的区域，此时8区域对应的奖品就是你的，依此类推.请问：小明在玩这个游
戏时，得到的奖品是随身听的概率是 .【答案】0
【解析】根据游戏规则,转盘停止后,指针所在区域再前进相应格数后所在位置均为标为偶数的区域,而得到
随身听对应的区域均标为奇数,即可求得 转盘停止后,指针所在区域再前进相应格数后所在位置均为标为
偶数的区域,
又 得到随身听对应的区域均标为奇数,
得到的奖品为随身听的概率为 .
故答案为: .
14．某射击教练评价一名运动员时说：“你射中的概率是90%．”你认为下面两个解释中哪一个能代表教
练的观点 （填序号）．
①该射击运动员射击了100次，恰有90次击中目标；
②该射击运动员射击一次，中靶的机会是90%．
【答案】②
【解析】射中的概率是90%说明中靶的可能性大小，即中靶机会是90%，
所以①不正确，②正确.
故答案为：② .
题型五：互斥事件与对立事件
15．从装有4个白球和3个红球的盒子里摸出3个球，则以下哪个选项中的事件A与事件B互斥却不互为
对立（ ）
A．事件A：3个球中至少有1个红球；事件B：3个球中至少有1个白球
B．事件A：3个球中恰有1个红球；事件B：3个球中恰有1个白球
C．事件A：3个球中至多有2个红球：事件B：3个球中至少有2个白球
D．事件A：3个球中至多有1个红球；事件B：3个球中至多有1个白球
【答案】B
【解析】对于A，事件 与事件 可能同时发生，例如摸出2个白球和1个红球，所以事件 与事件 不
是互斥事件，故A错误；
对于B，事件 与事件 不可能同时发生，但不是一定有一个发生，还有可能是3个白球或3个红球，所
以事件 与事件 互斥却不互为对立，故B正确；对于C，事件 与事件 可能同时发生，例如摸出2个白球和1个红球，所以事件 与事件 不是互斥事
件，故C错误；
对于D，事件 与事件 不可能同时发生，但必有一个发生，所以事件 与事件 是互斥事件也是对立事
件，故D错误．
故选：B．
16．从装有2个白球和2个黑球的口袋内任取两个球，那么互斥而不对立的事件（ ）
A．至少有一个黑球与都是黑球
B．至少有一个黑球与至少有一个白球
C．恰好有一个黑球与恰好有两个黑球
D．至少有一个黑球与都是白球
【答案】C
【解析】A选项，至少有一个黑球包括一个黑球一个白球和两个黑球两种情况，与都是黑球不互斥，故A
错；
B选项，至少有一个白球包括一个白球一个黑球和两个白球两种情况，与至少有一个黑球不互斥，故B错；
C选项，恰好有一个黑球、恰好有两个黑球还有恰好没有黑球这种情况，所以互斥但不对立，故C正确；
D选项，至少有一个黑球和都是白球互斥且对立，故D错.
故选：C.
17．王老师从甲、乙、丙三位同学中随机抽选两位同学进行家访．事件 表示“抽中甲、乙两位同学”，
事件 表示“抽中甲、丙两位同学”，则（ ）
A． 是必然事件 B． 是不可能事件
C． 与 是互斥事件 D． 与 是对立事件
【答案】C
【解析】从甲、乙、丙三位同学中随机抽选两位同学进行家访,所有的基本事件有{（甲乙），（甲丙），
（乙丙）}，
对于A， 是不一定发生，故不是必然事件，
对于B， 是可能发生，所以不是不可能事件，
对于C， 与 不能同时发生，故 与 是互斥事件，
对于D, 与 不能同时发生，但 不是全部事件，所以不是对立事件，
故选：C
18．已知事件A，B互斥，它们都不发生的概率为 ，且 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题可知， ，又 ，所以 ，解得 ，
所以 .
故选：D.
题型六：利用互斥事件与对立事件计算概率
19．甲､乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制（当一队赢得四场胜利时，该队获胜，决赛结束）.根据前
期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”设甲队主场取胜的概率为0.7，客场取胜的概
率为0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以4：1获胜的概率为 .
【答案】0.245/
【解析】由题意知甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”，
设甲队主场取胜的概率为0.7，客场取胜的概率为0.5，
则甲队前5场比赛，第一场负，另外四场全胜概率为
，
甲队前5场比赛，第二场负，另外四场全胜概率为
，
甲队前5场比赛，第三次场，另外四场全胜概率为
，
甲队前5场比赛，第四次场，另外四场全胜概率为
所以甲队以4：1获胜的概率
.
故答案为：0.245
20．（2024·高三·浙江·开学考试）嵊（shèng）州是历史文化名城，早在秦朝已设郡县，古称剡（shàn）县，
赡县、嵊县，古往今来无数文人墨客都醉心于嵊州的山水风景之中，李白曾梦到：湖月照我影，送我至剡
溪.杜甫有诗曰：剡溪蕴秀异，欲罢不能忘，其中万年小黄山，千年唐诗路，百年越剧是三张重要历史文化
名片，现有甲、乙两人到达高铁嵊州新昌站，前往旅游集散中心，再分赴万年小黄山、千年唐诗路之谢灵
运垂钓处、越剧诞生地打卡，已知每人都只去1个景点，且甲、乙两人前往三地打卡的概率分别是
和 ，则甲、乙打卡不相同景点的概率为 .
【答案】【解析】甲乙打卡相同景点的概率为 ，
所以甲、乙打卡不相同景点的概率为 .
故答案为：
21．某高校的入学面试中有3道难度相当的题目，李华答对每道题目的概率都是 ，若每位面试者共有三
次机会，一旦某次答对抽到的题目，则面试通过，否则就一直抽题到第3次为止，假设对抽到的不同题目
能否答对是独立的，则李华最终通过面试的概率为 .
【答案】
【解析】依题意，李华3道题都没有答对的概率为 ，
所以李华最终通过面试的概率为 .
故答案为： .
2
22．甲、乙两人进行投篮练习，甲投中的概率为 ，乙投中的概率为 ，甲、乙两人各投篮1次，甲、乙
3
之间互不影响，已知两人至少有一人投中，则甲投中的概率 .
【答案】
【解析】“至少有一人命中的”的对立事件是“两人都没有命中”，两人都没有命中的概率 ，
所以“至少有一人命中的”概率 .
所以两人至少有一人投中，甲投中的概率为
故答案为：
23．已知事件 和事件 相互独立， 表示事件 的对立事件， ， ，则 .
【答案】 /0.125
【解析】由事件 和事件 相互独立，则事件 和事件 也相互独立.所以 .
故答案为：
24．有两颗种子，发芽率分别为0.8和0.9，则恰好有一颗发芽的概率是 ．
【答案】0.26/
【解析】有两颗种子，发芽率分别为0.8和0.9，
则恰好有一颗发芽的概率是 .
故答案为： .
1．某同学参加学校组织的化学竞赛，比赛分为笔试和实验操作测试，该同学参加这两项测试的结果相互
不受影响.若该同学在笔试中结果为优秀的概率为 ，在实验操作中结果为优秀的概率为 ，则该同学在这
次测试中仅有一项测试结果为优秀的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】根据题意可得该同学在这次测试中仅有一项测试结果为优秀的概率为： ．
故选：C.
2．从甲袋中随机摸出1个球是红球的概率是 ，从乙袋中随机摸出1个球是红球的概率是 ，从两袋中有
放回的各摸两次球且每次摸出一个球，则 是（ ）
A．4个球不都是红球的概率 B．4个球都是红球的概率
C．4个球中恰有3个红球的概率 D．4个球中恰有1个红球的概率
【答案】C
【解析】4个球都是红球的概率为 ，故B错误；4个球不都是红球的概率为 ，故A错误；
4个球中恰有3个红球的概率为 ，故C正确；
4个球中恰有1个红球的概率 ，故D错误.
故选：C.
3．（2024·辽宁·模拟预测）甲、乙二人下围棋，若甲先着子，则甲胜的概率为0.6，若乙先着子，则乙胜
的概率为0.5，若采取三局两胜制（无平局情况），第一局通过掷一枚质地均匀的硬币确定谁先着子，以
后每局由上一局负者先着子，则最终甲胜的概率为（ ）
A．0.5 B．0.6 C．0.57 D．0.575
【答案】D
【解析】由题意知，
一二局甲胜的概率为： ，
一三局甲胜的概率为： ，
二三局甲胜的概率为： ，
因此最终甲胜的概率为 ，
故选：D.
4．有—个游戏，其规则是甲、乙、丙、丁四个人从同一地点随机地向东、南、西、北四个方向前进，每
个方向一人，事件“甲向南”与事件“乙向南”是（ ）
A．互斥但非对立事件 B．对立事件
C．非互斥事件 D．以上都不对
【答案】A
【解析】因为甲、乙、丙、丁四个人从同一地点随机地向东、南、西、北四个方向前进，每个方向一人，
所以事件“甲向南”与事件“乙向南”不能同时发生，但能同时都不发生，故事件“甲向南”与事件“乙
向南”是互斥但非对立事件；
故选：A
5．投掷一枚均匀硬币和一个均匀骰子各一次，记“硬币正面向上”为事件 ，“骰子向上的点数大于4”
为事件 ，则事件 ， 中至少有一个发生的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题意得事件 ， 中至少有一个发生的对立事件是事件 ， 都不发生，而事件 不发生的概率为 ，事件 不发生的概率为 ，
所以事件 ， 都不发生的概率为 ，
故事件 ， 中至少有一个发生的概率是 ，故D正确.
故选：D
6．甲袋中装有 个白球， 个黑球，乙袋中装有 个白球， 个黑球 ，现从两袋中各摸一个球，
“两球同色”， “两球异色”，则 与 的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．视 ， 的大小而定
【答案】A
【解析】设 “取出的都是白球”， “取出的都是黑球”，则 ， 互斥且 ，
．
设 “从甲袋取出白球，乙袋取出黑球”，
“从甲袋取出黑球，乙袋取出白球”，则 ， 互斥且
．
由于 ，故 ．
故 ．
故选：A.
7．在如图所示的电路中，5个盒子表示保险匣，盒子中所示数值表示通电时保险丝熔断的概率，则下列结
论正确的是（ ）
A．A，B两个盒子并联后FG 段畅通的概率为
B．D，E两个盒子串联后GH 段畅通的概率为
C．C，D，E三个盒子混联后GK 段畅通的概率为
D．当开关合上时，整个电路畅通的概率大于整个电路不通的概率【答案】D
【解析】对于A，A，B两个盒子并联后FG 段畅通的概率为 ，A错误；
对于B，D，E两个盒子串联后GH段畅通的概率为 ，B错误；
对于C，由选项B知，GH 熔断的概率为 ，
因此C，D，E三个盒子混联后GK 段畅通的概率为 ，C错误；
对于D，由选项AC知，整个电路畅通的概率为 不通的概率为 ，D正确.
故选：D
8．已知某地市场上供应的一种电子产品中，甲厂产品占 ，乙厂产品占 ，丙厂产品占 ，甲厂产品的合
格率是 ，乙厂产品的合格率是 ，丙厂产品的合格率是 ，则从该地市场上买到一个产品，此产
品是次品的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题知，产品是次品的概率是 ，
故选：D.
9．（多选题）在某次英语四级考试中，若甲、乙、丙通过考试的概率分别为 ，且 成等
比数列，三人各自是否通过这次考试相互独立，则（ ）
A．
B．甲、乙都通过这次考试的概率为0.24
C．甲、丙都不通过这次考试的概率为0.12
D．乙、丙中至少有一人通过这次考试的概率为0.96
【答案】BD
【解析】因为 ， 成等比数列，
所以 ，解得 ，故A错误；
所以甲、乙都通过这次考试的概率为 ，故B正确；
所以甲、丙都不通过这次考试的概率为 ，故C错误；
所以乙、丙中至少有一人通过这次考试的概率为 ，故D正确.
故选：BD.
10．（多选题）已知事件 两两互斥，若 ， ， ，则（ ）A． B．
C． D．
【答案】ABD
【解析】因为事件 两两互斥，所以 .因为 ， ，所以
，则 正确.
因为 ， ，所以 ，则 正确.
因为事件 两两互斥，所以 ，则 错误.
因为 ，所以 ，则 正确.
故选：ABD
11．（多选题）从装有3个红球和3个黑球的口袋内任取两个球，则下列说法正确的是（ ）
A．“至少有一个黑球”与“都是黑球”是互斥而不对立的事件
B．“至少有一个黑球”与“至少有一个红球”不是互斥事件
C．“恰好有一个黑球”与“恰好有两个黑球”是互斥而且是对立的事件
D．“至少有一个黑球”与“都是红球”是对立事件
【答案】BD
【解析】“至少有一个黑球”等价于“一个黑球和一个红球或两个黑球”与“都是黑球”可以同时发生，
不是互斥事件，故A错误；
“至少有一个黑球”等价于“一个黑球和一个红球或两个黑球”，“至少有一个红球”等价于“一个黑球
和一个红球或两个红球”，可以同时发生，故B正确；
“恰好有一个黑球”等价于“一个黑球和一个红球”，与“恰好有两个黑球”，不同时发生，还有可能都
是红球，不是对立事件，故C错误；
“至少有一个黑球”等价于“一个黑球和一个红球或两个黑球”，与“都是红球”，不同时发生，但一定
会有一个发生，是对立事件，故D正确．
故选：BD．
12．在一个盒子中有2个白球，3个红球，甲､乙两人轮流从盒子中随机地取球，甲先取，乙后取､然后甲
再取，…，每次取1个，取后不放回．直到2个白球都被取出来后就停止取球，则2个白球都被乙取出的
概率为 ；将球全部取出才停止取球的概率为 ．
【答案】 / /
【解析】若2个白球都被乙取出，则第一次甲取出红球，第二次乙取出白球，第三次甲取出红球，第四次乙取出白球，结束取球，其概率为 ．
若将球全部取出才停止取球，则最后一次即第5次取出的一定是白球．
四种情况：
①第1次和第5次取出的是白球，另外3次取出的是红球，
其概率为 ；
②第2次和第5次取出的是白球，另外3次取出的是红球，
其概率为 ；
③第3次和第5次取出的是白球，另外3次取出的是红球，
其概率为 ；
④第4次和第5次取出的是白球，另外3次取出的是红球，
其概率为 ；
故所求概率为 ．
故答案为： ； .
13．小耿与小吴参与某个答题游戏，此游戏共有5道题，小耿有3道题不会，小吴有1道题不会，小耿与
小吴分别从这5道题中任意选取1道题进行回答，且两人选题和答题互不影响，则小耿与小吴恰有1人会
答的概率为
【答案】 /0.56
【解析】小耿与小吴恰有1人会答，包括两种情况，小耿会小吴不会和小吴会小耿不会.
则小耿与小吴恰有1人会答的概率为 .
故答案为： .
14．某校组织羽毛球比赛，每场比赛采用五局三胜制（每局比赛没有平局，先胜三局者获胜并结束比赛），
两人第一局获胜的概率均为 ，从第二局开始，每局获胜的概率受上局比赛结果的影响，若上局获胜，则
该局获胜的概率为 ，若上局未获胜，则该局获胜的概率为 ，且一方第一局、第二局连胜的概率
为 ．则打完4场结束比赛的概率为 ．【答案】
【解析】令事件 为一方在第i局获胜， ，
则连胜两局的概率 ，解得 ，
若打完4场结束比赛，则需一方以 获胜，因此则第4场必须是胜，前3场胜2场即可，
其中一方在第1、2、4场获胜的概率 ，
其中一方在第1、3、4场获胜的概率 ，
其中一方在第2、3、4场获胜的概率 ，
所以打完4场结束比赛的概率 ，
故答案为： .
15．下表是某种植物的种子在相同条件下发芽率试验的结果．
种子个数n 100 400 900 1500 2500 4000
发芽种子个数m 92 352 818 1336 2251 3601
发芽种子频率
0.92 0.88 0.91 0.89 0.90 0.90
根据表中的数据，可估计该植物的种子发芽的概率为 （精确到0.1）．
【答案】
【解析】在大量重复进行同一试验时，事件A发生的频率总是接近于某个数，
在它附近摆动，这个常数就是事件A的概率；
观察表格得到某种植物发芽的频率稳定在 附近，进而求解即可.
故答案为：1．（2005年普通高等学校招生考试数学（文）试题（浙江卷））从存放号码分别为1，2， ，10的卡片
的盒子中，有放回地取100次，每次取一张卡片并记下号码，统计结果如下：
卡片号码 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
取到的次
13 8 5 7 6 13 18 10 11 9
数
则取到号码为奇数的频率是（ ）
A．0.53 B．0.5 C．0.47 D．0.37
【答案】A
【解析】由题意知，
∵有放回地取100次，每次取一张卡片并记下号码，
∴总次数是100，
由表可以看出取到号码为奇数有13＋5＋6＋18＋11＝53种结果，
所以频率 ，
故选：A．
2．（2010年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷）理科数学）两个实习生每人加工一个零件．加工
为一等品的概率分别为 和 ，两个零件是否加工为一等品相互独立，则这两个零件中恰有一个一等品的
概率为
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】记两个零件中恰好有一个一等品的事件为A，
即仅第一个实习生加工一等品(A)与仅第二个实习生加工一等品(A)两种情况，
1 2
则P(A)=P(A)+P(A)= × + × =
1 2
故选B.
3．（2007年普通高等学校招生考试数学（文）试题（大纲卷I））从某自动包装机包装的食盐中，随机抽
取20袋，测得各袋的质量分别为（单位：g）：
492 496 494 495 498 497 501 502 504 496497 503 506 508 507 492 496 500 501 499
根据频率分布估计总体分布的原理，该自动包装机包装的袋装食盐质量在 之间的概率约为
．
【答案】 /
【解析】通过统计，可知自动包装机包装的袋装食盐质量在 之间的共有 袋，
所以袋装食盐质量在 之间的概率为 ，
根据频率分布估计总体分布的原理，该自动包装机包装的袋装食盐质量在 之间的概率约为：
.
4．（2020年天津市高考数学试卷）已知甲、乙两球落入盒子的概率分别为 和 ．假定两球是否落入盒
子互不影响，则甲、乙两球都落入盒子的概率为 ；甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为
．
【答案】
【解析】甲、乙两球落入盒子的概率分别为 ，
且两球是否落入盒子互不影响，
所以甲、乙都落入盒子的概率为 ，
甲、乙两球都不落入盒子的概率为 ，
所以甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为 .
故答案为： ； .
5．（2007年普通高等学校招生考试数学（文）试题（陕西卷））某项选拔共有四轮考核，每轮设有一个
问题，能正确回答问题者进入下一轮考核，否则即被淘汰．已知某选手能正确回答第一、二、三、四轮的
问题的概率分别为 ，且各轮问题能否回答正确互不影响．
(1)求该选手进入第四轮才被淘汰的概率；
(2)求该选手至多进入第三轮考核的概率．
【解析】（1）记 表示该选手能正确回答第 个问题，则
．
该选手进入第四轮才被淘汰就是前三轮答题成功，第四轮没有成功，
各轮问题能否回答正确互不影响，所以所求概率是 .
（2）该选手至多进入第三轮考核，即可能第一轮被淘汰，可能第二轮被淘汰，
可能第三轮被淘汰，这三种情况又是互斥的，
所以所求概率为
．
6．（2007年普通高等学校招生考试数学（文）试题（大纲卷Ⅱ））从某批产品中，有放回地抽取产品二
次，每次随机抽取 件，假设事件 ：“取出的 件产品中至多有 件是二等品”的概率 ．
(1)求从该批产品中任取 件是二等品的概率 ；
(2)若该批产品共有 件，从中任意抽取 件，求事件 ：“取出的2件产品中至少有一件二等品”的概
率 ．
【解析】（1）记 表示事件“取出的2件产品中无二等品”， 表示事件“取出的2件产品中恰有1件
二等品”．
则 ， 互斥，且 ，
故
所以 ，
解得 或 （舍去）．
（2）记 表示事件“取出的2件产品中无二等品”，
则 ．
若该批产品共 件，由（1）知其中二等品有 件，
故 ，所以 .
7．（2006 年普通高等学校招生考试数学（文）试题（辽宁卷））甲、乙两班各派2名同学参加年级数学
竞赛，参赛同学成绩及格的概率都为0.6，且参赛同学的成绩相互之间没有影响．求：
(1)甲、乙两班参赛同学中各有1名同学成绩及格的概率；
(2)甲、乙两班参赛同学中至少有1名同学成绩及格的概率．
【解析】（1）甲班参赛同学恰有1名同学成绩及格的概率 ，
乙班参赛同学恰有1名同学成绩及格的概率 ，
所以甲、乙两班参赛同学中各有1名同学成绩及格的概率 .（2）甲、乙两班4名同学成绩不及格的概率 ，
所以甲、乙两班参赛同学中至少有1名同学成绩及格的概率 .
8．（2006年普通高等学校招生考试数学（文）试题（湖南卷））某安全生产监督部门对5家小型煤矿进
行安全检查（简称安检）．若安检不合格，则必须整改．若整改后经复查仍不合格，则强制关闭．设每家
煤矿安检是否合格是相互独立的，且每家煤矿整改前安检合格的概率是0.5，整改后安检合格的概率是
0.8，计算（结果精确到0.01）：
(1)恰好有两家煤矿必须整改的概率；
(2)某煤矿不被关闭的概率；
(3)至少关闭一家煤矿的概率．
【解析】（1）依题意，可知每家煤矿必须整改的概率为 ，且每家煤矿安检是否必须整改是相互
独立的，
所以恰好有两家煤矿必须整改的概率为 .
（2）某煤矿被关闭的原因是，两次安检都不合格，
所以某煤矿被关闭的概率为 ，
故某煤矿不被关闭的概率为 .
（3）由（2）可知，每家煤矿不被关闭的概率是 ，且每家煤矿是否被关闭是相互独立的，
所以 家煤矿都不被关闭的概率为 ，
故至少关闭一家煤矿的概率为 .
9．（2003 年普通高等学校招生考试数学（文）试题（天津卷））有三种产品，合格率分别为0.90，0.95
和0.95，各抽取一件进行检验．
(1)求恰有一件不合格的概率；
(2)求至少有两件不合格的概率．（精确到0.001）
【解析】（1）由题意知，设恰好有一件产品不合格的概率为 ，则
，
所以恰好有一件产品不合格的概率为0.176；
（2）由题意知，设至少有两件产品不合格的概率为 ，则
.
所以至少有两件产品不合格的概率为0.012.
