文档内容
第 04 讲 空间中的垂直关系
（线线垂直、线面垂直、面面垂直）
（10 类核心考点精讲精练）
1. 5年真题考点分布
5年考情
考题示例 考点分析 关联考点
证明线面平行
2024年新I卷，第17题,15分 证明面面垂直
由二面角大小求线段长度
证明线面垂直 求平面的法向量
2024年新Ⅱ卷，第17题,15分
线面垂直证明线线垂直 面面角的向量求法
证明线面垂直
2023年新Ⅱ卷，第20题,12分 面面角的向量求法
线面垂直证明线线垂直
线面垂直证明线线垂直 锥体体积的有关计算
2021年新I卷，第20题,12分
面面垂直证线面垂直 由二面角大小求线段长度或距离
证明线面垂直 求异面直线所成的角
2021年新Ⅱ卷，第10题,5分
线面垂直证明线线垂直
2021年新Ⅱ卷，第19题,12分 证明面面垂直 面面角的向量求法
2020年新I卷，第20题,12分 证明线面垂直 线面角的向量求法
2020年新I卷，第20题,12分 证明线面垂直 线面角的向量求法
2. 命题规律及备考策略
【命题规律】本节内容是新高考卷的常考内容，设题稳定，难度中等偏难，分值为5-15分
【备考策略】1.熟练掌握线面垂直的判定定理和性质定理及其应用
2.熟练掌握面面垂直的判定定理和性质定理及其应用
【命题预测】本节内容是新高考卷的常考内容，一般在解答题中考查线面垂直、面面垂直的判定及其性质，
需强化巩固复习.知识讲解
空间中的垂直关系
（1）线线垂直
①等腰三角形（等边三角形）的三线合一证线线垂直
②勾股定理的逆定理证线线垂直
③菱形、正方形的对角线互相垂直
（2）线面垂直的判定定理
判定定理：一直线与平面内两条相交直线垂直，则线面垂直
图形语言 符号语言
（3）线面垂直的性质定理
性质定理1：一直线与平面垂直，则这条直线垂直于平面内的任意一条直线
图形语言 符号语言性质定理2：垂直于同一个平面的两条直线平行
图形语言 符号语言
（4）面面垂直的判定定理
判定定理：一个平面内有一条直线垂直于另一个平面，则两个平面垂直
（或：一个平面经过另一个平面的垂线，则面面垂直）
图形语言 符号语言
（5）面面垂直的性质定理
性质定理：两平面垂直，其中一个平面内有一条直线与交线垂直，则这条直线垂直于另一
个平面
图形语言 符号语言考点一、 线面垂直判定定理（特殊图形）
1．（23-24高三上·上海闵行·期中）正四棱锥 中， ， ，其中 为底面中心， 为
上靠近 的三等分点．
(1)求证： 平面 ；
(2)求四面体 的体积．
2．（22-23高二下·湖南郴州·期末）如图，直三棱柱 中， 是边长为 的正三角形， 为
的中点．
（1）证明： 平面 ；
（2）若直线 与平面 所成的角的正切值为 ，求平面 与平面 夹角的余弦值．
1．（22-23高二上·北京·阶段练习）如图，在四棱锥 中， 平面 ，底面 为菱形，
为 的中点．(1)求证： 平面PAC；
(2)若点 是棱 的中点，求证： 平面PAE．
2．（2024·新疆喀什·三模）如图，在正四棱台 中， ， ， 是
的中点．
(1)求证：直线 平面BDD B ；
1 1
(2)求直线 与平面 所成角的正弦值
考点二、 线面垂直判定定理（三线合一）
1．（2024·陕西榆林·一模）在三棱锥 中， 为 的中点.
(1)证明： ⊥平面 .
(2)若 ，平面 平面 ，求点 到平面 的距离.
2．（2024·全国·模拟预测）如图，在三棱锥 中，点 为棱 的中点，点 为 的中点， ，
， 都是正三角形．(1)求证：AO⊥平面 ；
(2)若三棱锥 的体积为 ，求三棱锥 的表面积．
1．（2024·青海·二模）如图，在三棱柱 中，所有棱长均相等， ， ，
.
(1)证明；AO⊥平面 .
(2)若二面角 的正弦值.
2．（2023·陕西西安·三模）如图，在三棱柱 中， 平面ABC，D，E分别为AC， 的
中点， ， ．
(1)求证： 平面 ；
(2)求点D到平面ABE的距离．考点三、 线面垂直判定定理（勾股定理、余弦定理）
1．（2023·北京·高考真题）如图，在三棱锥 中， 平面 ， ．
(1)求证： 平面PAB；
(2)求二面角 的大小．
2．（2024·海南·模拟预测）如图，已知线段 为圆柱OO 的三条母线，AB为底面圆 的一条直
1
径， 是母线 的中点，且 .
(1)求证：A O⊥平面DOC；
1
(2)求平面 与平面 的夹角的余弦值.
1．（2024·广西·模拟预测）如图，在四棱锥 中， ， ，四边形 是菱
形， ， 是棱 上的动点，且 .(1)证明： 平面 .
(2)是否存在实数 ，使得平面 与平面 所成锐二面角的余弦值是 ？若存在，求出 的值；若
不存在，请说明理由.
2．（2024·重庆·模拟预测）如图，在四棱锥 中， 平面 为等边三角
形， ，点 为棱 上的动点．
(1)证明：DC⊥平面 ；
(2)当二面角 的大小为 时，求线段 的长度．
3．（23-24高一下·浙江宁波·期中）如图，已知三棱台 的体积为 ，平面 平面
， 是以 为直角顶点的等腰直角三角形，且 ，(1)证明： 平面 ；
(2)求点 到面 的距离；
(3)在线段 上是否存在点 ，使得二面角 的大小为 ，若存在，求出 的长，若不存在，请
说明理由.
考点 四 、 线面垂直判定定理（全等与相似）
1．（2023·北京房山·一模）如图，四棱锥 的底面是矩形， 底面ABCD，
，M为BC的中点.
(1)求证： 平面PBD；
(2)求平面ABCD与平面APM所成角的余弦值；
(3)求D到平面APM的距离.
1．（2024·宁夏银川·一模）如图，在四棱锥 中，已知 是
的中点.(1)证明： 平面 ；
(2)若 ，点 是 的中点，求点 到平面 的距离.
考点 五 、 线面垂直判定定理（空间向量）
1．（2024·浙江·模拟预测）如图，已知正三棱柱 分别为棱 的中点．
(1)求证：A B⊥平面 ；
1
(2)求二面角 的正弦值．
2．（2024·山东·模拟预测）如图，在直三棱柱 中， ， ， ，
.
(1)当 时，求证： 平面 ；
(2)设二面角 的大小为 ，求cosθ的取值范围.
3．（2024·湖南岳阳·三模）已知四棱锥 的底面 是边长为4的菱形， ，， ， 是线段 上的点，且 ．
(1)证明： 平面 ；
(2)点 在直线 上，求 与平面 所成角的最大值．
1．（2024·安徽六安·模拟预测）如图， 为菱形， ，∠ACB=120°，平面 平面
，点F在 上，且 ， 分别在直线 上．
(1)求证： 平面 ；
(2)把与两条异面直线都垂直且相交的直线叫做这两条异面直线的公垂线，若 ，MN为直线
的公垂线，求 的值.
2．（2024·重庆·三模）如图，在圆锥PO中，AC为圆锥底面的直径， 为底面圆周上一点，点 在线段
BC上， ， .
(1)证明： 平面BOP；
(2)若圆锥PO的侧面积为18π，求二面角 的余弦值.
3．（23-24高三下·河北沧州·阶段练习）如图，在直三棱柱 中，△ 为边长为2的正三角形， 为 中点，点 在棱 上，且 .
(1)当 时，求证 平面 ；
(2)设 为底面 的中心，求直线 与平面 所成角的正弦值的最大值，并求取得最大值时 的值.
考点 六 、 线面垂直性质定理
1．（2022·全国·高考真题）在四棱锥 中， 底面
．
(1)证明： ；
(2)求PD与平面 所成的角的正弦值．
2．（2022·浙江·高考真题）如图，已知 和 都是直角梯形，AB//DC， ， ，
， ， ，二面角 的平面角为 ．设M，N分别为 的
中点．(1)证明： ；
(2)求直线 与平面 所成角的正弦值．
3．（2023·全国·高考真题）如图，三棱锥 中， ， ， ，
E为BC的中点．
(1)证明： ；
(2)点F满足 ，求二面角 的正弦值．
4．（2024·全国·高考真题）如图，平面四边形ABCD中， ， ， ， ，
，点E，F满足 ， ，将 沿EF翻折至 ，使得 ．
(1)证明： ；
(2)求平面PCD与平面PBF所成的二面角的正弦值．
1．（2024·河北保定·二模）如图，在四棱锥 中，底面 是菱形， 分别为
的中点，且 ．(1)证明： ．
(2)若 ，求平面 与平面 夹角的余弦值．
2．（2024·江苏苏州·模拟预测）如图，已知斜三棱柱 的侧面 是菱形，
， ．
(1)求证： ；
(2)求平面 与平面 夹角的余弦值．
3．（2024·山东烟台·一模）如图，在三棱柱 中， ， 为
的中点，A O⊥平面 .
1
(1)求证：A A ⊥OD；
1
(2)若A A =2√3，求二面角 的余弦值.
1
4．（2024·山东·模拟预测）如图，在四棱台 中，底面 为正方形， 为等边三
角形， 为 的中点．(1)证明： ；
(2)若 ， ，求直线 与平面 所成角的余弦值．
5．（2022·陕西·一模）如图，已知直三棱柱 ， ， ， 分别为线段 ， ， 的中
点， 为线段 上的动点， ， .
(1)若 ，试证 ；
(2)在（1）的条件下，当 时，试确定动点 的位置，使线段 与平面 所成角的正弦值最大.
考点 七 、 面面垂直判定定理
1．（2021·全国·高考真题）如图，四棱锥 的底面是矩形， 底面 ，M为 的中点，
且PB⊥AM．
（1）证明：平面PAM⊥平面 ；
（2）若PD=DC=1，求四棱锥 的体积．
2．（2021·全国·高考真题）在四棱锥 中，底面 是正方形，若
．（1）证明：平面 平面 ；
（2）求二面角 的平面角的余弦值．
3．（2022·全国·高考真题）如图，四面体 中，AD⊥CD,AD=CD,∠ADB=∠BDC，E为AC的
中点．
(1)证明：平面 平面ACD；
(2)设AB=BD=2,∠ACB=60°，点F在BD上，当 的面积最小时，求三棱锥F−ABC的体积．
4．（2023·全国·高考真题）如图，在三棱柱 中， 平面 ．
(1)证明：平面 平面 ；
(2)设 ，求四棱锥 的高．
5．（2023·全国·高考真题）如图，在三棱锥 中， ， ， ， ，
BP，AP，BC的中点分别为D，E，O， ，点F在AC上， .(1)证明： 平面 ；
(2)证明：平面 平面BEF；
(3)求二面角 的正弦值.
1．（2024·河南·三模）如图，在四棱锥 中，平面 平面 ，且
．
(1)证明：平面 平面 ；
(2)求平面 与平面 夹角的正弦值．
2．（2024·河北沧州·二模）如图，在三棱柱 中， 是边长为2的等边三角形，四边形
为菱形， ，三棱柱 的体积为3．
(1)证明：平面 平面 ；
(2)若 为棱 的中点，求平面 与平面 的夹角的正切值．
3．（2024·山东·模拟预测）如图，在直三棱柱 中， 为棱上一点，且 ．
(1)证明：平面 平面 ；
(2)求二面角 的大小．
4．（2024·四川德阳·三模）如图，在三棱柱 中，底面 是等边三角形， ，
D为 的中点，过 的平面交棱 于E，交 于F.
(1)求证：平面 平面 ；
(2)设M为 的中点，平面 交 于P，且 .若 ，且 ，求四棱锥
的体积.
5．（2023·黑龙江佳木斯·三模）如图，在四棱锥 中，平面 平面 ， ，底面
为等腰梯形， ，且 ．
(1)证明：平面 平面 ；
(2)若点A到平面PBC的距离为 ，求平面 与平面 夹角的余弦值．考点 八 、 面面垂直性质定理
1．（2021·全国·高考真题）如图，在三棱锥 中，平面 平面 ， ， 为 的中
点.
（1）证明： ；
（2）若 是边长为1的等边三角形，点 在棱 上， ，且二面角 的大小为 ，
求三棱锥 的体积.
2．（2024·湖南衡阳·三模）如图所示，在三棱柱 中，已知平面 平面 ，
， ， .
(1)证明： 平面 ；
(2)已知E是棱 的中点，求平面 与平面 夹角的余弦值.
3．（2024·辽宁沈阳·模拟预测）如图，三棱柱 中，侧面 底面 ， ，
， ，点 是棱 的中点， ， .(1)证明： ；
(2)求直线 与平面 所成角的余弦值.
1．（2024·安徽芜湖·三模）如图，三棱锥 中，平面 平面 ，平面 平面 ，平面
平面 ，
(1)求证： 两两垂直；
(2)若 为 中点， 为 中点，求 与平面 所成角的正弦值．
2．（2024·陕西西安·三模）在四棱锥 中，平面 平面 ， ， ，
， ．
(1)证明： ．
(2)若 为等边三角形，求点C到平面 的距离．
3．（2024·四川·模拟预测）如图，在以 为顶点的五面体中，四边形 为正方形，四边
形 为等腰梯形， ，且平面 平面 ．(1)证明： ；
(2)求三棱锥 的体积．
考点 九 、 翻折问题综合
1．（2024·山东泰安·模拟预测）如图 ，在直角梯形 中， ， ， ，
是 的中点， 是 与 的交点．将 沿 折起到 的位置，如图 ．
(1)证明：平面 平面 ；
(2)若平面 平面 ，求平面 与平面 夹角的余弦值．
2．（2024·安徽合肥·三模）如图一：等腰直角 中 且 ，分别沿三角形三边向外作等
腰梯形 使得 ，沿三边 折叠，使
得 ，重合于 ，如图二
(1)求证： ．
(2)求直线 与平面 所成角 的正弦值．
3．（2024·河南濮阳·模拟预测）如图所示，在等腰梯形 中， ， ， ，E为CD中点，AE与BD相交于点O，将 沿AE折起，使点D到达点P的位置（ 平面 ）．
(1)求证：平面 平面PBC；
(2)若 ，试判断线段PB上是否存在一点Q（不含端点），使得直线PC与平面 所成角的正弦
值为 ，若存在，求Q在线段PB上的位置；若不存在，说明理由．
1．（2024·江西南昌·三模）如图1，四边形 为菱形， ， ， 分别为 ， 的中点，
如图2．将 沿 向上折叠，使得平面 平面 ，将 沿 向上折叠．使得平面
平面 ，连接 .
(1)求证： ， ， ， 四点共面：
(2)求平面 与平面 所成角的余弦值.
2．（2024·湖北武汉·模拟预测）如图1，在矩形 中， ， ，将 沿矩形的对角线
进行翻折，得到如图2所示的三棱锥 ，且 .
(1)求翻折后线段 的长；
(2)点 满足 ，求 与平面 所成角的正弦值.3．（2024·陕西安康·模拟预测）如图（1），在平面五边形 中，
，将 沿 折起得到四棱锥 ，如
图（2），满足 ，且 .
(1)求证：平面 平面 ；
(2)求直线 与平面 所成角的正弦值.
考点 十 、 补全条件及图形证空间中的垂直关系
1．（2023·贵州铜仁·二模）如图，在直三棱柱 中， ， ．
(1)试在平面 内确定一点H，使得 平面 ，并写出证明过程；
(2)若平面 与底面 所成的锐二面角为60°，求平面 与平面 所成锐二面角的余弦值．
2．（2021·河南·模拟预测）如图，在直三棱柱ABC﹣ABC 中，AB＝BC＝AA＝1， ，点D，E分
1 1 1 1
别为AC和BC 的中点．
1 1
(1)棱AA 上是否存在点P使得平面PBD⊥平面ABE？若存在，写出PA的长并证明你的结论；若不存在，请
1说明理由．
(2)求点A到平面BDE的距离．
3．（2024·全国·模拟预测）如图，四边形 为圆台 的轴截面， ，圆台的母线与底面所
成的角为45°，母线长为 ， 是 的中点．
(1)已知圆 内存在点 ，使得 平面 ，作出点 的轨迹（写出解题过程）；
(2)点 是圆 上的一点（不同于 ， ）， ，求平面 与平面 所成角的正弦值．
1．（2024·上海·模拟预测）如图，多面体 是由一个正四棱锥A−BCDE与一个三棱锥 拼
接而成，正四棱锥A−BCDE的所有棱长均为 ，且 ．
(1)在棱 上找一点 ，使得平面 平面 ，并给出证明；
(2)若 ，求直线 与平面 所成角的正弦值．
2．（21-22高三上·黑龙江哈尔滨·期末）如图，四边形 为正方形，若平面 ， ，
， ．
(1)在线段 上是否存在点 ，使平面 平面 ，请说明理由；
(2)求多面体 的体积．3．（2024·广东东莞·模拟预测）如图，已知四棱台 的上、下底面分别是边长为2和4的正
方形，A A =4，且 底面ABCD，点P、Q分别是棱 、 的中点．
1
(1)在底面 内是否存在点M，满足 平面CPQ?若存在，请说明点M的位置，若不存在，请说
明理由；
(2)设平面CPQ交棱 于点T，平面CPTQ将四棱台 ，分成上、下两部分，求上、下两部
分的体积比．
1．（2024·黑龙江·三模）如图，在直三棱柱 中， ， ， 为 的中
点.
(1)证明： 平面 ；
(2)若二面角 的余弦值为 ，求点 到平面 的距离.
2．（2024·贵州贵阳·三模）如图，在三棱锥 中， ，平面 平面
.(1)证明: 平面PAC；
(2)若 为棱 上靠近 的三等分点，求直线 与平面 所成角的正弦值.
3．（2024·安徽安庆·三模）如图，在四棱锥 中，
， ，连接 ．
(1)求证：平面 平面 ；
(2)求直线 与平面 所成角正弦值的大小．
4．（23-24高三下·河南·阶段练习）如图所示，在三棱锥 中， 与AC不垂直，平面 平面
， ．
(1)证明： ；
(2)若 ，点M满足 ，求直线 与平面 所成角的正弦值．
5．（2024·上海·三模）如图，在四棱锥 中，平面 平面 ， ， ，
， ， ， ，点 是 的中点．(1)求证： ；
(2)求直线 与平面 所成角的正弦值．
6．（2024·福建泉州·模拟预测）在四棱锥 中，
．
(1)求证：
(2)当点 到平面 的距离为 时，求直线 与平面 所成的角的正弦值．
7．（2024·广西贵港·模拟预测）如图，四边形ABCD是边长为2的正方形，E为边CD的中点，沿AE把
折起，使点D到达点P的位置，且 ．
(1)求证： 平面 ；
(2)求三棱锥 的表面积
8．（2024·四川成都·模拟预测）如图所示，斜三棱柱 的各棱长均为 ， 侧棱 与底面
所成角为 ，且侧面 底面 ．(1)证明：点 在平面 上的射影 为 的中点；
(2)求二面角 的正切值．
9．（2024·陕西渭南·模拟预测）如图，在四棱锥 中， 平面 ，底面 是正方形，
点E在棱PD上， ， ．
(1)证明：点 是 的中点；
(2)求直线 与平面 所成角的正弦值．
10．（2024·天津南开·二模）在四棱锥 中，底面ABCD是边长为2的正方形， ，
，O为CD的中点，二面角A-CD-P为直二面角.
(1)求证： ；
(2)求直线PC与平面PAB所成角的正弦值；
(3)求平面POB与平面PAB夹角的余弦值.
1．（2024·辽宁大连·模拟预测）如图（1），在 中， ， ，点 为
的中点．将 沿 折起到 的位置，使 ，如图（2）．(1)求证：PB⊥PC．
(2)在线段 上是否存在点 ，使得 ？若存在，求二面角 的正弦值；若不存在，说明
理由．
2．（2024·湖南邵阳·三模）如图，在四棱锥 中，底面 是平行四边形，且 ，
， . ， 分别为 ， 的中点. .
(1)若 .求证：平面 平面 ；
(2)若 ，PE=√2.求直线 与平面 所成角的正弦值.
3．（2024·陕西商洛·模拟预测）在如图所示的多面体 中.四边形 是边长为 的正方形，其
对角线的交点为 ， 平面 ， ， .点 是棱 的中点.
(1)求证： 平面 ；
(2)求多面体 的体积.
4．（2024·山东青岛·三模）如图所示，多面体 ，底面 是正方形，点 为底面的中心，点
为 的中点，侧面 与 是全等的等腰梯形， ，其余棱长均为2.(1)证明: 平面 ；
(2)若点 在棱 上，直线 与平面 所成角的正弦值为 ，求 .
5．（2024·浙江·模拟预测）如图，在四棱锥 中，底面 为正方形， ， 为线
段 的中点，平面 底面 ．
(1)求证： 平面 ；
(2)求直线 与平面 所成角的正弦值．
6．（2024·山东·二模）如图所示，直三棱柱 ，各棱长均相等. ， ， 分别为棱 ， ，
的中点.
(1)证明：平面 平面 ；
(2)求直线 与 所成角的正弦值.
7．（2024·全国·模拟预测）如图，在四棱锥 中， ，且 ， .
(1)证明：平面 平面 ；
(2)若 ， ，求 与平面 所成角的大小.8．（2024·江苏·三模）如图，在三棱锥 中， 底面 为 上一点，且平面 平面
，三棱锥 的体积为 .
(1)求证： 为 的中点；
(2)求直线 与平面 所成角的正弦值.
9．（2024·江西新余·二模）如图，在四棱锥 中，底面 是直角梯形， ，
，且 ， .
(1)若 为 的中点，证明：平面 平面 ；
(2)若 ， ，线段 上的点 满足 ，且平面 与平面 夹角的
√42
余弦值为 ，求实数 的值.
7
10．（2023·江西·二模）正四棱锥 中， ，E为 中点， ，平面
平面 ，平面 .
(1)证明：当平面 平面 时， 平面(2)当 时，T为 表面上一动点（包括顶点），是否存在正数m，使得有且仅有5个点T满
足 ，若存在，求m的值，若不存在，请说明理由.
1．（2023·全国·高考真题）如图，在三棱柱 中， 底面ABC， ，
到平面 的距离为1．
(1)证明： ；
(2)已知 与 的距离为2，求 与平面 所成角的正弦值．
2．（2022·全国·高考真题）如图，四面体 中，AD⊥CD,AD=CD,∠ADB=∠BDC，E为 的
中点．
(1)证明：平面 平面 ；
(2)设AB=BD=2,∠ACB=60°，点F在 上，当 的面积最小时，求 与平面 所成的角的
正弦值．
3．（2021·全国·高考真题）已知直三棱柱 中，侧面 为正方形， ，E，F分
别为 和 的中点， .（1）求三棱锥 的体积；
（2）已知D为棱 上的点，证明： .
4．（2020·海南·高考真题）如图，四棱锥P-ABCD的底面为正方形，PD 底面ABCD．设平面PAD与平面
PBC的交线为 ．
（1）证明： 平面PDC；
（2）已知PD=AD=1，Q为 上的点，QB= ，求PB与平面QCD所成角的正弦值．
5．（2020·浙江·高考真题）如图，三棱台ABC—DEF中，平面ACFD⊥平面ABC，∠ACB=∠ACD=45°，DC
=2BC．
（I）证明：EF⊥DB；
（II）求DF与面DBC所成角的正弦值．
6．（2020·江苏·高考真题）在三棱柱ABC-A B C 中，AB⊥AC，B C⊥平面ABC，E，F分别是AC，B C的中点．
1 1 1 1 1（1）求证：EF∥平面AB C ；
1 1
（2）求证：平面AB C⊥平面ABB ．
1 1
7．（2020·全国·高考真题）如图， 为圆锥的顶点， 是圆锥底面的圆心， 是底面的内接正三角形，
为 上一点，∠APC=90°．
（1）证明：平面PAB⊥平面PAC；
（2）设DO= ，圆锥的侧面积为√3π，求三棱锥P−ABC的体积.
8．（2020·全国·高考真题）如图，已知三棱柱ABC-A B C 的底面是正三角形，侧面BB C C是矩形，M，N
1 1 1 1 1
分别为BC，B C 的中点，P为AM上一点，过B C 和P的平面交AB于E，交AC于F.
1 1 1 1
（1）证明：AA ∥MN，且平面A AMN⊥EB C F；
1 1 1 1
（2）设O为△A B C 的中心，若AO∥平面EB C F，且AO=AB，求直线B E与平面A AMN所成角的正弦值.
1 1 1 1 1 1 1
