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第 04 讲 随机事件、频率与概率
目录
01 模拟基础练......................................................................................................................................2
题型一：随机事件与样本空间............................................................................................................2
题型二：随机事件的关系与运算........................................................................................................2
题型三：频率与概率............................................................................................................................2
题型四：生活中的概率........................................................................................................................3
题型五：互斥事件与对立事件............................................................................................................4
题型六：利用互斥事件与对立事件计算概率....................................................................................5
02 重难创新练......................................................................................................................................5
03 真题实战练......................................................................................................................................8题型一：随机事件与样本空间
1．袋中装有形状与质地相同的 个球，其中黑色球 个，记为 ，白色球 个，记为 ，从袋中
任意取 个球，请写出该随机试验一个不等可能的样本空间： .
2．从含有 件次品的 件产品中任取 件，观察其中次品数，其样本空间为 ．
3．将一枚硬币抛三次，观察其正面朝上的次数，该试验样本空间为 .
题型二：随机事件的关系与运算
4．抛掷一枚骰子，“向上的面的点数是1或2”为事件 ，“向上的面的点数是2或3”为事件 ，则
（ ）
A． B．
C． 表示向上的面的点数是1或2或3 D． 表示向上的面的点数是1或2或3
5．已知事件A、B、C满足A B，B C，则下列说法不正确的是（ ）
A．事件A发生一定导致事件C发生
⊆ ⊆
B．事件B发生一定导致事件C发生
C．事件 发生不一定导致事件 发生
D．事件 发生不一定导致事件 发生
6．抛掷3枚质地均匀的硬币，记事件 {至少1枚正面朝上}， {至多2枚正面朝上}，事件 {没有
硬币正面朝上}，则下列正确的是（ ）
A． B．
C． D．
题型三：频率与概率
7．（2024·高三·重庆沙坪坝·期中）在一次男子羽毛球单打比赛中，运动员甲和乙进入了决赛（比赛采用3
局2胜制），假设每局比赛甲获胜的概率为0.6，现采用随机模拟方法估计甲获得冠军的概率，先由计算机
产生1~5之间的随机数，指定1，2，3表示一局比赛中甲胜，4，5表示一局比赛中乙胜､经随机模拟产生了如下20组随机数：
334 221 433 551 454 452 315 142 331 423
212 541 121 451 231 414 312 552 324 115
据此估计甲获得冠军的概率为 .
8．已知某运动员每次投篮命中的概率都为 ，现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有两次
命中的概率：先由计算器产生 到 之间取整数值的随机数，指定 、 、 、 表示命中， 、 、 、 、
9、0表示不命中，再以每三个随机数为一组，代表三次投篮的结果，经随机模拟产生了如下 组随机数：
据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为 .
9．一家药物公司试验一种新药，在500个病人中试验，其中307人有明显疗效，120人有疗效但疗效一般，
剩余的人无疗效，则没有明显疗效的频率是 ．
10．若随机事件A在n次试验中发生了m次，则当试验次数n很大时，可以用事件A发生的频率 来估计
事件A的概率，即 ．
题型四：生活中的概率
11．某地区牛患某种病的概率为0.25，且每头牛患病与否是互不影响的，今研制一种新的预防药，任选12
头牛做试验，结果这12头牛服用这种药后均未患病，则此药 (填“有效”或“无效”)．
12．有以下说法：
①昨天没有下雨，则说明“昨天气象局的天气预报降水概率为95%”是错误的；
②“彩票中奖的概率是1%”表示买100张彩票一定有1张会中奖；
③做10次抛硬币的试验，结果3次正面朝上，因此正面朝上的概率为 ；
④某厂产品的次品率为2%，但该厂的50件产品中可能有2件次品．
其中错误说法的序号是 .
13．在一个大转盘上，盘面被均匀地分成12份，分别写有1~12这12个数字，其中2，4，6，8，10，12
这6个区域对应的奖品是文具盒，而1，3，5，7，9，11这6个区域对应的奖品是随身听.游戏规则是转盘
转动后指针停在哪一格，则继续向前前进相应的格数.例如：你转动转盘停止后，指针落在4所在区域，则
还要往前前进4格，到标有8的区域，此时8区域对应的奖品就是你的，依此类推.请问：小明在玩这个游
戏时，得到的奖品是随身听的概率是 .14．某射击教练评价一名运动员时说：“你射中的概率是90%．”你认为下面两个解释中哪一个能代表教
练的观点 （填序号）．
①该射击运动员射击了100次，恰有90次击中目标；
②该射击运动员射击一次，中靶的机会是90%．
题型五：互斥事件与对立事件
15．从装有4个白球和3个红球的盒子里摸出3个球，则以下哪个选项中的事件A与事件B互斥却不互为
对立（ ）
A．事件A：3个球中至少有1个红球；事件B：3个球中至少有1个白球
B．事件A：3个球中恰有1个红球；事件B：3个球中恰有1个白球
C．事件A：3个球中至多有2个红球：事件B：3个球中至少有2个白球
D．事件A：3个球中至多有1个红球；事件B：3个球中至多有1个白球
16．从装有2个白球和2个黑球的口袋内任取两个球，那么互斥而不对立的事件（ ）
A．至少有一个黑球与都是黑球
B．至少有一个黑球与至少有一个白球
C．恰好有一个黑球与恰好有两个黑球
D．至少有一个黑球与都是白球
17．王老师从甲、乙、丙三位同学中随机抽选两位同学进行家访．事件 表示“抽中甲、乙两位同学”，
事件 表示“抽中甲、丙两位同学”，则（ ）
A． 是必然事件 B． 是不可能事件
C． 与 是互斥事件 D． 与 是对立事件
18．已知事件A，B互斥，它们都不发生的概率为 ，且 ，则 （ ）
A． B． C． D．题型六：利用互斥事件与对立事件计算概率
19．甲､乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制（当一队赢得四场胜利时，该队获胜，决赛结束）.根据前
期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”设甲队主场取胜的概率为0.7，客场取胜的概
率为0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以4：1获胜的概率为 .
20．（2024·高三·浙江·开学考试）嵊（shèng）州是历史文化名城，早在秦朝已设郡县，古称剡（shàn）县，
赡县、嵊县，古往今来无数文人墨客都醉心于嵊州的山水风景之中，李白曾梦到：湖月照我影，送我至剡
溪.杜甫有诗曰：剡溪蕴秀异，欲罢不能忘，其中万年小黄山，千年唐诗路，百年越剧是三张重要历史文化
名片，现有甲、乙两人到达高铁嵊州新昌站，前往旅游集散中心，再分赴万年小黄山、千年唐诗路之谢灵
运垂钓处、越剧诞生地打卡，已知每人都只去1个景点，且甲、乙两人前往三地打卡的概率分别是
和 ，则甲、乙打卡不相同景点的概率为 .
21．某高校的入学面试中有3道难度相当的题目，李华答对每道题目的概率都是 ，若每位面试者共有三
次机会，一旦某次答对抽到的题目，则面试通过，否则就一直抽题到第3次为止，假设对抽到的不同题目
能否答对是独立的，则李华最终通过面试的概率为 .
2
22．甲、乙两人进行投篮练习，甲投中的概率为 ，乙投中的概率为 ，甲、乙两人各投篮1次，甲、乙
3
之间互不影响，已知两人至少有一人投中，则甲投中的概率 .
23．已知事件 和事件 相互独立， 表示事件 的对立事件， ， ，则 .
24．有两颗种子，发芽率分别为0.8和0.9，则恰好有一颗发芽的概率是 ．
1．某同学参加学校组织的化学竞赛，比赛分为笔试和实验操作测试，该同学参加这两项测试的结果相互
不受影响.若该同学在笔试中结果为优秀的概率为 ，在实验操作中结果为优秀的概率为 ，则该同学在这
次测试中仅有一项测试结果为优秀的概率为（ ）
A． B． C． D．2．从甲袋中随机摸出1个球是红球的概率是 ，从乙袋中随机摸出1个球是红球的概率是 ，从两袋中有
放回的各摸两次球且每次摸出一个球，则 是（ ）
A．4个球不都是红球的概率 B．4个球都是红球的概率
C．4个球中恰有3个红球的概率 D．4个球中恰有1个红球的概率
3．（2024·辽宁·模拟预测）甲、乙二人下围棋，若甲先着子，则甲胜的概率为0.6，若乙先着子，则乙胜
的概率为0.5，若采取三局两胜制（无平局情况），第一局通过掷一枚质地均匀的硬币确定谁先着子，以
后每局由上一局负者先着子，则最终甲胜的概率为（ ）
A．0.5 B．0.6 C．0.57 D．0.575
4．有—个游戏，其规则是甲、乙、丙、丁四个人从同一地点随机地向东、南、西、北四个方向前进，每
个方向一人，事件“甲向南”与事件“乙向南”是（ ）
A．互斥但非对立事件 B．对立事件
C．非互斥事件 D．以上都不对
5．投掷一枚均匀硬币和一个均匀骰子各一次，记“硬币正面向上”为事件 ，“骰子向上的点数大于4”
为事件 ，则事件 ， 中至少有一个发生的概率是（ ）
A． B． C． D．
6．甲袋中装有 个白球， 个黑球，乙袋中装有 个白球， 个黑球 ，现从两袋中各摸一个球，
“两球同色”， “两球异色”，则 与 的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．视 ， 的大小而定
7．在如图所示的电路中，5个盒子表示保险匣，盒子中所示数值表示通电时保险丝熔断的概率，则下列结
论正确的是（ ）
A．A，B两个盒子并联后FG 段畅通的概率为
B．D，E两个盒子串联后GH 段畅通的概率为
C．C，D，E三个盒子混联后GK 段畅通的概率为
D．当开关合上时，整个电路畅通的概率大于整个电路不通的概率8．已知某地市场上供应的一种电子产品中，甲厂产品占 ，乙厂产品占 ，丙厂产品占 ，甲厂产品的合
格率是 ，乙厂产品的合格率是 ，丙厂产品的合格率是 ，则从该地市场上买到一个产品，此产
品是次品的概率是（ ）
A． B． C． D．
9．（多选题）在某次英语四级考试中，若甲、乙、丙通过考试的概率分别为 ，且 成等
比数列，三人各自是否通过这次考试相互独立，则（ ）
A．
B．甲、乙都通过这次考试的概率为0.24
C．甲、丙都不通过这次考试的概率为0.12
D．乙、丙中至少有一人通过这次考试的概率为0.96
10．（多选题）已知事件 两两互斥，若 ， ， ，则（ ）
A． B．
C． D．
11．（多选题）从装有3个红球和3个黑球的口袋内任取两个球，则下列说法正确的是（ ）
A．“至少有一个黑球”与“都是黑球”是互斥而不对立的事件
B．“至少有一个黑球”与“至少有一个红球”不是互斥事件
C．“恰好有一个黑球”与“恰好有两个黑球”是互斥而且是对立的事件
D．“至少有一个黑球”与“都是红球”是对立事件
12．在一个盒子中有2个白球，3个红球，甲､乙两人轮流从盒子中随机地取球，甲先取，乙后取､然后甲
再取，…，每次取1个，取后不放回．直到2个白球都被取出来后就停止取球，则2个白球都被乙取出的
概率为 ；将球全部取出才停止取球的概率为 ．
13．小耿与小吴参与某个答题游戏，此游戏共有5道题，小耿有3道题不会，小吴有1道题不会，小耿与
小吴分别从这5道题中任意选取1道题进行回答，且两人选题和答题互不影响，则小耿与小吴恰有1人会
答的概率为
14．某校组织羽毛球比赛，每场比赛采用五局三胜制（每局比赛没有平局，先胜三局者获胜并结束比赛），
两人第一局获胜的概率均为 ，从第二局开始，每局获胜的概率受上局比赛结果的影响，若上局获胜，则
该局获胜的概率为 ，若上局未获胜，则该局获胜的概率为 ，且一方第一局、第二局连胜的概率
为 ．则打完4场结束比赛的概率为 ．
15．下表是某种植物的种子在相同条件下发芽率试验的结果．种子个数n 100 400 900 1500 2500 4000
发芽种子个数m 92 352 818 1336 2251 3601
发芽种子频率
0.92 0.88 0.91 0.89 0.90 0.90
根据表中的数据，可估计该植物的种子发芽的概率为 （精确到0.1）．
1．（2005年普通高等学校招生考试数学（文）试题（浙江卷））从存放号码分别为1，2， ，10的卡片
的盒子中，有放回地取100次，每次取一张卡片并记下号码，统计结果如下：
卡片号码 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
取到的次
13 8 5 7 6 13 18 10 11 9
数
则取到号码为奇数的频率是（ ）
A．0.53 B．0.5 C．0.47 D．0.37
2．（2010年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷）理科数学）两个实习生每人加工一个零件．加工
为一等品的概率分别为 和 ，两个零件是否加工为一等品相互独立，则这两个零件中恰有一个一等品的
概率为
A． B． C． D．
3．（2007年普通高等学校招生考试数学（文）试题（大纲卷I））从某自动包装机包装的食盐中，随机抽
取20袋，测得各袋的质量分别为（单位：g）：
492 496 494 495 498 497 501 502 504 496
497 503 506 508 507 492 496 500 501 499
根据频率分布估计总体分布的原理，该自动包装机包装的袋装食盐质量在 之间的概率约为
．
4．（2020年天津市高考数学试卷）已知甲、乙两球落入盒子的概率分别为 和 ．假定两球是否落入盒子互不影响，则甲、乙两球都落入盒子的概率为 ；甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为
．
甲、乙两球都不落入盒子的概率为 ，
所以甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为 .
故答案为： ； .
5．（2007年普通高等学校招生考试数学（文）试题（陕西卷））某项选拔共有四轮考核，每轮设有一个
问题，能正确回答问题者进入下一轮考核，否则即被淘汰．已知某选手能正确回答第一、二、三、四轮的
问题的概率分别为 ，且各轮问题能否回答正确互不影响．
(1)求该选手进入第四轮才被淘汰的概率；
(2)求该选手至多进入第三轮考核的概率．
6．（2007年普通高等学校招生考试数学（文）试题（大纲卷Ⅱ））从某批产品中，有放回地抽取产品二
次，每次随机抽取 件，假设事件 ：“取出的 件产品中至多有 件是二等品”的概率 ．
(1)求从该批产品中任取 件是二等品的概率 ；
(2)若该批产品共有 件，从中任意抽取 件，求事件 ：“取出的2件产品中至少有一件二等品”的概
率 ．
7．（2006 年普通高等学校招生考试数学（文）试题（辽宁卷））甲、乙两班各派2名同学参加年级数学
竞赛，参赛同学成绩及格的概率都为0.6，且参赛同学的成绩相互之间没有影响．求：
(1)甲、乙两班参赛同学中各有1名同学成绩及格的概率；
(2)甲、乙两班参赛同学中至少有1名同学成绩及格的概率．
8．（2006年普通高等学校招生考试数学（文）试题（湖南卷））某安全生产监督部门对5家小型煤矿进
行安全检查（简称安检）．若安检不合格，则必须整改．若整改后经复查仍不合格，则强制关闭．设每家煤矿安检是否合格是相互独立的，且每家煤矿整改前安检合格的概率是0.5，整改后安检合格的概率是
0.8，计算（结果精确到0.01）：
(1)恰好有两家煤矿必须整改的概率；
(2)某煤矿不被关闭的概率；
(3)至少关闭一家煤矿的概率．
9．（2003 年普通高等学校招生考试数学（文）试题（天津卷））有三种产品，合格率分别为0.90，0.95
和0.95，各抽取一件进行检验．
(1)求恰有一件不合格的概率；
(2)求至少有两件不合格的概率．（精确到0.001）
