文档内容
1988年数学(三)真题解析
一、填空题
1•【答案】
2
(l)e~-. (2)单调增函数.
(3)奇函数. (4)(0,0).
(5)(— oo,0) ,(0, + X).
【解】(1)_/'(工)=e 2 .
2
(2) 因为/'&) =「〒> 0,所以于Q)在(一oo, +«=)内为单调增函数.
C~x ——/ t = —u rjc / fx /
(3) 由 f(—x) = e 2 dt----------- e 2 (―du) = — e 2 dt = — fO 得 fG)为奇函数.
Jo J 0 J 0
(4) 由 fj) = —丁 = 0 得工=0,
当z vo时f"a)>o；当工>o时f\x) 0,则(一*,0)为曲线y = /(x)的凹区间
当x e (0, +«5)时十〃 Q) < 0,则(0, +*)为曲线y = /(^)的凸区间.
]2
+o _卜2 厂―"•罷•詁专］〉如d“=再得
(6)由 lim fO = e dr ------
x-H-°° < o
曲线y = /(x)有一条水平渐近线3-
因为y =于(工)为奇函数，所以 y = /Q)的另一条水平渐近线为y =—
2.【答案】 —3.
1110 1111 1111
110 1 110 1 0 0 -10
【解】 =3 =3 = (_])r(4321) . (_3) = -3.
10 11 10 11 0—100
0 111 0 111 — 10 0 0
0 0 0 1
0 0 1 0
3 •【答案】
0 1 0 0
1 0 0 0
'0 1 0 1 O B
【解】令〃 ，则A =
1 0 1 0 B O
0 0 0 1
故 A 1 = ( ° ° 0 0 10
0 10 0
10 0 04.【答案】(1)0.3. (2)0. 5.
【解】(1)若A与B互不相容，由P(A U B) = P(A) + P(B)得P(B) = 0.3.
(2)若A与B相互独立，
由 0. 7 - P(A U B) = P(A) + P(B) — P(A)P(B) = 0. 4 + 0. 6P(B)得 P(B) = 0. 5.
二、 判断题
(1) 【答案】X.
【解】 如：/(jc ) = x (J；) = sin 丄，显然 lim/Xz) = 0 ,lim f (x )g (j： ) = 0,但 limg (z )不存在.
X j--»0 j--*0 x-*0
(2) 【答案】X.
【解】 设\x |，显然工=0为fQ)的极小值点，但/(工)在z = 0不可导.
(3) 【答案】X.
f a (i — jq = I fO Pa f a
【解】 由 fCa-x)dx =— /(z)(-dr) = = /(^)dx 得
J 0 Ja J。 J。
I /( )djt H— I f (a — a: )dx ・
J o J o
(4) 【答案】J.
【解】 由 AB = O 得 r(A) + r(B) < n ,
因为〃为非零矩阵，所以r(B) 1,故厂(A) V z?・
(5) 【答案】X.
【解】 令 A = {1,2},E = {1,3},C = {1,2,3},显然 A U B = A U C,但 A .
三、 计算题
x x — ] 1 — 1 x In x
(1)【解】 方法—— lim—：------ =lim ：------- =lim ----- = 1・
j--*i jr In x-*i j: In j? x—1 x In x
方法二 因为lim才=1,
工-*i
所以 lim x T -- — -- 1 = lim j - c - - J -- — --- - 1 - xT = - -- t --lim t - — -- -- 1 =li . m 厂 t ： — 7- -- 1 ---—= 1.
t—1 x\n x x-*i In —I In t z—i In[1 + (/ — 1)J
(2)【解】u + eu = xy两边分别对x 求偏导得
(1 + e")字=y, (l + e")|^ = z,
dx dy
x
解得
1 + e"
由鲁 朮得
c)U
l + eu -j/eu —
d2 U ______________________^y_
(l + eu)2 (1 十 eV
(1 + eu)2 — xyeu (l + eM)2-(u + ett)eM
(1 + e"：P (1 + e")3
1 + 2e" — “e"
(l + e")?
丄
(3)【解】 由 lim (乂 一 0) 2 yr(i 1 +z)= 1 且 a = * V 1 得 L dzr 收敛,
工一* o 0 \[x ( 1 + JC )
*3 ____ = 2f3 J"〉2 = 2arctan 丘 3 2 TV
于是
0 = T
0 ( 1 + z) 0 i +(/r)(4)【解】改变积分次序得
$旳F竺上■(!/ = F dz「竺三打=f cos xdx =斗.
Jo J y X Jo Jo T Jo 2
四、【解】
(” +2)! n”+l
(1)由 lim — =lim
”f8 CL „ n-*°° (” + l)"+2 5 + 1)!
[.x + 2 n”+l =丄 V 1,
=lim
(n + 1)"+1 e
得级数工 G 收敛.
”=1 "
(02) M | W + 覺),
由级数工a：和工兀都收敛得刀+仍)收敛,
” =1 ZI = 1 "=1
由正项级数的比较审敛法得级数工\anb„ |收敛，即级数》a”b”绝对收敛.
” =1 n = 1
五、【解】(1)由D(p) = S(p)得$ = bp ,
P
解得需求量与供给量平衡时的价格为P
(2) 由学=— bp)得字=学(P： - P3)‘
at \ p f dt 戸乙
变量分离得輕J = -kbdt,积分得
P — Pe
ln(p3 — pe)= — 3kbt + In C ,艮卩 p3 = + Ce~3kbt ,
由 p (0) = 1 得C = 1 — pl，
故 p(t) =[p: + (l-加)
_1_
(3) lim p (t) = lim [p： + (l — p；) e~3kbt ] 3 = pe.
l+oo l+8
六、【解】 如右图所示，
(1) 设切点坐标为(a,/),切线方程为
y — a2 = 2a (jr — a ) » 即夕=2ajc — a2 ,
令2ax — a2 = 0,得切线与x轴交点为(与~卫)，
由题意得j\2dx-y • (a-y) - a2 =寺,
解得a = 1,故切点坐标为A(l,l).
六题图
(2) 过点A(1,1)的切线方程为y = 2^-1.
(3)所求的旋转体的体积为
V = re I (2 )2 djr — re | j (2工一1 )2 d«r
Jo J y
7T fl
=------re 】(4工 $ — 4jc + 1) dr
5 JT
7T 7T 7T
7 ~6 30七、【解】
1 1 2 3 1 1 1 2 3 1 、
1 3 6 1 3 () 2 4 -2 2
3 -1 一 b\ 15 3 () -4 —k! — 6 6 0
1 -5 —10 12 -6 一 12 9 佥2 _ 1,
1 2 3 : 1
0 1 2 一 1 [ 1
，
0 0 -kx +2 2 4
0 0 0 3 ；馬 + 5,
当紅H 2,k2为任意常数时，方程组有唯一解;
"1 1 2 3 1 、
0 1 2 -1 1
当局=2时,A f
0 0 0 1 2
0 0 0 0 k2 — 1
当紅=2,k2丰1时，因为r（A）工r（A）,所以方程组无解；
当局=2,展=1时，方程组有无数组解，
10 0 0 _8、 ，0 _8、
0 12 0 3 -2 3
由A — 得方程组的一般解为X = k + (& e R).
0 0 0 1 2 1 0
.0 0 0 0 0 , 0 , 2 .
八、【解】 令怡101 +馬02 +…+匕0* = 0,
整理得（怡1 + 匕）a ] + % + 馬）。2 + …+ （匕_1 + s）as = 0,
因为s ,皿，…，a,线性无关，所以有
k ] +匕=0,
k ! + k2 = 0 ,
6_1 + ks = 0.
1 0 ••- 0 1
1 1 ••• 0 0
该方程组的系数行列式0=: =1 +(- l)s+1,
0 0 •- 1 0
0 0 ••- 1 1
当5为奇数时，因为D = 2工0,所以上述方程组只有零解，故你.02,…丿、线性无关
当s为偶数时，因为D = 0,所以上述方程组有非零解，故件，庆，…，“、线性相关.
九、【解】由|A | = y得|AT| = 2,
再由(3A)"1 -2A' = -^-A' -2\A \A^ 2
-尹得
| (3A)T — 2A *十、【解】 设A, = {箱中恰有：件残次品}(i =0,1,2),
P(A0) = 0. 8, P(Aj) = 0. 1, P(A2) = 0. 1,
令3 = {顾客买下所查看的箱},
C：9 4 , C；8 12
P(B | Ao) = 1, P(B I A】)=-r = —， PCB | A2) = .
2
(1)Q = P(B)=工 P(A,)P(B | A,) = 0. 94.
i = 0
P(A0)P(B | Ao)
(2)0 = P(A0 B) ~ 0. 85.
P(B)
十一、【解】(1)随机变量X服从重数为100,p = 0.2的二项分布，其分布律为
P{X = k} = cl00(0. 2)*(0. 8)100-'，其中 k = 0,1,2,-,100.
(2)由 X 〜B (100,0. 2)得 E(X) = np = 20,D(X) = np(A — p) = 16,
v _ 20
由拉普拉斯定理得X近似服从正态分布N(20,16),或 一近似服从标准正态分布N(0,l),于是
(14 — 20 X _20 — 30-20
P{14 W X < 30} = —-— <
4
=P I- 1. 5 < X；20 m 2. 5卜 0(2. 5)—①(一1. 5)
=0(2. 5) — 口一 ©(1. 5)] = 0. 927.
(1, 1 < ^ < 2,
十二、【解】 随机变量X的概率密度为f(x)= 卄几
〔0,其他，
随机变量Y的分布函数为F(y) - P{Y^y} = P{e2X ^y},
当 < e2 时，F(y) = 0；
当 y $ 时，F(y) = 1 ；
当 e2 < j/ < e4 时,F(y ) = P {x £ *ln y } = J： dx = -yin y _ 1,
0, 』V e?,
即 F (y) = v —In jy — 1, e2 3/ < e4 ,
、1， » $ e4 ,
故随机变量Y = e2X的概率密度为
&，e2 < 3, < e4 ,
/(y) = \L其他
