2025考研数学（一）真题试卷及解析详细版_27考研真题_考研数学一、二、三历年真题+考研数学资料（1994-2026）_考研数学真题（1987-2026）_考研数学真题（1987-2026）_数学一

2025 考研数学（一） 真题
试卷及解析
一、选择题：1～10小题，每小题5分，共50分．下列每题给出的四个选项中，只有一个选
项是符合题目要求的．
1．已知函数 f  x   x et2 sintdt ，g  x   x et2 dtsin2x，则
0 0
A．x0是 f  x 的极值点，也是g  x 的极值点．
B．x0是 f  x 的极值点， 0,0 是曲线y  g  x 的拐点．
C．x0是 f  x 的极值点， 0,0 是曲线y  f  x 的拐点．
D． 0,0 是曲线 y  f  x 的拐点， 0,0 也是曲线 y  g  x 的拐点．
【答案】B
【解析】
f(x)ex2
sinx,
f(x)2xex2 sinxex2
cosx
f(0)0, f(0)10.
x0 是 f(x) 的极值点.
g(x)ex2 sin2xsin2x x et2 dt ,
0
g(x)ex2 sin2x2xex2 sin2xsin2xex2 2cos2x x et2 dt
0
g(0)0, g(0)0, g(0)0
.
(0,0) 是 y  g(x) 的拐点.
数学试题及解析 第1页（共3页）
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2．已知级数：①sin ；②(1)n  tan ，则
n1 n2 1 n1  3 n2 3 n2 
A．①与②均条件收敛． B．①条件收敛，②绝对收敛．
C．①绝对收敛，②条件收敛． D．①与②均绝对收敛．
【答案】B
【解析】
n3  n3  n n 1
sin  sin n  sin   .
n2 1 n2 1  n2 1 n2 1 n
 1
 发散 不是绝对收敛.
n
n1
 n3   n3  n
sin (1)nsin n(1)nsin ，为交错级数.
n2 1 n2 1  n2 1
n
sin 递减，条件收敛.
n2 1
  1 1 
(1)n tan .
n1  3 n2 3 n2 
 1 1  1 1  1 
1 n  tan    o .
 3 n2 3 n2  3n2 n2 
 1   1 1 
 收敛 (1)n tan  绝对收敛
n1 n2 n1  3 n2 3 n2 
数学试题 第2页（共3页）
更多资料关注微信公众号：考研文库3．设函数 f(x)在区间 0,上可导，则
A．当 lim f

x

存在时， lim
f
x

存在．
x x
B．当 lim
f
x

存在时， lim f

x

存在．
x x
 x f  t  dt  
C．当
lim 0
存在时， lim f x 存在．
x
x x
   x f  t  dt
D．当 lim f x 存在时，
lim 0
存在．
x
x x
【答案】D
【解析】A错误，反例：
sinx2 2x2cosx2 sinx2
f(x) , lim f(x)0, 但 lim f(x) lim ,极限不存在.
x x x x x2
1
B错误，反例： f(x) x, f (x) , lim f(x)0,极限存在，但 lim f(x) 极限
2 x x x
不存在.
C错误，反例:
x
 f(t)dt
sinx
f(x)cosx,则 lim 0  lim 存在，但 lim f(x)  lim cosx不存在.
x x x x x x
x
 f(t)dt
f(x)
D正确，用 lim 0  lim A，故选D.
x x x 1
4．设函数 f(x,y)连续，则 2 dx 4 f  x,y  dy 
2 4x2
A． 4

  4y f  x,y  dx 2 f  x,y  dx 

dy ．
0  2 4y 
B． 4

  4y f  x,y  dx 2 f  x,y  dx 

dy ．
0  2 4y 
C． 4

   4y f  x,y  dx 4y f  x,y  dx 

dy ．
0  2 2 
数学试题 第3页（共3页）
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0 4y
【答案】A
【解析】由题易知，此二重积分积分区域为
 
D (x,y) 4x2 y4,2 x2 ，对应图像为上图所示。
   
记D  (x,y) 4x2 y4,2 x0 ，D  (x,y) 4x2 y4,0 x2 ，且
1 2
I= 2 dx 4 f  x,y  dy ，则I= f  x,y  d f  x,y  d，交换积分次序得
2 4x2
D D
1 2
I= 4 dy  4y f  x,y  dx  4 dy 2 f  x,y  dx
0 2 0 4y
  4   4y f  x,y  dx 2 f  x,y  dx  dy
 
0  2 4y 
故A正确。
5．二次型 f  x ,x ,x x2 2x x 2x x 的正惯性指数
1 2 3 1 1 2 1 3
A．0． B．1．
C．2． D．3．
【答案】B
【解析】
数学试题 第4页（共3页）
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 
A= 1 0 0
 
 
1 0 0
1 1 1 1 1 1 1 1 1
     
EA  1  0  0    0 1 1
     
     
 1 0    1 0    1 0  
(1)11 
(22)
(2)(1)
解得
 0, 2, 1
1 2 3
故正惯性指数为1，选B.
6．设,,, 是n维列向量，, 线性无关，,, 线性相关，且    0.
1 2 3 4 1 2 1 2 3 1 2 4
在空间直角坐标系Oxyz中，关于x,y,z的方程组x  y z  的几何图形是
1 2 3 4
A．过原点的一个平面． B．过原点的一条直线．
C．不过原点的一个平面． D．不过原点的一条直线．
【答案】D
【解析】记A,, ，由, 线性无关，,,线性相关，可得r  A 2。记
1 2 3 1 2 1 2 3
A  A   ,,, ，再由    0，则r  A  2。于是Ax  有无穷
4 1 2 3 4 1 2 4 4
多解。则x  y z  等价于,,  x, y,z T  ，即A x,y,z T  。
1 2 3 4 1 2 3 4 4
若过原点，则 0与, 线性无关矛盾，故不过原点。
4 1 2
a xa ya z a
11 12 13 14

x  y z     a 21 xa 22 ya 23 z a 24 ，由上述分析可知r  A r  A   2，故
1 2 3 4
 
 a xa ya z a
n1 n2 n3 n4
两平面交于一条直线，且不过原点。故选D。
数学试题 第5页（共3页）
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①r  ABC n r  AB r  C  ;
②r  AB n r  A r  B  ;
③r  A r  B r  C n;
④r  AB r  BC n.
其中正确结论的序号是
A．①②． B．①③．
C．②④． D．③④．
【答案】A
1 0 0 0
【解析】A  ,B   ,C  E ，满足r(A)r(B)r(C)r(ABC)2n ，则
0 0 0 1
r(A)1,r(B)1,r(C)2 ，排除结论③④，故选A.
8．设二维随机变量 X,Y 服从正态分布N  0,0;1,1;，其中1,1  .若a,b为满足
a2 b2 1的任意实数，则D  aX bY 的最大值为
A．1． B．2．
C．1 ． D．12．
【答案】C
【解析】
D(aX bY)a2DX b2DY 2ab11
a2b22ab12ab12a 1a2 f(a)
 a   a2 
f(a)2 1a2 2a  2 1a2  0
 1a2   1a2 
数学试题 第6页（共3页）
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即2 0，2a2 1a2  ,b2  ，于是a  ,b 。所以最大
1a2 2 2 2 2
值为 1||，故选C。
20
9．设X ,X ,,X 是来自总体B  1,0.1 的简单随机样本.令T X ，利用泊松分布近
1 2 20 i
i1
似表示二项分布的方法可得P  T 1 
1 2
A． ． B． ．
e2 e2
3 4
C． ． D． ．
e2 e2
【答案】C
【解析】由题意可知T ~ B(20,0.1).np 200.12
20 21 3
P{T1}P{T 0}P{T 1} e2 e2e22e2
0! 1! e2
1 n
10．设X ,X ,,X 为来自正态总体N ,2 的简单随机样本.记X  X ，Z 表示标
1 2 n n i 
i1
准正态分布的上侧分位数.假设检验问题：H ：≤1，H：1的显著性水平为的检
0 1
验的拒绝域为
 2 
A．  X，X ，，X  X 1 Z ．
 1 2 n n  
 
 2 
B．  X，X ，，X  X 1 Z ．
 1 2 n n  
 2 
C．  X，X ，，X  X 1 Z ．
1 2 n 
 n 
 
 2 
D．  X，X ，，X  X 1 Z ．
 1 2 n n  
数学试题 第7页（共3页）
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X  2
【解析】  z  X  z 1，故选D
 
/ n n
二、填空题：11～16小题，每小题5分，共30分．
xx 1
11．lim ______.
x0 lnxln(1x)
【答案】1
【解析】
exlnx 1 xlnx
lim  lim 1
x0 xlnx x0 xlnx
 1
0, 0 x ,
12.已知函数 f(x)    2 的傅里叶级数为  b sinnπx, S(x)为  b sinnπx
1 n n
 x2,  x 1 n1 n1
 2
 7
的和函数，则S   ______.
 2
1
【答案】
8
【解析】
 7  7   1 1
s   s  4 s  
 2  2  2 8 .
u
13.已知函数u(x,y,z) xy2z3,向量n(2,2,1),则 ______.
n
(1,1,1)
【答案】 1
数学试题 第8页（共3页）
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【解析】由题易知，  y2z3,  2xyz3, 3xy2z2
x y z
u u u
则在x1,y 1,z 1处有 , ,  (1,2,3)
x y z 
  2 2 1
对于向量n (2,2,1)，归一化可得n   , , 
0 3 3 3
u u u u   2 2 1 2 2  1
故    , ,  n (1,2,3)  , ,  1 2 3    1
n x y z  0 3 3 3 3 3  3
(1,1,1)
14.已知有向曲线 L 是沿抛物线 y 1x2 从点(1,0) 到点(1,0) 的一段，则曲线积分
 (ycosx)dx(2xcosy)dy  ______.
L
4
【答案】 2sin1
3
【解析】由题易知可作曲线如右图所示.
记L 是从x1到x1的直线,
0
并记曲线积I   (ycosx)dx(2xcosy)dy
L
则在L 与L所围的封闭区域可用格林公式
0
即I   (ycosx)dx(2xcosy)dy
1
L L
0
1 1x2 1 4
 21d  dx dy (1x2)dx
1 0 1 3
D
1 4
又I  (ycosx)dx(2xcosy)dy   cosxdx 2sin1,故I  2sin1
2 1 3
L
0
4 2 3
 
15.设矩阵A a 3 4 ,若方程组A2x 0与Ax 0不同解，则ab______.
 
 
b 5 7
【答案】4
数学试题 第9页（共3页）
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 
【解析】由题知，A a 3 4 ，若A2x 0与Ax 0同解，则三秩相同，即
 
 
b 5 7
 A 
r  A r  A2  r 。如果A可逆，三秩显然相同，则A2x 0与Ax 0同解，于
A2

是要想A2x 0与Ax 0不同解，即A不可逆，于是 A 0。根据行列式的倍加性质易得
4 2 3 4 2 1 4 0 1
     
A  a 3 4  a 3 1  a 1 1  4 21   ab  ，令 A 0，
     
     
b 5 7 b 5 2 b 1 2
有ab4。
5
16.设 A,B为两个随机事件，且A与B相互独立，已知P(A)2P(B),P(AB) ,则在
8
事件A,B至少有一个发生的条件下，A,B中恰有一个发生的概率为______.
4
【答案】
5
【解析】P(AB)P(AB)P(A)P(AB)P(B)P(AB)
 P(A)P(B)2P(A)P(B)
5 5
P(AB)P(A)P(B)P(AB) ，3P(B)2P2(B)
8 8
24P(B)16P2(B) 5,16P2(B)24P(B)50
(4P(B)1)(4P(B)5)0
1 1
P(B) ,P(A)
4 2
P(AB)P(AB)P(A)P(AB)P(B)P(AB)P(A)P(B)2P(A)P(B)
1 1 1 1 1
  2  
2 4 4 2 2
1
1 8 4
2
P    
5 2 5 5
8
数学试题 第10页（共3页）
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17．（本题满分10分）
1 1
计算 dx.
0 x1  x2 2x2 
17．解：
1 1 1 A BxC 
 dx    dx
0 (x1)  x22x2  0 x1 x22x2
 1 1 3 
 x
 
1 5 3 5
    dx
0 x1 x22x2 
 
1 1 1
1 1 2 3 1
 ln|1x|  ln x22x2  arctan(x1)  ln2 π.
5 10 5 0 10 1
0 0 0
18.（本题满分10分）
 x
已知函数 f  u  在区间  0，  内具有2阶导数，记g  x,y   f



,若g  x,y  满足
 y
2g 2g 2g g 2
x2 xy  y2 1,且g(x,y)1,  ,求 f(u).
x2 xy y2 x
x,x
x
解：
x g 1 g  x 
令u  ,则  f  u  ,  f  u    
y x y y  y2 
 x g 1 2
又g  x,x  f   x    f  1 1， x (x,x)  f 1  x  x ,故f 1 2
数学试题 第11页（共3页）
更多资料关注微信公众号：考研文库2g  1 1 1
  f u    f u  ......(1)
x2  y y y2
2g  x  1  1  x 1
 f u      f u      f u  f u  ..(2)
xy  y2  y  y2  y3 y2
2g  x  x  2x x2 2x
 f u      f u     f u  f u  ...(3)
y2  y2  y  y2  y4 y3
2g 2g 2g
将（1）（2）（3）代入x2 xy  y2 1化简得：
x2 xy y2
u2f u uf u 1，即 f u  1 f u  1 。
u2 u2
1 1
令p f u 则p p
u u2
1 du  1 1 du  1  1  ln u C
p e u   e u duC   duC   
 u2  u  u  u u
又 p C  2，故 lnu 2
u1 p  
u u
f lnu 2 lnu 2 1
因此，   ，积分得 f  u     du  ln2u2lnuC ，
u u u  u u 2
1
又 f  1 C 1，故 f  u  ln2u2lnu1。
2
19.（本题满分10分）
设函数 f  x 在区间 a,b 内可导.证明导函数 f x 在 a,b 内严格单调增加的充分必要条
f

x

f

x

f

x

f

x

件是:对 a,b 内任意的x ,x ,x ,当x  x  x 时 2 1  3 2 .
1 2 3 1 2 3 x x x x
2 1 3 2
解：
充分性：若对(a,b)内任意的x ,x ,x ，当x  x  x 时，都有
1 2 3 1 2 3
f

x

f

x

f

x

f

x

2 1  3 2
x x x x
2 1 3 2
数学试题 第12页（共3页）
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则在 1 2 3 4 5
f

x

f

x

f

x

f

x

f

x

f

x

f

x

f

x

2 1  3 2  4 3  5 4
x x x x x x x x
2 1 3 2 4 3 5 4
f  x  f  x  f  x  f  x  x  x，得
在 2 1  3 2 两边同时令 2 1
x x x x
2 1 3 2
f  x  f  x  x  x ，得 f  x  f  x 
f  x  3 1 ，两边同时令 2 3 3 1  f  x  ，即
 1 x x x x  3
3 1 3 1
f

x

f

x

f

x

f

x

f  x  3 1  f   x  ，同理可得 f  x  3 1  f   x  .因为
 1 x x  3  3 x x  5
3 1 3 1
f  x  f  x  f  x  f  x  f  x  f  x  .由x ,x 的任意性，可得 f x 在
3 1  5 3 ，所以  1  5 1 5
x x x x
3 1 5 3
 
a,b 内严格单调递增，充分性得证。
f
x

单调递增，在

x ,x

,

x ,x

上分别使用拉格朗日中值定理，
再证必要性，即已知 1 2 2 3
知存在 x ,x  ,  x ,x  ，使
1 1 2 2 2 3
f

x

f

x

f

x

f

x

f 2 1 ， f 3 2 ，
1 x x 2 x x
2 1 3 2
f x  单调递增，且  知， f f ，即
又由 1 2 1 2
，必要性得证。
f

x

f

x

f

x

f

x

2 1  3 2
x x x x
2 1 3 2
综上所述，充要条件得证。
数学试题 第13页（共3页）
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xt,
x0,   
设Σ 是由直线 绕直线y t, t为参数 旋转一周得到的曲面，Σ 是Σ 介于平面
y 0

1
z t
x yz 0与平面x yz 1之间部分的外侧，计算曲面侧积分
I  xdydz(y1)dzdx(z2)dxdy.
Σ
1
xt
x0 
解：由题意可知直线  , 记为 l ；y t , 记为 l ，则直线l 绕直线l 旋转所得曲
y 0 1

2 1 2
z t
面  为 (xt)2(yt)2(zt)2 3t2 。已知  是  介于平面 x yz 0 和平面
1
x yz 1之间的外侧，则补面 :x yz 1，方向指向外侧。则 与 所围为封闭
0 0 1
区域，则由高斯公式可知
I   xdydz(y1)dzdx(z2)dxdy
1
 
0 1
2
1  2   2  2
 (111)dv3dv3 π    π (注：为圆锥体) 。
   
3 2 2 4
   
 
记D 为 在xoy面上的投影，D  (x,y∣)0x y1,x0,y 0 
xy 0 xy
又I  xdydz(y1)dzdx(z2)dxdy
2

0
 xdxdy(y1)dxdy(3x y)dxdy
D
xy
1
 2dxdy2 111
2
D
xy
数学试题 第14页（共3页）
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故I  I I  π1.
1 2 4
21.（本题满分10分）
 0 1 2
 
设矩阵A1 0 2,已知1是A的特征多项式的重根.
 
 1 1 a
(1)求a的值；
（2）求所有满足A,A22的非零列向量，.
解：（1） f()| AE |(1)[(a)(1)4]
可得(1a)(11)40, a3
 0 1 2
 
（2）由（1）可知A 1 0 2 ,|AE |0,得 A中   1，
  1 2 3
 
 1 1 3
Aα α β.A2α=α+2β (A-E)α β,  A2 -E  α= 2β = 2(A-E)α
 AE 2 α0,其中（AE）2=0 ,故 α为任意的非零向量， α  a ,a ,a T ,aa a 0
1 2 3 1 2 3
1 1 2a  2a a a 
1 3 1 2
    
 β (AE)α 1 1 2 a  2a  a  a
  2  3 1 2
    
 1 1 2a  2a a a 
3 3 1 2
其中a a  2a
1 2 3
a  2a a a 
1 3 1 2
   
则综上α  a ,β  2a a a ,  aa a  0,a a  2a 
 2  3 1 2 1 2 3 1 2 3
   
a  2a a a 
3 3 1 2
22．（本题满分12分）
数学试题 第15页（共3页）
更多资料关注微信公众号：考研文库投保人的损失事件发生时，保险公司的赔付额Y 与投保人的损失额 X 的关系为
0,X 100,
Y  设定损事件发生时，投保人的损失额 X 的概率密度为
x100,X 100.
 21002
 ,x0,
f(x)(100x)3

0,x0.
（1）求P{Y 0}及EY .
（2）这种损失事件在一年内发生的次数记为N ，保险公司在一年内就这种损失事件产生的
 
理赔次数记为M ，假设N 服从参数为8的泊松分布，在N n n1 的条件下，M 服从二
项分布B(n,p)，其中 p  P{Y 0}，求M 的概率分布.
解：
(1) P{Y >0}= P{X -100>0}= P{X
>100}=ò+¥ 2´1002
dx =
1
100 (100+x)3 4
EY
=ò+¥
(x-100)
2´1002
dx =50
100 (100+x)3
(2)
 1
N ~ P(8) {M∣N n}~ Bn, 
 4

P{M m} P{N n}P{M m∣N n)
nm
 8n 1 m 3 nm
  e8Cm
 

 
n! n 4 4
nm
 8n n! 1  m 3 nm
  e8
 

 
n! m!(nm)!4 4
nm
1 m 8m  8nm 3 nm

 
e8  
 
4 m! (nm)! 4
nm
1 m 8m  6nm 2m

 
e8   e2
4 m! (nm)! m!
nm
数学试题 第16页（共3页）
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