2025考研数学（三）真题及答案解析详细版_27考研真题_考研数学一、二、三历年真题+考研数学资料（1994-2026）_考研数学真题（1987-2026）_考研数学真题（1987-2026）_数学三

2025考研数学（三） 真题
一、选择题：1～10小题，每小题5分，共50分．下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目
要求的．
1.在x 0 时，下列无穷小量中与x等价的是
ln  1x 
A.e-sinx 1. B. x1cosx . C.1cos 2x . D.1 .
x
1．【答案】C
【解析】
esinx 1~ sin x~ x A不对.
1
x1cosx ~ x B 不对.
2
1
1cos 2x ~ ( 2)2  x C对.
2
x
x2
o
 x2
ln(1x)
2
1 1
x x
x
 o(x) D不对.
2
2.已知函数 f  x   x et2 sintdt ，g  x   x et2 dtsin2x，则
0 0
A．x0是 f  x 的极值点，也是g  x 的极值点．
B．x0是 f  x 的极值点， 0,0 是曲线y  g  x 的拐点．
C．x0是 f  x 的极值点， 0,0 是曲线y  f  x 的拐点．
D． 0,0 是曲线 y  f  x 的拐点， 0,0 也是曲线 y  g  x 的拐点．
【答案】B
【解析】
f(x)ex2
sinx,
f(x)2xex2 sinxex2
cosx
f(0)0, f(0)10.
x0 是 f(x) 的极值点.
g(x)ex2 sin2xsin2x x et2 dt ,
0
数学试题及解析 第1页（共3页）
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0
g(0)0, g(0)0, g(0)0
.
(0,0) 是 y  g(x) 的拐点.
 n 1  k 
3.已知k为常数，则级数1 

ln1

n  n2 
n1
A.绝对收敛. B.条件收敛. C.发散. D.敛散性与k的取值有关.
3．【答案】B
【解析】
 1
当 k 0 时, (1)n 条件收敛
n
n1
 1   k 
当 k 0时，原级数为 (1)n (1)nln1 
n  n2 
n1 n1
为条件收敛 十 绝对收敛
故原级数条件收敛
4.设函数 f  x 连续， 1 dy y f  x  dx 
0 0
A. 1 xf  x  dx. B. 1 x1  f  x  dx .
0 0
C. 1 x1  f  x  dx. D. 1 1x  f  x  dx.
0 0
4．【答案】D
【解析】
1 y
 dy f (x)dx
0 0
1
1 y y 1
   f(x)dxdy y f(x)dx  y f(x)dy
0 0 0 0
0
1 1
  f(x)dx yf(y)dy
0 0
1 1 1
  f(x)dx xf(x)dx   (1x)f (x)dx
0 0 0
5.A是mn矩阵，是m维非零列向量，若A有k阶非零子式，则
A. 当k m时，Ax 有解. B. 当k m时，Ax 无解.
C. 当k m时，Ax 有解. D. 当k m时，Ax 无解.
数学试题 第2页（共3页）
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【解析】
r(A)k
若k m. 则r(A)m r(A,B)m
故r(A)r(A,)m,则Ax 有解
6. 设A为3阶矩阵，则“A3 A2”可对角化是“A可对角化”的（ ）
A. 充分但不必要条件
B. 必要但不充分条件
C. 充分必要条件
D. 既不充分也不必要条件
6．【答案】B
【解析】
令 f(A) A3 A2,
若A可对角化，则A中有n个线性无关的特征向量，故 f(A)有n个线性无关的特征向量，故 f(A)可
0 0 1
 
对角化；若 f(A)可对角化，取A 0 0 0 , f(A) 可对角化，A不可对角化.综上为必要不充分条件，
 
 
0 0 0
选B。
 1 2  1 0
7. 设矩阵A  ，B  ，若 f  x,y  xA yB 是正定二次型，则a的取值范围是（ ）
2 a 1 a
 
A. 0,2 3
 
B. 2 3,2 3
 
C. 2 3,4
 
D. 0,4
7．【答案】B
【解析】
4a 1x
f(x,y)a  x2y2   2xy4x2 (4a)x2ay22xy (x,y)
  
 1 a y
数学试题 第3页（共3页）
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  a4
4a 1  ，得a(2 3,2 3).选B
 0 2 3  a2 3
 1 a
8. 设随机变量X 服从正态分布N 1,1 ，Y 服从正态分布N  1,2 ，若X 与X 2Y 不相关，则X 与X Y
的相关系数为（ ）
1
A.
3
1
B.
2
2
C.
3
3
D.
4
8．【答案】D
【解析】
Cov(X,X 2Y) Cov(X,X)2Cov(X,Y) 0
 DX 2Cov(X,Y)0
1 1
Cov(X,Y)  DX 
2 2
1 3
Cov(X,X Y) Cov(X,X)Cov(X,Y) DX Cov(X,Y) 1 
2 2
 1
D(X Y)DX DY 2Cov(X,Y)122   4
 2
3
3
2
DX 1   
X,XY 21 4
.
20
9. 设X ,X ,,X 是来自总体B  1,0.1 的简单随机样本.令T X ，利用泊松分布近似表示二项分布
1 2 20 i
i1
的方法可得P  T 1 
1 2
A． ． B． ．
e2 e2
3 4
C． ． D． ．
e2 e2
9．【答案】C
数学试题 第4页（共3页）
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由题意。可知 T ~ B(20.0.1),np 200.12
p{T1} p{T 0}{T 1}
20 21 3
 e2 e2 e2 2e2 
0! 1! e2
10. 设总体 X 的分布函数为F  x ，x ,x ,,x 为来自总体 X 的简单随机样本，样本的经验分布函数为
1 2 n
F  x ，对于给定的X  0 F  x 1  ，D  F  x  （ ）
n n
A. F  x  1F  x 
  2
B. F x
1
C. F  x  1F  x 
n
1   2
D. F x
n
10．【答案】C
【解析】
F (x)为样本中  xx  发的概率。
A i
1 x  x
I (x) i . Z (x)~ B[1.F(x)]
i 0 x  x i
i
1 n 1 n  1 1
F (x) I (x) D  F (x) D  Z (x)  nDZ (x) F(x)[1F(x)]
n n i n n i  n2 i n
i1 i1
二、填空题：11～16小题，每小题5分，共30分．
1 3x
11.设g  x 是函数 f  x  ln 的反函数，则曲线 y  g  x 的渐近线方程为______.
2 3x
【答案】 y 3
【解析】
1 3+x 3+x
y= ln Þ2y=ln
2 3- x 3- x
令 3+x 6
Þe2y = = -1
3- x 3- x
6
Þx =3-
e2y +1
数学试题 第5页（共3页）
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（g x) =3- ，lim（g x) =3.lim g（x) = -3.
e2y +1 x x
故 y = g（x)渐进线方程为 y 3
 a
12．设 dx ln2，则a ______.
1 x  2xa 
【答案】 2
1 2  x
【解析】   dx ln   ln2,解得a 2.
1  x 2xa 2xa 1
13．微分方程xy'  yx2ex  0满足条件 y  1 e的解为y ______.
【答案】 y = -xex
【解析】
y
xy - y +x2ex = 0Þ y - = -xex
x
1 1
Þ y = e x dx [òe - x dx (-xex)dx+C)
= -x(ex +C)
代入 y(1) = -e,得C =0
故解y = -xex
14．已知函数z  z  x,y 由zlnz x xex2 dt 1确定，则
2z
______.
y x2
1,1
1
【答案】 e2
8
z
 x et2 dtxex2
e1
【解析】 |  y |  ,
x (1,1,1) 1 (1,1,1) 2
1
z
 2ex2 xex2 (2x)  (1 1 ) 1 ( x et2 dtxex2 ) z
2z |    z z2 y x |
2x (1,1,1) 1 (1,1,1)
(1 )2
z
e1
e1
e2
2
  .
4 8
数学试题 第6页（共3页）
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2x 3 4x 2 5x1 2 4x 3
15．已知 f  x  ，g  x  ，则方程 f  x  g  x 的不
2x1 2 2x1 1 0 1 2x1 2
2x 4 4x 2 2x 2 4x 4
同的根的个数为______.
【答案】 2
2x1 2x1 1
1
【解析】 f(x) 2x 4x 2 0，g(x) x(8x2)0 ,可得两个根x  ,x 0.
1 4 2
0 0 0
16．设 A, B ,C 为三个随机事件，且 A与 B 相互独立， B 与C 相互独立， A与C 互不相容，已知
1 1
P  A P  C  ，P  B  ，则在事件A,B,C至少有一个发生的事件下，A,B,C中恰有一个发生的
4 2
概率为______.
1
【答案】
3
【解析】
P(ABC)P(A)P(B)P(C)P(AB)P(BC)
1 1 1 1 1 3
 p(A) p(B) p(c) p(A)p(B) p(D)p(c)      
4 2 4 8 8 4
P(ABC) p(ABC)P(ABC) P(AB) p(BC)
1
 P(A)P(B)P(B)P(C)
4
1
1
4
P  
3 3
4
三、解答题：17～22小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
1 1
17．（本题满分10分）计算  0 x1  x2 2x2  dx.
17．解：
1 1 1 A BxC 
 dx    dx
0 (x1)  x22x2  0 x1 x22x2
数学试题 第7页（共3页）
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 x
 
1 5 3 5
    dx
0 x1 x22x2 
 
1 1 1
1 1 2 3 1
 ln|1x|  ln x22x2  arctan(x1)  ln2 π.
5 10 5 0 10 1
0 0 0
18．（本题满分12分）
xf  x e2sinx 1
设函数 f  x  在x 0处连续,且lim 3.
x0 ln  1x ln  1x 
证明： f

x

在x 0处可导,并求
f
0

.
18 解：
已知ln(1x)ln(1x) x 1 x2o  x2 x 1 x2o  x2  x2o  x2 
2 2
e2sinx 12sinx 1 (2sinx)2 o  x2  12sinx2sin2 xo  x2 
2
xf(x)e2sinx 1 xf(x)  12sinx2sin2xo  x2 1
因此，3lim lim
x0 x2 x0 x2
xf(x)2sinx 2sin2 x
lim lim
x0 x2 x0 x2
xf(x)2  x 1 x3o  x3

xf(x)2sinx  6 
可以得出lim 5，lim 5 ,
x0 x2 x0 x2
xf(x)2x f(x)2
进一步可以得出lim 5,以及lim 5,
x0 x2 x0 x
f(x)2
lim[f(x)2]0，可得lim f(x)2 f(0)，故 f(0)lim 5。
x0 x0 x0 x
19.（本题满分12分）已知平面有界区域D {(x,y) y2  x,x2  y}，计算二重积分 (x y1)2dxdy .
D
解：
(x y1)2dxdy  (x y)2 2(x y)1  dxdy
D D
数学试题 第8页（共3页）
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(x y)dxdy (yx)dxdy 0.
D D
x
1 x 11
(x y)2dxdy  dx (x y)2dy  (yx)3 dx
0 x2 0 3
D x2
 1  1 f  ( xx)3  x2x 3 dx 1  1  1
3 0
 
3 70 210
2 1 1
1dxdy = 1 dx x dy = 1 x - x2dx = - =
0 x2 0 3 3 3
D
1 1 71
则原积分= + =
210 3 210
20．（本题满分12分）
设函数 f

x

在区间

a,b

内可导.证明导函数
f
x

在

a,b

内严格单调增加的充分必要条件是:对

a,b

内
f

x

f

x

f

x

f

x

任意的x ,x ,x ,当x  x  x 时 2 1  3 2 .
1 2 3 1 2 3 x x x x
2 1 3 2
解：
充分性：若对(a,b)内任意的x ,x ,x ，当x  x  x 时，都有
1 2 3 1 2 3
f

x

f

x

f

x

f

x

2 1  3 2
x x x x
2 1 3 2
则在(a,b)内取任意的x  x  x  x  x ，有
1 2 3 4 5
f

x

f

x

f

x

f

x

f

x

f

x

f

x

f

x

2 1  3 2  4 3  5 4
x x x x x x x x
2 1 3 2 4 3 5 4
f

x

f

x

f

x

f

x

在 2 1  3 2 两边同时令x  x，得
x x x x 2 1
2 1 3 2
数学试题 第9页（共3页）
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
x

f

x

f

x

f

x

f  x  3 1 ，两边同时令x  x ，得 3 1  f  x  ，即
 1 x x 2 3 x x  3
3 1 3 1
f

x

f

x

f

x

f

x

f  x  3 1  f   x  ，同理可得 f  x  3 1  f   x  .因为
 1 x x  3  3 x x  5
3 1 3 1
f

x

f

x

f

x

f

x

3 1  5 3 ，所以 f  x  f  x  .由x ,x 的任意性，可得 f x  在  a,b  内严格
x x x x  1  5 1 5
3 1 5 3
单调递增，充分性得证。
再证必要性，即已知
f
x

单调递增，在

x ,x

,

x ,x

上分别使用拉格朗日中值定理，知存在
1 2 2 3
 x ,x  ,  x ,x  ，使
1 1 2 2 2 3
f

x

f

x

f

x

f

x

f 2 1 ， f 3 2 ，
1 x x 2 x x
2 1 3 2
又由 f x  单调递增，且  知， f f ，即
1 2 1 2
f

x

f

x

f

x

f

x

2 1  3 2 ，必要性得证。
x x x x
2 1 3 2
综上所述，充要条件得证。
 1 1 3 0 1
 
21．（本题满分12分）设矩阵A= 1 0 2 a 1 的秩为2.
 
  1 1 a 2 3  
（1）求a的值；
（2）求A的列向量组的一个极大线性无关组,，并求矩阵H ，使得A=GH ，其中G (,).
21. 解：
 1 1 3 0 1 1 1 3 0 1
   
（1）因为r(A)2,A 1 0 2 a 1  0 1 1 a 2 ，故a 1时.
   
   
 1 1 a 2 3  0 0 a 1 2a 2 0 
1 1 3 0 1
 
（2）由（1）可知，A 0 1 1 1 2 ，令A(,,,,)，
  1 2 3 4 5
 
0 0 0 0 0 
则, 为A的列向量组的一个极大线性无关组，, 且 2, ，
1 2 1 2 3 1 2 4 1 2
1 0 2 1 1
  2 ，由AGH ，解得H   .
5 1 2 0 1 1 1 2
数学试题 第10页（共3页）
更多资料关注微信公众号：考研文库22．（本题满分 12 分）投保人的损失事件发生时，保险公司的赔付额Y 与投保人的损失额 X 的关系为
 21002
0,X 100,  ,x0,
Y  设损失事件发生时，投保人的损失额X 的概率密度为 f(x)(100x)3
x100,X 100.

0,x0.
（1）求P{Y 0}及EY .
（2）这种损失事件在一年内发生的次数记为N ，保险公司在一年内就这种损失事件产生的理赔次数记为
M ，假设 N 服从参数为8的泊松分布，在 N n  n1  的条件下，M 服从二项分布 B(n,p) ，其中
p  P{Y 0}，求M 的概率分布.
解：
(1) P{Y >0}= P{X -100>0}= P{X
>100}=ò+¥ 2´1002
dx =
1
100 (100+x)3 4
EY
=ò+¥
(x-100)
2´1002
dx =50
100 (100+x)3
(2)
 1
N ~ P(8) {M∣N n}~ Bn, 
 4

P{M m} P{N n}P{M m∣N n)
nm
 8n 1 m 3 nm
  e8Cm
 

 
n! n 4 4
nm
 8n n! 1  m 3 nm
  e8
 

 
n! m!(nm)!4 4
nm
1 m 8m  8nm 3 nm

 
e8  
 
4 m! (nm)! 4
nm
1 m 8m  6nm 2m

 
e8   e2
4 m! (nm)! m!
nm
数学试题 第11页（共3页）
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