第十六届华罗庚金杯决赛试题A（小学高年级组）答案1_奥数专题合集_H003小学奥数培训班课程+习题_华罗庚_小高

“华杯赛”官方网站 www.huabeisai.com.cn 第十六届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题A参考答案（小学组） 第十六届华罗庚金杯少年数学邀请赛 决赛试题 A参考答案（小学组） 一、 填空题 (每小题 10 分，共 80 分) 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 23 8000 答案 18 . 70 45 12 2.094 5 10 24 3 二、解答下列各题 (每题 10 分，共 40 分, 要求写出简要过程) 9. 答案: 2011 平方厘米. 解答. 连接FD的直线与AE的延长线相交于H. 则 △DFG 绕点D逆时针旋转 180o与△DHE 重合, DF=DH, S  S . AFD ADH 梯形 AEGF 的面积 =△AFH的面积=2×△AFD的面积 =长方形ABCD的面积 =2011（平方厘米）. 10. 答案：13 种可能. 解答. 分几种情形考虑. 第一种情形: 线路号的数字中没有荧光管坏了. 只有 351 一个可能线路号. 第二种情形: 线路号的数字中有1 支荧光管坏了. 坏在第一位数字上, 可能的数字为9, 线路号可能是951; 坏在第二位数字上, 可能的数字为6,9, 线路号可能是361, 391; 坏在第三位数字上, 可能的数字为 7, 线路号可能是357. 第三种情形: 线路号的数字中有2 支荧光管坏了. 都坏在第一位数字上, 可能的数字为8, 线路号可能是851; 都坏在第二位数字上, 可能的数字为8, 线路号可能是381; “华杯赛”组委会办公室 咨询电话：4006500888“华杯赛”官方网站 www.huabeisai.com.cn 第十六届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题A参考答案（小学组） 都坏在第三位数字上, 可能的数字为4, 线路号可能是354; 坏在第一、二位数字上, 第一位数字可能的数字为 9，第二位数字可能的 数字为6，9, 线路号可能是961， 991; 坏在第一、三位数字上, 第一位数字可能的数字为 9，第三位数字可能的 数字为7, 线路号可能是957; 坏在第二、三位数字上,第二位数字可能的数字为 6，9, 第三位数字可能 的数字为 7，线路号可能是367, 397. 所以可能的线路号有13 个: 351,354,357,361,367,381,391,397,851,951,957,961,991. 11. 答案: 3, 5. 解答. 设这个月的第一个星期日是 a 日（1a7）, 则这个月内星期日的日期 是7ka, k 是自然数, 7ka31. 要求有三个奇数. 当 a=1 时, 要使7k+1是奇数, k 为偶数, 即k 可取 0, 2, 4 三个值, 此时, 7ka7k1 分别为 1, 15, 29, 这时20 号是星期五. 当a=2时, 要使7k+2是奇数, k为奇数, 即k可取1, 3两个值, 7k+2不可能有 三个奇数. 当 a=3 时, 要使7k+3是奇数, k 为偶数, 即 k 可取 0, 2, 4 三个值, 此时 7ka7k3 分别为 3, 17, 31, 这时20 号是星期三. 当4a7时, 7ka不可能有三个奇数. 12. 答案: 253. 解：令m15k, k 是自然数, 首先考虑满足下式的最大的m, “华杯赛”组委会办公室 咨询电话：4006500888“华杯赛”官方网站 www.huabeisai.com.cn 第十六届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题A参考答案（小学组）  1   2   3  m1 m      2011.           15 15 15  15  15 于是  1   2   3  m1 m               15 15 15  15  15 015115215(k 1)15k 15k(k 1) 15k2 13k  k   2011. 2 2 因此 15k2 13k 4022. 又 15172131741144022, 15162131636324022, 得知 k 最大可以取16. 当k 16时, m=240. 注意到这时 15k2 13k 3632 2011 2011 19516123. 2 2 注意到  1   2  16151 1615            15 15  15   15  16151 16152 161512 161513              15   15   15   15  18161613 2024 2011 而  1   2   3  161512    18161612 2008 2011.         15 15 15  15  “华杯赛”组委会办公室 咨询电话：4006500888“华杯赛”官方网站 www.huabeisai.com.cn 第十六届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题A参考答案（小学组） 所以 253 是满足题目要求的n 的最小值. 三、解答下列各题 (每小题 15 分，共 30 分，要求写出详细过程) 13. 答案: 312 解答. 由于2+0+1+1=4 且 0+1+2+3+4+6+7+8+9=40, 4≡40(mod 9), 所以, 九个 不同的汉字代表的数字：0, 1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9. 易知：40-4=36, 36÷9=4（次）, 说明此算式共发生四次进位. “4=2+2=1+1+2=1+2+1” 显然：①华=1, “4=2+2”无解 ②华=1, “4=1+1+2”有解 A:28+937+1046=2011, 可组成算式36 种（6×6×1=36） B：69+738+1204=2011, 可组成算式48 种（6×4×2=48） C：79+628+1304=2011, 可组成算式48种（6×4×2=48） ③华=1, “4=1+2+1”有解 A：46+872+1093=2011, 可组成算式36 种（6×6×1=36） B：98+673+1240=2011, 可组成算式72 种（6×6×2=72） C：97+684+1230=2011, 可组成算式72 种（6×6×2=72） 总计：72×3+96=216+96=312（种）. 14. 解答. 如左下图, 设 M, N, P 分别为棱 GC, GF, GH 的中点, M', N', P' 分别为棱 AE, AD, AB 的中点, O为正方体的中心(长方形 BDHF 的中心). “华杯赛”组委会办公室 咨询电话：4006500888“华杯赛”官方网站 www.huabeisai.com.cn 第十六届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题A参考答案（小学组） (1) 第一只蜘蛛甲可以把爬虫控制在右上图所示的范围内. 首先蜘蛛甲做与爬虫关于点O的对称方向的移动, 不妨设爬虫由G沿棱GC 向点M移动, 蜘蛛甲由A沿棱AE向点M'移动, 爬虫被限制在GM上. 当爬虫到 达点 M 时, 蜘蛛甲也同时到达点M'. 然后蜘蛛甲改变策略, 做与爬虫关于平面 BDHF 对称的方向移动. a) 当爬虫到达点B, D, F, H 时, 蜘蛛甲捉住爬虫. b) 当爬虫未到达点B, D, F, H 时, 爬虫被控制在左上图所示的范围内. (2) 蜘蛛乙先移动到点 G, 由于右上图无环路, 蜘蛛乙可以跟在爬虫后面, 总可 以捉住爬虫. “华杯赛”组委会办公室 咨询电话：4006500888