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1989年数学（三）真题解析
一、填空题
（1）【答案】y = t + 1.
【解】/ = 1 + sin 2z （守）=1,
所求的切线方程为y — 1 = x ，即夕=工+ 1・
（2）【答案】 E— 1,1)・
【解】 由lim 5+1 _ lim仏王I = 1得收敛半径为R = I.
”f 8 ”f°° 丿” + 2
当工= -1时,级数工 收敛;当乂 = 1时,级数工 J—发散，故收敛域为[—1,1）.
n = 0 Vn + 1 ”=。
（3）【答案】 A H 1.
/A 1 X 1 1
4
【解】 令A = A 1 h 1 A | = 1 A 1 =(入一I)',
I J
1 1 1 1
因为齐次线性方程组只有零解•所以r(A) = 3,即 | A | 工 0,故入 Hl.
1
（4）【答案】 1; !"・
【解】 由 F （守 一0）= F&） = F& + 0）得 A = 1,
（5）【答案】 *.
【解】P{| X-“ |$3刃£罟
二、选择题
（1） 【答案】（B）.
2J 4- — 2
【解】 方法一 因为lim---------------- = lim（2J In 2 + In 3） = In 6 ,所以/ （工）是z的同阶但非等价的
x -*0 JC x-*0
无穷小，应选（B）.
方法二 由 2"十3" — 2 = （eJ ln 2 — 1） + （e^ln 3 — 1）〜j: In 2 + j? In 3 = j- In 6 得/"（工）与 >r 为同阶而非
等价的无穷小，应选（B）.
（2） 【答案】（C）.
【解】 由 — F（jc） + C 得 / （x ） d j; = [F（_r）+C]' = /（）,
应选（C）.
（3） 【答案】（C）.
【解】由| A | = 0得r（A） fd -2n)e~(x_2n)d(«z — 2n)
=e"”f 心)e-q =广(g_£ + l).
(4)S = $S” = ("T - y + T) Se_2n
IJ e )1 — e~2 e+ T
Cx —(2)/(j7)—I /( / )dz
六、【证明]F'(w) =-----------------------=----------,
Cx — aY
由积分中值定理得
J = (x — a)/(c),其中 qWcWz,
(j; — a)/(jr) —j /(Z)dz = (jr —a)[/(jr ) — /(c)] = (z — q ) (h — c )厂(g),其中 c V W V 工
因为厂(工)WO,所以当工 6 (a,b)时，F'Q) = 0.一 Q)(h w 0.
(工— a)2
七、【解】 由 X = AX+ B 得(E — A)X = B,解得 X =(E -A) B,
1 _ 1 0
E-A= 1 0 I
1 0 2
(1 -1 0 1 0 °\ /I _ 1 0 1 0 °\
0 -1 0 1 一 0 1 -1 -1 1
0 2 0 0 0 3 0 -1
2 1
1 0 0 0 —
3 T
- 2 1
0 1 0 —1 —
3 T
1 1
0 0 1 0-------
3
0 2 1
丄
得(E - A)-1 -3 2 1
I
' 0 _ 1 1
故X
八、【解】 令A = (a j ,a > .a3),
(1)向量组aj ,a2 ,a3线性无关的充分必要条件是方程组AX = 0只有零解，
而AX = 0只有零解的充分必要条件是| A |工0,
1 I 1
又丨A | = 1 2 3 t — 5»
1 3 t故当t工5时，向量组a | .a2 ,a3线性无关.
(2) 向量组线性相关的充分必要条件是方程组AX = 0有非零解,
而方程组AX = 0有非零解的充分必要条件是| A | = 0,
故向量组«!，«2 ,«3线性相关的充分必要条件是t = 5.
(3) 令■2'|5+工25 = a i ,
/I 1 1 1 0 -1\
由1 2 3 0 1 2 得
'1 3 5' '0 0 0 ;
方程组 ]a] + x2a2 = a3 的解为 g = —1,乂2 = 2,故心=\ + 2a,.
入 + 1 — 2 — 2
九、【解】(1)由| AE - A | = -2 A + 1 2 =(入+5)(入一1严=0得
-2 2 A + 1
A的特征值为入1 = —5,入2 =入3 = 1.
(2)A_1的特征值为入1=----，入2=入3 = 1，
□
1 4
则 E + A 1 的特征值为 “1 = 1------ = — 9^2 =〃3 = 2.
十、【解】
rr ” Cy f+°°
(1)P{XVY}= dy\ e~x dx = e^(l-e^)dj/
°+°° 1 1
e~2ydC2y) = r(i)- —r(i)=—.
o 2 2
f+8 f 4-00 ff 4-00
(2)E(XY) = dx xyf(x ,y)dy = 工厂工吐 ye~ydy = T2(2) = 1.
J —OO J —oo J o Jo
十一、【解】X的概率密度为
2 3的次数，则Y〜B(3,p),
由 p = P{X > 3} =| /(x )dj- = -得 Y 〜B(3,彳)，
故 P{Y^2} = P{Y=2} +P{Y=3} = &(#) 2 (*) + &(#) 3 =
