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1987年数学（二）真题解析
一、填空题
a
（1）【答案】
1 ax (1 + ax)2
a ・(—a ) _ a2
【解】“=二£—
1十ax (1 ~h ax)2 (1 ~h ad：)2
(2)【答案】 y = —j: + ----------； y = — 2a: + — + 2.
【解】y(l) = +，“ = 1 2' “ ⑴=4"，
4 1 十 £ /
切线方程为y —— = *(工一1),艮卩y = +------；
法线方程为夕—= —2（工一1）,即，=—2工+于+ 2.
（3）【答案】fS 在匕"］上连续；在［a,b］上至少存在一点&使得/（^）dz = —
J a
【解】 积分中值定理的条件是：/'（工）在［a』］上连续.
结论是：在［a,6］上至少存在一点“使得『/（Rdz = f（OCb-a）.
（4）【答案】e"3.
—3n
貯）
【解】lim
”f 8
（5）【答案】八工）+C；
2
【解】J/Z(x)dj： = /(J7)+ C ;
心)；心).
[八2” = *心)[=
1?
二、【解】 lim (— 土）=柬去芝
x->0 \ JC
1. eJ — 1 — x ex — 1
= lim--------z------ — lim -------
x-*o X x-*o ~2
=【解】乜== Sint
—、 djr dr /dr 1 — cos t
dx2 Ax / dt 5(1 — cos t)' (1 -—COS t)2 5( 1 — cos tY
四、【解】 方法一
[zarcsin xAx =-—
arcsin jcA^jc2 )
J o 2 J 0
X 2 arcsin x I1 ---- 1 — f1 —-—— 2 d工 7t 「 2 L "^吐
=T —T _
1 o 2 Jo a/ 1 — x2
• 1 •
淘宝店铺：光速考研工作室工=Sin t 7t 1 ITJ s01iXn1 Zt y 7t 1
------• cos tat = — 2 sinSck
T~"2 o cos t--------------------4 2 o
7T 1 1 7T 7T
T~T 9 T 9 ~2
方法二
x = siiinn Z fy 1
o
jrarcsin jcAx ...~J Z sin t • cos tdt = —
o
2 Zsin 2/dt
n 1 今[sinzdr = £
2 2zsin 2£d⑵) sin = — X
~8 o o 8
五、【解】V = 7T (sin x + 1)2djr = 7t (sin2x + 2sin 工 + l)dz
0 • o
cos 2工 [#7T — (ysin 2工 + 2cos 工
7C 1 + 2sin 工 + 1 ) dr =兀
=迈-(3兀 + 8).
六、【证明】（1）任取工1，工2 €（Q,b）且工1 ＜工2,有
于（工2）—于（工1）=/'（£）（工2—工1），其中21 V £ V工2，
因为十（工）恒大于零，所以/（^2）-/（^!）＞0,即了（口）＜/（工2），
故/（J；）在（a,b）内单调增加.
（2）g"（c） = lim ' °? V 0,
工-＞ c t — c
Q ' （ JC ）
由极限保号性，存在& ＞o,当0 ＜丨H —C |＜5时，§亠丄V0,
X — C
当工 G （c—5,c）时，（工）＞0;当工€ （c,c+d）时，g'（H）V0,则工=c 为 g（ ）的极大值点，g（c）为
gQ）的一个极大值.
djr
七、【解】当a = 0,6工0时, =tan 工 + C
a2 sin2 jc b2 cos2 x cos2 JC b2
djr 1 1
当 aH0,b = 0 时, -----cot x + C
a2 sin2 x b2 cos2 x a a
dx sO eVVc. 2 jJU; .
当 a # 0,6 # 0 时, = J^ + (atanA 吐
a 2 sin2 工 + b 2 cos2 x
丄 d(atan z) 1 a tan
— arctan —— + C.
a b2 + (atan xY ab b
八、【解】（1）由jc = jc — y得字=1 ——
d«r dz x
令u = 2 ,则％ +工半=1 — u，分离变量得 =—
x dz 1 — LU x
解得---In | 1 — 2w | = ln&| + C,将 h = \[2 ,》=0 代入得 C = — lnV^,
jr 1
故原方程满足初始条件的特解为＞ =V ——.
Z jc
(2)特征方程为A2 +2A + 1 = 0,特征值为右=& = — 1,
3/' + 2$+y = 0 的通解为 y = (C! +C2x)e"x；
・2 •
淘宝店铺：光速考研工作室设原方程的特解为》0（乂）= （az+ZOe",代入得a = -^― ,b =----,
4 4
故原方程的通解为y =（G+C2^）ep+*Q — l）eH（其中Cx ,C2为任意常数）.
九、选择题
（1） 【答案】（D）.
【解】 因为/（—z） = /（x）,所以于Q）为偶函数，应选（D）.
（2） 【答案】（C）.
TV
【解】 取 乂” = 2n7r + — , limf(jcn ) = x；
Z n-*oo
取;y” = 2兀兀，lim fCyn ) = 0,显然fO 在(—00 , + °°)内无界，应选(C)・
”f 8
(3) 【答案】(B).
【解】lim
他+’—')
=lim「ZG
十刃—一刃一血)]=鸟仏),
x-*0 X x-*0 L 工 一Z 」
应选(B).
(4) 【答案】(D).
【解】I = t [( f(tx)dx =[' /(tz)d(tz) = [ /(u)du ,
J 0 J 0 J 0
显然J与s有关，与£无关，应选(D).
十、【解】 设切点为M(a9-a2 + l)(0普时，S' >0,则当a = y时，所围图形的面积最小,
切点坐标为（吕^ ,彳），最小面积为S = —----扌.
• 3・
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