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第二十三章《旋转》同步单元基础与培优高分必刷卷
（考试时间：120分钟 试卷满分：120分）
姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________
一：选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要
求的）
1．下列图形中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】 、既是中心对称图形，又是轴对称图形，故本选项符合题意；
、不是中心对称图形，是轴对称图形，故本选项不符合题意；
、是中心对称图形，不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
、既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
故选： ．
2．已知 关于原点的对称点在第一象限内，则m的取值范围为（ ）
A． B． C． D．不存在
【答案】C
【详解】解： 点 关于原点的对称点在第一象限，
点 在第三象限，
，
解得： ，
故选：C．
3．在平面直角坐标系中， 与 关于点 中心对称．若点 的对应点为 ，则点 的
对应点 的坐标为（ ）
A． B． C． D．【答案】A
【详解】解：点 的对应点为 ，且关于点 成中线对称，
∴ ，即 ，
∴设 ，且 ，
∴ ，
解得， ，
∴ ，
故选：A ．
4．下列各图案中，不是通过旋转变换设计而成的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】解：A、可以通过旋转变换设计而成，故A选项不符合题意；
B、不可以通过旋转变换设计而成，故B选项符合题意；
C、可以通过旋转变换设计而成，故C选项不符合题意；
D、可以通过旋转变换设计而成，故D选项不符合题意；
故选：B．
5．如图， 绕点C逆时针旋转 得到 ，若 与 互补，则n的值为（ ）
A．60 B．90 C．100 D．120
【答案】B
【详解】解：设 ，
由旋转的性质可知， ，∴ ， ．
∵ 与 互补，
∴ ，即 ，
∴ ，
∴ ．
故选：B．
6．如图，在平面直角坐标系中， 的两条对角线 交于原点O ， 平行x轴，点M的坐标是
， 点F的坐标是 ， 则点N的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：∵ 的两条对角线 ， 交于原点 ，
∴点 与点 关于原点对称，点 与点 关于原点对称，
∵点 的坐标是 ，点 的坐标是 ，
∴点 的纵坐标是 ，点 的横坐标是 ，
∵ 平行 轴，即 ，
∴点 的坐标是 ，
故选：A．
7．如图是中国共产主义青年团团旗，是中国共产主义青年团的象征和标志．如果将左上角图案绕某点O旋转 后
所得到的图形与原图形重合，则旋转角 的值不可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：由题知，若将五角星的五个外部的顶点连接起来，将得到一个正五边形．∵ ，
∴当五角星绕其中心旋转 整数倍的度数后，会与原图形重合．
， ， ，
∴旋转角 的值不可能是 ．
故选：A．
8．如图，把等边 绕点 顺时针旋转 ，得到 ，连接 、 交于点 ，则 的度数是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：由旋转可得 ， ， ，
∴ ， 都是等腰直角三角形，
∴ ，
∵ 是由等边 旋转得到，
∴ 是等边三角形，
∴ ，
∴ ，
，
∴ ．
故选：C
9．如图，在正方形 中，将对角线 绕点 逆时针旋转角度 ，使得 （ 为正实
数）．设 ．（ ）A．若 ，则 B．若 ，则
C．若 ，则 D．若 ，则
【答案】B
【详解】解：∵四边形 是正方形，
∴ ，
∴ ，
当 时，过点E作 于H，
当 时，则 ， 是等腰直角三角形，
∴ ， ，
在 中， ，
整理得 ，故A不符合题意；
当 时，则 ， 是等腰直角三角形，
∴ ， ，即点 与点 重合，
∴ ，故B符合题意；
当 时，则 ， ，
∴ ， ， ，
在 中， ，
则 ，故C不符合题意；当 时，则 ， ，
∴ ， ， ，即点 与点 重合，
∴ ，故D不符合题意；
故选：B．
2
10．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，BC= ．将△ABC绕点C顺时针旋转得到 △A'B'C，
3
其中点A'与点A是对应点，点B'与点B是对应点．若点B'恰好落在AB边上，则点A到直线A'C的距离等于
（ ）
2
A．1 B．❑√3 C．2 D． ❑√3
3
【答案】A
4 2
【分析】如图，过A作AQ⊥A'C于Q，求解AB= ，AC= ❑√3，结合旋转的性质证明∠B=∠A'B'C=60°，
3 3
BC=B'C，∠A'CB'=90°，可得△BB'C为等边三角形，求解∠A'CA=60°，再利用含30°角的直角三角形
的性质及勾股定理即可得答案．
【详解】解：如图，过A作AQ⊥A'C于Q，
2
由∠ACB=90°，∠CAB=30°，BC=
34 2❑√3
∴AB= ，AC=❑√AB2−BC2=
3 3
∵将△ABC绕点C顺时针旋转得到△A'B'C，
∴∠B=∠A'B'C=60°，BC=B'C，∠A'CB'=90°
∴△BB'C为等边三角形，
∴∠BCB'=60°，∠ACB'=30°
∴∠A'CA=60°
∴∠CAQ=30°，
1 ❑√3
∴CQ= AC= ，
2 3
∴ ，
AQ=❑√AC2−CQ2=1
∴A到A'C的距离为1．
故选：A．
二：填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
11．如图为某桥梁模型的示意图，其中 与 关于点 成中心对称，点 、 分别是 、 的中点，
横梁 的长度为 ，则模型中的主承重钢梁 的长是 ．
【答案】
【分析】本题考查了中心对称以及三角形的中位线定理，掌握三角形的中位线定理是解答本题的关键．根据三角
形的中位线定理可得 ，再根据中心对称的性质可得 ，即可得解．
【详解】解： 点 、 分别是 、 的中点，
是 的中位线，
，
与 关于点 成中心对称，
．
故答案为： ．
12．如图，在4×4的正方形网格中有三个黑色正方形，请你在网格中再涂黑一个小正方形，使其与原有的黑色正
方形构成一个中心对称图形，则可供选择的白色小正方形的个数为 ．【答案】
【详解】解：如图所示： 可供选择的白色小正方形的个数为3个．
故答案为：3．
13．在平面直角坐标系中，直线 （ 为常数）与 轴交于点A，将该直线沿 轴向左平移6个单位长度
后，与 轴交于点 ．若点 与A关于原点 对称，则 的值为 ．
【答案】3
【详解】解：∵直线 （m为常数）与x轴交于点A，
∴当 时， ，
解得 ，
∴ ，
∵将该直线沿x轴向左平移6个单位长度，
∴平移得到 ，
∵将该直线沿x轴向左平移6个单位长度后与x轴交于点 ，
∴当 时， ，
解得 ，
∴ ，
∵ 点与A关于原点O对称，
∴ ，
解得 ，
故答案为：3．
14．如图，等边 中， ，则以线段 为边构成的三角形的各角的度数分
别为 ．【答案】 ， ， ．
【详解】解：将 逆时针旋转 ，得到 ，
∵ ， 是等边三角形，且旋转角相等，则 ,
∴ 是等边三角形. 则
又∵ ∴
故以线段 三边构成的三角形为
所以
故答案为： .
15．平面直角坐标系中， ， ， ，连接 ，将 绕B点顺时针旋转 到 ．
（1）点D的坐标为 ；（用字母m来表示）
（2）连结 ，则 的最小值为 ．
【答案】
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，求一点绕某点旋转 后的坐标，勾股定理及二次函数的性质；
（1）画出图形，过点D作 轴于点E，证明 即可；
（2）由（1）点D的坐标，利用勾股定理及二次函数的性质求得 的最小值，从而可求得 的最小值．
【详解】解：（1）如图，过点D作 轴于点E，则 ，
由旋转知， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
若点B在x轴正半轴上，
∴ ，
∴ ；
若点B在x轴负半轴上，则 ，
同理得 ；
综上， ；
故答案为： ；
（2）由勾股定理得： ，
当 时， 取得最小值8，
从而 取得最小值 ，
故答案为： ．
三、解答题（一）（本大题共3小题，第16题10分，第17 18小题各7分，共24分）
16．如图，在 中， ，将 绕点A顺时针旋转得到 ，点C的对应点E恰好落在 边
的延长线上，求证： ．
．【答案】见解析
【详解】证明：∵将 绕点A顺时针旋转得到 ，
∴ ，
∴ ， ．
∵B，C，E三点在同一直线上，
∴ ，
∴ 为等边三角形，
∴ ．
∴ ，
∴ ．
17．如图， 的顶点都在边长为1的正方形组成的网格格点上， ， ．
(1)点 关于原点的对称点的坐标是___________；
(2)将 绕点 顺时针旋转 得到 ，画出旋转后的 ．
【详解】（1）解：点A关于原点的对称点的坐标是 ．
故答案为： ．
（2）解：如图， 即为所求作的三角形．．
18．如图是一个微型风车模型，风车的四叶分别标记为“①②③④”，观察图形，回答以下问题．
(1)图1的风车绕中心先顺时针旋转 ，形成图2的状态，再逆时针旋转 ，形成图3的状态，请在图2、图3
的四叶上分别标记“①，②，③，④”；
(2)图1的风车绕中心顺时针旋转 后，风叶①到达了图4________的位置（填入A，B，C，D）；
(3)图1所示风车绕中心逆时针旋转________度（旋转一周内），风叶①也能到达第（2）问中位置；
(4)图1所示风车中风叶①最少翻折________次，也能到达第（2）问中位置．
【详解】（1）解：如图，图2，图3即为所求；
（2）解：观察图形可知，旋转 —次循环，
，
所以风叶①到达了图4中 位置．
（3）解：图1所示风车绕中心逆时针旋转 270 度（旋转一周内），风叶（1）也能到达第（2）问中位置．
故答案为： 270 ；
（4）解：由如图5可知，最少翻折 2 次，也能到达第（ 2 ）问中位置．
故答案为： 2 ．四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题9分，共27分）
19．如图，在 中，点 在 边上， ，将边 绕点 旋转到 的位置，使得 ，连
接 与 交于点 ，且 ， ．
(1)求证： ；
(2)求 的度数．
【详解】（1）证明：∵ ，
∴ ，即 ，
∵由旋转得， ，而 ，
∴ ，
∴ ；
（2）解：∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
由（1） ，
∴ ，
∴ ．
20．在长度均为1的正方形网格中建立如图所示的平面直角坐标系，已知点A、B、C的坐标分别为 、 、
．(1)将 沿着x轴向左平移5个单位后得到 ，请在图中画出平移后的 ；
(2)将 绕着O顺时针旋转 后得到 ，请在图中画出旋转后的 ，并直接写出 的坐标；
(3)将线段 绕着某个定点旋转 后得到 （其中点A的对应点为点 ，点B的对应点为点 ）则这个定点
的坐标是______．
【详解】（1）解：如图1， 即为所画；
（2）解：如图2， 即为所画，由图可知 ；
（3）解： 线段 可以看成是线段 绕着某个定点旋转 后得到的图形，
点 与点B是对应点，点 与点A是对应点，
连接 ， 相交于点D（定点），
由图形知， ，
即旋转中心为点 ，
故答案为 ．21．如图1，将矩形 绕点 逆时针旋转角 得到矩形 ， 与 交于点 ．
数学思考：
（1）填空：图1中 ；（用含 的代数式表示）
深入探究：
（2）如图2，当点 在对角线 的垂直平分线上时，连接CH，求证： ．
【详解】（1）解：∵四边形 是矩形，
，
由旋转得： ，
，
，
故答案为： ；
（2）证明：∵点 在对角线 的垂直平分线上， 边经过点 ，
，
∵四边形 是矩形，
，
由旋转得： ，
，
在 和 中，
，
∴ ，
．五、解答题（三）（本大题共2小题，每小题12分，共24分）
22．综合与实践
问题情境：
在 中， ， ， ．将 绕点 顺时针旋转 得到 ，点 的对应点
分别为点 ．
初步探究：
（ ）如图 ，当点 恰好落在 边上时，连接 ，求证： ．
问题解决：
当 旋转一定角度， 与 交于点 （点 不与点 重合）时，
（ ）如图 ，若 恰好是 边的中点，试猜想 与 的位置关系，并说明理由．
（ ）如图 ，当 时，请直接写出 的长．
【详解】（ ）证明：由旋转的性质可知， ， ， ，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
即 ；
（ ）解： ．
理由：∵ 是 边的中点， ，
∴ ，
∴ ，
由旋转的性质可知， ，
∴ ，
∴ ；（ ）解：过点 作 于点 ，
∵ ，
∴ ，
由勾股定理，得 ，
∴ ，
由勾股定理得， ，
∴ ．
23．如图， 在四边形 中， ， ．P、Q分别为 、 的中点，连接 、
，将线段 绕点P顺时针旋转 得到 ，将线段 绕点P逆时针旋转 得到 ，连接 ，分别过
E、F作 的垂线，垂足为G、H．
(1)若 ，求 的长
(2)线段 与 是否存在数量关系？若存在，写出结论并证明；若不存在，请说明理由；
(3)如图， 、 的延长线交于点M，连接 ．若 ，求线段 的取值范围（用含m的式子表示）．
【详解】（1）解：∵ ，
∴ ，
∵点P是 的中点，
∴ ，在 中， ；
（2）证明：如图1，由旋转得： ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ；
（3）解：如图2，作 于点L，则 ，
∴四边形 是矩形，
∴ ，
由（2）知， ，
∵ ，
∴ ，
设 ，∴ ，
在 中， ，
∵ ， ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 是直角三角形，
∵Q是斜边 的中点，
∴ ，
∴ ，
当 时， ，
∴ ；
当 时， ，此时 ，
∴ ；∴ ；
故答案为： ．
