启航2024考研数学（三）真题试卷及参考答案（详细版）_27考研真题_考研数学一、二、三历年真题+考研数学资料（1994-2026）_考研数学真题（1987-2026）_考研数学历年真题（1987-2024）

2024 考研数学（三） 真题
试卷及解析
一、选择题：1～10小题，每小题5分，共50分．下列每题给出的四个选项中，只有一个选
项是符合题目要求的．
1x
1．设函数 f(x)lim ，则 f(x)
n1nx2n
A．在x1，x  1处都连续．
B．在x1处连续，在x  1处不连续．
C．在x1，x  1处都不连续．
D．在x1处不连续，在x  1处连续．
1．【答案】D
1x
【解析】当 x 1时,lim 1x，
n1nx2n
1x
当 x 1时,lim 0 ，
n1nx2n
2
当x1时,lim 0，
n1n
0
当x1时,lim 0，
n1n
1x, 1 x1,
故 f  x  故在x1时，连续；x1时不连续．选D.
0, 其他.
ak
2. 设I   sinxdx ，k 为整数，则I 的值
a
A．只与a有关
B．只与k 有关
C．与a,k均有关D．与a,k 均无关
2．【答案】B
akπ
【解析】I   |sinx|dx
a
kπ π
  |sinx|dx k sinxdx2k.
0 0
选B.

1
3. 设 f(x,y)是连续函数，则2dx f(x,y)dy 

sinx
6
1 arcsiny
A.  dy f(x,y)dx.
1 
2 6

1
B.  dy2 f(x,y)dx.
1
arcsiny
2
1
arcsiny
C. 2dy f(x,y)dx.

0
6
1 
D. 2dy2 f(x,y)dx.
0 arcsiny
3．【答案】A

1 1 arcsiny
【解析】2dx f(x,y)dy  dy f(x,y)dx.
 1 
sinx
6 2 6
选A.
 
4. 幂级数a xn 的和函数为ln(2x)，则na 
n 2n
n0 n0
1 1
A. B.
6 3
1 1
C. D.
6 34．【答案】A
n
 x
 
 x  2
【解析】ln  2x ln1  ln2ln2 (1)n1
 2 n
n1
2 3 4 6
 x  x  x  x

       
 x 2 2 2 2
ln2
 
    
2 2 3 4 6

na 0a 2a 3a 4a 
2n 2 4 6 8
n0
1  1  1
 2



3 
222  244 26 6
 1 1 1 


  
23 25 27 
 1  1
 23  8 1 4 1
     .
1 3 8 3 6
1 
 22  4
5. 设二次型 f  x ,x ,x  xTAx在正交变换下可化成 y2 2y2 3y2 ，则二次型 f 的
1 2 3 1 2 3
矩阵A的行列式与迹分别为
A.6,2 B.6,2 C.6,2 D.6,2
5．【答案】C
【解析】 f  x ,x ,x  xTAx正交变换下化为 y2 2y2 3y2  A的特征值为1,2,3
1 2 3 1 2 3
 A 12 36,tr  A 12 32.
1 0 0 a2c 0 c
   
6. 设A为3阶矩阵，P  0 1 0 ，若PTAP2  0 b 0 ，则A=
   
   
1 0 1  2c 0 cc 0 0 b 0 0
   
A. 0 a 0 . B. 0 c 0 .
   
   
0 0 b 0 0 a
a 0 0 c 0 0
   
C. 0 b 0 . D. 0 b 0 .
   
   
0 0 c 0 0 a
6.【答案】 C
a2c 0 c 1 0 0
   
【解析】PTAP2  0 b 0 B, 且P  0 1 0  E  1 
    31
   
 2c 0 c 1 0 1
故A  PT1 B  P21   ET(1) 1 B E2 (1) 1
31  31 
 E1(1) T BE1(1)E1(1) ET(1)BE (1)E (1)
 31  31 31 31 31 31
1 0 1a2c 0 c 1 0 0 1 0 0
    
 0 1 0 0 b 0 0 1 0 0 1 0
    
    
0 0 1  2c 0 c 1 0 1 1 0 1
0 0 0 1 0 0 1 0 0  a 0 0
     
 0 b 0 0 1 0 0 1 0  0 b 0 .
     
     
2c 0 c 1 0 1 1 0 1 0 0 c
a1 b 3
 
b 1
7. 设矩阵A a 1  ,M 表示A的行 j列元素的余子式, 若| A| .且
 2  ij 2
 
1 1 2
 
M M M 0. 则
21 22 23
3
A.a 0或a 
23
B.a 0或a 
2
1
C.b1或b
2
1
D.b1或b
2
7.【答案】B
b b
1 2 0 1 0
a1 b 3 2 2
b b b
【解析】 A  a 1  a 1  a 1
2 2 2
1 1 2 1 1 2 1 1 2
b  a 1


1 (1)12
2  1 2
b  1
1

1(2a1)
2  2
b  1


1(2a1)
2  2
b 1
ab2a 1
2 2
又 0M M M  A  A  A
21 22 23 21 22 23
a1 b 3 a1 b 3
a1 b
 1 1 1  1 1 1  a1b0，
1 1
1 1 2 0 0 1a1 1
ba1代入(1)中, 得 a(a1)2a  0
2 2
3 5
a0或a  b1或 .
2 2
6x  1x  , 0 x1,
8. 设随机变量 X 的概率密度为 f  x  则 X 的三阶中心矩
 0, 其他，
E  X EX 3 
1 1 1
A.  B.0 C. D.
32 16 2
8．【答案】B
1 1 1 1 1
【解析】EX   6x2(1x)dx 6



6 
0 3 4 12 2
1
 1 3 1  1 3 令x t 1  1 1 
EX     6x(1x)x  dx 2  2 6t    t t 3dt  0 .
1
 2 0  2   2  2 
2
9. 随机变量X,Y 相互独立，且X ~ N(0,2),Y ~ N(1,1)，设
p  P  2X Y  ,p  P  X 2Y 1 ，则
1 2
1 1
A.p  p  B.p  p 
1 2 2 2 1 2
1 1
C.p  p  D.p  p 
1 2 2 2 1 2
9．【答案】B
【解析】E(2X Y)2EX EY 011，D(2X Y)4DX DY 4219 ，
所以2X Y ~ N(1,9)；
E(X 2Y)EX 2EY 022，D(X 2Y)DX 4DY 246，
所以X 2Y ~ N(2,6)；2X Y 1 01  1 1
p  P  1      
1  3 3   3 3
X 2Y 2 12  1   1 
p  P  1       ，
2
 6 6   6  6
1
所以 p  p  ，故选B.
2 1 2
10. 设随机变量X,Y 相互独立，且均服从参数为的指数分布，令Z  X Y ,则下列随机
变量中与Z 同分布的是
X Y
A. X Y B.
2
C. 2X D. X
10．【答案】D
2e(xy), x0, y 0
【解析】X与Y的联合概率密度为 f(x,y) f (x) f (y) 
X Y  0, 其他
设Z 的分布函数为F (z)，则F (z) P  Z  z  P  X Y  z 
Z Z
1 当z 0时，F (z)0；
Z
2 当z 0时，F (z) P z  X Y  z 2P  0 X Y  z 
Z
 yz
2 eydy exdx.
0 y
2  ey ey e(yz) dy
0
 
2 e2ydy2ez e2ydy
0 0
1ez.
所以Z  E  1 ，从而Z与X服从相同的分布，选D.
二、填空题：11～16小题，每小题5分，共30分．
 
1t2 sint2
x
11. 当x0时， dt与xk是同阶无穷小，则k  .
0 1cos2t11．【答案】3
【解析】当x0时，
 1x2 sinx2 x2
~ ，
1cos2 x 2
 1t2 sint2
x
则 dt ~ Ax3. 从而 k 3.
0 1cos2t
 5
12.  dx .
2 x4 3x2 4
1 π
12．【答案】 ln3
2 8
 5  5
【解析】 dx  dx
2 x4 3x2 4 2  x2 1  x2 4 
 1  1
  dx dx
2 x2 1 2 x2 4
 1 1   1
   dx dx
2  x1 x1 2 x2 4
1 x1  1 x2  
 ln  arctan 
2 x1 2  2 
2 2
1 1 1π π 1 π
 0ln       ln3 .
2 3 22 4 2 8
13. 函数 f  x,y 2x39x2 6y4 12x24y的极值点是 .
13．【答案】
1,1

f6x2 18x120,
【解析】 x
 f
y
24y3240,
解得 (1,1) ，(2,1). A f 12x18,B  f 0,C  f 72y2，
xx xy yy
代入(1,1)得ACB2 4320,A6,故(1,1)是极大值点， f(1,1)23.代入(2,1)得ACB2 4320, 不是极值.
250.25Q, Q20,
14．某产品的价格函数是 p  ( p为单价，单位：万元；Q为产量，
350.75Q, Q20
单位：件)，总成本函数为C 1505Q0.25Q2（万元），则经营该产品可获得的最大
利润为 （万元）.
14．【答案】50
(250.25Q)Q  1505Q0.25Q2 ,Q20,

【解析】L PQC  
  350.75Q  Q  1505Q0.25Q2 ,Q20.

0.5(Q20)250,Q20,
整理得：L
(Q15)275,Q20.
所以Q 20时，L50为最大利润.
15.
设A为3阶矩阵，A为的A伴随矩阵，E为3阶单位矩阵，若
r(2EA)1,r(E+ A)2，则 A = .
15．【答案】16
【解析】 r  2EA 13， r  E+ A 23 A有特征值2,1.
又3r  2EA 22有 2个线性无关的特征向量 2至少有两重根.
3r  E+ A 11有1个线性无关特征向量1至少有一重根.
又A为3阶 A的特征值为2，2,1，故
A 221 4, A*  A|n1 A|216.
16. 设随机试验每次成功的概率为 p，现进行3次独立重复试验，在至少成功1次的条件下，
4
3次试验全部成功的概率为 ，则 p  .
132
16．【答案】 p 
3
【解析】A：全成功，B：至少成功一次.
P(AB) P(A) p3 4
 
P A B     ,
P(B) P(B) 1(1 p)3 13
13p3 44(1 p)3
2
整理得 p(3p2)(3p6)0 p  .
3
三、解答题：17～22小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
1 1
17. 设平面有界区域D位于第一象限由曲线xy  ,xy 3与直线y  x, y 3x围成，计
3 3
算 1x y  dxdy .
D
y
17.【解】令u  xy，v ，
x
 u
x
（1） v

y  uv
x x
u v 1
（2）J  
y y 2v
u v
3 3  u  1 8
故原式  du 1  uv dv  ln3.
1 1 
v 2v 3
 
3 3
2z 2z
18．设函数z  z(x,y)由方程zex  yln(1z2)0确定，求   .
x2 y2

(0,0)
2z 2z
18．【解】将 y 0代入得z ex，则 ex，代x0 1.
x2 x2
0,0
将x0代入得z1 yln  1z2  ，得 z ln  1 z2  2yz  z .
y 1z2 yz
代x0,y 0,z 1得 ln2.
y
0,0
又
  z z
   
2z 2z z 2z z

1z2 y
     2y ，
y2 1z2 y 1z2 y  y 
 
 
z
代x0,y 0,z 1, ln2得
y
2z
2ln2.
y2
0,0
故原式为12ln2.
19. 设t 0，平面有界区域D由曲线 y  xe-2x与直线xt ，x2t及x轴围成，D的面积
为S(t)，求S(t)的最大值.
19．【解】S  t 2txe2xdx，则S t 4te4t te2t te4t  4e2t  ，
t
令 4e4t e2t 0tln2.
当 0t ln2时,S t 0;当t ln2时,S t 0.故t ln2时，S  t 取最大值，有
ln4
S  ln2   ln4 xe2xdx  1 xe2x  1 e2x    1 ln2 3 .
ln2 2 2  16 64
ln2
20. 设函数 f  x 具有2阶导数，且 f 0  f 1  , f x  1.证明：x  1x 
（1）当x 0,1 时， f  x  f  0  1x  f  1  x  ;
2
（2）  1 f  x  dx f

0

f

1

 1 .
0 2 12
20. 证明：（1）
f
f(x) f(0) f (0)x 1 x2①
2
f 
f(x) f(1) f (1)  x1  2 (x1)2②
2
① 1x ②x
f f 
 f(x) f(0)(1x) f(1)x f (0)x  1x  f (1)  x1  x 1 x 2 1x  2 (x1)2x
2 2
，
1 1 1 1
f(x) f(0)(1x) f(1)x„ x2(1x) x(1x)  x(1x)(x1x) x(1x).
2 2 2 2
0
（2）  1 f(x) f(0)(1x) f(1)x  dx   1 f(x)dx f(0) (1x)2  f(1) 1
0 0 2 2
1
1 f(0) f(1) 1 x(1x) 1
  f(x)dx „  dx .
0 2 0 2 12
1 1 0 1 1 0 1 2  0  1 
       
21. 设矩阵A 1 1 0 3 , B  1 1 a a1 , 向量 2 ， 0 .
       
       
2 1 2 6  2 3 2 2  3  1
（1）证明：方程组Ax 的解均为方程组Bx 的解；
（2）若方程组Ax 与方程组Bx 不同解，求a的值.
21. 证明：（1） x 
Ax (A,)   0
1
 x 
Bx  β (B,β)  0
1
又
1 1 0 1 0  1 1 0 1 0 
   
1 1 0 3 2 0 2 0 4 2
   
A α 2 1 2 6 3  0 3 2 8 3 
    
B β 1 0 1 2 1  0 1 1 3 1 
 1 1 a a1 0   0 0 a a 0 
   
   
2 3 2 2 1 0 1 2 0 1
1 1 0 1 0 1 1 0 1 0
   
0 1 0 2 1 0 1 0 2 1
   
0 0 2 2 0 0 0 1 1 0
   ，故
0 0 1 1 0 0 0 0 0 0
   
0 0 a a 0 0 0 0 0 0
   
   
0 0 2 2 0 0 0 0 0 0
A α
r(A,α) r

3.
B β
 x   x 
即(A,)

0的解是(B,β)

0的解.
1 1
即Ax 的解是Bx 的解
(2) Ax  与方程组Bx 不同解, 即Ax 与Bx 不等价
又 Ax 的解是Bx 的解，故Bx 的解不是Ax 的解.A α
即r(B,β)r

3，故
B β
1 0 1 2 1  1 0 1 2 1 
   
B,β  1 1 a a1 0  0 1 a1 a3 1
   
   
2 3 2 2 1 0 3 0 6 3
1 0 1 2 1 1 0 1 2 1
   
 0 1 0 2 1  0 1 0 2 1
   
   
0 1 1a 3a 1 0 0 1a 1a 0
故1a0即a 1.
22.X 服从 0,上的均匀分布， 0，为未知参数，X ,X ,,X 为总体X 的简单
1 2 n
随机样本，记为X max  X ,X ,,X  ,T cX .
n 1 2 n c n
（1）求c使得E  T ;
c
（2）记h  c  E  T 2 ,求c使得 f  c 最小.
c
22．【解】（1）E

cX 

cEX cEmax  X ,X X 
(n) (n) 1 2 n
0 x0
1 
 0 x x
f (x) F (x) , 0„x
X X 
 0 其他 


1, x 
0, x0

xn
max  X ,X X  ~ F (x)  ,0„x 
1 2 n Xn

n


1, x 
 n
 xn1 0 x
f (x)n
Xn   0 其他.
nx 1 n n
Emax  X ,,X   xn1d  xn1  ，
1 n 0 n n n1 n1

n1
所以c .
n
 
（2）h(c) E T222T  ET2E22ET
c c c c
 2  
 E cX 22E cX c2EX2 2 2cEX
n n n n
nx2 1 n  n
因为EX2   xn1dx  xn2 2
n 0 n n n2 n2
0

 nx 1 n n
EX    xn1dx   xn1  
n 0 n n n1 n1
0
n n  nc2 n 
所以h(c) c2222c  = 12c 2
n2 n1 n 2 n1
n n 2n 2n
令 f(x) x212 x， f(x) x 0
n2 n1 n2 n1
n2 n2
解得x ，即c 时，h  c 取最小值.
n1 n1