文档内容
T
向量加法：α + β = (a + b ,a + b ,⋯ ,a + b )
1 1 2 2 n n
如果只有一行, 元素为n个, 称为n维行向量;
T
数乘向量：kα = (ka ,ka ,⋯ ,ka )
如果只有一列, 元素为n个, 称为n维列向量. 1 2 n
向量内积：(α,β) = αTβ = β T α = a b + a b + ⋯ + a b
1 1 2 2 n n
线性组合：
设有m个n维向量α , α , ⋯ , α 及m个数
1 2 m
k , k , ⋯ , k ，则向量k α + k α + ⋯ + k α
1 2 m 1 1 2 2 m m
称为向量组α , α , ⋯ , α 的线性组合.
1 2 m
线性表出(线性表示)：
若向量β能表示成向量组α , α , ⋯ , α 的线性组合，即
1 2 m
存在m个数k , k , ⋯ , k ，使得β = k α + k α +
1 2 m 1 1 2 2
⋯ + k α ，则称向量β能被向量组α , α , ⋯ , α 线
m m 1 2 m
性表出.
线性相关：
对于向量组α , α , ⋯ , α ，若存在一组不全为0的数
1 2 m 等价命题：
k , k , ⋯ , k ，使得线性组合k α + k α + ⋯ + 其中至少有一个向量能被同组的其余
1 2 m 1 1 2 2
向量表示.
k α = 0，则称向量组α , α , ⋯ , α 线性相关.
m m 1 2 m
定 含有零向量或有成比例向量的向量组必相关.
义
线性无关：
等价命题：
只有当k = k = ⋯ = k = 0时，才有k α + k α +
1 2 m 1 1 2 2
其中所有向量均不可能被同组的其
⋯ + k α = 0，则称α , α , ⋯ , α 线性无关.
m m 1 2 m 余向量表示.
单个非零向量、两个不成比例的向量必线性无关.
向量组等价：
设有两个n维向量组 (I) α , α , ⋯ , α ； (II) β , β , ⋯ , β ； 注：
1 2 s 1 2 t
向量组等价和矩阵等价是不同的概念，矩阵等价要同型，行
如果 (I) 中每个向量α (i = 1, 2, ⋯ , s)均可被 (II) 中的向量线
i 数、列数要相等；向量组等价要同维，但向量个数可以不同.
性表出，则称向量组 (I) 可被向量组 (II) 线性表出. 矩阵等价：A可由初等行列变换化为B，A ≅ B ⇔
如果 (I) 、 (II) 两个向量组可互相线性表出，则称这两个向量组 r(A) = r(B) ⇔ PAQ = B（P、Q均为可逆矩阵）
等价.
极大无关组：
在向量组α , α , ⋯ , α 中，若存在r个向量α , α , ⋯ , α
1 2 s i i i
1 2 r 注：
线性无关，再加进任一向量α (j = 1, 2, ⋯ , s)，向量组
j 向量组的极大线性无关组可以不唯一，但不同极大线
α , α , ⋯ , α ，α 就线性相关，则称α , α , ⋯ , α 是向 性无关组中的向量个数相同.
i i i j i i i
1 2 r 1 2 r
量组α , α , ⋯ , α 的一个极大线性无关组.
1 2 s
向量组的秩：
向量组α , α , ⋯ , α 的极大线性无关组中所含向量个数r，称
1 2 s
定
为这个向量组的秩.
义
与
①如果向量组α , α , ⋯ , α 中有一部分向量线性相关，则整个向量组
定 1 2 m
也线性相关；如果向量组α , α , ⋯ , α 线性无关，则其任意一部分向
1 2 m
理
量组也线性无关.
简言之：整体无关⇒部分无关；部分相关⇒整体相关（均不能倒推）
定理①指的是向量的个数
定理②指的是向量的维度
~ ~ ~
②如果α , α , ⋯ , α 线性无关，则延伸组(添加维度)α , α , ⋯ , α
1 2 m 1 2 m
~ ~ ~
线性无关；如果α , α , ⋯ , α 线性相关，则缩短组(删除维度)
1 2 m
α , α , ⋯ , α 线性相关
1 2 m
简言之，本身无关⇒“加长”无关；本身相关⇒“缩短”相关
线性相关与无关结论
③如果α , α , ⋯ , α (m ≥ 2)线性相关，则其中必有一个向量可由其余
（五条） 1 2 m
向量线性表出；反之，若有一个向量可由其余m − 1个向量线性表出，则
这m个向量必线性相关.
④初等行变换不会改变列向量之间的线性关系;初等列变换不会改变行向量
之间的线性关系.
向
⑤当向量组α , α , ⋯ , α 线性无关时：
1 2 m
若β,α , α , ⋯ , α 线性相关，则β可由α , α , ⋯ , α 线性表出，且
量 重 1 2 m 1 2 m
表示法唯一；
要 若β,α , α , ⋯ , α 线性无关，则β不可由α , α , ⋯ , α 线性表出.
1 2 m 1 2 m
定
理
①向量组α , α , ⋯ , α 线性相关⟺ r(α , α , ⋯ , α ) < n 推论：
公 1 2 n 1 2 n
向量组α
1
, α
2
, ⋯ , α
n
线性无关⟺ r(α
1
, α
2
, ⋯ , α
n
) = n 向量组α
1
,α
2
,⋯ ,α
n
线 性无关⟺ ∣α
1
,α
2
,⋯ ,α
n
∣ = 0.
众
②向量β可由向量组α , α , ⋯ , α 线性表示
1 2 n
⟺ r (α , α , ⋯ , α , β) = r (α , α , ⋯ , α )
号 1 2 n 1 2 n
向量β不能由向量组α , α , ⋯ , α 线性表示
1 2 n
⟺ r (α , α , ⋯ , α , β) = r (α , α , ⋯ , α ) + 1.
1 2 n 1 2 n
：
向量组的秩结论
③设有两个m维向量组(I)α , α , … α 与(II)β , β , … , β ,
考 1 2 s 1 2 t
(五条)
如果向量组(I)可被向量组(II)线性表示, 那么r(I) r(II), 反
⩽
之亦然.
研 简言之，被表示的秩小,主动表示的秩大.
经 ④矩阵A 的秩r (A ) =其行向量组的秩=其列向量组的秩.
m×n m×n
验
⑤任意m维向量组(I)α , α , … .α 的秩r(I) m，且当n > m
1 2 n ⩽
时, 该向量组必定线性相关.
超 简言之，个数n >维数m，必相关.
市
对向量组做初等行变换，再通过观察秩来判定.
具体型 当向量组的维度和个数相等时,分析其相关性也可以考虑其形成
方阵的行列式.
证
明
定义法：设k α + k α + ⋯ + k α = 0，再通过对式
1 1 2 2 m m
线
子恒等变形(两边同乘或重组)，证明k ,k ,k 全为零即可.
1 2 3
性
相
关 通过逆用矩阵乘法来证明
或
无
α ,α ,⋯ ,α 线性无关⇔秩r (α ,α ,⋯ ,α ) = n
1 2 n 1 2 n
关
抽象型
(证无关) r(A) = A的列秩= A的行秩
用秩
r(AB) min(r(A),r(B))
⩽
若A可逆, 则r(AB) = r(B),r(BA) = r(B)
题
型
反证法
总
结
求
① 构造A = [α ,α ,⋯ ,α ]
1 2 n
极 ② 化为阶梯型
初等行变换不改变列
具体型
大 向量组的线性相关性 ③ 算出台阶数r，按列找出一个
线 秩为r的子矩阵即可
性
无
抽象型 用秩
关
组
证
r(I) = r( II ) = r(I, II)
明
(利用三秩相等，即向量组等价的充要条件)
向
量
组
若向量组(I)可由向量组(II)线性表示，且r(I) = r(II),
等
则向量组(I)和(II)等价.
价
