文档内容
线代复盘⽬录
第⼀讲 张宇第1讲 ⾏列式：2
李永乐知识补充及例题：6
第⼆讲 张宇第2讲 矩阵: 9
李永乐知识补充及例题：18
第三讲 张宇第3讲 向量组：26
李永乐知识补充及例题：31
第四讲 张宇第4讲 线性⽅程组：36
李永乐知识补充及例题：40
第五讲 张宇第5讲 特征值与特征向量: 47
李永乐知识补充及例题：56
第六讲 张宇第6讲 ⼆次型: 65
李永乐知识补充及例题：69第 1 讲 ⾏列 式
1 本质定义 啊定义) (第⼀种定义)
、
1171 于 0 线性⽆关
,
1171 = 0 线性相关
,
2 性质
、
① ⾏列互换 值不变 1A 1 = 1⽉1
,
② 若⾏列式中某⾏ 咧)元素全为 0 则⾏列式为 0
,
③ 若⾏列式中某⾏ 咧)元素 有公因孙
,
则 何提到⾏列式外⾯
④ ⾏列式中某⾏ 咧)元素均是两个元素之和 则可拆成两个 ⾏列式之和
,
⑤ ⾏列式中两⾏ 咧) 互换 ⾏列式的值反号
,
⑥ ⾏列式中两⾏ 咧)元素相等 或 对应成 ⽐例 则 ⾏列式为 0
,
⑦ ⾏列式中某⾏ 咧) 的 焙加到 另 ⼀⾏ 咧) ⾏列式的值不变
,
3.
⾏列式 的逆序数法定义 (第⼆种定义)
a.az
anGGzzn….hn/ii ⼗
⼼""
aiazia厵n.am
i
arnn.am
⾏列式的展开定理 (第三 种定义)
们 余 ⼦式 Mij = (-1 㥃 Aij
去掉 的 所在的第 1 ⾏ , 第㤡 元素 所剩下的 川 阶⾏列式称为 aj的叙式 。12)
代数余 ⼦式 Aij
=
(-1) " Mij
叙式乘 1- 㥃 后称为 aij 的 代数余 ⼦式
B) ⾏列式 按某⾏ 咧)展开 的展开公式 (元素 为0的越多越好)
①
⾏列式的值等于⾏列式的某⾏ 咧)元素分别乘其相应的代数叙式后再求和
。
fiAitanAizt-tainA.in ⼆点 ajAij ⼼ , 2 , ⼀, 以 某 ⼀⾏元素与其 Aij相乘
IAKIGAitazjAit.it
Gnj Anj ⼆点 ajAi , 2 , ⼀, 以 某 列 元素与其 所相乘
②⾏列式的某⾏ 咧)元素分别乘另
⼀
⾏ 咧)元素的代数叙式后再求和
,
结果为0
faiAkltGAkzt-ta.in/tkn=0tkIajAiktGjAzkl-tnjAnk=0j#k
5. ⼏个重要的⾏列式
111 主对⻆线⾏列式 13个)
Niiota
12)
副对⻆线⾏列式 13个1
lii-aana.in
1 ! !!
!
B) 拉普拉斯展开式 16个)
设A加 阶 矩阵 13加 阶 矩阵 则
:
, ,1简 ⼩ 陈⼩ 閊
州 州
=
1 㓺 = 1 鼎 ⼆ 阙 = ( 㥃州 州
14) 范德蒙德⾏列式
.ini/k.nCXi6.
社社
具体型⾏列式 的计算
某⾏ 刚有尽可能多的0
佀
① 直接展开
阶数不⾼的情况
⼔ ⻛ ⼑ 乄
② ⽖形
⽤斜⽖⼦消去平 1竖了 ⽖⼦
阶数不⾼直接展开
③ 异⽖型 位
递推法
④ ⾏刚和相等
所有列 ⾏1相加 提公因式
,
⑤ 消零化基本型 (主对⻆ 3个 ⼗ 副对⻆3个)
⑥ 拉普拉斯展开式
⑦ 范德蒙德⾏列式 任为范德蒙德⾏列式 盯着第
2
⾏写结果了
,l、Ob型
o
a
在止对角4戈上
b
．．
b n
Vn = ． b = ［加的 b]（曰－b） - ，
-
`、
V V 、
：
..
bb
a
＠ 在副对角戎上
bb
b WI
扣＝ . .， a ，、 . b ＝ （一1)• ［们如） b］饥－ b）
bb
－g
8．线性组令表和放叨环顷、归忒
[-t]
如 庄沁：：：： ［仇， al. 1a;)
甘］
或 t2
也 －5a; =
[ll, A 0.1]
切
一线代李永乐 ⾏列式知识补充
永乐⽼师举例 1
r.tn
l a o o
淵n_n ⼩
iii. 䶡 ! : 点
0 0 1 C
0 0 0 1
永乐⽼师举例 2 a a a a
fatxaf
求⾏列式 : D =
a a a a
a a a a
0分析 每⾏加到 某⾏
- =
rz-ar.rs
- M
Dthii 14- ar, 叫 1 1 1 f 1 ani
_-14 " 0
0 0 X 0
0 0 0 X
0分析 某⼀⾏ 的 们陪分别加到其它各⾏
= =
M a a a 4⽐ a a a
管到 | ! 每列都加到第⼀列 1 iifaā
_ ! ! ! - ⼀ :
0 0 0 x0分析 三 = 上 ⼀ ⾏ 的 H)陪分别加到 下 ⼀⾏
14 -13
M a a a
413a
-
ntxaaa-l-xxof-loxof.nl
0 -x X 0 0 -x X 0
0 - x x
0 0 - x x 0 0 - x x
=
(49㘭 如
注 : 只有 ⼆ 阶 三阶⾏列式可以主对⻆线减副对⻆线计算 四阶⾏列式不可以 要⽤展开公式
、 , ,
补充 克 莱默法则
引⼦ 怡点 箚 Éǎ 怡 別 。
如果系数⾏列式 》⼆ ⽜ 0 则⽅程组有唯⼀解
业治
业a a
a.cz
x = " ⼆
㒡 1 㒡 1
定义 :
|
!!苮 器茶 器装 bi
红 如果系数⾏列式 叫 AH 0 则⽅程组有唯⼀解
,
nhn--ft.nmntanzxzt.it
Gmxn= 1 73
⼆号 ⼆号 ⼆号
且 不 Xz ⼀ xn
, ,anxitazxzt.it Gmxn=0
|
(cid:15482) 推论1 : 若⻬次⽅程组 a-tazxzt.it anxn=0 的 系数⾏列式不为0 , 则⽅程组只有⼀组零解 ,
nhn--at.mnntanzxzt.it
Gnxn=0
即XFXz =_=
xnioanxitazxzt.it
Gmxn=0
,
(cid:15482) 推论1 : 若⻬次⽅程组 a-tazxzt.it anxn=0 有⾮零解 则它的系数⾏列式必为0
,
nhn--ft.nmntanzxzt.it
Gmxn=0第 2讲 矩阵
1.
矩阵的加法和数乘运算规律
①交换律 = A -1 13= Bt A
② 结合律 : (A-1 13) t C = At (13+C)
③ 分配律 KCAtBKKAtkB.lktl)A = KA t lA
:
④ 数和矩阵 相乘的结合律 : kclAKLMA-l.lkA)
注
三
IKAKMAIFKIAIIAtBIFIAltIBIAto-M.lt
0
AFB 1⽉1 # 1131
(cid:15482)
2
矩阵的乘法运算规律
① 结合律 : (A B)C = A (13C)
② 分配律 : ACBtCFABtAC.CA
奶) C = ACTBC
③ 数乘与矩阵乘积的结合律 : (KA)B = A ⽐13) = KCAB)
注 : 1 不满⾜交换律 ABFBA
.
2. 不满⾜消去律 AB-AC-ACB-c.JO#B=CAB=0tA=0
或 13=0
3
转置矩阵的运算规律
、
① 们ㄒ A
=
② lkAIEk.AT
⼆⽉⼗⽇
③ (A奶)
④ (AB)ㄒ
=
13所⑤ n_n 时 , 刚 = 1⽉1
4 向量的内积与政
.
(1) 内积 (2 , P = 设 2= [ a.az ,… ani.f-Ibi.bz , … bn] , 则
扣⼆点aibiabitaz.bzt-.- tanbn 为 2
,
P内积
,
记为 12
,
B
12)政 : 当 邓 ⼆0时 称 2,1为政向量
,
☆ 标注政基 aiaifǐ ī
☆ 施密特政化 (正交规范化)公式
① f = 2 . , f=2 -
昌昌
, Pi , B =2 3 - i
(2 3, 只)
P , ⼀
昌品3 2
沪
得到了 冷污是政向量组
,
② 将只 冷 各单位化
, ,
彘
前 看
r- ⼀ n =
, ,
则 N 上 污 是标准正交向量组
, ,
5. ⼏种重要矩阵
① 零矩阵 : 所有元素都为0
② 单位矩阵 E : 主对⻆元素为 1 , 其余为0 AEEA
③数量矩阵 数旧单位矩阵的乘积 AKEKKEI.lt
:
④ 对⻆矩阵
:
⾮主对⻆元素均为0
⑤ 上(下)三⻆矩阵
A-A-aiFGifl.FI
⑥ 对称矩阵 满⾜
⑦ 反对称矩阵 : 满⾜ AEA-f-ai.li 如 (沪 ⻔
G =0
-1
⑧ 政矩阵 满⾜ AIE6 矩阵的逆定义
、
若 AB=31 A = E , 则A和31 互为逆矩阵
(cid:15482) 肚13 B' =A
7 A可逆的充要条件 : 1川北 且 肚 前 , A*
、 ,
8 逆矩阵的性质
.
① (䏚'
=
A
②
屷上六⽉
③ (AB)" = 51 师
④
(们"
= (
AJT
⑤ 州
=
1⽉1-1
9 ⽤定义法求逆矩阵的⽅法
.
法⼀
:
由AB=E得 A=B
法⼆ : AIBCT = C汤"
⼩
[⼊合 灯 [ 钻⻔
法三 : = }
主对⻆分块矩阵
8
(制 " [ 晶 前 1
= , 主对⻆位置不变加逆
[合同 " [ ÜAJI 副 对⻆位置不变且左乘同⾏有乘同刘加负号
=
IǕFIPI
|
副 对⻆分块矩阵
Ǖlpl
1号 是 ⾮
副 对⻆位置交换加逆
主确位置交换且左乘同⾏有乘同刘加负号
[C A }L [ Oj
130 N_NC15110 伴随矩阵定义
.
汴。
岇籲
nti
𠠬
的顺序
且有 AAEMA-M.IE
(cid:15482) 狗狗⻓ 狗⼥ 狗 = |狗 | E
11 伴随矩阵的性质
.
① AAEMA.ME
② 删 洲 "
③ AIMÁ
④ . 肚 N前O
⑤ A = 11 - 11 (䏚-1
⑥ (灼⼉㤡头 州 E
⑦ ATLAT ⼆ 例 E
⑧ A'(A州 ⼆ 州 E
⑨ 䏚* = 1⽉1 E
@ 如⽚ = ( 脚
① 奶头 (䏚-1
⑦ IABH ⼆时胩
⑦ 妒忙 IAPA12 初等变换
、
① 倍乘
⼀个⾮零常数乘矩阵的某⾏咧)
② 互换
互换矩阵中某两⾏例)的位置
③ 倍加 将矩阵的某⾏咧)的1倍加到另⼀⾏咧)
13 初等矩阵的定义 :由单位矩阵经过⼀次初等变换的矩阵称为初等矩阵
、
(11 倍乘初等矩阵 : Ezlkkl! ! ⻔ , E的第 2⾏ (或第冽)乘 K
12) 互换初等矩阵 : E ⼝ = 18 : ⻔ E 的第 1 , 2⾏ (或 1 , 冽)互换
,
l i d
B)倍加初等矩阵 : E.lk) = E的第 1⾏的1倍加到第3⾏ (或 第 3列 的1倍加到第1 列)
14 初等矩阵的性质
.
① 初等矩阵 的转置仍是初等矩阵
T T
Eilk) = Eilk) Eij = Eij Ǘjlk ) = Eijlk)
② 初等矩阵都是可逆矩阵
IEilkIE.ch -1
IEijlk
-
I
1
E.ir
Eij = Eij k)
③ 若A为可逆矩阵 则A- 定可通过若⼲ 1有限次初等 ⾏变换 化为同阶单位矩阵E 即Ps.nl?RA=E
, ,
④ 左⾏右列变换
对 啊矩阵A进⾏初等⾏变换 相当于矩阵A左乘相应的 初等矩阵
,
对 啊矩阵A进⾏初等列变换 相当于矩阵胎乘相应的 初等矩阵
,
如 A-UIIE.EU)
则 ⻄A = ⾏ 到 左乘⾏变换 AE 12 = 同上) 右乘列变换15
⽤初等变换法求逆矩阵的⽅法
.
IAIEJ-IEI.AT
䦷 [ 剧
=
16. 等价矩阵 - nA) = nB)
⻔ 矩阵的 秩定义
、
△ 设A是mxn 矩阵 , 若存在 k阶⼦式 不为 0 , ⽽ 任意 141 阶⼦式 全为 0 , 则 rcA) = K
< 若 A是 nxn 矩阵 , 则 rlAnxn) = n - 1⽉1 #0 胢逆
18. 矩阵的 秩的性质
111
初等变换不改变矩阵的秩
12) 设 A是 mxn 矩阵 B是满⾜有关矩阵运算要求的矩阵 则
, ,
OErlAkminfm.ru}
①
② rlk.lt)
=
r(A) (140)
③ rCABJEminlrlAI.nl3)}
④ r(A +31 ) Erlhtr431
⑤ rc䏚
=
{ ! ! 箔个品 其中 A加阶⽅阵
,
rcAkm
⑥ r(们 = nA)
⑦ 如果 RQ可逆 则 rCPAQkrlAI.rCPAkrcAI.ru/tQ)=rlA)
,
⑧ 如果 Amxn B A13=0 则 rntrcBkn
, … , ,
⑨ r[钻]
=
rntrn
④ ⼥的和13相似 A ~ 13
r (A) = nB) , rlAtkE) = rc BtkE)
① rA) 三 A 的列秩 ⼆ A 的⾏秩19 求 如 的⽅法
.
① 算 ⽉ ⽉ 归纳出结果
, ,
100
② 胩 113⽐) " 且 BGCB时 ⽤ ⼆ 项式展开 。 如 (1 年 到
, , ii.
36
③ A是⽅阵
,
且𠮿= 1
(cid:15482)
1班 Etrif A
N 信 割
=
正对⻆线和
20 求逆矩阵⽅法
,
①定义法 : A13=E , 肚13 - 抽象型
肚 前 炉
② ⽤伴随 : 〉 具体型
☆03 初等变换法 : (A1E) = (E 1 刖
前
(cid:15482)
⼆阶矩阵的逆矩阵
:
主对⻆线对调
,
副 对⻆线变号
,
再乘
若A = [9 年 了 则 肚 前肚 ic [
兜了
,
矩阵 ⽅程
21
、
若 AX = B 则 X = AB
,
若 XA =13 则 X =
13A'
,
'
若 A奶 =C 则 X = 肚 51
,
22 副 对⻆线分块矩阵的逆
、
们
⼆点
A
A-G.mil公式 ⼤全
[
KAA⼗I-时MAIIÁAt⼗B⽉IIIAltlBCK
1
AIEKATM.tl
:
354 Át ⽉ ⽐们 ⼆ 嫠家
(A tB) ⼥ ⼆ Ā⼗时 (kA)*
=
1 1AB1 = 1⽉1 1131 = 1131 1⽉ 转置伴随 道醷2个可交换
(AB) ㄒ = BTÁ 们" = ( A) ㄒ
|
| (AB)^
=
13灬
⽹上 ⼩⼴
㥊*
=
13州
(A B) kt AKBK
丹⼥
⼆ (
䏚
乘积可交换 i 䏚' = ( Ayk
AEA.AETKKE.(AA灯 E(
=
|
AKE 1 (A 啊 (䏚 K
=
朤靠赢
1刖 N
=
f n = A / 1 刖 ⼆ 前
1 是䂬
侧 州
⼆
-A
州 "
州
⼆证明 : 若 r(A) =n- 1 , 则 r 1时 =1
1 1䏚 2 1 - Āto 秩的 定义
〈
分析 : 1 1䏚 ⽃
r.nl ⼀个管壍
rcnt 吲 ⼼
证明 : Y r (A) = n-1
汩存在 m 阶 拭 不 为 0
vrnrr
某个叙式Mij
Ai. ij⺕-⻔c使-DMijtoi.AT
,
0
i.hn?l-xircA)=mcni.lAl=0i.AA*=lAlE=0i.rlA)trlAYtnXrcA)=n-li.r(
䏚 < 1
⼀⼀
综上 r啊 =1线代李永乐 矩阵知识补充
链器1
⼈ 对⻆矩阵
① 两个对⻆矩阵相乘 位置可调换
,
1铅器1 1: "毕⼩ ! ! 您 咰 1: "器了 1铦器1
=
。
② 对⻆矩阵次⽅等于 对⻆线元素分别次⽅
链㓡 1𪆓
=
③ 对⻆矩阵元素不为0 元素的倒数是它的逆矩阵
,
ǎ 0 0
1 ⼩
1铅器1 ⽶ 啊
0 0 点 1
2 设2 1加 维列 向量
、 .
列 X ⾏ = 矩阵 : 2P 82 2N 11⽇) (则「
. . .
⾏ ㄨ 列 = 数 = pa.ip.22.CAT(A2)
3
⻅到 戏 想到 对称矩阵
. ,
Ai
Á⼆时142㕹 双 A
= =
4 ⻅到 双 是⼀个数 , 且这个数等于 向量各元素的平⽅和 (⼤元)
.
5 .
如果 A可逆
,
那么A的逆矩阵 唯⼀
,
记作时6 逆矩阵的三个公式
.
① 倍加矩阵 的逆矩阵 把倍数改成相反数
,
- -1
liiiiH.lt
② 两⾏互换的矩阵 逆矩阵和原矩阵 ⼀样
,
- -1
iii) litiil
③ 某⾏乘K 逆矩阵是它元素的倒数
,
1 ' 毕 11点1 0 0⼩ Iǒ1 0ò0ǐl
:
。
7. 分块矩阵的 ⽤法
① 求AB.M.li
② ⽅程组解
③ 向量组的线性表出
④ 求 秩
8. ⽅阵 的⾏列式
① 州 ⼆ 州
② 1 141 1 M 1⽉1
- =
③ 的131
=
1⽉1 1131
1 ⽉1
=
1⽉2④ 㖄 ⼆ 州 叫
前
⑤ 你1 =
⑥ 1 合 ikli.it 制
⼆
州州
m阶
-
1 号 : 1 1 号 : 1 1 战 1 uǐn 1131
= = =
\
啊
⑦ A 和 B 相似 A ~ 13 则 H = 1131 IATKEKIBTKEI
, ,
⑧ 1 At 131 丰 州 + 1131
9 内 积的性质
.
① ( 2 , p) = (P , 2) = 邓 = 172
② 的 , P = (2 , p) = K (2 , p
③ (2+p , r) = (2 , r) + p , r)
④ ( 2 2) ?0 当符号等于0时 ⼜是 0 向量
. , ,
永乐⽼师举例 1 A
.
B 加阶
,
⽇1 =2
,
Bk-3
,
求 1 2 肪列
,
1时孔 尔咧
懰
迦
① 1 2 捌 1 = 2 1 1州侧 ⼆ 2nAm.n-znzi.ci -_-
② 1时孔 尔咧 = 㥊协 - A 1 1131 咧 = 1 ⽉ 15 ' l M - 1131 ) |
兴
= 1 5 A-咧 = 5 " 恬) =
③ ⻧制 加州 㤡 = ⼀ 听 外 㠺 = ( ⼀ 吃 𠇁 " = -23 "
=永乐⽼师举例 2 设 B . C都是A的 矩阵 , 求证 13 = c .
证明 : i B
C都是A的可逆矩阵
.
i.BA =AB= E
CA = AC= E
i B = BE = B(AC) = (明)C = EC = C
、
永乐⽼师举例 了 证明 A𠻺 ⼼ 仍⽆
证明
:
01 必要性
汋可逆
i.AM = E
11㖄 ⼆ 州州 = 1
i.INFO
② 充分性
Y 州 北 由 AAIĀAIAIE
,
第 架
i. A . ⼆ 。 A = E
尜
i. A 可逆 且 A' =
,
(cid:15482) 推论: A B 是 n 阶矩阵 如 AB=E 则何逆且⺮13
. , ,
|! 引
注 : [ 6 0 ⻔ ⼆ [ 6 ⻔ 虽然仍 但A 不是可逆矩阵
,
,永乐⽼师举例 4 A是啊 矩阵 满⾜ A2-3A-z.EU 则 At_n.CAT -_-
, ,
① A2 -3A=2E
02 (AtE) (A -4E)+2E=0
A (A-3E )=2E (AtE)(A-4E) = 2E
A . 位 (A-3E)] =E (AtE)
,
位(4E-A)] =E
i.AE 乏(A-3E)
i.ME)-1
=
主 14E- A)
永乐⽼师举例 5103) lAA 13均-为E3阶I矩E阵 -AY31 =A2A+BBZB = A [站 tB 到 i,.A 则 B-z.lt
. , ,
-13 =0
BLA-EJ-ZA-12E-2EBLAEJ-zlA-Ekz.EE
(31 -2E)](A-1) = E
i. (AETE 乏 (132E) = ⽴ 医 途] = -4
永乐⽼师举例 612012) A是3阶矩阵 , 阿逆 , 陗P = [ ! 𠵯 若 经 [a , ⽔ , 2 3 ]
,
Q= [2 .+22 , 2 2 , 2 3 ] , 求 QAQ ⼆ -_-
YQPigi.QACIPIigiAPIigiiijin.pl
tilli
vnru
倍加矩阵 的逆矩阵 把倍数改成相反数
,
⼆⽇ !1 1 : ili
箱列管席
则 : 01 第⼀⾏川旁加到第 2⾏
[: 沟 @第⼆列 加到第 1列
=永乐⽼师举例 7 已知 A= [G . ⻔ 是3 阶矩阵 , 1⽉1 =2 , 把 A第 2 ⾏ 的 以信 加到 第 3⾏
得到 B 则 13131㖄
, =
由题得 13 = [! ! ⻔ A
i. 3131 忙 了 ! ! ⻔ A 忭 = 3 1 号 ⻔ 外 E
-
6
1:别
=
⼼弣 州 ⽐ : ⾮ 班邀 班 枈了
⼆
。
倍加矩阵 的逆矩阵 把倍数改成相反数
,
永乐⽼师举例 8 已知 A = 〖 王 芳 ⻔ , 将 A⽒为 ⾏最简下 , 并求可逆矩阵 P 使阴 ⼆ 下
由
Pt-BRABPtn.BR
E = P
即 A→ B 同
E-spi.CA/E)-lBlP)lA=Iiiii'-
鬭
-
F
P
i.FI! ! ! ⻔
叫: ※
1 6 亏产
号| 辞别
永乐⽼师举例9 设 A = , 乃为 3阶⾮ 0 , 且A31 =0 , 则 t = _
i A3 =0
AB= A ( f , 冷 , B) = ( AA.AE , AB) = ( 0 , 0,0)
ft(cid:15482)p.t.A?z0,Af=0nf,Pz
只 为 Ax-0 的解
,
ˋ B:FOi.NO
有⾮零解
lz-zi.lt/4t3/=5ltt3K03-lli.t-3
永乐⽼师举例 10 设A I ! ! ⻔ 则 12⽉刖 ⼆
,
州 到
州 =
3名
=3 . 1-1 = 3 1 6 -5) = 3
1 2 㖄 = 2 1⽉刚 = 2 3 1⽉1 1⽉1 = 2 3 1⽉1 1⽉1 =2 3 1⽉1 2 =2 3 × 3 2 = 72
〖 ! ! 划
永乐⽼师举例 11
A= ⼼ 巧 则 仁
, ,
法 : 概念 : ⾏列式 丰
0.ir/AF3L4i.lAI=01AkliiiiHliiiiHl:!if-no
0 0
i k= 3 或 K= 1如仁l今闵）＝1 -�I
仅 K ：：-5 �有 /Al 二O ,
甘－；
-=-lb
:、 K ：：： 一夕
汰二：仰呀项授
巨
T七 I 1l - - kI l
A 二 L K 1I tK
1
1 I kI 吐 o 巨 三勹行长』
1 I , K t o
- ．
K -
=－＄第 三讲 向量组
1 ⼀个向量作为向量组的情形
、
① 2=0 线性相关 北北 使 K2=0
, 。 ,
② 240
,
线性⽆关
。
只有 10时
,
使旧=0
2 线性表出 :P ⼆ kaitkzaz.tn tkmk蚀m
、
线性相关 : 对m个n 维向量 a.az … am , 若存在⼀组不全为0 的数 h.kz , ⼀ km 使得
kaitkzaztn.tkmam⼆0
,
称向量组 a.az
,
⼀⼀.am 线性相关
(cid:15482)
含有零向量或有成⽐例的向量的向量组必相关
线性⽆关 : 只有当 k -1 2 出 F… = K m =0 时 才有 katkzazt.it/cmam=0成⽴
,
称向量组 a.az
,
⼀⼀.am 线性⽆关
(cid:15482)
单个⾮零向量 两个不成⽐例的向量均线性⽆关
,
3. 判别线性相关性的七⼤定理
定理1 : 向量组a.az … ancms
线性相关的充要条件是 向量组中⾄少有 ⼀个 向量可 由其余的 n-1 个向量 线性表出
线性⽆关的充要条件是 向量组中任何 ⼀个 向量都不订 由其余的 n-1 个向量 线性表出
定理2 : 若向量组 a.az … an 线性 , ⽽ pg.az … an 线性相关 , 则 时由
a.az … an 线性表示 , 且表示⽅法唯⼀ 。
定理3 : 如果向量组R.pz.pt 可以由 向量组 a.az … Gs 线性表示 , 且t>S , 则
P..fiA线性相关 (以少表多 多的相关)
,
( ⾼维空间 可 表示低维 空间 反之不叮 )
,(cid:15482) 如果向量组R.pz.pt 可以由 向量组 a.az … Gs 线性表示 且 Pi.pz.pt
,
线性⽆关 则 ts
,
.tn
定理4 : 设 m个 n 维向量 a.az … am 其中 1 a = [an.cn ,
[ az.az
aaizi-= in-i.
,
-h_- n
ai
[ am.am
= ,
则 向量 组 a.az , ⼀ .am 线性相关的充要条件是 ⻬次⽅程组 A x =0 有⾮零解
其中 ⼆ A = [a a … 幻想 籤 : 𠠬 不 關
,
(cid:15482) m个 n 维向量 a.az … am线性⽆关的充要条件是⻬次⽅程组 Ax ⼆0 只有零解
注
:
① 若⽅程个数 ⼩于未知数个数 cmm) 线性⽅程组必有⾮0解 必相关了
.in, ?f
鬬䉮
⾼
②
:
戀懟鬣
箱器
⼩
ln
维列 向量a az.tn 线性⽆关 IAkla.az ⼀ 训 丰0 ⇐ 如 只有零解
, ,
③ 若⽅程个数 ⼤于未知数个数 (mm)
,
⽤定理 6.7
定理5
:
向量 时由 a.az … as 线性表出
痝|
⼀ ⾮⻬次线性⽅程组 [a , 红 ,⼀ 幻 = ax.tazxzt.itasxip 有解
\S
- 1 ( [a , az.tn ) = r ( [a , a __ s p] )反之 向量 ?不能由 a.az … as 线性表出
:
虥|
⼀ ⾮⻬次线性⽅程组 [a.az ,⼀ 幻 = ax.tazxzt.itasxip⽆解
Y-rCIa.az
… 们 ) trlh.az -_- , as , p] )
←> r ( [a , cnn.aihtl-rlh.az -_- , as , p] )
定理6
:
向量组 a
,
aiam中部分 线性相关
,
则 整个 向量组也线性相关
(cid:15482) 整个 向量组 a , az.tn线性⽆关 , 则 任⼀部分向量组都线性⽆关
定理7 : 原来向量组⽆关 , 延⻓了 也 ⽆关
原来向量组相关 缩短必 相关
,
4. 矩阵等价 = A 31 同型 ←> V(A) = nB)
.
向量组等作 队伍1 同维⾏数相同) - m) = r(⼆) = r 红 五)
,
5 设向量组 a.az 以及 P 冷 各 若只 liiz.tl均可由 a.az …以线性表出
. … , … ,
则 rcp , 冷 … A ) erca.az … a)
(cid:15482) 两向量组 被表出的 秩不⼤
, ,
6. 过渡矩阵
癌 獃 剴
:
= [ ㄉ 名 们 C
[ 叭叭 - m ] = [ s , 名 , ⼀ 幻 , …
矩阵 C 称为由基 尔 , 名 … § n 到基 尔 , 727 n 的 过度矩阵 。7. 坐标变换公式 = x- G 或 ⽕ cix
8. 求极⼤线性⽆关组的步骤
① 将向量组拼成矩阵A 作初等⾏变换 求出 以⼩
, ,
② 按列找出⼀个秩为 ⼦ (A) 的⼦矩阵 即取为⼀个 极⼤线性⽆关组
,
注 : 01 极⼤线性⽆关组不唯⼀
② 求极⼤线性⽆关组 时 只能都作初等 ⾏变换 (或都作 初等 列变换)
,
.
9 . 0求秩时 : 叮作 初等 ⾏变换 , 可作初等 列变换 , 也可混合变换
-求极⼤线性⽆关组 ⽇求 只能都作初等 ⾏变换 (或都作 初等 列变换)
,
求⽅程组 ⽇求 只能都作初等 ⾏变换 (或都作 初等 列变换)
.
10
证明向量组线性相关的 充要条件有
⼆
.
① 从向量组线性相关的 定义 : 存在⼀组不全为 0 的数 么 kziks 使得
,
katkzaztr.tk
s
a
s
=0 成⽴
② 从秩的⻆度 : rca.az , - a s ) < S 1个数
③ 从向量组内 向量之间 的 线性组合关系⻆度 向量组内 ⾄少有 ⼀个向量 可 被其余向量
,
线性表示
④ 从向量组a.az… as 对应的⻬次线性⽅程组解的 ⻆度
,
线性⽅程组
katkzaztu.tk
s
a
s
=0
必有⾮零解11 证明向量组线性 ⽆关的 充要条件有 ⼆
.
① 从向量组线性相关的 定义 : 要使 katkzaztu.tk s a s =0 成⽴ , 当且反当
k.kz ks均为零时
… 。
② 从秩的⻆度 : rca.az , - a s ) = S 1个数
③ 从向量组内 向量之间 的 线性组合关系⻆度 向量组内 任何 ⼀个向量均不可 被其余向量
,
线性表示
。
④ 从向量组a.az… as 对应的⻬次线性⽅程组解的 ⻆度
,
线性⽅程组
katkzaztn.tk
s
a
s
=0仅有零解
12 两个结论
.
① Anxn ⽅阵 可逆 , 则 rlA.is) = r(13) 可逆矩阵在乘法中不 改变科
② Anxm 且 ⽐A)=n (列满秩) 则 rlhnx Bmxs) = r (B)
,
㒞 蜜 劓
13 注 : 求 扣时 注意负号 A * =
.
以 注 ⾏列式 1A 1 𠳏顺 要与绝对值区分
: ,线代李永乐 向量组知识补充
1 . 2 1 , ⽔ ⽆关 , 21222了 , 2224相关 , 称 2⽇ , 是 2⽇22324 是 ⼀个极⼤⽆关组
2 零向量⽆极⼤⽆关组
、
⽆关组的极⼤线性⽆关组就是本身
3
.
若 ⼩⽔ ⽔ ⽆关
,
则 极⼤⽆关组为 ⼩⽔ ⽔
,
r (⼩ ⼩⼦ 了) =3
4 M) = A的列秩 = A的⾏秩
.
5.
矩阵A和13等价
:
A 经过初等变换可变成 31 1 秩相等)
向量组 红) 和 四)等价
=
11)和 四间 互相线性表示
例 : 矩阵 [6 ⽇ 和 [8 9] 等 所
列向量组 [6] [⻔ 与 [红⻔ 不等价
⾏向量组 [1
.
0] [0
.
0] 与 [0
.
0] [0
,
⻔ 不等价
6. 政矩阵 : 若AAEATA = E , 则 称A是政矩阵
A是正交矩阵 ⼀⽉⼆⽉ 1
-
A的列 向量 为单位向量且两两正交
(cid:15482) 1⽉ 为 1 或 以
.LA/I=E=7lAATl=lEllAllA7=llAl2=llAl=Il永乐⽼师举例 1 设 2 1 = (1 . 2 , 订 , 2= (1 , 3,4J , 2 3 = (2 , t.li
p= (2
,
5
,
印
,
问 七 取的直时
u) 向量 ?不能由 2 2 2 线性表示?
., 2, 3
(2) 向量 !能由 2 2 2 线性表示?并写出此表达式
., 2, 3 。
T
解 : 设 不21 ⼗ ⽔⽔⼗ 奴 了
即 不 ( 1 1 2 1 3) T txz.cl , 3 . 4) 4 X3 12 , -1 , 1) ㄒ = (2 . 5 . t) ㄒ
.is
( 不⽐ 2+2⼈
,
以⼗3加加
,
孙⼗4112⽐3 ) [ (2
,
5.tt
l.䵼籲
对增个矩阵 仜 (⼩ ⼩ 2 P) 作初等⾏变换
, , 了 ,
1惤 诽 11 : 11 鈈 11: 㠜
A. :
,
当 切 时 ⽅程组⽆解 !不能由 2 2 2 线性表示
, ., 2, 3
121 当⼼ 时 后 1 : io H : Ül
,
设 X3 = K 则 ⽔ = 5141 不 ⼆ 17k
, ,
i. f = (1 -7142 1 + 15141) 2 2 t K23 , k为 任意常数永乐⽼师举例2 设 2 1 = (以 , 1 , 叮 , 2= (1 , 叺 , 中 , 2 3 = ( 1 , 1,4 ⽗
p= (0 ⼊ 何 问 ⼊ 取的直时
, , ,
u) 向量 ?不能由 2 2 2 线性表示?
., 2, 3
(2) 向量 !能由 2 2 2 线性表示?并写出此表达式
., 2, 3 。
?
解 : 设 不21 ⼗ ⽔⽔⼗ 奴 了
对增个矩阵 仜 (⼩ ⼩ 2 P) 作初等⾏变换
, , 了 ,
Ātiitiij
① 如果 ⼊⼆0
,
解 ⽅程组 xtxztx了 ⼆0
n_nA)=3-1 =2 个解
设
xit.x-u.XF-t-ui.f-lttumttaztuh.tn
为
任意常数
② ⼊ ⼲0时
iiiiil
Iij
-"
当⼼ 3时
,
以 toxztoxziz ⽅程组⽆解 !不能由 2 ., 2 2, 2 3 线性表示
蘁
当⼊北 且⼊⼿3时 ⽅程组有唯解 | 瞿集? 㤊
,
! (cid:15482)
⼊42⼊+
X了 ⼆ ⼀ ⼋⼗了
i.
p-_- 器 不 ⼗点2 2+
器"
2 3永乐⽼师举例 3 已知 2 . = (1 . 2 , 1)? 2= (2 , 3 , 上 , 只 = ( 1 , 3 , I
冬 (1 , 细 , I , P , 不能 由2 . , ⽔表 出 , 只能由⼩ , ⼩
表出 则 aii
,
分析 : 奴 , ⼗⼋ 2= P , ⽆解
奴
,
⼗⼋⼀ 是 有解
1 2 1 1
偿.in测1 /o 1 -ii r a z.tn Io1o点atlha-3l:lXi2itXz2z=P
⼀
⽆解
,
IX.
⼩ ⼗⼋⼀ 是 有解
i. k a z-a 3 天0 1 管城
(cid:15482) (cid:15482) a-1
3
-3=0
永乐⽼师举例4 判断 2
.
=11
,
2
,
-1
,
如
,
2= 10
,
-1
,
-5
,
⽔
,
512
,
5,3
,
叮 的
线性相关性 3个4维向量 必相关
.
解 ⼆ 设 不21
txzhtxs-olitl.tl
𥳀算 了
i. ⼩ , 2 2 , 2 3线性相关永乐⽼师举例 5 已知向量组 2 . = ( 1 , -1,0 , 对 , 2= 1 2 , 0 , 1,4 ㄕ , 2 3 = (3 , 1,2 , 3) ㄒ
2 4 = ( 4 , 2,3 , ⽐ , 其中 a 是参数 , 求向量组的秩与⼀个极⼤⽆关组 , 并将其它 向量 ⽤该
极⼤线性⽆关组线性表示
⼀
〖 i i : 劐
解 ………
① G=2时 nA) =2
,
2
.
2: 为极⼤⽆关组
2 3 = -21+222
24 = 221 ⼗ 322
② ⽐2时 nA) = 3
,
2 2224为 极⼤⽆关组
,
23
=
-2
1
⼗222第 四讲 线性⽅程组
具体型线性⽅程组 告知aj
(
⼈ 必考⼼
抽象型线性⽅程组 未告知的
2
⻬次线性⽅程组
.
fnx.tazxzt-tanxn-oazlxitdzzh.tl
" ⼗ Gznxn = 0
-_- -_- -_-
lamihtamxzt.it
Gmnxn = 0
该⽅程组䋺
㔆
鱲
犫 瀏黛 嚪
⽅程个数
箭 :
=
未知数个数
矩阵形式为 Amxnx ⼆ 0
11) 有解的条件
① Ntkn 列 满秩 ( a az.tn 线性⽆关) 有唯⼀解
, , , ,
② rcltkn
,
列 不满秩
,
( a
,
az.tn 线性相关)
,
有⾮零解1⽆穷解
,
且有 吓个线性⽆关
12)
斛的性质
若 A§ =0 A名=0 则 ACKG.tk 2 名) = 0
, ,
☆ 13) 基础解示 :设 系 , 名 … § … 满⾜
①
是⽅程组从-0 的解
② 线性⽆关
③ ⽅程组⺮0的任⼀解均可由 多 , 名 -.- § … 线性表出 ⼀ s= n_nA)
则称 系 , 名 … § n_n 为 ⺮0的基础解系
141 求解步骤
① 系数矩阵 A作初等⾏变换 没 HAFr
,
②
按列找出⼀个秩加的⼦矩阵
,
其余列位置的未知数设为⾃由变量
③ 写出基础解系 多 名 §
, -_- …
④ 通解 : Ax 的通解为 khtkzht.it khnr3 ⾮⻬次⽅程组
、
anx.tazxzt.it
|anxn-b.MX/tGzzXztintGznXn=bz--.-----lGmiX,tGmXzt-+
Gmnxn bm
=
该⽅程组系数
躞
豳 豳
懽! 蠮
就 幽
该⽅程组增⼴矩阵为
amzlbzIAib i
tiii.li/amGa·
i,dmm-_z-..i-b第-G.amznibm
-_- 2n
巧
矩阵形式为 Amxnx
们 有解的条件
① r(A) t r [ A 1 b] (b不能由a.az … an线性表出了 则 ⽆解
, 、
② rcA) = r [ A 1 b] = n (即a.az.tn线性⽆关 , ai.az… an , b线性相关 , 则有唯⼀解
③ 𠴕 = r [ A 1 5] < n , 则有⾮零解1⽆穷解
12)
斛的性质
设只 ⽣ 惿⾮⻬次⽅程 Axh的解 缇对应⻬次线性⽅程组亽 =0 的解
, , ,
则 107 ⼀⽣是成 ⼆0的解 02 1分⻔是⼩动 的解
, 。
B)
求解步骤
① 求A x= 0 的通解 khtkzstntkn-rb.hr
② 写出 A - b的 ⼀个特解 ⻔
③ 则成巧的通解为 ks.tk况⼗ … tknrhrrty
141 通解 : Ax 的通解为 khtkzht.it khnr4 ⾏ 阶梯形
.
① 若有 0 ⾏ 都在下⽅
,
② 从⾏上看 ⾃左起出现连续0的个数⾃上⽽下严格增加
, 。
5 ⾏最简 阶梯形
、
① 若有 0 ⾏ 都在下⽅
,
② 从⾏上看 ⾃左起出现连续0的个数⾃上⽽下严格增加
, 。
③ 台⻆元素为 1
④ 台⻆正⽅向元素全为0
6 抽象型线性⽅程组有解的条件及解的判别
、
u) Ax =0 总有解
,
⾄少有零解
.
只有零解
u) Amxnx ⼆0 1 nA)=n ,
𠯢 r(A)= r(13) = r [ 㓣 (三秩相同)
9
做题结论
.
1171 若 Ax 只有零解
,
则 ⼼=n 1列满秘书 r[A
,
b] =n
,
Anb可能有解
,
可能⽆解
|
若 Ax巧有唯⼀解 则 nAFH.AM] =A的列数⼏ 肶 只有零解
, ,
叫 若 Ax 有⾮零解(⽆穷多解) , 则 Ntkn 例 不满秩 1-rlAHH.lt , ⻔ , 分的可能有解 , 可能⽆解
|
若 成巧有⾮零解(⽆穷多解) 则 rcAK我H.AM]⽐=A的列数 n 肶有⾮零解
, ,
B) 若 A⾏满秩 则 ⼼= r[A们 Axeb必有解
, ,线代李永乐 线性⽅程组知识补充
永乐⽼师举例 1 192) 2 1= (1 , 0,2T , 2= (0,1 , ⼀ ⻔都是Ax 的解 , 则胢以是 ( )
A.fi B.fi
c.li 国 咋回
。
:
⻬次⽅程有2个⽆关的解
i. n_nA) 红
⼜ 红了
i.ru El 排除B_D
⼈ 的 , = f i ] 卧倒
⾃ 䏘⼩区了
的
2 =
i. ⼩ , ⼩
是解
(选项 ? A⽔ = f : 北⻔ ⼆ 间 ⽆
22不是Ax 的解
i.
⿂
不 壕t t ㄨ3⼗九 ⼗ㄨ5 =2
永乐⽼师举例2
⾮⻬次⽅程 3协 ⼗4不 2
ㄨ了⼗3114⼗化5=4
⼗5ㄨ2-13X3+24+2ㄨ5=6
对增⼴矩阵作初等变换
! ! ! ! ! 詶 : iiiii.it:01
不⼀
ˇ ˇ
⾃由变量
⼼约1=5-3=2 <
解的结构为 ytkb.tk说问10 tk.lt 㗴
i. 通解为 :
-2 0 3
永乐⽼师举例 319引 已知⽅程组 偐焱器䉑 有⽆穷多解 求雌并求⽅程组通解
,
对增⼴矩阵作初等变换
1 1 G 䤵4
A-liii-liiiaitli.it
r31 --f1rzl2i.io-:44/-f:ii-zy0OtHDl4a)da4)
⽅程组 r有c ⽆ A 穷解 I-r⼀cnani.GE
4
Ālǒii 到 呢0: 剁
䦷 问
⽅程组斛为 : + k
永乐⽼师举例 4195) 解⽅程组 牌 f 㱜+2113+X4=1
器 器品
X,
对增⼴矩阵作初等变换
-1 器 !⾮ 1点 : 絒 ' 器 闹
不 。 : :① 当红2时 1(A) =2 ⼲酒)= 3 ⽅程组⽆解
, ,
②
当 a#2时 𠴕= n们 =3 < n=4
⽅程组有⾮零解(⽆穷多解)
,
io
絒 :
Ātiitiii
a-2
⾃由变量
为ㄨ
4
n_nA) = 4 -3 = 1
|-
下10
| 问 -3
a-2
⽅程组斛为 : 器 t k
在
1
0
永乐⽼师举例 5 A = (⼩ , ⽔ , ⼩ , 2414阶 , 22,2 了 , ⼜ 4 ⽆关 , 2 . =22 2- 2 3
p = 2 , 加⼗⽔+2 4 , 求 Ax⼆⽇ 的通解
三 秩相等
ˋ: 2 2, 23 . 2 4 ⽆关 (cid:15482) rA) = 1 ⽇ , 双3241 巧
且 2 . =22 2- 2 3 (cid:15482) 2 .- 22+2 3 =0 (cid:15482) 2 , 222 了 相关 (cid:15482) ⼩ 222324相关
i. 𠴕 =3 (cid:15482) r (A) <4
N(A) = 4-3 =1
A p
i x =
闪
i [⼩ 223 扪 = 2 、⼗⼋ ⼗ ⼋ ⼗24
.
ˋ . ˋ 2 . =22 2- 2 3 (cid:15482) 2 . 22+2 3 =0
⾃ * 间
i. [⼩ 223 扪 ⼆ 0 i ⽅程组解为 : t k
.
0永乐⽼师举例 6 通过⽅程组求矩阵
求和矩阵 A= 〖 引 可交换的矩阵
设⽕ 原 副 与A 可交换
即 AKXA
I. 㢽㴊 消 剡 出 引
iii. 㵘1
xt2X3x-xzf-fx.no
⼀⼩⼗3113 X344 ⼗⼋ ⼗2113⼗ㄨ4 =0
-九⼗了1142X3214
XztZX3-OB-ii.int
(13) = 42=2 , ⾃由变量为加 , 不4 , 令 113
t.XFUX-zttuxz-zti.x-Eiilt.vn
璄常数永乐⽼师举例 7 通过⽅程组求矩阵
Ii 别 活⻔
X = 则 仁
,
以3
旗
上 (刿
注 : 若 可逆 如 尔
,
若矩阵不可逆 对 肞 =13解⽅程组
,
设 ⽕ 㶜 则 沿 ⻔ 㶜 = 话 : 1
,
3亿
/ X , ⼗ 以 ⼗粥 = 4 1 以 ⼗ 242 ⼗ 343 = 5
1 2⼩ ⼗ 张 t 𢖾 =5 ) -3⽕ +44 3 = 6
lg
因系数相同 将2个矩阵拼在⼀起
,
liii-l-i-iti.ly
⾃由变量
为加
k ⾃由变 z 量为 f 加 ,x 令 i ⽔ - 冰 z, 创 .t了 ⼆ k
1 f 籣 x , -_-3+ K 2
- _
| X2 = 3 -2h P 2 = 4 -2K 2
X3 = k x3 = kz
1 巒 Ǘǜ
i. ㄨ = k.kz为 任意常数永乐⽼师举例 8 向量组 ⼩ ⼆ (1 , 3,1 , ⻔ , 2= 1 - 1 , 1,3 , ⻔ , 2 3 = (5,7 , a , ⻔
线性相关 则 a =
,
2⽉ 2 2 3 线性相关 (cid:15482) (⼩ 222 了 ) x =0 有⾮
啡 歘 ! 黽 1 : 阔谁 : 商
n. →
,
。
i.at30
,
a-3
永乐⽼师举例 9 2 . = 12 . 3 , ⽔ , 2= 11 , 0,3 》 , ⼩ ⼆ (3 , 5,9 圤 ,
若 冬 (4 , -3 , 15) 可由2⽇⽔线性表示 冬 (2 . 5 , ⽌ 不可由2⽇⽔线性表示 , 求 a , 写出点 的线性表示 ,
由题得 不不 ⼗⽇ 2 ⼗ 沝 识 有解
⽔冷
⼩ ⼗ 如 ⼗ 出 ⽆解
雄 :启 1 : 訃伦影 : 到
(双 "
-
Ua ⽅程组 以 定有解
当红2时 ⽅程组 (到 ⼀定⽆解
i.az
卧
性潮
襝
n … …
⾃由变量
为ㄨ2
创 2 = t , 则 X , = 29 -5t , ⽔ = -18⼗张
i. f = (29 - 5t)21 t t 2 2 -1 1-18⼗列2 3 t为 任意常数永乐⽼师举例 10 求个⻬次线性⽅程组 使其基础解系为 7 . = 14 , 3,1 , 2) ㄒ , 1 2= 10 , 1,3 , ⽧
,
设肍 =0 为所 求 ⼀⼀ 不唯⼀
⼼
⼀罐
出鬰
䨊戀囂
设肍 =0 为所 求
由 A 以 江)
=
1 胑
,
肌)
=
10
,
0) =0
瀏
转置 腌 0
2州
记 13 = 1㓸 本 (⼩ , 刘 收2
,
B (⼩ , 加) = (1321, 132 2 ) = 10 , 0)
即 ⼩ ⽔ 是 Bx 的 解 (线性⽆关的解)
,
墹 治 阏 [
:-| 观览国
B - →
n_nB) = 42 =2
⾃由变量
为后
,
ㄨ4
31 -0 的基础解系
ㄒ ㄒ
( 2 -3,1 0) (2 2,0 1)
, , , , ,
i. 对应⻬次⽅程组 / X2I-3xz.tl/3=ozXi-2Xz-X4=0第 5 讲 特征值与特证 向量
1
求具体型矩阵的 特征值与特证 向量
.
① 先⽤特征⽅程 㤈外-0 求出⼊
② 再解⻬次线性⽅程组 ⽐ 加x=0 求出 特证 向量
,
注 : ⻬次线性⽅程组 ⽐ 加x=0 的基础 解系若为 身 则
,
1份 ( K 是 不为0的注意常数 ) 为 对应的 ⼊ 的全部 特证 向量
, ,
2
上 下三⻆ 矩阵与 对⻆矩阵 的 特征值就是对⻆线 元素
、 ,
3 特征值 的性质
、
设A = (G.in , ⼊ , ( 让1,2 ,⼀, 以 是A 的特征值 , 则
① 累加 点⼋ ⼆ 点 a i = tr (A)
② 累乘 赫 = A1
4 特证 向量 的性质
.
①
煄特证值⼊⾄多有 1个 线性⽆关的
特征向量
② 若多 , 名 是属于 不同 特征值⼊ , ⼊ 2 的 特征向量 , 则 系 , 只线性⽆关
③ 若多 名 是属于 同⼀ 特征值⼊ 的 特征向量 则 ks.tk名
CK.kz为不同时
, ,
为 0的注意常数 ) 仍是 A 的属于特征值⼊的 特征向量
④ 若多 , 名 是属于 不同 特征值⼊ 的 特征向量 , 则 多 , ⼗ 名 不是A 的 特征向量
5. 解 ⼀元三次⽅程 flN-akit-ta.it a 。 =0
① 若 a = 0 则 ⼼0 是根
,
② 若 akt-ta.tl 。 =0 , 则 ⼊ =1 是根 例 : ⼊ 3_3 ⼊ 2 - 6⼊⼗8=0=7 州 是根 .
③ 若偶 次项系数 之和 等于 奇次项系数 之和 则 ⼼是根
,④ 若 t.it Gkt.it … + a⼊ + a =0 , 则有理根是整数 , 且均为 a的因⼦ ,
例 : 1. ⼊3 - 4⼊ 2 -1 3⼊⼗ 2=0
则 ⼟1 或 圮 是根 代⼊寻找试根
,
6. 多项式除法试根
0 例1 1 ⼊E -A 1 = ⼊ 3 - 6⼊ 4 3⼊+2 =0
系数 = 1- 6 ⼗了 ⼗2⼆0 =) ⼼ 是根
2 -5
⼊ - 5⼊ -2 ⼊ 1 = 1 , ⼊ 2 . 3 =
M
+
⼊
23
- 6
r
⼊
2e
-13
m
⼊
⼊了
⼀
⼊2
-_-
5⼊43⼊
-
⼊5⼊
45
⼝
⼊⼗2
-2⼋⼗2
-0
⼊2 - 2⼊ -1 -_- a 。 汇 , ⼊圳 或⼊⼆ ⼠2为根
0例2 ⼊2-⼊3 - _4亿+3 - ⼊ ⼗02 代⼊找根
⼊ 3 - 2 亿 ¥2⼟
znrn ⼊江 , ⼊ … = = 1± r
-2⼏ ⼗了⼊
2⼊44⼊
-
-_-
⼊-12
7 求抽象型矩阵的 特征值与特征向量
.
l) ⽤定义 :
A§
=
鸡
,
§北
,
则⼊是A的 特征淔
,
多是A 属于 ⼊的 特征向量
121 1 ⽉ = ⼋ ⼋⼊ ⼀ 听表 : A§ = ⼊§ § 40
,
AKAAkfiAJAAPAPAtii.IO
§
8 做题公式
.
trc䏚 = A 11 ⼗肌 ⼗ 分 了 ⼆ ⻘ Ai , ⼆ 对 ⼗ 代 ⼗ 㒱 = ⼊⼏⼗ ⼋⼊了 加⼊了
9. 矩阵 的相似
若 A 13是两个 啊 ⽅阵 若存在啊 可逆矩阵 P 使得 㖿 = B 则称A和 B
. , , ,
相似 记诈A ~13
, .
注
。
反身性
:
ANA
龄囖凊点 !! 𤦉
☆ 则 吼
,
1。 相以 矩阵的性质 :
1 01 nA)=r(B)
-> @ M = 113 1
_
11) 若 A ~1 3
< 1 301⼼ ⽉ 1 = 1 近13 1
是 您真想隳 特征值⼊⼼以12) 若 A ~ B , 则 AM~BM.fi/t)~fcB)
3 3
例 : ⼩B 则 A - E ~ 13 - E
,
13) 若 A B 且A可逆 则A~D.HN) ~ f峢
~ , ,
14) 若 ANB 则 ÁNBT
,
151 若 A ~ B , 且A可逆 , 则成 ~ 旷
⼼ 若 A~ 13 , 则 AtkE ~ Bt KE
☆
11
矩阵的相以对觗
、
引⼊
您 管 ⻦ 背
䨾
缆 :)
帅 = ^ =
定义 : 测 阶矩阵A 若存在啊可逆矩阵 P 使得 阳⼼ ⼊为对⻆矩阵 记A~11
, , , , ,
称^是A的相似标准型
☆
矩阵可相以对觗的条件 12个充要 2个充分条件)
① A ~^ ←> A有 听线性⽆关的 特证向量
☆ 旭 啊矩阵胢相似对觗 - A对应于每个 煄特证根值都有14个线性⽆关的特征向影
③ n 阶矩阵A有 n个 不同 特征值⼊⼆) 胢相似对觗
④ n 阶矩阵A为 实对称矩阵 胢相似对觗
(cid:15482)
注 0
:琩 䰞䨊☆☆
B
☆
相似对觗 17卭 = ^ 步骤
、
(以州
① 求A 的⼊
,
n=
② 求A 的 ⼊的求特证向量了 P= (众 幻
,
③ 17 = 1台 , ⼀名) 可逆 , 则 PAP =A
例 : 设 A = 信 章 导) , 求可逆矩阵 P , 使 㖿 = n
解 亽 1北 州 愠怒到
⼆ ⼆ 0
(⼊⻔
2⽐10)=
0
(cid:15482) ⼊ ,⼆ ⼊ 2计 , ⼊3=10
步 炎 !
ㄒ
| ! ⼆ ⼝ 1 0 )
② ⾮⼊ 2=1 (cid:15482) (1 , .
T
Sz = ( 2 , 0 , 1 )
⼊ 3 =10 (cid:15482) 110 E-A) X =0 (cid:15482) 名 = (2 1,0J
,
③ 令 P=( 只 名 多) = 信 丝) 使脚 = ( " )
, , , 。
14 实对称矩阵
.
定义 若 AEA 则称A为对称矩阵 若A的元素都是实数 则A为实对称矩阵
: , , , .
11)
A是实对称矩阵 则A的特征值为 实数 特征向量是实向量
, ,
n)
实对称矩阵A的属于不同特征值的特征向量相互政
以 实对称矩阵 必可相似对⻆化 即必有⼏个线性⽆关的特征向量多 名 -_- 名 即中有可逆矩阵
, , ,
P = [系 , 多 … 们 , 使得 阳P = A , 其中 A = I ⼋ ⻔ 且存在政矩阵Q ,
,
使UAQ
=
dAQ=11
,
故A正交相似于11证12) :
实对称矩阵A的属于不同特征值的特征向量相互政
已知
:
A⼩⼆⼋⼩ A五⼆⼊冰 ⼊1班 需证 272式
⼀
上
转置 (1⽇)⼆⼈⻔丁
,
得 我不 ⼆ ⼊ , 我 右乘2 2
2何 , ⽔ = ⼊ 22
ㄡ A⼩ ⼆ ⼊冰 ⼜⼊为 实对称矩阵 A-
T
i . 2 、 A2 2 = ⼊ , 2722
我 ⼊222⼆ ⼊
,
孙⼩
(⼊ 2- ⼊⻔ 2722 ⼆ 0
⼜ ⼊ 丰⼊2
i. 2722⼆0
2 与⽔正交
i. ,
⼩结 : | ⼊ 丰 ⼊ 2 =) § , 与 名⽆关
。普通
⼏阶矩阵A
的 红⽆关
1
⼋ ⼆ ⼊ 2 (cid:15482)
了 与 红相关
,
1iiii.is?i;:囓
鬰㸑
:
|
必可相似对 多 与 红⽆关
,15 . 实对称矩阵的相似对觗 Q_Q ⼆ QTAQ = ^ 步骤
(以州
① 求A 的⼊
,
n=
② 求A 的 ⼊的多
政化
③ (§ , ⼀名) 藏 M.in -.- 7 n)
④ 亽 Q= M灬 7n)
,
且Q_Q⼆ QTAQ =^
例 : 设 A = 1 2 2 5 2 2 -4 ) , 求政矩阵 , 使 Q_Q ⼆ QTAQ
2 -4 5
解 亽 1北 州 尚弄到
⼆ ⼆ 0
(⼊⻔
2⽐10)=
0
(cid:15482) ⼊ ,⼆ ⼊ 2-1 , ⼊3=10
步 炎 !
ㄒ
| ! ⼆ ⼝ 1 0 )
② ⾮⼊ 2=1 (cid:15482) (1 , .
T
Sz = ( 2 , 0 , 1 )
⼊ 3 =10 (cid:15482) 110 E-A) x =0 (cid:15482) 名 = ⼝ 1,0J
,
③政化 ⼒ 施密特政化 (正交规范化)公式
0.iiiiiiiii-i.io
② 将只 冷 各单位化
, ,
彘
前 看
r- ⼀ n =
, ,
则 N 上 污 是标准正交向量组
, ,§ , 上 多 了 , 名 上§ 3 令 171 =,= 们
织 , 名) ⼲0 (cid:15482) § 1 4名 172 ⼆ 名 ⼀个器 , 川 , = H - ※⻔ ⼆ 简
到
取 1 1
2=
单位 化 : 1 0 = 乱 :)
.
倒
⼆药
yi
⼆号 信)
川
( " )
令 Q = (川 吐 啊 , 使得 Q_Q QTAQ = ^ =
, , 。
16 不求参数常⽤⽅法
.
(1) 若A ~ 13 则 IAHBI.tl/t)=rCB),trlA)=trlB),M=N3
, ,
⽤ 来求参数
12) 鄀 是A的属于特征1配 的特征向量 则有脱鹅 建⽴若⼲等式 (⽅程组)求参数
。 , 。 ,
B) 若⼊ 是A的特征值 则有 吡 -A 1 =0 ⽤ 来求参数
。 , ,
⻔ 由特证值 特征向量 反求矩阵A
、
思路
:
若有可逆矩阵P
,
使 1"那⼆⼋
,
则⼼》时
总给 A矩阵可相似对觗
,
则 1"那⼆⼋
iii.Ig｀曲饶叹扫1哗瑁l品证明
U)
定沁飞织拉对1捐r,Ar::::.仇见IA~8>
l2)畦戊炉心则网）＝违），IA)二尼J夕 四）寸{h) >心：：：入＆
l3)传扭：若A 勺＼
I
竺 见 lI A 违
ii]:l�) : ,!, 少
f
-t
胪 I\ 衍 b' 8 = f\
卢P ：：：：：＆ 一 1砱、
笥
1 APG一1
二
6
(p
a
于A C阳）＝b
令＝（？
=
砂书
? D-JAP＝仑
Al'v
今 巳线代李永乐 特征值与特征向量
1 求 特征淔 特征向量
. 、
(1) A2= 双 240
,
12) 1⼊E -A 1 =0
(不E-A) x =0
2 相似矩阵
、
A ~31 : 珂逆 P , FAP =13
A ~^
3
实对称矩阵
.
① ⼀定可以相似对⻆化
②特征值的不同特征向量相互政
③ 可⽤正交矩阵相似对觗
永乐⽼师举例 1 求州 鎐 州 特征淔 特征向量
、
nntikl.lt:1
=
418) | 会 " 过 | = (⼊-18) (⼊ 2 -27⼊⼗162) = (⼊-18) 2 (⼊9)
。
⼊ ,⼆⼊ 2 =18 , ⼊ 3= 9 ⼈ 特证值为 18 和 9
① 当 ⼊=18时 (18E -A)X = 0
,
×2.
加为⾃由变量
18EA.li 㓸 ⺠ 匪了
→T 「
得基础解系为 2 1 = ( 2 , 1 0) , 2 2= (-2 . 0 , 1)
k2.tk222 k.kz不全为0
,
② 当 ⼊⼆9时 (9E -A)X = 0
,
征北 进- 8 2 咖 2 信 - 烝 䮾 i Iiiil
-
i
l
→ 2 ( ⽴ 1.li 问了 从 北
3 = , ,
加为⾃由变量
永乐⽼师举例2 求州 -1 1 0 1 特征淔 特征向量
-4 3 0 、
1 0 2
1北 州 ⼆ 件 Ǖ 灲 = (⼼ ! ! 别 ⼀⼼ 吃 , 以
⼊ 1= ⼊ 2 =1 , ⼊ 2 =2
① 当⼼ 时 (⼊
EAJX, -OEA-t.it
诎 ⼩ 流 通
加为⾃由变量
⻔
2 . = (t , -2 , 特证向量 : ka.k.to
② 当⼊=2时
,
(2E-A)X =0 0 Tip 䲜: 撇驪法
t : 1 [6 g 。 成
2-
-
0 0 0 0 02 2个 不成⽐例的
加为⾃由变量
2 = ( 0 0.li 特征向量 : kzh.kz#0
,由例 1 、 例2知 有2 重根时 可能有2个⽆关的特征 向量 也 可能有 1 个⽆关的特征 向量
, ,
永乐⽼师举例3 㐜 = [ z o - - 1 1 2 4 ] 特征淔 、 特征向量
1 0 1
州
华 !
i1⼼.lt/i!2klifl=(M)/
竺 义 | = (⼊⻔ ( M 3⼊)
⼊ 1 = 1 , ⼊ 2=0 , ⼊3 =- 3
① ⼊1=1 时
,
(E-A)x=0
E- 〖 i j - l i 匪 得基础解系为 2 1 = ( 0,2 , 1 ) 「
i. kmck 刑 是 对应于⼼ 的所有特征向量
② ⼊ 0时
,
4EA)x-0
0EA ⼆点2 ò 1 刊-2 - 1 : 1 0:-@1 得基础解系为 2 2= (-1,4 , 1 ) 「
i. 旧业刑 是 对应于⼼的所有特征向量
③ ⼊ 3= -3
,
( -3E-A)x=0
-3E-A = k-1 t j - 1 0 1 0 1 N4 得基础解系为 2 3= (-4,2 , 1 ) T
-4 0 0 0
i. ⼼ 了(k
,
刑 是 对应于⼼的所有特征向量永乐⽼师举例 4 A -3阶 , A 2 +2A - 3E =0 , 证明矩阵A的特征值只能是 1或3
证: 假设⼊ 是A的汪 特证值 对应的特征向量为2 即 A2 = 双 她
, , ,
那么 你 ⼆ ⼊ 2 2
Y A 2 +2A - 3E =0
同乘 2 i A22+21⽇ - 3E2=0
.
i. ⼊六 ⼗2⼊2 - 32=0
(⼊4 2⼊ - 3) 2 =0
ˋ: 2 40
i. ⼊42⼊-3=0 即 ⼊=1 或 -3
永乐⽼师举例 5 证明 A和 ⽉有相同的 特征值
⼀
分析 : |北 州 和 | 北 ⼀ 刚 是相等 的
证
:
| 北 州 转 置后⾏列式值不变 1 A1
=
1⽉ 1
1
=ME-ATKIXT.AT/=lnE-ATi.A
和 ⽉有相同的 特征值
。
但 特征向量不⼀定⼀样 各⾃代⼊ 计算
,
永乐⽼师举例 6 已知 A ~13 若 13= [ : 给 了 则 ⽐A-E) = ?
, ,
YA~Bi.A-E~B-Ei.tl/t-E)=rlB-E)=rIf3sI=2永乐⽼师举例7 已知 A= [ 宏 ⻔ 相似于对⻆矩阵
(1) 求G
12) 求可逆矩阵P和ㄟ 使15夘 = n
,
解 A必须有 3个⽆关的特征向量
: 11)
ME-Akjij-a.DK 刘 议购
A的特征多项式 ⼆
i. ⼊ , ⼆ ⼊ 2 = 1 , ⼊ 3 = - 1
vrnnnn
湩根
⼆
必须有 2个⽆关的特证向量
(l) YA~N.tl 是⼆重特证值
。
i. ⼊⽃ 应有 2个⽆关的特征向量
(E
-
A)仁0 应有 2个⽆关的解
E-liil-laoinn-rCEAFZrlEAK3-zii.at
2 a-2
,
12) 将⽐2代⼊矩阵A中
① ⼊=1时 (E- A) X=0
,
[: 㔥
EA :
⽔
加为⾃由变量
、
ㄒ 「
得基础解系为 2 1 = (2 , 1 0) , 2 2= ( 1 . 0 , 1)
② ⼊⼆⼗时
tE-A,IXW-E-I.tl
: 到 1 : 缺
-
⼒为⾃由变量「
得基础解系为 2 3= ( -1,0
,
1 )
[ i i ⻔
令 P= (⼩ , ⼈ , 2 3 ) =
则 阴阳 ^ = I! ! 问
永乐⽼师举例8 证明 矩阵A = 卧 街 不能相似对⻆化
,
证明 : ⻛⾮ 性 中 咋 叫 个 刘 邮
⼆
,
⼊ ⼆⼋ ⼆⼊ 3 = 2 三重根
ZE-A-higyn-rlZEAK3-EIi.cz
EAJX 只有 1个 线性⽆关的解
i. 矩阵A = [1 张 ) 不能相似对⻆化
,
永乐⽼师举例 9 A . 31 均加阶 实对称矩阵 , 证明 : AB - A . 13有相同的特征值
证明 ANB (cid:15482) A 13有相同的特征值
.
ˋ: A ~31 则珂逆 P 使
, ,
PAP-BME-BKIXE-PAPKIPME-API-lil.ME/tl-M=lxE-Al:.A.B
有相同的特征值
A 13有相同的特征值 (cid:15482) A~31
.A为实对称矩阵
i
i. 实对称矩阵 必有对⻆矩阵相似
A~1KIM.nl
同理 13 ~ ^
i . A ~ 13
永乐⽼师举例 10 A - 3阶实对称矩阵 , 特征值为 1 , 2,3 , 为 和⼊⼝的特征向量分别是
2 1 = H , -1 , 叮 , 2 = ( 1 , a , 州 , 则 ⼊=3的特征向量是
⼀定
理 实对称矩阵A的属于不同特征值的特征向量相互政
(2
1 ,
刘 ⼆ ⼗ ㄨ l t l-11ㄨa t l ㄨ H) =0
- 1 -a -1 =0
a-2
设⼊⼆3时 , 特征向 量 ⽔ = M , ⽔ , ⽔)
(2 . , 2 3 ) = -
Xi-Xz.tl/3=Ol2z,2D=Xi-ZXz-X=oIiiiI-IoiiIi.2=(l,0,l)TX=kcb0,1)TCkto)☆
永乐⽼师举例 11 A -3阶实对称矩阵
,
满⾜作A
,
若 r(A -E) =2
,
则A的特征值为
⼀
设 A2=双 ⼜北
,
则 ⽉2= 双
Y AEA
i.
⼊汉 三⼊⼜
即 ⼀⼊)2=0
ˋ: 240
i. (⼼⼊) =0
⼊⼆ 0 或 ⼊过
检验 实对称矩阵 必可相似对觗
腝对称
,
A ~11 (cid:15482) A -/E ~ 11 - E
(cid:15482)
rM
-
E)=2
啊
。
汩_ 的 特征值
☆ 永乐⽼师举例 12 已知 A = [岭 ⻔ 若 𠴕 =2
,
11) 求9
QA(2) 求政Q 矩阵Q和-对⻆矩n阵^ 使 .ir
,
解 : " (A)= z
陆
且 = 2 北
i.IM
liiiliiknlqil-ni-oi.at12) 由 A的特征多项式
必作 1 个 千古 1 - 1 1 岺州 坐 懝𠸑 ⼀点咋 ⼊ ⼼ 以4)
⼊ , = 1 , ⼊ 2= 4 , ⼊ 3 = 0
① 必 时 由
lE,Alx-OEA-ti-Iiilziu.si
② 亽4时 由 14EA)x =0
,
1 3 点 ⼩ 店1 詗1 -1 [ ǒ 哵
⼩
4EA = → 2- H
,
③ 亽0时 由 -A x =0
,
Iii-Iiii.tl ! :1
a-u.ci
-
注
:
特征值不同 只需单位孔
,
州
niH.li H.rs 古
鞦
: =
皉 ⼼ 以 以上 譍 𧅥 剖
,
[ |
i.UAQ= n = 4
。第 6讲 ⼆次型
1 ⼆次型及其矩阵表示
、
拟 , 后 , 后) = 不 +5 在⼗ 515 +2ㄨ吐⼀ ⽐⽔
州! !别 闹
…
…
x_x
⼆
肛A ⼆次型的矩阵
,
2. 标准型 : 只有平⽅项 , 没有混合项
成+5在-6好
咔 叮 >
2
1
3 、 规范型 : 平⽅的系数只能是 1 , -1 或 0
egxitxitxi 或
xitxi-xixi-E.it
正惯性指数 p 负 惯性指数9时标准型⽽⾔)
,
2 ⾏ +5 尤 - 6⽉ 1⽇ , 9= 1
xitxitxi 阳 仁0
,
5 ⼆次型的秩 rlf) = r如
、
如: r [器 刮 = 3 故⼆次型 f ⼆九年 㱠 +5 分 ⼀⽐⼼8⼼了 的秩 rcf)=3
如: r [i i i ] = 1 故⼆次型 f = 奸 ⼼好 +2炏+2伽-1 2㹢的秩 rcf)= 16 坐标变换
、
XFCnbitGzyz.tl叫了
|
GyithzyztczsylCFOATX3-Gyithyz.tl
加 ⼆
3343
激 谣 㶜
x= fy
↳
可逆矩阵
iii.
…
矩阵傩
坐标不可变换
i.
对⼆C次T 型 A做CX次TA 坐标 xt 变 tn 换 -nAn 变 l 为 c B yjTAB=lc.gg
, ,
=
yiAcy
B-ciACBEC=ACyJ T I B C y TATG 其 IC 中 TAC.tl
3 B为对称矩阵
是
下 如果 CTAEB.CI逆 , 称A和13合同0 为 A = B
liilliilloiIII.i.li ⼩ 陶
如
如
闾 (们阔 溜了 i.li ⻔ 上图
,8 合同 的性质
、
① AIA
② 若 A⼆ B , 则 吐A
③ 若 A=B 13= C 则 A-C
, ,
A = 13 - 𣲚 B 你 913 (正惯性指数 71 和负 惯性指数9 不变 )
,
0
注: A
=
[2
3
) 和 13= [' ) 不合同
: 簽 器悲 是器
悉
,
i. A 和B不合同
9. ⼆次型 重要定理
:
① 对任- n元⼆次型 f M , xixn) = x_x , 存在正交变换 ㄨ= M , 使f化为标准型
。证 = 实对称矩阵A必⺕正交矩阵 , 使⼼胀 =1
管管 !管恐前些就
炒 ⼆ 㤈⼼ ⼆ 州
⼆ ⼊明⼗ ⼋班 ⼗ … Myi
② ⼜推- n元⼆次型 f M , xixn) = x_x , 都可通过(配⽅法)可逆线性变换如⼭ , 其㠲为可逆
矩阵 使f⽒为标准型及规范型
, 。
⼀
前提是对称阵A-
10 . 正定⼆次型 : ⽐ ⼲0 , 恒有 flx.mx》 = x_x >0 , 则称⼆次型f为 正定⼆次型 ,
5) ⼆次型矩阵 A称为 正定矩阵 正定⼆次型 : 平⽅项系数 ⼤于01 1
正定的充分必要条件
、
x_x 正定 - P=n
- A =E ( 珂逆C , 使 C死=E )
- A 特证值全⼤于0
A 的顺序 主⼦式全⼤于0
-
⇐
存在可逆矩阵D
,
使A =1》
12 正定的必要条件
、
①
矩阵A主对⻆元素全⼤于0
② M > 0
13 A正定 - N正定
、 |
A正定 的 ⼼ 正定
建 件 正定
征定
14
政变换 化⼆次型步骤
.
① 加头 ⼆ f (cid:15482) 写出矩阵A
② 求A 的⼊与 多
政化
③ (§ , ⼀名) 藏 ln.in -.- 7 n) 亽 Q= cnn.nl 政阵
④ 加尾: 令 X-QY-f-XTAX-CQYTACQYJ-YQAQY-YTQAQYt.TN
M.it tmyi
⼆ _永乐⽼师举例 1 ⽤配⽅法在⼆次型两 ⼗ 班 +5不 toz-8仈13 - 4后不 为标准型 , 并写出
所⽤坐标变换
、
解 : f = 2[it 2不 ⽐2-113) ] + 残 ⼗ 5 好 - 8-
= 2[xitzx.mx 了) ⼗ 四 州 ] -2(⼈们 ⼗ 成 ⼗ 5 好 - 8-
411243X32
= 2 (xit x_x) -4⽐3
= 2 (
xitxz-x.it⽐2
- 4⽐了 ⼗的
⻔ -4在粥
xitxz-x.it 只好
= 2 ( (x_x,
令 "
催 戀 ! ! 班
即 j 1絒: ü
有 f = 2 听 出 ⼀ 发
永乐⽼师举例2 ⽤配⽅法在⼆次型 : 拟 , ⽔ , 刈⼆ 以后⼗升化了为标准型 , 并写出所⽤坐标变换
没有平⽅ 创造平⽅
,
(
令 1蕤 !真
得 ⼤ 2以性了 以红了+4以⼗⽣)4
3
= 2忭班 ⼗ 4㸨 了 ⼗ 4则 3
= 2 uit 2炶 + 5 ) -2 5 -2 5+4州 3
= 2 以⼗ 州 -2( 牤州
维 灒 信𧄍
即
则 f =2歼2 处 如到 , yt.3-x-GGLC34-c.cz )永乐⽼师举例 了 ⼆次型 XTAX-xit3xitxitz.am +2伽+2⼼了 经政变换
,
吉 「
不 ⼆ 阿⽒为标准型 ⾏优 , 则 a = ⼗⼀ P 的第3列 是 ⼟ … …
, ⼀⼀
① ⼆次型 x_x经政变换 不 ⼆ 阿⽒为标准型 ⾏45
标准型中平⽅项系数 1 4,0 就是A的特征值
,
由题得 肚 屈 个 ⽉ ⼊=0是A 的特征值
M = - a -1) 2 =0 a=1
② P 的第3列 -> A矩阵 0 的特征向量
0EA-lii.lt:2
吅
=(-1,0
,
单泣化
: ⼟
吉
(-1 1 0,1)
ㄒ
永乐⽼师举例
4 ⼆次型㤈 ,加仁 阳不经政变换九⼆年⽒为标准型 ⾏为
,
若Q的第 1列
是 给
,
部
,
则Q-_-
解 : 政变换不 ⼆Qy 阳平 听⼒
=
A的特证值: 1
,
3
Qcn 以 分别是1和3的 特征向量
,
设⼊巧 的特征向量 ⼜⼆ 以
,
⼼
" 实对称 特证值不同特征向量政
、 ,
i. ⾔ 不 ⼗ 吉 仁0
i.
基础解系为
(1,
⺾
㵙 劏
(cid:15482) 单位化 : 信 却 i.co
,
正交☆ 永乐⽼师举例 5 ⽤政变换化⼆次型 = f以 ⼋咖) = 不 尤 ⼗ 成 +4加⽔为标准型
,
并写出所⽤坐标变换
、
解 : ⼆次型 矩阵 A = [ : 剡
YNEAKP.it/=Na-3)N2)0-zi.A
的特征值为 1 3,2
,
由 (E - A) X=0 , 得 2 = (1 , 0,0) ㄒ
(3E- A)x=0
,
得 2= (1
,
0,0) ㄒ
(北州仁0 , 得 2 = (1 , 0,0) ㄒ
特证值不同特征向量 已 正交 单位7垢得
,
叫 :1 啦!
以
淵
亽 Q = ( n n n)
闗 北 囍㶒
x_x = 中⼼AQ) y = P ^ y = j + 35 - 25永乐⽼师举例 6196) 已知⼆次型 f 以⼼了) = 5 犴 5 炓 CB-zxxztbx.hn-6𥑆的秩加
以 求C
12) 求 ⼆次型f的 P 9
. .
解 : ⼀ì次n型矩阵 A= y ⾃
rlf) =2 - r(A) =2
⽇ 1别 北
" 叫鸮淵 䶡 𦲀 ! ………
=
i. C=3
12) | 北 州 = 1 : :-| = ⼊⼼ ⼭⽐9)
⼊⼆0
,
4,9
p=2 9 =0
.
永乐⽼师举例 7 与矩阵A= 沿河 合同的矩阵 (13)
AIIB.nl 咋 了 吣 1
0 t t 。
特证淔
〈
分析 : A = 13 - 1百⼆ 防
,
9⽉ ⼆级 合同 正负惯性指数
配⽅法
法 : 1北州 ⼆ 恺 百 到 ⼆ ⽐2) ⽐3)㖄
⼊ = 2 3 - 1
, ,
P=2 q= 1
,法
⼆ :
⽤配⽅法
xitxztzxit4XNz-ytz.zxxztny-4xitxizxii.CI/it2Xz)2-3Xitzxjp=z,q=
1
永乐⽼师举例 8 判断⼆次型 flx.mx》⼆ 班 ⼗ 571245X32 +4㹢-4㹢-8炻 的正定性
⽅ 主拭
⼀ ⼆
咔劉
△1 =2 70 , 02= /⾏ 1=6>0 , △3=1⽉1= 10 >0 故址定 , f是正定⼆次型
⽅ ⼆ : 特证值
1北州
⼆
倥 帝 剖
⼆ ⼼
不⼼
特证值 : 1 , 1 , 10 全部⼤于0 , 故址定 , f是正定⼆次型
⽅ 配⽅法
三 :
flx.xzxz.FI +5后 455 +4㹢-4㹢-8仈3
=
2[xitzxxz-ZX.SI +5Mt 515 -8化
了
= 2 [xitzxilxz-Mtlxzxj-z.MX372 +5xit 515 -8⼼ 了
=
lxit2xz-XDI-3XE-4xzxst3XI-zlx.tn
- 加 2 -1 3 [⼼ 告 劝了 ⼗ 送 的 ⼀号灴 1 3 5
=
2lx.tl/z-X3Ft3lxz ⼀号炉⼗号好
=收24
.
2 ⼗班
阳
⼗号
,
90 正惯性指数 17 -3=n 故 提正定⼆次型永乐⽼师举例 9 已知⼆次型 f唙吐 ⽔ ⼗𢖾4411342㚳-2㹢 +4劝了 正定
,
则⻓
⼀
4 年 7
⼆次型矩阵 A=
-1 2 4
| t d
t㺭.式c△i 1 = /1A , 02 l = =-4= 4-t2-4tt8f
正定 - 1 4 - 以 0
4⽐⽐ +8>0
-
/
12-t) (2⼗七) >0
(cid:15482)
-4⽐切⽐+2) >0
/ t G (2 2)
,
⇐)
t E ⼝ ⻔
,
i.tt (2 1 )
,
永乐⽼师举例
1 0 设仁 [ 9 产汀 若 Atkt 则 K =
, _
1兆州 ⼆ 忪 华 刘 n ⼆ -13 k MO 华 -H州G.i = q k n -1 - 0 2 | ⼆ ⼊⼼⼼
t t M
A 的 特征值 : ·1 , -1,3
AtkE = K , K -1 , 143
作品
(cid:15482) k > 1
14370
