真题汇总
一
2010-20192019年全国硕士研究生招生考试试题
一 、选择题（本题共8小题，每小题4分，共32分．在每小题给出的四个选项中，只有 一 项符合题目
要求，把所选项前的字母填在题后的括号内．）
k 、丿
(I)当X----+ 0时，若x - tan x与x 是同阶无穷小，则k =(
(A)l. (B)2. (C)3. (D)4.
(2)设函数f(x) = {
X I X I ' X 冬 O
＇则X = 0 是f(x)的（ ）
xln x, x > 0,
(
(
A
C
)
)
可
可
导
导
点
点
，
，
极
非
值
极 值
点
点
(
(
B
D
)
)
不
不
可
可
导
导
点
点
，
，
极
非
值
极
点
值 点
(3)设飞｝是单调增加的有界数列，则下列级数中收敛的是（ ）
C B )
I c - 1
尸 —
1
" " ' u ; ( C ) � ( i - 2:; ) · ( D ) � ( u ! . , 一 式 ） ．
00
u
(4)设函数Q(x,y) =今．如果对上半平面( y > O)内的任意有向光滑封闭曲线C都有
乎P(x,y)dx + Q(x,y)d y = 0,那 么函数P(X,y)可取为（ ）
1 x 2 1 1 - —1 .
(A) y -子 (B) — y - — y (C) — - —. (D)x
2 T
(5)设A是3阶实对称矩阵，E 是3阶单位矩阵．若A + A =2 E,且 IA I =4 , 则二次型x Ax的
规范形为（ ）
( A )
In
= l 二 n
(A) Yi + y; + y; · (B) Yi + y; - y; ·
(C) Yi - y; - Yi· (D) - Yi - y; - y; ·
(6)如图所示，有3张平面两两相交，交线相互平行，它们的方程
a il x + a i2 y + a i3 z = d;(i =l , 2 , 3)
组成的线性方程组的系数矩阵和增广矩阵分别记为A,A, 则（
(
(
(
(
A
B
C
D
)
)
)
)
r
r
r
r
(
(
(
(
A
A
A
A
)
)
)
)
=
=
=
=
2
2
1
1
,
,
,
,
r
r
r
r
(
(
(
(
A
A
A
A
)
)
)
)
=
=
=
=
3
2
2
1
.
.
.
.
(7)设A,B为随机事件， 则P(A) =P (B)的充分必要条件 是（ ）
(A)P ( A U B) =P (A) + P( B). (B)P (AB) =P (A)P ( B).
B) A) .
(C) p (A = p (B (D) p (AB) = p (A B).
(8)设随机变豐X与Y相互独立，且都服从正态分布N(µ,矿）， 则Pl IX - YI < 1 f ( )
(
(
A
C
)
)
与
与
µ
µ ,
无
矿
关 ，
都
而
有
与
关
矿 有 关 . (
(
B
D
)
)
与
与
µ
µ ,
有
矿
关 ，
都
而
无
与
关
矿 无 关
— —
1二、填空题（本题共6小题，每小题4分，共24分，把答案填在题中横线上．）
1加1加
(9)设函数八u)可导，z = /(sin y -sin x) +x y, 则一—- . -+ . 一
COS X 彻 cosy切
2
(10)微分方程2yy'- r - 2 = 0满足条件y(O) = 1的特解 y =
2 (- 1)"
(11)幕级数 x"在(0, +oo)内的和函数S(x) =
几=O (2n) !
ff
2 2 2 2 2
(12)设凶设为曲面x + y + 4z = 4 (z�0)的上侧，则 J4 - x - 4z dxdy =
(13)设A = (a 1 , a 2 , a 3)为3阶矩阵．若a 1 a 2 线性无关，且a 3 = - a 1 + 2a 2 , 则线性方程组
'
Ax =0的通解为
O x 2
(14)设随机变掀X的概率密度为八x) = (f' < < 'F(x)为X的分布函数，E(X)为X的
0, —其他，,•
l
>
数学期望，则Pj F(X) E(X) - 1
三、解答题（本题共9小题，共94分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
(15) (本题满分10分）
= =
设函数y(x)是微分方程y'+xy e寻满足条件y(O) 0的特解
(I)求y(x);
(II)求曲线y = y(x)的凹凸区间及拐点．
(16) (本题满分10分）
= 2 2 = -
设 a, b为实数，函数z 2 + ax + by 在点(3, 4)处的 方向导数中，沿方向l 3i - 4j的
方向导数最大， 最大值为10.
(I)求a, b;
2 2
(II)求曲面z = 2 + ax + by (z ;;,: 0)的面积．
— 2 —(17) (本题满分10分）
求曲线y = e一允sin x(x�0)与x轴之间图形的面积
(18) (本题满分10分）
L
1
= =
设a ,. x"Jl了五x(n 0, 1 , 2,… ）．
n—一－ -1
(I)证明数列｛叮单调递减且， a
,.
= a几一2(n = 2, 3,-·· );
n + 2
. a
(II)求 hm n .
n----+oo a 几一1
(19) (本题满分10分）
2 2
设0是由锥面忒+ (y-z) = (l -z) (0�z�1)与平面z =0 围成的锥体，求0的形心
坐标
(20) (本题满分11分）
＝ T 3 一 T
设向量组a (1 2 ， 1 ）平=(1, 3 , 2) ,a 3 =( 1, a , 3尸为R 的 个基/J， =(l,1,l)
在这个基下的坐标为( b, c, 1)飞
(I)求a,b,c;
3 一
(II)证明生立3 '/J为R 的 个基并， 求生立3 '/J到叮生立3 的过渡矩阵．
— 3 —(21) (本题满分11分厂）
- 2
。
已知矩阵A= l = 一�]
�]相似．
J与B
� = � [�
(I)求x,y;
(II)求可逆矩阵P使得p-1AP=
B
.
(22) (本题满分11分）
设随机变量X与Y相互独立，X服从参数为1的指数分布，Y的概率分布为PjY=-If=p,
PjY= If= 1-p(O
0是未知参数，A是常数.X 1 , 凡，…，x n 是来自总体X的简单随机
样本．
(I)求A;
(I[)求矿的最大似然估计量
— 4 —: *
9 )
9 )
8 (
: * : *
9 ) 9 )
9 ) 9 )
8 ( 8 (
: * : *
9 ) 9 )
9 ) 9 )
8 ( 8 (二、填空题（本题共6小题，每小题4分，共24分，把答案填在题中横线上．）
(1 -
x)
(9)若lim tan dTx = e'则k=
x->O 1 + tan X
尤
(10)设函数f(x)具有2阶连续导数若曲线y=f (x)过点(O,O) 且与曲线y=2 在点(1,2)处相
切，则『可"(x)dx= .
(11)设F(x , y, z)= xyi - yzj+ z xk, 则rot F(l ,1,0)= .
f
(12)设L为球面x 2 + y 2 + z 2 = 1与平面x+y+z=O的交线，则 xyds = .
(13)设2阶矩阵A有两个不同特征值，a
1
,a2是A的线性无关的特征向量，且满足A气a1 + a2 )=
IA I
a 1 十 a 2 '则 = .
(14)设随机事件A与B相互独立，A与C相互独立，BC=0.若 P(A)= P(B)= — ' P(ACI ABU C)
2
＝ — ,则P(C)=
4
三、解答题（本题共9小题，共94分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
(15) (本题满分10分）
f
2x 五了可d
求不定积分 e arctan x.
(16) (本题满分10分）
将长为2m的铁丝分成三段，依次围成圆、正方形与正三角形．三个图形的面积之和是否存在
最小值？若存在，求出最小值
(17) (本题满分10分）
2 2 3 3
设 是曲面X= Jl - 3y 一正的前侧，计算曲面积分I=§xdydz+ (y +2 )dzdx+ z dxdy.
(18) (本题满分10分）
已知微分方程 y'+y= f(x)'其中f(x)是R上的连续函数
(I)若j(x)= X, 求方程的通解；
(II)若f(x)是周期为T的函数，证明：方程 存在唯一的以T为周期的解
— —
2: * : *
9 ) 9 )
9 ) 9 )
8 ( 8 (: * : * : *
9 ) 9 ) 9 )
99 )) 99 )) 99 ))
8 ( 8 ( 8 (: *
9 )
9 )
9 )
8 (
: *
8 (
: *
8 ((18) (本题满分10分）
f(x)
设函数f(x)在区间[0, 1]上具有2阶导数且， 八1) > 0, lim < 0. 证明：
x---->O+ X
(I)方程f(x) =0在区间(0,1)内至少存在一个实根；
2
(II)方程f(x) f"(x) + [ /'(x) ] =0在区间(0,1)内至少存在两个不同实根．
(19) (本题满分10分）
2
设薄片刑物体S是圆锥面z =�了石了被柱面z =2x割下的有限部分，其上任一点的密度为
2 2
µ(x,y,z) =9心；2 +y +z . 记圆锥面与柱面的交线为C.
(I)求C在xOy平面上的投影曲线的方程；
(II)求S的质量M.
(20) (本题满分11分）
设3阶矩阵A = («1 , «2 , «3 )有3个不同的特征值，且也=«1 + 2也·
(I)证明r(A) =2;
(II)设/3=«1 +«2 十也求， 方程组Ax =/3的通解．
— —
3(21) (本题满分11分）
设二次型/(X1,x2 ,x3)= 2xf -式+a式+2x1 x2 -8x1 x3 + 2x2x3 在正交变换 X=Qy下的标准形
一
为入忒＋入义，求a的值及 个正交矩阵Q.
(22) (本题满分11分）
—
设随机变械 X,Y相互独立，且X的概率分布为PjX=Of =P1X=2f = ,Y的概率密度为
2
2y, 0 l. (B)a>l且b> l.
(C)al2 l. (D)a>l且a+b>l.
(
X
- I)
X<
I
(2)已知函数 f( X ) = ' '则八x)的 一个原函数是（ ）
lnx, x�l, I
2
X
x-1)', xO), 记p=PjX�µ+er勹，则（ ）
6
(A)p随着µ 的增加而增加 (B)p随着 的增加而增加
6
(C)p随着µ 的增加而减少. (D)p随着 的增加而减少．
(8)随机试验E有三种两两不相容的结果A 1,Az,A 3,且 三种结果发生的概率均为—，将试验E独立
3
重复做2次，X表示2次试验中结果A I 发生的次数， Y表示2次试验中结果Az发生的次数，则
X与Y的相关系数为（ ）
1 1 1 1
(A)- —2 . (B)- —. (C)—. (D)—2 .
3 3
— —
1二、填空r题 （本题共6小题，每小题4分，共24分，把答案填在题中横线上．）
tln(l + tsin t) dt
(9)l im 0
x---->O 1 -COS X
(10)向械场A(x , y, z )= (x + y +z ) i+ x yj+ z k的旋度rotA= .
2 汀 I
(11)设函数八u,v)可微，z=z(x,y)由方程(x+l)z-y =x (x-z,y)确定，则dz <0,1) = .
x
(12)设函数f(x)= arctan- x , 且厂'(O)=1,则 a= .
2
1 + ax
0 O
入-1
。 l O
0 入 I ＝
(13)行列式 。 入 1
I
4 3 2 入+1'
x
s,
(14)设XI ,X2'…,x
n
为来自总体N(µ,矿）的简单随机样本，样本均值 =9. 参数µ的置信度为
0.95的双侧置信区间的置信上限为10.8,则µ的置信度为0.95的双侧置信区间为 ．
三、解答题（本题共9小题，共94分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
(15) (本题满分10分）
ff
已知平面区域D=\(r,0) 2冬立(I+ cos 0), 于氢尽子｝，计算二重积分 xdxdy.
(16) (本题满分10分）
设函数y(x)满足方程 y"+2 y'+k y= 0 , 其中O
(5)行列式 = c
0 C d 0
C O O d,
2 2 2 2 2 2 2 2 2
(A)( ad-bc) . (B) -(ad-bc) . (C)a d -b c . (D)b c -a d气
(6)设归生，U'3 均为3维向量，则对任意常数k'l,向量组 a1+ k也立尸厄线性无关是向量组 a1'
a2 ,a3线性尤关的（ ）
(A)必要非充分条件. (B)充分非必要条件．
(C)充分必要条件 (D)既非充分也非必要条件
(7)设随机事件 A与B相互独立，且P(B) =0.5,P(A-B) =0.3, 则P(B-A) =( )
(A)0.1. (B)O.2 . (C)O.3 . (D)O. 4.
(8)设连续型随机变蜕X
1
与X2 相互独立且方差均存在，X1 与X2 概率密度分别为/1(x)与儿(X)'
— J, —
随机变量yl的概率密度为/Y1 (y ) = 2 [/1 Cr) +/2Cr) 随机变量Y 2 = 2 （凡＋凡），则（
(A) E( Y1) > E( 凡），D(Y 1) > D( Y 2) . (B) E( Y1) = E( Y2) , D( Y1) = D( Y2) .
(C) E( Y 1) = E( Y2) , D( Y 1) < D( Y 2) . (D) E( Y1) = E( 凡），D(Y1) > D( Y2) .
— —
1二、填空题（本题共6小题，每小题4分，共24分，把答案填在题中横线上．）
2
(9)曲面z=x气1-sin y) + y (1 -sin x)在点(1,0,1)处的切平面方程为 ．
(10)设J(x)是周期为4的可导奇函数，且J'(x) =2(x-1) ,xE[0,2], 则/(7) = .
3
(11)微分方程xy'+y (In x- In y) = 0满足条件y(l) =e 的解为y= .
2 2
(12)设L是柱面x + y =1 与平面y+z= 0的交线，从z轴正向往z轴负向看去为逆时针方向，则
f
曲线积分 zdx+ ydz =
(13)设二次型J(x 1 ,X 2 ,x 3 ) =xi 一式+2ax 1 x 3 +4 x 2 x 3 的负惯性指数为1'则a的取值范围是 ．
i
2x
芷 0 0,b >0)
O
(�儿 (x), x >
为概率密度，则a,b 应满足(
(A)2a+ 3b= 4. (B)3a+2b=4. (C)a+b=l. (D)a+ b= 2.
二、填空r题（本题共6小题，每小题4分，共24分，把答案填在题中横线上．）
f,.
=
则归
(9) 设 ＝ ．
y = ln(l + u 2 )du, dx t=O
厂丘
(10) cos勾dx= .
(11)已知曲线L的方程为y=l-lxl( xE[-1,1]), 起点是(-1,0),终点为(1,0),则曲线积分
f
2
xydx +x dy = .
I 2 If'
(12)设fl=j( x ,y ,z) x + y飞冬 则0的形心的竖坐标z= .
T 飞 T
(13)设a1=( 1,2, -1,Q) 立=(1,1,0,2) l:'3= (2 , 1, 1, a ) . 若由 «1'生立3 生成的向量空间的
维数为2,则a= .
2
(14)设随机变量X的概率分布为PjX=kl k !' k=0,1,2,···,则 E(X )=
三、解答题（本题共9小题，共94分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
(15) (本题满分10分）
x
求微分方程 y"-3y'+2 y = 2xe 的通解
(16)(本题满分10分 元2）
J 2
2
求函数f(x)= (x -t)e 一i dt 的单调区间与极值
1
— 2 —: * : *
9 ) 9 )
9 ) 9 )
9 ) 9 )
8 ( 8 (: *
8 (
