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解密09 解三角形
【考点解密】
1．正弦定理、余弦定理
在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则
定理 正弦定理 余弦定理
(2)a2＝ b 2 ＋ c 2 － 2 bc cos A ；
内容 (1)＝＝＝2R b2＝ c 2 ＋ a 2 － 2 ca cos B ；
c2＝ a 2 ＋ b 2 － 2 ab cos C
(3)a＝2Rsin A，b＝ 2 R sin B ，c＝ 2 R sin C ；
(4)sin A＝，sin B＝，sin C＝； (7)cos A＝；
变形 (5)a∶b∶c＝ sin A ∶ sin B ∶ sin C ； cos B＝；
(6)asin B＝bsin A，bsin C＝csin B，asin C＝csin cos C＝
A
2.三角形常用面积公式
(1)S＝a·h(h 表示边a上的高)；
a a
(2)S＝absin C＝acsin B＝bcsin A；
(3)S＝r(a＋b＋c)(r为三角形内切圆半径)．
3．测量中的有关几个术语
术语名称 术语意义 图形表示
在目标视线与水平视线(两者在同一铅垂平面内)
仰角与俯角 所成的角中，目标视线在水平视线上方的叫做仰
角，目标视线在水平视线下方的叫做俯角
从某点的指北方向线起按顺时针方向到目标方向
方位角 线之间的夹角叫做方位角．方位角θ的范围是
0° ≤ θ <360°
例：(1)北偏东α：
正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角，
方向角
通常表达为北(南)偏东(西)α
(2)南偏西α：坡面与水平面所成锐二面角叫坡角(θ为坡角)；坡
坡角与坡比 面的垂直高度与水平宽度之比叫坡比(坡度)，即i
＝＝tan θ
方法技巧
图形
关系式 a<bsin A bsin A<a<b a＝bsin A或a≥b
解的个数 无解 两解 一解
【核心题型】
题型一：正余弦定理
1．（2023·陕西·西安市西光中学校联考一模）在 中，角 的对边分别为 ，且
，则 的值为（ ）A．1 B． C． D．2
2．（2023·四川内江·统考一模） 的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知 ， ，
，则 （ ）
A．4 B． C． D．
3．（2023·内蒙古赤峰·统考模拟预测）已知 的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c． 的面积为 ，
且 ， 的中点为D，则 的最小值为（ ）
A． B．4 C． D．
题型二：边角互化
4．（2022秋·甘肃张掖·高三高台县第一中学校联考阶段练习）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，
c，若 ，且 ，则 （ ）
A．1 B． C．2 D．
5．（2022·全国·高三专题练习）秦九韶是我国南宋数学家，其著作《数书九章》中的大衍求一术、三斜求积术和
秦九韶算法是具有世界意义的重要贡献．秦九韶把三角形的三条边分别称为小斜、中斜和大斜，三斜求积术即已
知三边长求三角形面积的方法，用公式表示为： ，其中 ， ， 是 的内
角 ， ， 的对边．已知 中， ，则 面积的最大值为（ ）
A． B． C． D．
6．（2022·山西吕梁·统考二模）锐角 是单位圆的内接三角形，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且
，则 的取值范围是（ ）A． B． C． D．
题型三：三角形面积公式巧用
7．（2023·广西柳州·二模）在 中，内角 所对的边分别为 ，点 为 的中点， ， ，
且 的面积为 ，则 （ ）
A． B．1 C．2 D．3
8．（2023·广西柳州·统考模拟预测）在 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知
，若角A的内角平分线 的长为3，则 的最小值为（ ）
A．21 B．24 C．27 D．36
9．（2023·全国·高三专题练习）设 ，在锐角 中，角A，B，C的对边分别为
a，b，c．若 ， ，则 面积的最大值为（ ）
A． B．
C． D．
题型四：解三角形的实际应用
10．（2023·四川凉山·统考一模）我国古代数学家刘徽在其撰写的《海岛算经》中给出了著名的望海岛问题：今有
望海岛，立两表，齐高三丈，前后相去千步，今前表与后表三相直．从前表却行一百二十三步，人目着地取望岛峰，与表末三合．从后表却行一百二十七步，亦与表末三合．问岛高及去表各几何．这一方法领先印度500多年，
领先欧洲1300多年．其大意为：测量望海岛 的高度及海岛离海岸的距离，在海岸边立两等高标杆 ， （
， ， 共面，均垂直于地面），使目测点 与 ， 共线，目测点 与 ， 共线，测出 ， ，
，即可求出岛高 和 的距离（如图）．若 ， ， ， ，则海岛的高
（ ）
A．18 B．16 C．12 D．21
11．（2022·四川南充·统考一模）某工厂的烟囱如图所示，底部为 ，顶部为 ，相距为 的点 ， 与点 在同
一水平线上，用高为 的测角工具在 ， 位置测得烟囱顶部 在 和 处的仰角分别为 ， .其中 ， 和
在同一条水平线上， 在 上，则烟囱的高 （ ）
A． B．
C． D．
12．（2022·江西·江西师大附中校考三模）地处赣江东岸的腾王阁与岳阳楼､黄鹤楼并称为“江南三大名楼”，是
中国古代四大名楼之一､“中国十大历史文化名楼”之一，世称“西江第一楼”.“云销雨霁，彩彻区明.落霞与孤鹜
齐飞，秋水共长天一色.渔舟唱晚，响穷彭蠡之滨；雁阵惊寒，声断衡阳之浦”是唐代文学家王勃对腾王阁的生动
描写.某位游客（身高忽略不计）从地面D点看楼顶点A的仰角为30°，沿直线前进72米到达E点，此时看点C的
仰角为45°，若 ，则楼高AB约为（ ）A．58米 B．68米 C．78米 D．88米
题型五：解三角形的综合应用
13．（2023·全国·校联考模拟预测）在 中，角 的对边分别为 ，且满足 .
(1)求角 的大小；
(2)若 为边 的中点，且 ，求 的面积.
14．（2023·全国·唐山市第十一中学校考模拟预测）在锐角三角形 中,角 的对边分别为 ,向量
, ,且 .
(1)求角 的大小;
(2)若 的面积为 ,求 的取值范围.
15．（2023·全国·高三专题练习）如图， 为 内的一点， 记为 ， 记为 ，且 ， 在
中的对边分别记为m，n， ， ， .(1)求 ；
(2)若 ， ， ，记 ，求线段 的长和 面积的最大值.
【高考必刷】
一、单选题
16．（2023·四川内江·统考一模） 的内角A、B、C所对的边分别为 ，已知 ， ，
，则 （ ）
A．4 B． C． D．
17．（2022·安徽黄山·统考一模）在 中, ,O是 的外心,则 的最大
值为（ ）
A．1 B． C．3 D．
18．（2023秋·河北衡水·高三河北衡水中学校考阶段练习）圭表（如图甲）是我国古代一种通过测量正午日影长
度来推定节气的天文仪器，它包括一根直立的标竿（称为“表”）和一把呈南北方向水平固定摆放的与标竿垂直
的长尺（称为“圭”），当太阳在正午时刻照射在表上时，日影便会投影在圭面上，圭面上日影长度最长的那一
天定为冬至，日影长度最短的那一天定为夏至．图乙是一个根据某地的地理位置设计的主表的示意图，已知某地冬至正午时太阳高度角（即∠ABC）大约为15°，夏至正午时太阳高度角（即∠ADC）大约为60°，圭面上冬至线
与夏至线之间的距离（即DB的长）为a，则表高（即AC的长）为（注： ）（ ）
A． B． C． D．
19．（2022·浙江杭州·模拟预测）在 中 ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
20．（2023·全国·高三专题练习）在 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若 ， ，且
外接圆的周长为 ，则 的周长为（ ）
A．20 B． C．27 D．
21．（2022秋·吉林长春·高三长春市第二实验中学校考期末）在 中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，
， ， ，则线段CD长度的最小值为（ ）
A．2 B． C．3 D．
22．（2023·全国·高三专题练习）在 中，角 的对边分别为 ，若 ， ，则
面积的最大值为（ ）A． B． C． D．
23．（2022·江苏苏州·苏州中学校考模拟预测）已知椭圆 ）的焦点为 ， ， 是椭圆上一
点，且 ，若 的内切圆的半径 满足 ，则 （其中 为椭圆
的离心率）的最小值为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
24．（2023·江苏南京·南京市秦淮中学校考模拟预测）在 中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若
，则B的值为（ ）
A． B． C． D．
25．（2022·湖北·荆门市龙泉中学校联考一模） 中， ，BC边上的中线 ，则下列说法正确的有
（ ）
A． 为定值 B．
C． D． 的最大值为30°
26．（2022·全国·模拟预测）在 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 ，
，则以下四个命题中正确的是（ ）
A．
B． 面积的取值范围为
C．已知M是边BC的中点，则 的取值范围为
D．当 时， 的周长为27．（2022·全国·高三专题练习）在 中， 、 、 所对的边为 、 、 ，设 边上的中点为 ，
的面积为 ，其中 ， ，下列选项正确的是（ ）
A．若 ，则 B． 的最大值为
C． D．角 的最小值为
三、填空题
28．（2023·内蒙古赤峰·统考模拟预测）在 中，内角 的对边长分别为 ，且
， ，则b的值为______．
29．（2023·浙江·永嘉中学校联考模拟预测）我国南宋时期著名的数学家秦九韶在其著作《数书九章》中，提出了
已知三角形三边长求三角形面积的公式.在 中，设 分别为 的内角 的对边，S表示 的
面积，其公式为 .若 ， ， ，则 ______.
30．（2023·陕西·西安市西光中学校联考一模）在锐角 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，且
，则 的值为______.
31．（2023·安徽·校联考模拟预测）双纽线也称伯努利双纽线，是指定线段AB长度为2a，动点 满足
，那么 的轨迹称为双纽线．已知曲线 为双纽线，若 为曲线
上的动点，A，B的坐标为 和 ，则 面积的最大值为______．四、解答题
32．（2022·全国·统考高考真题）记 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 ．
(1)若 ，求B；
(2)求 的最小值．
33．（2023·安徽马鞍山·统考一模）已知条件：① ；② ；③
.在这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答.问题：在 中，角 ， ，
所对的边分别是 ， ， ，满足：______.注：如果选择多个条件分别作答，按第一个解答计分.
(1)求角 的大小；
(2)若 为锐角三角形， ，求 的取值范围.
34．（2022·全国·统考高考真题）记 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，分别以a，b，c为边长的三个
正三角形的面积依次为 ，已知 ．
(1)求 的面积；
(2)若 ，求b．
35．（2023·四川攀枝花·攀枝花七中校考模拟预测）如图，在梯形 中， ， ．
(1)若 ，求 周长的最大值；(2)若 ， ，求 的值．
