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解密 03 讲 ：不等式
【考点解密】
1．两个实数比较大小的方法
(1)作差法 (a，b∈R)
(2)作商法 (a∈R，b>0)
2．不等式的基本性质
性质 性质内容 特别提醒
对称性 a>b b<a ⇔
传递性 a>b，b>c a>c ⇒
⇔
可加性 a>b a＋c>b＋c ⇔
⇒
ac>bc
⇔
可乘性 注意c的符号
ac<bc
⇒
同向可加性 a＋c>b＋d ⇒
⇒
同向同正可
⇒
ac>bd ⇒
乘性
⇒
可乘方性 a>b>0 an>bn(n∈N，n≥1) a，b同为正数
可开方性 a>b>0 >(n∈N，n≥2) a，b同为正数
⇒
⇒
3．一元二次不等式的解集
判别式Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0
二次函数y＝ax2＋bx＋c
(a>0)的图象
方程ax2＋bx＋c＝0 (a>0) 有两相异实根x，x 有两相等实根
1 2
没有实数根
的根 (x<x) x＝x＝－
1 2 1 2
ax2＋bx＋c>0 (a>0)的解集 {x|x<x 或x>x} {x|x∈R}
1 2
ax2＋bx＋c<0 (a>0)的解集 {x|x< x<x} ∅ ∅
1 2
4．基本不等式≤
(1)基本不等式成立的条件：a>0，b>0.
(2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号．(3)其中叫做正数a，b的算术平均数，叫做正数a，b的几何平均数．
5．几个重要的不等式
(1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)．
(2)＋≥2(a，b同号)．
(3)ab≤2(a，b∈R)．
(4)≥2(a，b∈R)．
以上不等式等号成立的条件均为a＝b.
6．用基本不等式求最值
用基本不等式≤求最值应注意：一正二定三相等.
(1)a，b是正数；
(2)①如果ab等于定值P，那么当a＝b时，和a＋b有最小值2；
②如果a＋b等于定值S，那么当a＝b时，积ab有最大值S2.
(3)讨论等号成立的条件是否满足．
【方法技巧】
一、比较大小的常用方法
(1)作差法：①作差；②变形；③定号；④得出结论．
(2)作商法：①作商；②变形；③判断商与1的大小关系；④得出结论．
(3)构造函数，利用函数的单调性比较大小．
二、判断不等式的常用方法
(1)直接利用不等式的性质逐个验证，利用不等式的性质判断不等式是否成立时要特别注意前提条件．
(2)利用特殊值法排除错误答案．
(3)利用函数的单调性，当直接利用不等式的性质不能比较大小时，可以利用指数函数、对数函数、幂函数等函数
的单调性来比较．
三、利用基本不等式求最值
(1)前提：“一正”“二定”“三相等”．
(2)要根据式子的特征灵活变形，配凑出积、和为常数的形式，然后再利用基本不等式．
(3)条件最值的求解通常有三种方法：一是配凑法；二是将条件灵活变形，利用常数“1”代换的方法；三是消元法．
【核心题型】
题型一：比较两个数（式）的大小1．已知 ， ， ，则 ， ， 的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】通过作差法， ，确定符号，排除D选项；
通过作差法， ，确定符号，排除C选项；
通过作差法， ，确定符号，排除A选项；
【详解】由 ，且 ，故 ；
由 且 ，故 ；
且 ，故 .
所以 ，
故选：B.
2．已知： ，则3， ， 的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】先将指数式化为对数式，再根据对数函数单调性以及运算法则比较大小，确定选项.
【详解】 ， ，
∴ ；
又 ，∴ .故选D.
【点睛】本题考查指数式化与对数式关系以及对数函数单调性，考查基本分析求解能力，属基础题.
3．设 ， ，则 与 的大小关系是（ ）
A． B． C． D．无法确定
【答案】A
【分析】利用作差法解出 的结果，然后与0进行比较，即可得到答案【详解】解：因为 ， ，
所以 ，
∴ ，
故选：A
题型二：不等式的基本性质
4．对于实数a，b，c，下列命题中正确的是（ ）
A．若 ，则
B．若 ，则
C．若 ，则
D．若 ，则
【答案】D
【分析】由不等式性质判断各选项正误即可.
【详解】对于选项A，注意到若 ，当 时， .故A错误.
对于选项B，设 ，
得 ，解得 .又 ， ，
得 .故B错误.
对于C选项，因 ，则 ，故C错误.
对于D选项， ，因 ，则 ，故D正确.
故选：D
5．已知a，b，c，d均为实数，则下列命题正确的是（ ）
A．若a>b，c>d，则a-d>b-c B．若a>b，c>d则ac>bdC．若ab>0，bc-ad>0，则 D．若a>b，c>d>0，则
【答案】AC
【分析】根据不等式的性质和特殊值法逐项分析可求得答案.
【详解】解：由不等式性质逐项分析：
A选项：由 ，故 ，根据不等式同向相加的原则 ，故A正确
B选项：若 ， 则 ，故B错误；
C选项： ， ，则 ，化简得 ，故C正确；
D选项： ， ， ， 则 ，故D错误.
故选：AC
6．已知 ，则 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】AC
【分析】对A，对 两边同除ab化简即可判断；
对B，对不等式移项进行因式分解得 ，即可进一步判断 的符号不确定，即可判断；
对C，对不等式移项进行因式分解得 ，由 即可判断；
对D，对不等式移项进行根式运算得 ，即可进一步判断
【详解】对A， ，A正确；
对B， ，∵ ，∴ ，不等式不一定成
立，B错误；
对C， ，∵ ，∴ ，不等式
成立，C正确；对D， ，所以
，不等式不成立，D错误；
故选：AC．
题型三：不等式性质的综合应用
7．已知 ， ，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用待定系数法得出 ，并计算出 的取值范围，利用不等式的性质可得出
的取值范围.
【详解】设 ， ，解得 ，
，
， ， ，
由不等式的性质可得 ，即 ，
因此， 的取值范围是 ，故选D.
【点睛】本题考查求代数式的取值范围，解题的关键就是将所求代数式用已知的代数式加以表示，在求解可充分
利用待定系数法，考查运算求解能力，属于中等题.
8．已知 ， ，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C【分析】利用待定系数法求得 ，由 ， ，结合 ，从
而可得结果.
【详解】令
则 ，
∴ ，
又 ，…∴①
，
∴ …②
∴① ②得 ．
则 ．
故选C．
【点睛】本题主要考查不等式的性质以及指数函数的性质，意在考查综合运用所学知识解答问题的能力，属于中
档题.
9．已知 , ,则 的取值范围为__________.
【答案】
【分析】由 可以推出 ，由不等式的性质可以得到 的取值范围.
【详解】 ，而 ，根据不等式的性质可得
，所以 的取值范围为 .
【点睛】本题考查了不等式的性质.不等式的性质中没有相除性，可以利用相乘性进行转化，但是应用不等式相乘
性时，要注意不等式的正负性.题型四：利用基本不等式求最值
命题点1 配凑法
10．设实数 满足 ，函数 的最小值为（ ）
A． B． C． D．6
【答案】A
【解析】将函数变形为 ，再根据基本不等式求解即可得答案.
【详解】解：由题意 ，所以 ，
所以
，
当且仅当 ，即 时等号成立，
所以函数 的最小值为 .
故选：A．
【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：
（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的
因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的
最值，这也是最容易发生错误的地方
11．已知x>0，y>0,2x＋3y＝6，则xy的最大值为________．
【答案】
【详解】因为x>0，y>0,2x＋3y＝6，
所以xy＝(2x·3y)≤·2＝·2＝.
当且仅当2x＝3y，即x＝，y＝1时，xy取到最大值.
12．已知a>b>c，求(a－c)的最小值．
【详解】(a－c)
＝(a－b＋b－c)＝1＋1＋＋.
∵a>b>c，∴a－b>0，b－c>0，
∴2＋＋≥2＋2＝4，
当且仅当a－b＝b－c，即2b＝a＋c时取等号，
∴(a－c)的最小值为4.
命题点2常数代换法
13．已知 ，则 的最小值是（ ）
A．7 B． C．4 D．
【答案】D
【分析】由“1”的妙用和基本不等式可求得结果.
【详解】因为 ，
所以 ，
当且仅当 即 时，等号成立.
结合 可知，当 时， 有最小值 .
故选：D.
14．已知 ，且 ，则 的最小值为（ ）
A．9 B．10 C．11 D．
【答案】A
【分析】利用“乘1法”将问题转化为求 的最小值，然后展开利用基本不等式求解．
【详解】 ， ，又 ，且 ，，
当且仅当 ，解得 ， 时等号成立，
故 的最小值为9．
故选：A．
【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：
（1）“一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的
因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的
最值，这也是最容易发生错误的地方.
15．若实数 ，则 的最小值为（ ）
A． B．1 C． D．2
【答案】D
【分析】由条件变形 ，再结合基本不等式求最小值.
【详解】由条件可知， ，
所以
，
当 ，即 ，结合条件 ，
可知 时，等号成立，所以 的最小值为 .
故选：D16．已知 ，且 ，则 的最小值为_________．
【答案】4
【分析】根据已知条件，将所求的式子化为 ，利用基本不等式即可求解.
【详解】 ， ,
，当且仅当 =4时取等号，
结合 ,解得 ，或 时，等号成立.
故答案为：
【点睛】本题考查应用基本不等式求最值，“1”的合理变换是解题的关键，属于基础题.
命题点3 消元法
17．负实数 、 满足 ，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由已知可得 ，再利用基本不等式可求得 的最小值.
【详解】因为负实数 、 满足 ，则 ，可得 ，
1 1 1
x 2 y 22 y 0
由基本不等式可得 y y y ，
当且仅当 时，即当 时，等号成立.
故 的最小值为 .
故选：A.
18．若实数x，y满足xy＋3x＝3，则＋的最小值为________．
【答案】8
【详解】∵实数x，y满足xy＋3x＝3，∴x＝，∴0<<，解得y>3.
则＋＝y＋3＋＝y－3＋＋6≥2＋6＝8，当且仅当y＝4，x＝时取等号．
19．已知 ，则 的最小值是（ ）
A． B． C． D．2
【答案】B
【分析】依题意可得 ，又 ，即可得到 ，从而得到 ，利用基本不等式计
算可得；
【详解】因为 ，所以 ，
因为 ，所以 ，
所以 ，
当且仅当 ，即 ， 时取等号，
所以 的最小值是 ；
故选：B
题型五：基本不等式的综合应用
20．已知正实数a、b满足 ，若 的最小值为4，则实数m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由题意可得 = ，当 ，即 时等号成立，所以有
，将 化为 ，再利用基本不等式可求得 的范围.
【详解】解：因为 为正实数，= ，
当 ，即 时等号成立，
此时有 ，
又因为 ，
所以 ，
由基本不等式可知 （ 时等号成立），
所以 .
故选：B.
21．在 中，角 所对的边分别为 ，且点 满足 ，若 ，则
的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用向量知识可得 ，两边平方可得 ，再利用不等式知识可求得结果.
【详解】因为 ，所以 ，所以 ，
所以 ，
所以 ，整理得 ，
所以 ，
因为 ，所以 ，所以 ，解得 .
所以 的最大值为
故选：A
【点睛】关键点点睛：将向量条件 化为 ，利用向量数量积的运算律运算得到
是解题关键.
22．设等差数列{a}的公差为d，其前n项和是S，若a＝d＝1，则的最小值是________．
n n 1
【答案】
【详解】a＝a＋(n－1)d＝n，S＝，
n 1 n
所以＝＝≥＝，
当且仅当n＝，即n＝4时取等号，
所以的最小值是.
【高考必刷】
一、单选题
1．（2021·山西太原·高一阶段练习）已知 ， ，则 和 的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用作差法，令 ，结果配方，判断符号后得出结论．
【详解】 ，
故有 ，
故选：D．
【点睛】本题考查用比较法证明不等式的方法，作差﹣﹣变形﹣﹣判断符号﹣﹣得出结论涉及完全平方公式的应
用．属于基础题.
2．（2022·湖北·葛洲坝中学高一阶段练习）已知 ，则 的大小关系是（ ）
A． B． C． D．不能确定【答案】A
【分析】作差法比较大小，即得解
【详解】由题意，
因此
故选：A
【点睛】本题考查了作差法比较大小，考查了学生综合分析，数学运算能力，属于基础题
3．（2022·江苏宿迁·高一期中）若 且 ，则下列不等式一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用不等式的性质，通过举特例结合作差法比较大小即可判断各个选项正误.
【详解】对于A，当 时， ， ，显然A错误；
对于B，∵ 且 ，∴ ， ，
∴ ，
∴ ，即B正确；
对于C：当 ， 时， ， ，显然C错误；
对于D：当 时， ， ，显然D错误；
故选：B.
4．（2022·江西·贵溪市实验中学高三阶段练习（文））若 ，则 的最大值为（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】C
【解析】化简函数，利用基本不等式求出最值，并验证取等条件．
【详解】 ，
当且仅当 ，即 时取等号则 的最大值为
故选：C
【点睛】本题考查基本不等式的应用，考查学生计算能力，属于中档题．
5．（2022·黑龙江·牡丹江市第三高级中学高三阶段练习）已知 为正实数且 ，则 的最小值为（
）
A． B． C． D．3
【答案】D
【分析】由题知 ，再结合基本不等式求解即可.
【详解】解：因为 为正实数且 ，
所以 ，
所以，
因为 ，当且仅当 时等号成立；
所以 ，当且仅当 时等号成立；
故选：D
6．（2022·全国·高三专题练习）已知两个正实数 ， 满足 ，则 的最小值是（ ）
A． B． C．8 D．3
【答案】A
【分析】根据题中条件，得到 ，展开后根据基本不等式，即可得出结果.
【详解】因为正实数 满足 ，
则 ，
当且仅当 ，即 时，等号成立.
故选： ．【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：
（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的
因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的
最值，这也是最容易发生错误的地方.
7．（2022·全国·高一单元测试）已知正数 、 满足 ，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由 得 ，再将代数式 与 相乘，利用基本不等式可求出
的最小值．
【详解】 ，所以， ，
则 ，
所以， ，
当且仅当 ，即当 时，等号成立，
因此， 的最小值为 ，
故选 ．
【点睛】本题考查利用基本不等式求最值，对代数式进行合理配凑，是解决本题的关键，属于中等题．
8．（2022·浙江·高一期中）已知实数 ，且 ，则 的最小值是（ ）
A．6 B． C． D．
【答案】B
【分析】构造 ，利用均值不等式即得解【详解】 ，
当且仅当 ，即 ， 时等号成立
故选：B
【点睛】本题考查了均值不等式在最值问题中的应用 ，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算能力，属于中
档题
9．（2021·安徽合肥·高一期末）已知 ，且 ，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】运用乘1法，可得由x+y＝（x+1）+y﹣1＝[（x+1）+y]•（ ）﹣1，化简整理再由基本不等式即可
得到最小值．
【详解】由x+y＝（x+1）+y﹣1
＝[（x+1）+y]•1﹣1
＝[（x+1）+y]•2（ ）﹣1
＝2（2 1
≥3+4 7．
当且仅当x ，y＝4取得最小值7．
故选C．
【点睛】本题考查基本不等式的运用：求最值，注意乘1法和满足的条件：一正二定三等，考查运算能力，属于
中档题．
10．（2022·黑龙江·哈尔滨市第一中学校高一阶段练习）下列说法正确的是（ ）
A．若 且 ，则 至少有一个大于2B．
C．若 ，则
D．若 ，则
【答案】A
【分析】结合反证法、全称量词命题、不等式、函数解析式的求法等知识求得正确答案.
【详解】A选项，依题意， 且 ，若 都不大于 ，即 ，
则 ，与已知 矛盾，所以 至少有一个大于 ，A选项正确.
B选项，当 时， ，所以B选项错误.
C选项，由于 ，所以 ，
所以 ，所以C选项错误.
D选项，依题意， ①，
以 替换 得 ②，
由①②解得 ，所以D选项错误.
故选：A
11．（2022·甘肃省会宁县第一中学高一期中）若函数 在 处取最小值，则 等于（
）
A．3 B． C． D．4
【答案】A
【分析】将函数 的解析式配凑为 ，再利用基本不等式求出该函数的最小值，利用
等号成立得出相应的 值，可得出 的值.
【详解】当 时， ，则，
当且仅当 时，即当 时，等号成立，因此， ，故选A.
【点睛】本题考查基本不等式等号成立的条件，利用基本不等式要对代数式进行配凑，注意“一正、二定、三相
等”这三个条件的应用，考查计算能力，属于中等题.
12．（2015·湖南·高考真题（文））若实数 满足 ，则 的最小值为（ ）
A． B．2 C． D．4
【答案】C
【详解】 ，（当且仅当 时取等号），
所以 的最小值为 ，故选C.
考点：基本不等式
【名师点睛】基本不等式具有将“和式”转化为“积式”和将“积式”转化为“和式”的放缩功能，因此可以用
在一些不等式的证明中，还可以用于求代数式的最值或取值范围．如果条件等式中，同时含有两个变量的和与积
的形式，就可以直接利用基本不等式对两个正数的和与积进行转化，然后通过解不等式进行求解．
13．（2022·山东·青岛二中高一期中）十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“=”作为等号
使用，后来英国资学家哈利奥特首次使用“>”和“<”符号，并逐步被数学界接受志不等号的引入对不等式的发展
景响深远．已知a，b为非零实数，且 ；则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据各项不等式，利用作差法、特殊值，结合不等式性质判断正误即可.
【详解】A： ，若 有 、 ，故 ，错误；
B： ，若 有 、 ，故 ，错误；
C：若 ，则 ，错误；D： ，故 ，正确.
故选：D
14．（2022·福建·福州第十五中学高三阶段练习）已知 且 ，则 的取值范围
是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】首先求得 及 的取值范围，再把 转化为关于 的代数式 ，利用函数 的单调性
去求 的取值范围即可解决
【详解】由 ，可得 ，
则 ，则 ，令 ，则
，
又 在 单调递增，在 单调递减
， ，
则 ，即
故选：C
15．（2021·山西·太原市第五十六中学校高一阶段练习）若正数 满足 ，当 取得最小值时，
的值为（ ）
A． B．2 C． D．5
【答案】B
【分析】将方程变形 代入可得3x+4y=（3x+4y）（ ）= ×3，然后利用基本不等式即可求解．
【详解】∵x+3y=5xy，x＞0，y＞0
∴
∴3x+4y=（3x+4y）（ ）= ×3
当且仅当 即x=2y=1时取等号, 的值为2.
故答案为B.
【点睛】本题考查了“乘1法”与基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．解决二元的范
围或者最值问题，常用的方法有：不等式的应用，二元化一元的应用，线性规划的应用，等.
16．（2022·全国·高三专题练习）当 时，不等式 恒成立，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由题可得 ，且 ，利用基本不等式解答即可．
【详解】解：∵ ，∴ ，
∴
当且仅当 ，即 时取等号，
∵当 时，不等式 恒成立，
∴只需 ．
∴ 的取值范围为： ．
故选A．
【点睛】本题主要考查基本不等式，解题的关键是得出 ，属于一般题．
17．（2022·天津·静海一中高一期中）已知正数 、 满足 ，若不等式 恒成立，则实数
的取值范围是（ ）A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由已知可得出 ，将 与 相乘，利用基本不等式可求得 的最小值，即可得出实数
的取值范围.
【详解】因为 ， ，则 ， ，
所以， ，
所以 ，
当且仅当 时，即 ， 时等号成立．
又 恒成立，所以 ．
故选：C.
18．（2022·福建·莆田一中高一阶段练习）已知 ， ，若不等式 恒成立，则实数 的最大值
为（ ）
A．10 B．9 C．8 D．7
【答案】C
【解析】由已知可得 ，即求 的最小值，由基本不等式可得答案.
【详解】因为 ， ，则 ，
所以 ，
当且仅当 即 等号成立，要使不等式恒成立，所以
所以实数 的最大值为8.
故选：C.
【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：
（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的
最值，这也是最容易发生错误的地方.
二、多选题
19．（2022·全国·高一单元测试）下列命题为真命题的是（ ）
A．若 ， ，则 B．若 ， ，则
C．若 ，则 D．若 ， ，则
【答案】AD
【分析】A．由不等式的性质判断；B.举例判断；C.由 判断； D.作差判断.
【详解】A．由不等式的性质可知同向不等式相加，不等式方向不变，故正确；
B. 当 时， ，故错误；
C.当 时， 故错误；
D. ，因为 ， ， ，所以 ，故正确；
故选：AD
20．（2022·河南省浚县第一中学高一阶段练习）若正实数a，b满足 则下列说法正确的是（ ）
A．ab有最大值 B． 有最大值
C． 有最小值2 D． 有最大值
【答案】AB
【解析】对A,根据基本不等式求 的最大值；
对B,对 平方再利用基本不等式求最大值；
对C,根据 再展开求解最小值；
对D,对 平方再根据基本不等式求最值.【详解】对A, ,当且仅当 时取等号.故A正确.
对B, ,故 ,当且仅当 时取等号.故B正确.
对C, .当且仅当 时取等号.所以 有最小值4.故C错
误.
对D, ,即 ,故 有最小值 .故D错误.
故选：AB
【点睛】本题主要考查了基本不等式求解最值的问题,需要根据所给形式进行合适的变形,再利用基本不等式.属于中
档题.
三、填空题
21．（2022·山东·乳山市银滩高级中学高一阶段练习）若实数 满足 ， ，则 的
取值范围为________．
【答案】
【分析】设 ，解得 ， ，再由不等式的性质即可求解.
【详解】设 ，解得 ，
所以 ．
又 ， ， ，
所以 .
故答案为： ．
【点睛】关键点点睛：本题考查利用不等式的性质求取值范围，变形 是解题的关键，
考查学生的运算求解能力，属于基础题.
22．（2018·天津·高考真题（理））已知 ，且 ，则 的最小值为_____________.【答案】
【分析】由题意首先求得 的值，然后结合均值不等式的结论整理计算即可求得最终结果，注意等号成立的条
件.
【详解】由 可知 ，
且： ，因为对于任意 ， 恒成立，
结合均值不等式的结论可得： .
当且仅当 ，即 时等号成立.
综上可得 的最小值为 .
【点睛】在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积
或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误．
23．（2023·广东·惠来县第一中学高一期中）已知 ，则 的最大值为________．
【答案】1
【分析】直接利用基本不等式求最大值.
【详解】 ，则 ，
当且仅当 即 时取等号．
故答案为：
24．（2022·天津市第四中学高三期中）已知 且 ，则 的最小值为___________.
【答案】
【分析】令 ， ，将已知条件简化为 ；将 用 表示，分离常数，再使用“乘1法”
转化后利用基本不等式即可求得最小值．
【详解】解：令 ， ，因为 ，所以 ，
则 ， ，所以 ,所以
，
当且仅当 ，即 ， ，即 时取“ ”，
所以 的最小值为 .
故答案为： .
25．（2019·天津·高考真题（文）） 设 ， ， ，则 的最小值为__________.
【答案】 .
【分析】把分子展开化为 ，再利用基本不等式求最值．
【详解】由 ，得 ，得
，
等号当且仅当 ，即 时成立．
故所求的最小值为 ．
【点睛】使用基本不等式求最值时一定要验证等号是否能够成立．
26．（2017·天津·高考真题（文））若 ， ，则 的最小值为___________.
【答案】4
【详解】 ，（前一个等号成立条件是 ，后一个等
号成立的条件是 ，两个等号可以同时取得，则当且仅当 时取等号）.【考点】均值不等式
【名师点睛】利用均指不等式求最值要灵活运用两个公式，（1） ，当且仅当 时取等
号；（2） ， ，当且仅当 时取等号；首先要注意公式的使用范围，其次还要注意等号
成立的条件；另外有时也考查利用“等转不等”“作乘法”“1的妙用”求最值.
27．（2017·江苏·高考真题）某公司一年购买某种货物 吨，每次购买 吨，运费为 万元/次，一年的总存储费
用为 万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则 的值是__________．
【答案】
【详解】总费用为 ，当且仅当 ，即 时等号成立．故答案为
30.
点睛:在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求
中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误．
28．（2022·全国·高考真题（理））已知 中，点D在边BC上， ．当 取
得最小值时， ________．
【答案】
【分析】设 ，利用余弦定理表示出 后，结合基本不等式即可得解.
【详解】[方法一]：余弦定理
设 ，
则在 中， ，
在 中， ，
所以
，
当且仅当 即 时，等号成立，所以当 取最小值时， .
故答案为： .
[方法二]：建系法
令 BD=t，以D为原点，OC为x轴，建立平面直角坐标系.
则C（2t,0），A（1， ），B（-t,0）
[方法三]：余弦定理
设BD=x,CD=2x.由余弦定理得
， ，
， ，
令 ，则 ，，
，
当且仅当 ，即 时等号成立.
[方法四]：判别式法
设 ，则
在 中， ，
在 中， ，
所以 ，记 ，
则
由方程有解得：
即 ，解得：
所以 ，此时
所以当 取最小值时， ，即 .
四、解答题
29．（2022·海南·儋州川绵中学高一期中）比较下列两组代数式的大小
(1) 和
(2) 与
【答案】(1) ；(2) .
【分析】（1）利用作差比较法进行求解即可；（2）利用作差比较法，结合配方法进行求解即可.
【详解】（1）
（2）
30．（2022·河北·衡水市冀州区滏运中学高一阶段练习）已知 ， ，求 ， 的取值范围．
【答案】 的取值范围是 ， 的取值范围是 ．
【分析】根据题意可得 ，进而得到 的范围，再根据分数的性质可得 的取值范围.
【详解】因为 ，所以 ．
又 ，
所以 ，
即 ．
因为 ，所以 ，
因为 ，所以 ，
所以 ，
即 ．
所以 的取值范围是 ， 的取值范围是 ．
31．（2022·江苏·北大附属宿迁实验学校高一阶段练习）已知 ， ，分别求
(1)(2)
(3) 的取值范围.
【答案】(1) ；(2) ；(3) .
【分析】利用不等式的性质进行求解（1）（2）（3）即可.
【详解】（1） ，而 ，
所以有
（2） ；
（3） ，而 ，
所以有 .
32．（2022·全国·高一单元测试）解下列问题：
(1)若不等式 的解集为 ，求a，b的值；
(2)若 ，求 的最小值；
(3)已知 ，求代数式 和 的取值范围．
【答案】(1) ；(2)9；(3) ；
【分析】（1）由题意可得 和3是方程 的两个实根，则 ，从而可求出a，b的值；
（2）由已知可得 ，化简后利用基本不等式可求出其最小值，
（3）利用不等式的性质求解即可
【详解】（1）∵不等式 的解集为
∴ 和3是方程 的两个实根，∴ ，解得
（2）∵ ，又
∴
当且仅当 即 时等号成立，
所以 的最小值为9．
（3）∵ ，
∴
由 ，得 ，① ．
由 ，得 ，② ．
由① ②得，
33．（2022·全国·高三专题练习）（1）已知 ，则 取得最大值时 的值为？
（2）已知 ，则 的最大值为？
（3）函数 的最小值为？
【答案】（1） ；（2）1；（3）
【分析】（1）积的形式转化为和的形式，利用基本不等式求最值，并要检验等号成立的条件；
（2）结构为和的形式转化为积的形式，并使积为定值，同时要检验等号成立的条件；
（3）二次式除以一次式求最值，一般二次式用一次式表示出来，然后再分离，最后用基本不等式求解即可.
【详解】（1） ，
当且仅当 ，即 时，取等号.故所求 的值为 .
（2）因为 ，所以 ，
则 .
当且仅当 ，即 时，取等号.
故 的最大值为1.
（3）
.
当且仅当 ，即 时，取等号.
故函数的最小值为 .
34．（2022·江苏连云港·高一期中）如图，某人计划用篱笆围成一个一边靠墙（墙的长度没有限制）的矩形菜园．
设菜园的长为xm，宽为ym．
(1)若菜园面积为72m2，则x，y为何值时，可使所用篱笆总长最小？
(2)若使用的篱笆总长度为30m，求 的最小值．
【答案】(1)菜园的长x为12m，宽y为6m时，可使所用篱笆总长最小；(2) ．
【分析】（1）由已知可得xy＝72，而篱笆总长为x+2y．利用基本不等式x+2y≥2 即可得出；（2）由已知得x+2y＝30，利用基本不等式（ ）•（x+2y）＝5 5+2 ，进而得出．
【详解】（1）由已知可得xy＝72，而篱笆总长为x+2y．又∵x+2y≥2 24，
当且仅当x＝2y，即x＝12，y＝6时等号成立．
∴菜园的长x为12m，宽y为6m时，可使所用篱笆总长最小．
（2）由已知得x+2y＝30，
又∵（ ）•（x+2y）＝5 5+2 9，
∴ ，当且仅当x＝y，即x＝10，y＝10时等号成立．
∴ 的最小值是 ．
35．（2022·全国·高三专题练习）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设 ．
（1）求B；
（2）若△ABC的面积等于 ，求△ABC的周长的最小值．
【答案】（1） ；（2） ．
【分析】（1）先利用边角互化将 转化为关于B的方程，求出∠B．
（2）因为B已知，所以求面积的最小值即为求ac的最小值，结合余弦定理和基本不等式可以求得．
【详解】（1）因为 ，
由正弦定理得 ．
因为 ，所以sinA＞0，所以 ，
所以 ，因为 ，
所以 ，即 ．
（2）依题意 ，即ac＝4．所以 当且仅当 时取等号．
又由余弦定理得
∴ ，当且仅当a＝c＝2时取等号．
所以△ABC的周长最小值为 ．
【点睛】本题主要考查解三角形、基本不等式求最值，考查学生逻辑推理、数学运算、直观想象的核心素养，是
一道容易题.
36．（2022·陕西·长安一中高二阶段练习（文））已知在 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，且
.
（1）求 的值；
（2）若 ，求 面积的最大值.
【答案】(1) ;(2) .
【详解】分析：（1）在式子 中运用正弦、余弦定理后可得 ．（2）由
经三角变换可得 ，然后运用余弦定理可得 ，从而得到 ，
故得 ．
详解：(1)由题意及正、余弦定理得 ，
整理得 ，
∴
（2）由题意得 ，∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ .
由余弦定理得 ，
∴ ，
，当且仅当 时等号成立．
∴ ．
∴ 面积的最大值为 ．
点睛：（1）正、余弦定理经常与三角形的面积综合在一起考查，解题时要注意整体代换的应用，如余弦定理中常
用的变形 ，这样自然地与三角形的面积公式结合在一起．
（2）运用基本不等式求最值时，要注意等号成立的条件，在解题中必须要注明．
