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专题 11 离心率问题速解
【命题规律】
求椭圆或双曲线的离心率、与双曲线的渐近线有关的问题，多以选择、填空题的形式考查，难度中等．
【核心考点目录】
核心考点一：顶角为直角的焦点三角形求解离心率的取值范围问题
核心考点二：焦点三角形顶角范围与离心率
核心考点三：共焦点的椭圆与双曲线问题
核心考点四：椭圆与双曲线的 通径体
核心考点五：椭圆与双曲线的 直角体
核心考点六：椭圆与双曲线的等腰三角形问题
核心考点七：双曲线的 底边等腰三角形
核心考点八：焦点到渐近线距离为b
核心考点九：焦点到渐近线垂线构造的直角三角形
核心考点十：以两焦点为直径的圆与渐近线相交问题
核心考点十一：渐近线平行线与面积问题
【真题回归】
1．（2022·全国·统考高考真题）椭圆 的左顶点为A，点P，Q均在C上，且关于y
轴对称．若直线 的斜率之积为 ，则C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】[方法一]：设而不求
设 ，则
则由 得： ，
由 ，得 ，
所以 ，即 ，
所以椭圆 的离心率 ，故选A.
[方法二]：第三定义设右端点为B，连接PB，由椭圆的对称性知：
故 ，
由椭圆第三定义得： ，
故
所以椭圆 的离心率 ，故选A.
2．（2021·天津·统考高考真题）已知双曲线 的右焦点与抛物线 的焦点
重合，抛物线的准线交双曲线于A，B两点，交双曲线的渐近线于C、D两点，若 ．则双曲线
的离心率为（ ）
A． B． C．2 D．3
【答案】A
【解析】设双曲线 与抛物线 的公共焦点为 ，
则抛物线 的准线为 ，
令 ，则 ，解得 ，所以 ,
又因为双曲线的渐近线方程为 ，所以 ，
所以 ，即 ，所以 ，
所以双曲线的离心率 .
故选：A.
3．（2021·全国·统考高考真题）设 是椭圆 的上顶点，若 上的任意一点 都满足
，则 的离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设 ，由 ，因为 ， ，所以，
因为 ，当 ，即 时， ，即 ，符合题意，由 可得
，即 ；
当 ，即 时， ，即 ，化简得， ，显然该
不等式不成立．
故选：C．
4．（多选题）（2022·全国·统考高考真题）双曲线C的两个焦点为 ，以C的实轴为直径的圆记为
D，过 作D的切线与C交于M，N两点，且 ，则C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】AC
【解析】[方法一]：几何法，双曲线定义的应用
情况一
M、N在双曲线的同一支，依题意不妨设双曲线焦点在 轴，设过 作圆 的切线切点为B，
所以 ，因为 ，所以 在双曲线的左支，
， ， ，设 ，由即 ，则 ，选A
情况二
若M、N在双曲线的两支，因为 ，所以 在双曲线的右支，
所以 ， ， ，设 ，
由 ，即 ，则 ，
所以 ，即 ，
所以双曲线的离心率
选C
[方法二]：答案回代法
特值双曲线
，
过 且与圆相切的一条直线为 ，
两交点都在左支, ，
，则 ，
特值双曲线 ，
过 且与圆相切的一条直线为 ，
两交点在左右两支， 在右支， ，
，
则 ，
[方法三]：
依题意不妨设双曲线焦点在 轴，设过 作圆 的切线切点为 ，
若 分别在左右支，
因为 ，且 ，所以 在双曲线的右支，
又 ， ， ，
设 ， ，
在 中，有 ，
故 即 ，
所以 ，
而 ， ， ，故 ，
代入整理得到 ，即 ，
所以双曲线的离心率若 均在左支上，
同理有 ，其中 为钝角，故 ，
故 即 ，
代入 ， ， ，整理得到： ，
故 ，故 ，
故选：AC.
5．（2022·全国·统考高考真题）已知椭圆 ，C的上顶点为A，两个焦点为 ， ，离心率为 ．过 且垂直于 的直线与C交于D，E两点， ，则 的周长是
________________．
【答案】13
【解析】∵椭圆的离心率为 ，∴ ，∴ ，∴椭圆的方程为
，不妨设左焦点为 ，右焦点为 ，如图所示，∵
，∴ ，∴ 为正三角形，∵过 且垂直于 的直线与C交于
D，E两点， 为线段 的垂直平分线，∴直线 的斜率为 ，斜率倒数为 ， 直线 的方程：
，代入椭圆方程 ，整理化简得到： ，
判别式 ，
∴ ，
∴ ， 得 ，
∵ 为线段 的垂直平分线，根据对称性， ，∴ 的周长等于 的周长，
利用椭圆的定义得到 周长为
.
故答案为：13.
6．（2022·浙江·统考高考真题）已知双曲线 的左焦点为F，过F且斜率为 的直线交双曲线于点 ，交双曲线的渐近线于点 且 ．若 ，则双曲线的离心率
是_________．
【答案】
【解析】过 且斜率为 的直线 ，渐近线 ，
联立 ，得 ，由 ，得
而点 在双曲线上，于是 ，解得： ，所以离心率 .
故答案为： ．
7．（2022·全国·统考高考真题）记双曲线 的离心率为e，写出满足条件“直线
与C无公共点”的e的一个值______________．
【答案】2（满足 皆可）
【解析】 ，所以C的渐近线方程为 ,
结合渐近线的特点，只需 ，即 ，
可满足条件“直线 与C无公共点”
所以 ，
又因为 ，所以 ，
故答案为：2（满足 皆可）【方法技巧与总结】
求离心率范围的方法
一、建立不等式法：
1、利用曲线的范围建立不等关系．
2、利用线段长度的大小建立不等关系． 为椭圆 的左、右焦点， 为椭圆上
的任意一点， ； 为双曲线 的左、右焦点， 为双曲线上的
任一点， ．
3、利用角度长度的大小建立不等关系． 为椭圆 的左、右焦点， 为椭圆上的动点，
若 ，则椭圆离心率 的取值范围为 ．
4、利用题目不等关系建立不等关系．
5、利用判别式建立不等关系．
6、利用与双曲线渐近线的斜率比较建立不等关系．
7、利用基本不等式，建立不等关系．
【核心考点】
核心考点一：顶角为直角的焦点三角形求解离心率的取值范围问题
【典型例题】
例1．（2022·全国·高二专题练习）已知椭圆 上一点 关于原点的对称点为点 ，
为其右焦点，若 ，设 ，且 ，则该椭圆的离心率 的取值范围是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题意椭圆 上一点A关于原点的对称点为点B，F为其右焦点，设左焦点
为N，连接AN，BN，因为AF⊥BF，所以四边形AFBN为长方形．根据椭圆的定义： ，由题∠ABF＝α，则∠ANF＝α，
所以 ，
利用 ，
∵ ，∴ ， ，即椭圆离心率 的取值范围是 ，
故选B.
例2．（2022春·辽宁葫芦岛·高二统考期中）已知点 分别是椭圆 的左、右焦点，
点 是椭圆上的一个动点，若使得满足 是直角三角形的动点 恰好有6个，则该椭圆的离心率为（
）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题意知，椭圆的最大张角为 ，所以 ，所以 ，所以 ，故应
选 ．
例3．（2022秋·安徽·高二校联考开学考试）若P是以 ， 为焦点的椭圆 上的一点，
且 ， ，则此椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为 ，所以 ，
在 中，设 （ ），则 ， ，所以 ， ，
所以 .
故选：D.
核心考点二：焦点三角形顶角范围与离心率
【典型例题】
例4．（2022春·福建漳州·高二校联考期中）已知椭圆 （ ），椭圆的左、右焦点
分别为 ， ，P是椭圆C上的任意一点，且满足 ，则椭圆C的离心率e的取值范围是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由已知得 ， ，设 ，
则 ， ，
因为 ，所以 ，即 ，即 ，
因为点P是椭圆上的任意一点，所以 表示椭圆上的点到原点的距离的平方，
因为 ，所以 ，所以 ，即 ，
所以 ，
故选：B．
例5．（2022春·北京·高二人大附中校考期末）已知椭圆 的左、右焦点分别为 ，
若C上存在一点P，使得 ，且 内切圆的半径大于 ，则C的离心率的取值范围是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设 ， 内切圆的半径为r．
因为 ，所以 ，
则 ．由等面积法可得 ，
整理得 ，又
故 ．又 ，所以
则 ，从而 ．
故选：C
例6．（2022春·新疆乌鲁木齐·高二乌市八中校考阶段练习）已知 ， 是椭圆 的两
个焦点，若存在点 为椭圆上一点，使得 ，则椭圆离心率 的取值范围是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】如图，
当动点 在椭圆长轴端点处沿椭圆弧向短轴端点运动时， 对两个焦点的张角 渐渐增大，当且仅当
点位于短轴端点 处时，张角 达到最大值．由此可得：
存在点 为椭圆上一点，使得 ，
中， ，可得 中， ，
所以 ，即 ，其中
，可得 ，即
椭圆离心率 ，且故选:C
例7．（2022春·吉林辽源·高三辽源市第五中学校校考期中）已知椭圆 上一点A关于
原点的对称点为B，F为其右焦点，若 ，设 ，且 ，则该椭圆离心率e的最大值
为___________.
【答案】
【解析】已知椭圆 上一点A关于原点的对称点为点B、F为其右焦点，
设椭圆的左焦点为 ，连接 ，所以四边形 为长方形，
根据椭圆的定义 ，且 ，则 ，
所以 ，
又由离心率的公式得 ，
由 ，则 ，
所以 ，即椭圆的离心率的最大值为 .
故答案为：
例8．（2022春·黑龙江佳木斯·高二建三江分局第一中学校考期中）已知椭圆 上一点A
关于原点的对称点为点B，F为其右焦点，若 ，设 ，且 ，则该椭圆的离心
率e的取值范围是___________.
【答案】
【解析】椭圆上点A关于原点的对称点为点B，F为其右焦点，设左焦点为 ，连接 ，则四边形 为矩形.
根据椭圆的定义： ，则 .
∴
椭圆的离心率 ，
∴ ，则 ，
∴ ，
∴椭圆离心率e的取值范围 .
故答案为：
例9．（2022·高二单元测试）椭圆 上一点 关于原点的对称点为 ， 为其右焦点，
若 ，设 ，且 ，则该椭圆离心率的取值范围为________.
【答案】
【解析】记椭圆 的左焦点为 ，连 ， ，由椭圆的对称性和性质知 ， ，
由 ，可得 ，
得 ，
由 ，可得 ，则 ，
所以 .
故答案为： .
核心考点三：共焦点的椭圆与双曲线问题
【典型例题】
例10．（2022春·江苏苏州·高二江苏省苏州第十中学校校考阶段练习）已知椭圆和双曲线有共同的焦点
分别是它们在第一象限和第三象限的交点，且 ，记椭圆和双曲线的离心率分别为
，则 等于_______．
【答案】
【解析】设椭圆长半轴长为 ，双曲线实半轴长为 ， ， ， 为两曲线在第一象限的交点，
为两曲线在第三象限的交点.
由椭圆和双曲线定义知： ， ，
， ，由椭圆和双曲线对称性可知：四边形 为平行四边形，
， ， ，
即 ，
.
故答案为： .
例11．（2022春·山东青岛·高二统考期末）已知椭圆 和双曲线 有共同的焦点 ， ，P是它们的一
个交点，且 ，记椭圆 和双曲线 的离心率分别为 ， ，则 的最小值为
（ ）
A．24 B．37 C．49 D．52
【答案】C
【解析】设椭圆的长半轴长为 ，双曲线的实半轴长 ，焦距 ,则
， ，解得
， ，如图
在△F1PF2中,根据余弦定理可得：
，
整理得 ，即 ，
所以 ，
当且仅当 时，取等号.
故选:C.
例12．（2022春·广西·高三校联考阶段练习）已知椭圆和双曲线有共同的焦点 ， ，P是它们的一个交
点，且 ，记椭圆和双曲线的离心率分别为 ， ，则 的最小值为（ ）A． B． C． D．3
【答案】A
【解析】如图，设椭圆的长半轴为 ，双曲线的实半轴长为 ，则根据椭圆及双曲线的定义：
，
所以 ，
设 ，因为 ，则
在 中，由余弦定理得： ，
化简得： ，即 ，
从而有 ，
整理得 ，（当且仅当 时等号成立）
故选：A.
例13．（2022春·辽宁沈阳·高二沈阳市第三十一中学校考阶段练习）已知椭圆和双曲线有共同的焦点 ，
， 是它们的一个交点，且 ，记椭圆和双曲线的离心率分别为 ， ，则当 取最大值时，
， 的值分别是（ ）
A． ， B． ， C． ， D． ，
【答案】A
【解析】不妨设椭圆与双曲线的标准方程分别为： ， ， ，
．
设 ， ． ．则 ， ，∴ ， ．因为 ，
所以 ，
即 ．
∴ ，∴ ，
∴ ，则 ，当且仅当 ， 时取等号．
故选：A．
例14．（2022·河南洛阳·校联考模拟预测）已知椭圆 ： 和双曲线 ：
有共同的焦点 ， ， 是它们在第一象限的交点，当 时， 与 的
离心率互为倒数，则双曲线 的离心率是（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】B
【解析】设 ， 的离心率分别为 ， ，焦距为 ，
因为 ， ，
所以 ， ，
由余弦定理，得 ，
即 ，
化简，得 ，两边同除以 ，得 .
又 ，所以 .
又 ，所以 .
故选：B
核心考点四：椭圆与双曲线的 通径体
【典型例题】
例15．（2022·广西南宁·南宁市第八中学校考一模） 已知椭圆 的左、右焦点分别为
，过 且与 轴垂直的直线交椭圆于 两点，直线 与椭圆的另一个交点为 ，若 ，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】过点 作 轴于 ，则 ，由 ，
则 ， ，所以点 ，
由点 在椭圆上，所以有 ，即 ，
所以 .
故选：A.
例16．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆 的左､右焦点分别为 ， ，过 直
线与椭圆 交于 ， 两点，设线段 的中点 ，若 ，且 ，则椭圆 的离心率
为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为 ，所以 ，又 是 中点，所以 ，
因为 ，所以 是 中点，则 ，因此 轴，
设 ，则 ， ， ，
在 中，由勾股定理得 ，变形可得 ．
故选：B．
例17．（2022春·云南·高三校联考阶段练习）已知双曲线 的左、右焦点为 ， ，过 且垂直于 轴的直线交 于 ， 两点，若 ，则 的离心率为（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】A
【解析】由题可得 ，代入双曲线 ，
解得 ，
又 ，
∴ ，即 ，
，
，
， ，
.
故选：A
例18．（2022春·江苏宿迁·高三校考阶段练习）如图，已知A，B，C是双曲线 上的三
个点， 经过原点O， 经过右焦距F，若 且 ，则该双曲线的离心率等于_____．
【答案】
【解析】若 是左焦点，连接 ，设 ， ，∴由双曲线的对称性且 知： 是矩形，则 ， ，
又 ，即 ，则 ，
∴在 中， ，即 ，而 ，
∴ ， ，
∵在 中， ，即 ，可得 .
故答案为： .
核心考点五：椭圆与双曲线的 直角体
【典型例题】
例19．（2022春·福建福州·高二福建省福州格致中学校考阶段练习）已知 ， 是双曲线
的左、右焦点，过 作斜率为 的直线 ， 分别交 轴和双曲线右支于点 ，
，且 ，则 的离心率为______.
【答案】
【解析】因为 ，所以 ，即M为 的中点.
又O为 的中点，所以OM为中位线.所以 ,即 轴.
因为直线 过 且斜率为 ， ，所以 , .
由双曲线的定义可得： ,即 ，解得： ，即离心率为
.
故答案为：例20．（2022·全国·高三专题练习）如图所示，双曲线 ： 的左、右焦点分别为 、
，过 的直线与双曲线 C 的两条渐近线分别交于A、B两点，A是 的中点，且 ，则双曲线
C的离心率 （ ）
A． B．2 C． D．
【答案】B
【解析】 A是 的中点，
为△ 的中位线，
，所以 ，所以 ．
设 ， ， ， ，
点 在渐近线 上，
，得 ．
又 为 的中点， ，
在渐近线 上，
，得 ，则双曲线的离心率 ．
故选：B
例21．（2022·天津·统考一模）设 分别是双曲线 的左、右焦点， 为坐标原点，
过左焦点 作直线 与圆 切于点 ，与双曲线右支交于点 ，且满足 ，
，则双曲线的方程为( )A． B． C． D．
【答案】D
【解析】∵ 为圆 上的点， ，
，∴ 是 的中点，
又 是 的中点， ，
且 ，
又 ，
是圆的切线， ，
又 ，
∴双曲线方程为 ．
故选：D
例22．（2022·四川广元·统考三模）设 ， 分别是椭圆 的左、右焦点，过 的
直线交椭圆于 ， 两点，且 ， ，则椭圆 的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为 ，不妨令 ，
过 的直线交椭圆于 ， 两点，由椭圆的定义可得， ， ，
则 ， ，
又 ，所以 ，则 和 都是直角三角形，
则 ，即 ，解得 ，所以 ， ，又 ， ，
所以 ，因此 ，所以椭圆 的离心率为 .
故选：C.
例23．（2022春·江西抚州·高二江西省临川第二中学校考阶段练习）如图，已知 ， 为双曲线 ：
的左、右焦点，过点 ， 分别作直线 ， 交双曲线 于 ， ， ， 四点，使
得四边形 为平行四边形，且以 为直径的圆过 ， ，则双曲线 的离心率为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】设 ，则 ，
由双曲线的对称性和平行四边形的对称性可知： ，
连接 ，则有 ，
由于 在以AD为直径的圆周上， ，
∵ABCD为平行四边形， ， ，在直角三角形 中， ， ，
解得： ， ；
在直角三角形 中， ， ，
得 ， ，
故选：D.
核心考点六：椭圆与双曲线的等腰三角形问题
【典型例题】
例24．（2022春·陕西西安·高二期末）设 ， 是椭圆 ： 的左、右焦点，过点
且倾斜角为60°的直线 与直线 相交于点 ，若 为等腰三角形，则椭圆 的离心率
的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】直线 的方程为 ，
由 解得 ，则 ，
由于 为等腰三角形，
所以 ， .
故选：A
例25．（2022·全国·高三专题练习）已知双曲线 的左焦点为 ，过 作一倾斜角为 的直线交
双曲线右支于 点，且满足 （ 为原点）为等腰三角形，则该双曲线离心率 为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】记右焦点为 ，
由题意知， ，且 为等腰三角形，则只能是 ，
所以 ， ，所以直线 的方程为 ，
由 ，得
所以 ，
整理，得 ，
即 ，解得 或 （舍去），
所以 ．
故选：C．
例26．（2022·河南鹤壁·鹤壁高中校考模拟预测）已知 是椭圆 的左､右焦点，点
为抛物线 准线上一点，若 是底角为 的等腰三角形，则椭圆的离心率为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】如图，抛物线的准线与 轴的交点为
因为 是椭圆 的左､右焦点，所以
抛物线 准线为：直线 ，所以
因为 是底角为 的等腰三角形，则
则则 ，整理得：
所以离心率 .
故答案为：A.
例27．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆 的左右焦点为 ，若椭圆C上恰
好有6个不同的点P，使得 为等腰三角形，则椭圆C的离心率的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】法一：显然， 是短轴端点时， ，满足 为等腰三角形，因此由对称性，还有四
个点在四个象限内各有一个，
设 是第一象限内使得 为等腰三角形的点，
若 ，则 ，又 ，
消去 整理得： ，
解得 (舍去)或 ，
由 得 ，
所以 ，即 ，
若 ，则 ，又 ，
消去 整理得： ，
解得 或 ， 舍去．
所以 ，
所以 ，即 ，时， ， 是等边三角形， 只能是短轴端点，只有2个，不合题意．
综上， 的范围是 ．
法二：①当点 与短轴的顶点重合时， 构成以 为底边的等腰三角形，此种情况有2个满足条件
的 ；
②当 构成以 为一腰的等腰三角形时，根据椭圆的对称性，只要在第一象限内的椭圆上恰好有一
点 满足 为等腰三角形即可，则 或
当 时，则 ，即 ，则 ，
当 时，则有 ，则 ，
综上所述，椭圆的离心率取值范围是 .
故选：A.
核心考点七：双曲线的 底边等腰三角形
【典型例题】
例28．（2022·全国·高三专题练习）已知 ， 是双曲线 的左，右焦点，过点 作
斜率为 的直线 与双曲线的左，右两支分别交于 ， 两点，以 为圆心的圆过 ， ，则双曲线
的离心率为（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】B
【解析】取MN中点A，连AF，由已知令 ，则 ，如图：
2
因点M，N为双曲线左右两支上的点，由双曲线定义得 ，
，
则 ，令双曲线半焦距为c，
中， ， 中， ，则有 ，即 ，
因直线 的斜率为 ，即 ，而 ，即 ，
，于是有 ， ， ，
所以双曲线 的离心率为 .
故选：B
例29．（2022·全国·高三专题练习）设双曲线 的左､右焦点分别为 ，过点 作
斜率为 的直线 与双曲线 的左､右两支分别交于 两点，且 ，则双曲线 的离
心率为（ ）
A． B． C． D．2
【答案】A
【解析】如图，设 为 的中点，连接 .
易知 ，所以 ，所以 .
因为 为 的中点，所以 .
设 ，因为 ，所以 .
因为 ，所以 .
所以 .
因为 是 的中点， ，所以 .
在Rt 中， ；
在Rt 中， .
所以 ，解得 .
所以 .
因为直线 的斜率为 ，
所以 ，所以 ，
，所以离心率为 .故选：A
核心考点八：焦点到渐近线距离为b
【典型例题】
例30．（2022·全国·模拟预测）设 ， 分别是双曲线 ： 的左､右焦点， 为坐
标原点，过右焦点 作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为 .若 ，则双曲线 的离心率为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】根据对称性，不妨取双曲线 的一条渐近线的方程为 ，即 ，
点 到这条渐近线的距离为 .
因为 ，所以 ，
所以 .
由题意知 ，
所以 ，离心率 ，
故选：D.
例31．（2022·全国·高三专题练习）设 ， 是双曲线 的左、右焦点， 是坐标
原点．过 作 的一条渐近线的垂线，垂足为 ．若 ，则 的离心率为（ ）A． B． C． D．
【答案】B
【解析】不妨设双曲线的一条渐近线方程为 ，
则 ， ，
，
在 中， ，
在 中， ，
，即 ，
e=2，
故选：B．
例32．（2022·全国·高三专题练习）设 ， 是双曲线 的左、右焦点， 是坐标
原点．过 作 的一条渐近线的垂线，垂足为 ，若 ，则 的离心率为（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】C
【解析】双曲线 的渐近线为 ，焦点 到直线 的距离
，所以 ，由勾股定理得 ，所以 ，在 中，
，因为 由余弦定理可得
，即 ，即 ，所以离心率
故选：C例33．（多选题）（2022秋·广东·高二校联考阶段练习）过双曲线 （ ， ）的右焦
点F引C的一条渐近线的垂线，垂足为A，交另一条渐近线于点B．若 ， ，则C的离心
率可以是（ ）
A． B． C． D．2
【答案】BC
【解析】右焦点 ，设一渐近线 的方程为 ，
则另一渐近线 的方程为 ，
由 与 垂直可得 的方程为 ，联立方程 ，
可得 的横坐标为 ，
联立方程
可得 的横坐标为 ．
因为 ，
所以 ，
可得 ，
因为 ，所以 ，
即 ，
BC满足题意，AD不合题意，
故选：BC.
核心考点九：焦点到渐近线垂线构造的直角三角形
【典型例题】
例34．（2022·陕西西安·西安中学校考模拟预测）已知双曲线 的左、右焦点分别为
，过 作双曲线 的一条渐近线的垂线 ，垂足为 ，直线 与双曲线 的左支交于 点 ，且 恰为
线段 的中点，则双曲线 的离心率为 （ ）
A． B． C．2 D．
【答案】D
【解析】连结 ，因为点 分别为 和 的中点，
所以 ，且
设点 到一条渐近线 的距离 ，所以
，又 ，所以 ，中，满足 ，
整理为： ，
双曲线的离心率 .
故选：D
例35．（2022秋·安徽·高二校联考期中）已知双曲线 的左右焦点分别为 ， ，以
为直径的圆与双曲线的一条渐近线交于点 （异于坐标原点 ），若线段 交双曲线于点 ，且
则该双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】不妨设渐近线的方程为 ，因为 ， 为 的中点，
所以 为 的中点，
将直线 ， 的方程联立 ，可得 ，
又 ，所以 即 ，
又 点在双曲线上，所以 ，解得 ，
所以该双曲线的离心率为 ，
故选：A.例36．（2022·全国·高三专题练习）已知双曲线 的左焦点为 ，过点 的直线与
两条渐近线的交点分别为 两点(点 位于点M与点N之间)，且 ，又过点 作
于P(点O为坐标原点)，且 ，则双曲线E的离心率 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】不妨设 在第二象限， 在第三象限，如下图所示：
因为 ， ，所以 ，
所以 ， ，
又 ，所以 ，
所以 ，所以 ，
因为 ，所以 ，
所以 ，所以 .
故选：C.
例37．（2022·全国·统考模拟预测）设 是双曲线 的一个焦点，过 作双曲线的一条
渐近线的垂线，与两条渐近线分别交于 两点．若 ，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C．2 D．5
【答案】C【解析】不妨设 ，过 作双曲线一条渐近线的垂线方程为 ，
与 联立可得 ；
与 联立可得 ，
∵ ，∴ ，
整理得， ，即 ，
∵ ，∴ ．
故选：C．
核心考点十：以两焦点为直径的圆与渐近线相交问题
【典型例题】
例38．（2022春·四川宜宾·高二四川省宜宾市第四中学校校考阶段练习）已知 是双曲线
的右焦点， 为坐标原点，过 的直线与 的两条渐近线的交点分别为 ，若
， ，则 的离心率为________.
【答案】2
【解析】
因为 ，所以 ，即
所以 为点 到渐近线 的距离，
，
所以 ，可得点 为 的中点，
又因为 ，所以 ，
所以 ，设双曲线的左焦点为 ， ，
则 ，
因为 ，所以 ，
所以 ， ，
所以 ，
因为 为 中点，所以 ，
，
将 代入整理可得：
即 ，
所以 ，可得 ，
解得： 或 （舍），
故答案为：
例39．（2022·山西运城·统考模拟预测）已知双曲线 ： 的左焦点为 ，过点 的
直线与两条渐近线的交点分别为 ， 两点（点 位于点 与点 之间），且 ，又过点 作
于 （点 为坐标原点），且 ，则双曲线 的离心率 为__________.
【答案】
【解析】双曲线 ： 的渐近线方程为 ，
如图所示，设 ， ， ，， ，
由 ，得 ，解得 .
又点 到直线 的距离 ， ，
∴ ，则 ，
又 ，∴ .
所以 ，即 ，∴ .
故答案为： .
例40．（2022春·甘肃张掖·高三高台县第一中学校考阶段练习）过双曲线 的左焦点
F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，过A，B分别作双曲线的同一条渐近线的垂线，垂足分别
为P，Q.若 ，则双曲线的离心率为___________.
【答案】
【解析】
如图所示，左焦点F到渐近线 的距离 ，
而 ，∴ ，
∴双曲线的离心率为 .
故答案为：例41．（2022·高二课时练习）过双曲线 的右焦点F引一条渐近线的垂线，垂足为点
A､在第二象限交另一条渐近线于点B，且 ，则双曲线的离心率的取值范围是
___________．
【答案】
【解析】因为垂线与另一条渐近线交于第二象限，所以 ，所以 1，所以 ．
在直角 中， ，所以 ，即 ，
联立 ，得 ，
因为 ，所以 ，
故 ，因为 ，所以 ，解得
综上，可得
故答案为：
例42．（2022·全国·高三专题练习）双曲线 的左､右焦点分别为 、 ， 过的
直线与双曲线C的两条渐近线分别交于P、Q两点（P在第二象限，Q在第一象限）
，则双曲线C的离心率为______．
【答案】
【解析】由题意，双曲线 ，可得 ，
因为 ，可得 ，及 ，
所以点 在以 为直径的圆上，即点 在圆 上，
又因为点 在渐近线 ，
联立方程组 ，解得 ，即点 ，
设点 ，因为 ，可得 ，即 ，解得 ，即 ，
又由点 在渐近线 上，可得 ，
化简可得 ，所以 .
故答案为： .
例43．（2022春·湖南长沙·高二湖南师大附中校考期中）已知双曲线C： 的左、右焦
点分别为F，F，过F 的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点．若 ， ，则C的
1 2 1
离心率为____________．
【答案】2.
【解析】如图，
由 得 又 得OA是三角形 的中位线，即 由
，得 则 有 ，
又OA与OB都是渐近线，得 又 ，得
．又渐近线OB的斜率为 ，所以该双曲线的离心率为
．
例44．（2022春·黑龙江大庆·高二大庆实验中学校考期末）已知 是双曲线 的左焦点，圆与双曲线在第一象限的交点 ，若 的中点在双曲线的渐近线上，则此双曲线的离心
率是___________.
【答案】
【解析】设双曲线右焦点为 ，因为 的中点 在双曲线的渐近线 上，由
可知， ，因为 为 中点，所以 ，所以 ，即 垂直平分线段 ，所
以 到渐近线 的距离为 ，可得 ，所以
，由双曲线定义可知， ，即 ，所以
，所以 .
故答案为：
例45．（2022·四川·统考模拟预测）设双曲线 的左，右焦点分别为 ，左，右顶点
分别为A，B，以 为直径的圆与双曲线的渐近线在第一象限的交点为P，若 为等腰三角形，则双
曲线的离心率为_________．
【答案】
【解析】以 为直径的圆的方程为 ，双曲线过第一象限的渐近线方程为 ，由 ，解得 ，由 为等腰三角形，所以点 在线段 的中垂线上，即 ，
由 得 ，即 ，解得 或 （舍去）；
故答案为：
例46．（2022秋·天津·高三专题练习）已知F（﹣c，0），F（c，0）分别为双曲线 1（a＞0，b
1 2
＞0）的左、右焦点，以坐标原点O为圆心，c为半径的圆与双曲线在第二象限交于点P，若tan∠PFF
1 2
，则该双曲线的离心率为_____．
【答案】
【解析】由题意可得：P，F，F 在圆x2+y2＝c2上，所以PF⊥PF，设|PF|＝t，因为tan∠PFF ，
1 2 1 2 1 1 2
所以|PF| ，由勾股定理可得t2+2t2＝4c2，所以4c2＝3t2，所以2c t，
2
而2a＝|PF|﹣|PF| （ ）t，所以双曲线的离心率e ，
2 1
故答案为：
例47．（2022·全国·模拟预测）已知双曲线 的左、右焦点分别为 ， ，两条渐近
线分别为 ， .过点 且与 垂直的直线分别交 ， 于 ， 两点， 为坐标原点，若满足
，则该双曲线的离心率为______.
【答案】2
【解析】如图所示，不妨设渐近线 的斜率大于0，
由 得， 是线段 的中点，又因为 ，所以 ，
又 ，所以 ，
故直线 的斜率为 ，即 ，故 .
故答案为： .
核心考点十一：渐近线平行线与面积问题
【典型例题】
例48．（2022春·江苏南京·高二南京市第二十九中学校考阶段练习）已知双曲线 的
左、右焦点分别为 ，过双曲线C上任意一点P分别作C的两条渐近线的垂线，垂足分别为
， 等于 展开式的常数项，则双曲线C的离心率为
A．3 B．3或 C． D． 或
【答案】B
【解析】由已知可得， 展开式的常数项为 ，
设双曲线半焦距为c， .
设 ，得 ， .
P到两条渐近线 的距离分别为 ， ，
.①.又 ②，由①②可得 或 ，
或 .
故选：B
例49．（2022春·贵州六盘水·高三校考期末）在平面直角坐标系 中，已知双曲线
，过双曲线的右焦点 分别作双曲线的两条渐近线的垂线，垂足分别为 、
，若四边形 为正方形，则双曲线 的离心率为__________.
【答案】
【解析】如下图所示：
易知 轴为 的角平分线，由于四边形 为正方形， ，则 ，
，
因此，双曲线 的离心率为 .
故答案为： .
例50．（2022秋·湖北·高三统考阶段练习）已知双曲线 的左顶点为 ，过 作双曲
线两条渐近线的垂线，垂足分别为 ， ，且 （ 为坐标原点），则此双曲线的离心率是
___.
【答案】
【解析】由题意， ，双曲线 的渐近线方程为： ，不妨令 与直线 垂直， 与直线 垂直，
则 ， ，
所以直线 的方程为： ；直线 的方程为： ；
由 解得： （其中 ），则 ；
由 解得： ，即 ，
所以 ，
又 ，所以 ，即 ，即 ，
解得： 或 （不满足 ），
所以此双曲线的离心率是 .
故答案为： .
例51．（2022·河南郑州·郑州一中校考模拟预测）在平面直角坐标系 中，离心率为 的双曲线
的左、右焦点分别为 ， ， 为双曲线上一点，且 轴，过点 作双曲线
的两条渐近线的平行线，分别交两条渐近线于 ， 两点，若四边形 的面积为 ，则 的面积
为______.
【答案】
【解析】由已知得 ，所以 ，且 ，
所以双曲线 的两条渐近线是 ，所以四边形 是矩形，
且
所以四边形 的面积 ，
所以 ，所以 ，所以 的面积为 ，
故得解.
例52．（2022春·全国·高二期中）已知双曲线 上一点 坐标为 为双
曲线 的右焦点，且 垂直于 轴.过点 分别作双曲线 的两条渐近线的平行线，它们与两条渐近线围
成的图形面积等于 ，则该双曲线的离心率是________.
【答案】 或
【解析】由题意知， ，
双曲线 的渐近线方程为 ，设过点 且与渐近线 平行的直线与渐近线 相交于点 ，如图所示，
直线 的方程为 ，
将其与 联立，解得 ， ，即 ， ，
，
点 ， 到直线 的距离为 ，
所围图形面积等于1，
，即 ，
化简得 ，
点 ， 在双曲线上， ，即 ，
，
又 ， ， 或 ， ，
离心率 或 ．
故答案为： 或 ．
例53．（2022·浙江·校联考模拟预测）过双曲线 上一点 作直线 ，与双曲线的两条渐近
线分别交于 ，且 为线段 的中点，若 （ 为坐标原点）的面积为2，则双曲线的离心率为
______.
【答案】
【解析】由题意知，双曲线 的两条渐近线方程为 ，
设 ，则 ，
根据点 在双曲线 上，得 ，得 ，
由双曲线的两条渐近线方程得，
所以 ，
而 ，所以 ，又 ，所以 ，离心率 .
故答案为：
例54．（2022春·江苏苏州·高二苏州中学校考期末）过双曲线 上的任意一点 ，作双
曲线渐近线的平行线，分别交渐近线于点 ，若 ，则双曲线离心率的取值范围是
___________.
【答案】
【解析】因为双曲线 的渐近线方程为： ，
即 ，设点 ，可得： ，
联立方程组 ，解得： ，
同理可得： ，
所以 ，
因为 ，所以 ，
所以 ，由题意可得： ，
所以 ，故离心率 ，又因为双曲线的离心率 ，
所以双曲线离心率的取值范围为 ，故答案为： .
【新题速递】
一、单选题
1．（2022·重庆沙坪坝·重庆八中校考模拟预测）已知双曲线 ： 的右焦点为 ，点
，若双曲线的左支上存在一点 ，使得 ，则双曲线 的离心率的取值范围是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
设双曲线左焦点为 ，因为点 在双曲线左支上，所以有 ，
即 .
由已知得，存在点 ，使得 ，即 ，显然 ，所以 .
又 ，即当点 位于图中 位置时，等号成立，
所以 ，又 ，
所以 ，整理可得， ，解得 或 （舍去），
所以 ，则 ，则 ，所以 ，
所以 .
故选：C.
2．（2022春·河南·高三校联考阶段练习）已知双曲线 ，F为C的下焦点．O为坐标原点， 是C的斜率大于0的渐近线，过F作斜率为 的直线l交 于点A，交x轴的正半轴于点B，若
，则C的离心率为（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】C
【解析】因为F为双曲线 的下焦点，不妨设 ，
所以过F作斜率为 的直线 ，所以 .
因为 是C的斜率大于0的渐近线，所以可设 .
由 联立解得： .
因为 ，所以 ，解得： .
所以离心率 .
故选：C
3．（2022春·福建福州·高三福州四中校考阶段练习）设椭圆 的左、右焦点分别为
， ，点M，N在C上（M位于第一象限），且点M，N关于原点O对称，若 ，
，则椭圆C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】依题意作图，由于 ，并且线段MN， 互相平分，∴四边形 是矩形，其中 ， ，
设 ，则 ，
根据勾股定理， ， ，
整理得 ，
由于点M在第一象限， ，
由 ，得 ，即 ，
整理得 ，即 ，解得 ．
故选：C．
4．（2022春·江苏南通·高三期末）如图，内外两个椭圆的离心率相同，从外层椭圆顶点向内层椭圆引切线
AC，BD，若直线AC与BD的斜率之积为 ，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设内层椭圆的方程为 ，
由离心率相同可知，外层椭圆的方程为 ，
如图，
设切线 的方程为 ，则 ，
消去 得
由 ，得 ，
设切线 的方程为 ，
联立 ，
消去 得 ，
由 得 ，
又直线AC与BD的斜率之积为 ，
.
故选：C
5．（2022春·山东聊城·高三山东聊城一中校考阶段练习）已知椭圆 的左焦点为
F，A，B分别为C的左右顶点， 与y轴的一个交点为D，直线AD，BG的交点为
M，且 轴，则C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】解法一：由题意可知 ，
故直线AD的方程为 ，即 ，
直线BG的方程为 ，即 ，
联立直线AD，BG的方程，解得 .
又 轴，所以 ，所以C的离心 ，
故选：A.
解法二：设O为坐标原点，由题意知 ，故 ，所以 ，即 ，解得 .
又 ，所以 ，即 ，
解得 ，则 ，得 ，
所以C的离心率
故选：A.
6．（2022春·陕西·高三陕西省榆林中学校联考阶段练习）已知如图，椭圆 ： ，斜
率为 的直线 与椭圆 交于 ， 两点，与 轴， 轴分别交于 ， 两点，若 ，则椭
圆 的离心率 为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设 ， ，
∵ ，
∴ ， ．则 ，得 ，由 ，两式相减得： ，
即 ，
其中 ，且 ，解得： ，
故 ，
故 ，解得 ，
故 ，
∴ .
故选：C
7．（2022春·广东·高三校联考阶段练习）已知椭圆 ，直线l过坐标原点并交椭圆于
两点（P在第一象限），点A是x轴正半轴上一点，其横坐标是点P横坐标的2倍，直线 交椭圆
于点B，若直线 恰好是以 为直径的圆的切线，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】依题意，设 ，
直线 的斜率一定存在,分别为 ，
直线 恰好是以 为直径的圆的切线,则 ,则 ,
则 ，∴ ，∵ ，两式相减得 ，
∴ ，即 ，
∴ ，∴ ，∴ ，
∴椭圆的离心率 ，
故选:D．
8．（2022春·浙江金华·高三期末）设 为坐标原点， 为双曲线 的两个焦点，
为双曲线的两条渐近线， 垂直 于 的延长线交 于 ，若 ，则双曲线的离心率
为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
双曲线 的渐近线方程为： ，不妨令 ，
因为直线 垂直 ，则 ，故 ，又 ，
则点 到直线 的距离为 = ，所以 ，
，又 ，可知直线 的方程为： ，与 联立方程组可得：，则 ，解得 ，故 ,
由 ,则 ,
中，由勾股定理可得:
,
故 ；
又 ,则 ，即 ，
因为 的延长线交 于 ，此时 点的纵坐标大于0，即 ，故 ，所以
，
所以 化简得 .则 ，
故 ，则 .
故选：B.
9．（2022春·广东广州·高三校考期中）已知 、 为双曲线 的左、右焦点， 为
双曲线的渐近线上一点，满足 ， （ 为坐标原点），则该双曲线的离心率是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题可知， ， ，
根据对称性，不妨设P为渐近线 上一点，坐标为 ， ，因为 ，所以 ，则 ，故 ，
故 ，
在 中， ，
由余弦定理得 ，
即 ，
即 ，
则 ，即 ，
即 ，即 ，即 ，
所以 .
故选：A.
10．（2022春·江苏·高三校联考阶段练习）设椭圆 的左､右焦点分别为 ，过
的直线与 交于 两点.若 ，则 的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】令
则 ，
又 中，
，
，
中， ，
所以，离心率
故选：A.二、多选题
11．（2022春·黑龙江绥化·高三校考阶段练习）已知双曲线 右焦点为 ，过 且垂直于x
轴的直线与双曲线交于A，B两点，点 ，若 为锐角三角形，则下列说法正确的是
（ ）
A．双曲线过点
B．直线 与双曲线有两个公共点
C．双曲线的一条渐近线 的斜率小于
D．双曲线的离心率取值范围为
【答案】ACD
【解析】A选项：将点 代入双曲线，得到 ，符合，所以双曲线过 点，故A选项正
确；
D选项：因为 是锐角三角形，所以 ，则 ，即 .因为
双曲线 中 ，所以 ，所以 ，解得 ，所以
.因为 ，则 ，所以双曲线的离心率的取值范围是 ，D
选项正确；
C选项：双曲线的一条渐近线为 ，则斜率为 ， ，又 ，则
，又 ，所以 ，即 ，故C选项正确，
B选项：联立 ，得 ，即 ，则 ，由C
选项得， ，此时 ，故B选项错误.
故选：ACD.
12．（2022春·江苏常州·高三统考阶段练习）如图，椭圆 与椭圆 有公共的左顶点和左焦点，且椭圆
的右顶点为椭圆 的中心，设椭圆 与椭圆 的长半轴长分别为 和 ，半焦距分别为 和 ，离心
率分别为 和 ，则以下结论中正确的是（ ）A． B．
C． D．
【答案】ACD
【解析】由题知 ，
由②两边同时加 得 ，故C正确；
将①代入②得 ，
两边同时除以 得： ，即 ，故A正确；
由②得 ，③
③式两边同乘以 得 ，故B错误；
由③式得 ，故两边同加 得 ，故D正确.
故选：ACD
13．（2022·浙江·模拟预测）如图，椭圆 的左顶点为A，上顶点为B，右焦点为
F，且AB⊥BF，则C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】ABD
【解析】由题意知， ， ， ，则 ， ，
∵ ，
∴ ，即： ， ①
又∵ ，②
∴由①②得： ，即： ，
又∵ ，
∴ ，故D项正确；
∴ ，
∴ ，
∴ ，故A项正确；
∴ ，故B项正确；
∴ ，故C项错误；
故选：ABD.
14．（2022春·吉林通化·高三梅河口市第五中学校考期末）如图，P是椭圆 与双曲
线 在第一象限的交点，且 共焦点 的离心率分别为
，则下列结论不正确的是（ ）A． B．若 ，则
C．若 ，则 的最小值为2 D．
【答案】ACD
【解析】依题意， ，解得 ，A不正确；
令 ，由余弦定理得： ，
当 时， ，即 ，因此 ，B正确；
当 时， ，即 ，有 ，
而 ，则有 ，解得 ，C不正确；
，
，于是得 ，
解得 ，而 ，因此 ，D不正确.
故选：ACD
15．（2022春·山西运城·高三校考阶段练习）已知 分别为双曲线 的左、右焦点，
过点 的直线与双曲线的右支交于 两点，记 的内切圆 的半径为 的内切圆 的半径为
，若 ，则（ ）
A． 、 在直线 上 B．双曲线的离心率C． 内切圆半径最小值是 D． 的取值范围是
【答案】ABC
【解析】对A：
过 分别作 、 、 的垂线，垂足分别为 、 、 ，则 ，
∵ ，则 ，
又∵ ，则 ，
∴ ，即 在直线 上，
同理可得： 在直线 上， A正确；
对B：
∵ ，则 ，
∴ ，
又∵ ，则 ，即 ，
∴ ，故离心率为 ，B正确；
对C：
∵ ，则 ，
∴ ，双曲线的渐近线方程为 ，则直线 的倾斜角 ，
设 直线方程为 ， ，
联立方程 ，消去x得： ，
∴ ，
则 ，
设 内切圆半径为 ，其周长，
根据 的面积可得： ，
则 ，C正确；
对D：
由题意不妨设 ， ，
∵ ，则 ，
令 ，
∴ ， ， ，
又∵ 在 上单调递增，
∴ ，D错误；
故选：ABC.
16．（2022春·福建厦门·高三厦门双十中学校考期中）已知 ， 是双曲线 ： 的
左、右焦点，过 作倾斜角为30°的直线分别交y轴与双曲线右支于点M，P， ，下列判断正确
的是（ ）A． B．
C． 的离心率等于 D． 的渐近线方程为
【答案】BD
【解析】如下图所示，因为 ，即 为 中点， 为 中点，所以 ，
因为 ，所以 ，所以 ， ，A错误，B正确；
由 知 ，所以 ，又 ， ，
所以 ，即 ，所以 ，解得： ，C错误；
所以 ，所以 ，所以 ，所以 ，
所以 的渐近线方程为 ，D正确．
故选：BD．
三、填空题
17．（2022·全国·高三专题练习）已知双曲线 的左、右焦点分别为 、 ，点
在双曲线 上，点 在直线 上，且满足 .若存在实数 使得
，则双曲线 的离心率为_____________
【答案】
【解析】设直线 交 轴于点 ，如图，设 的外接圆半径为 ，由 ，
有 ，
故 ，所以直线 过 的内心，
设 的内切圆圆心为 ，内切圆圆 分别切 、 、 于点 、 、 ，
由切线长定理可得 ， ， ，
所以， ，
结合图形可得 ，所以， ，
故 的内心的横坐标为 ，
因为点 在直线 上，所以点 为 的内心.
由 可得 ，
所以， ，记 ，
设 ，则 ，所以， ，
所以，点 在直线 上，又因为 ，故点 与点 重合，且有 ，
由角平分线的性质可知点 到直线 、 的距离相等，
故 ，同理可得 ，
令 ，则 ，且 ，
故 .
则双曲线 的离心率 .
故答案为： .
18．（2022·河南·模拟预测）已知椭圆 和双曲线 有共同的左、右焦点 ，M是它们的一个交点，
且 ，记 和 的离心率分别为 ，则 的最小值是___________.
【答案】
【解析】不妨设M为第一象限的点．
如图，设椭圆的长半轴长为 ，双曲线的实半轴长为 ，
则根据椭圆及双曲线的定义知 ， ，
所以 ， ，
设 在 中， ，
由余弦定理得， ，
化简得 ，
即 ，所以 ，
所以 ，当且仅当 时，即 等号成立，
所以 的最小值为 ．
故答案为： ．
19．（2022·四川绵阳·四川省绵阳南山中学校考二模）第24届冬奥会，是中国历史上第一次举办的冬季奥
运会，国家体育场(鸟巢)成为北京冬奥会开、闭幕式的场馆．国家体育场“鸟巢”的钢结构鸟瞰图如图，
内外两圈的钢骨架是离心率相同的椭圆，若由外层椭圆长轴一端点A和短轴一端点B分别向内层椭圆引切
线AC，BD，且两切线斜率之积等于 ，则椭圆的离心率为______．
【答案】
【解析】设内层椭圆方程为 ，由于内外椭圆离心率相同，由题意可设外层椭圆方程为
.
所以 点坐标为 ， 点坐标为 ，设切线 的方程为 ，切线 的方程为
，
联立直线 的方程与内层椭圆方程 得， ，因为
直线 与椭圆相切，
所以 ，
整理可得， .
同理，联立直线 的方程与内层椭圆方程 ，可推出 ，所以 .
因为 ，所以 ，则 ，
所以 .
故答案为： .
20．（2022·四川遂宁·四川省遂宁市第二中学校校考一模）双曲线 的左顶点为 ，
右焦点 ， 若直线 与该双曲线交于 两点， 为等腰直角三角形， 则该双曲线离心率
为__________
【答案】2
【解析】联立 ， 可得 ， 则 ，
因为点 关于 轴对称， 且 为线段 的中点， 则 .
又因为 为等腰直角三角形， 所以， ， 即 ，
即 ， 所以， ， 可得 ，
因此， 该双曲线的离心率为 ．
故答案为：2
21．（2022·上海崇明·统考一模）已知椭圆 与双曲线 的离心率互为倒数，且它们有共同的焦点 、 ，
P是 与 在第一象限的交点，当 时，双曲线 的离心率等于______.
【答案】
【解析】设椭圆 标准方程为 ，椭圆离心率为 ，
设双曲线 标准方程为 ，双曲线离心率为 ，由题可知： ．
设 ， ，
则 ，
由①②得， ， ，
代入③整理得， ，
两边同时除以 得， ，
即 ，
即 ，
解得 ，即 ．
故答案为：
22．（2022·广东广州·统考一模）如图是数学家Germinal Dandelin用来证明一个平面截圆锥得到的截口曲
线是椭圆的模型.在圆锥内放两个大小不同的小球，使得它们分别与圆锥的侧面与截面都相切，设图中球
，球 的半径分别为4和2，球心距离 ，截面分别与球 ，球 相切于点 （ 是
截口椭圆的焦点），则此椭圆的离心率等于__________.【答案】
【解析】设 ，
由 ，解得 ，
所以 ，
所以 ，
设直线 与圆锥的母线相交于点 ， 圆锥的母线与球相切于 两点，如图所示，
则 ，
两式相加得 ，即 ，
过 作 ，垂直为 ，
则四边形 为矩形，所以 ， ，
所以椭圆的离心率为 .
故答案为：
