文档内容
第30讲 高考题中的解答题一（三角函数）
一、解三角形综合问题
(一) 利用正弦、余弦定理解三角形
(1)解三角形在高考中的考查主要是利用正、余弦定理求三角形的边、角、面积等基本计算，或将两个
定理与三角恒等变换相结合解三角形．
(2)关于解三角形问题，一般要用到三角形的内角和定理，正、余弦定理及有关三角形的性质，常见的
三角变换方法和原则都适用，同时要注意“三统一”，即“统一角、统一函数、统一结构”，这是使问题
获得解决的突破口．
[典例] 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，其面积为S，且b(a－b＋c)(sin A＋sin B＋
sin C)＝6S.
(1)求角B的大小；
(2)若a＝b＋1，c＝b－2，求cos A，cos C的值．
[解] (1)由S＝absin C及b(a－b＋c)(sin A＋sin B＋sin C)＝6S，
得(a－b＋c)(sin A＋sin B＋sin C)＝3asin C.
由正弦定理得(a－b＋c)(a＋b＋c)＝3ac，
所以a2＋c2－b2＝ac.
由余弦定理得cos B＝＝＝，
因为0，与△ABC是锐角三角形矛盾，
所以△ABC不能同时满足①，②.
由已知得△ABC一定同时满足③，④ .
因为c>a，所以C>A，若△ABC满足②，
则A，与△ABC是锐角三角形矛盾，
所以△ABC不满足②.所以△ABC满足①，③，④.
(2)因为a2＝b2＋c2－2bccos A，
所以 10＝b2＋16－2×b×4×，
解得b＝3或b＝.
当b＝时，cos C＝＝<0，所以C为钝角，与已知矛盾，
所以b＝3，
所以△ABC的面积为S ＝bcsin A＝6.
△ABC
(二) 与多边形有关的解三角形问题
[典例] 如图，四边形ABCD的内角B＋D＝π，AB＝6，DA＝2， BC＝CD，
且AC＝2.
(1)求B；
(2)若点P是线段AB上的一点，PC＝2，求PA的值．
[关键点拨]
(1)设BC＝CD＝x>0，在△ABC，△ACD中分别利用余弦定理可得出关于x，
cos B的方程组，解出cos B的值，结合角B的取值范围可求得角B的值；
切入点
(2)利用正弦定理可求得∠BPC的正弦值，再利用勾股定理求出PB，即可求
得PA的长
隐藏点 B＋D＝π⇒cos D＝cos(π－B)＝－cos B在余弦定理中的应用
[解] (1)设BC＝CD＝x>0，
在△ABC中由余弦定理，得AC2＝36＋x2－2×6xcos B＝28，即x2＋8＝12xcos B，①
又在△ACD中由余弦定理，得AC2＝4＋x2－2×2xcos D＝28，即x2－24＝4xcos D，②
因为B＋D＝π，则cos D＝cos(π－B)＝－cos B，
联立①②可得x＝4，cos B＝，因为B∈(0，π)，所以B＝.
(2)在△PBC中，由正弦定理知，＝，
所以sin∠BPC＝＝＝1，且0<∠BPC<π，故∠BPC＝，在直角三角形△PBC中，由勾股定理知，PB＝＝
2，此时PA＝AB－PB＝4.
方法技巧
平面几何中解三角形问题的求解思路
(1)把所提供的平面图形拆分成若干个三角形，然后在各个三角形内利用正弦、余弦定理求解．
(2)寻找各个三角形之间的联系，交叉使用公共条件，求出结果．
针对训练
(2022·济宁二模)如图，在梯形 ABCD 中，AB∥CD，AD·sin D＝ 2CD·sin
B．
(1)求证：BC＝2CD；
(2)若AD＝BC＝2，∠ADC＝120°，求梯形ABCD的面积．解：(1)证明：在△ACD中，由正弦定理得＝，
即AD·sin D＝AC·sin∠ACD，因为AB∥CD，所以∠ACD＝∠CAB，
所以AD·sin D＝AC·sin∠CAB，
在△ABC中，由正弦定理得＝，
即AC·sin∠CAB＝BC·sin B，所以AD·sin D＝BC·sin B．又AD·sin D＝2CD·sin B，
所以BC·sin B＝2CD·sin B，即BC＝2CD.
(2)由(1)知CD＝BC＝1.
在△ACD中，由余弦定理得AC2＝AD2＋CD2－2AD·CD·cos∠ADC，解得AC＝.
所以cos∠CAB＝cos∠ACD＝＝.
在△ABC中，BC2＝AC2＋AB2－2AC·AB·cos∠CAB，解得AB＝1或AB＝3.
又因为ABCD为梯形，所以AB＝3.又梯形ABCD的高为h＝AD·sin 60°＝，所以梯形ABCD的面积为S
＝(AB＋CD)h＝2.
命题点(三) 解三角形中的最值与范围问题
(1)解三角形中的最值与范围问题主要是求平面图形(一般为三角形或四边形)的面积、周长、边长等的
最值或范围．
(2)解题的关键在于根据题目条件恰当的表示目标函数，并选择适当的工具：三角函数的有界性，基
本不等式、二次函数等．
[典例] (2022·枣庄一模)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且bsin＝asin B．求：
(1)A；
(2)的取值范围．
切入点 正确分析已知三角等式中的边角关系，合理选择边化角或角化边
隐藏点 由(1)中得到的角A的值及A＋B＋C＝π求出角B的范围，从而求出的范围
障碍点 不能利用三角恒等变换把表示成某个角的三角函数值
[解] (1)因为bsin＝asin B，所以sin Bcos＝sin Asin B，因为B∈(0，π)，所以sin B≠0，所以cos＝
2sincos，因为A∈(0，π)，所以cos≠0，所以sin＝，因为0<<，所以＝，所以A＝.
（2）由正弦定理，得＝＝＝＝·－＝·－＝tan－，因为00)，则CD＝2k.根据题意作出大致图形，如图． 在△ABD 中，由余弦定理得AB2＝AD2＋BD2－2AD·BDcos∠ADB＝22＋k2－2×2k×＝k2＋2k＋4.在△ACD中，由余弦定理
得AC2＝AD2＋CD2－2AD·CDcos∠ADC＝22＋(2k)2－2×2×2k×＝4k2－4k＋4，则＝＝＝4－＝4－＝4－，
，
∵k＋1＋≥2 ∴≥4－＝4－2＝(－1)2，∴当取得最小值－1时，BD＝k＝－1.
答案：－1
2．(2022·济宁一模)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，asin B－bcos A＝b.
(1)求角A的大小；
(2)若a＝2，求△ABC面积的最大值．
解：(1)由正弦定理得sin Asin B－sin Bcos A＝sin B，
又sin B≠0，所以sin A－cos A＝1，所以sin A－cos A＝，即sin＝.
因为A∈(0，π)，A－∈，所以A－＝，即A＝.
(2)由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccos A，
即4＝b2＋c2－bc.
所以4＝b2＋c2－bc≥2bc－bc＝bc，即bc≤4.
当且仅当b＝c时，等号成立．
所以S＝bcsin A≤×4×＝.所以△ABC面积的最大值为.
命题点(四) 正、余弦定理的实际应用
[典例] 如图，某景区有景点A，B，C，D，经测量得，BC＝6 km， ∠ ABC ＝
120°，sin∠BAC＝，∠ACD＝60°，CD＝AC，则AD＝________km.现计 划从景点 B
处起始建造一条栈道BM，并在M处修建观景台．为获得最佳观景效果， 要求观景台
对景点A，D的视角∠AMD＝120°.为了节约修建成本，栈道BM长度的最 小 值 为
__________km.
切入点 把所求边放入三角形中求解
求解第二空时设△AMD的外心为O，连接OC交AD于点O，利用正弦定理
1
迁移点 求出外接圆的半径，根据圆外一点到圆上距离的最小值为点到圆心距离减去
半径求解
[解析] (1)在△ABC中，由正弦定理得，＝，即＝，解得AC＝6，∵∠ACD＝60°，CD＝AC，∴△ACD为
正三角形，∴AD＝6.
(2)设△AMD的外心为O，连接OC交AD于点O，
1
则＝2R，解得R＝2，
∴OO＝＝，
1
又OC＝OO＋OC＝＋6×＝4，
1 1
∴BM的最小值为BO－R＝BO－2，∵sin∠BAC＝，∴cos∠BAC＝，
∴sin∠ACB＝sin(∠BAC＋120°)＝×＋×＝，∴cos∠ACB＝，∴cos∠BCO＝cos＝×－×＝，
∵BO2＝(4)2＋62－2×4×6×＝300，∴BM的最小值为10－2.
[答案] 6 10－2
方法技巧
解三角形实际应用问题的步骤
针对训练
1．已知平面四边形 满足 ， ， ， .设 ，
.
(1)当 时，求四边形 的面积；
(2)求 的值（用 表示）；
(3)若 ，求 关于 的函数表达式，并求出 的最小值.
【答案】(1)
(2)
(3)【分析】（1）四边形ABCD的面积 ，解得AC与AB的长度后，求出 及 的面
积，即可求得四边形面积；
（2）在 及 中分别用正弦定理，即可建立 用 表示；
（3）结合正弦定理以及辅助角公式，将 用 表示，再利用 的范围求解 的最小值即可.
(1)
解：
又 又
∴ 为正三角形，
在 中，∵
故四边形ABCD的面积
=
(2)
又
在 中，
在 中，
(3)
在 中，则
∴当 时， .
2．如图，在 中，已知 ，点 ､ 在射线 运动(不含端点，且 )，点 在射线
上且 ，且 .
（1）若 ，求 长；
（2）当 ､ 在射线 运动时，设 ，记 的面积为 ，求 的解析式，并求出
的最小值.
【答案】（1） ；（2） ，最小值 .
【分析】（1）先求出 与 ，再在 中用正弦定理即可求解；
（2）先求出 与 ，再由面积公式结合三角函数的性质求解即可
【详解】（1）在 中，根据余弦定理得 ，
由正弦定理知 ，解得 ，
由题意知， ，所以 ，
在 中，由正弦定理知 ，解得 ；
（2）由 ，则 ， .在 中， ，解得 .
在 中， ，解得 .
因此 的面积为 ，
当 ，即 时， 取最小值 .
3．已知函数 .
（1）求 的最小正周期及 在区间 上的最大值
（2）在锐角 中，f（ ）= ，且a= ，求b+c取值范围.
【答案】（1）最小正周期为 ，最大值 ；（2） .
【分析】（1）先利用三角恒等变换对函数进行化简，进而通过三角函数的图像和性质的应用得到答案；
（2）利用正弦定理进行边化角，然后借助三角恒等变换进行化简，最后通过三角函数的图像和性质的应
用求出结果.
【详解】（1） ，
所以 的最小正周期为 .
因为 ，所以
于是，当 ，即 时， 取得最大值
（2）在 中，
， ， ， .由正弦定理 ， ，
，
，
，
.
4．在 中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，满足 .
(1)求B；
(2)若 的周长为6， ，求 的面积.
【答案】(1)
(2)
【分析】(1)利用正弦定理先边化角，再借助和角正弦公式化简得 ，从而可解；
(2)利用余弦定理和已知的周长得到 ，再借助三角形的面积公式 即可求解.
【详解】（1）∵ ，
根据正弦定理可得： ，
即 .
∴ ，即 .
∵ ，∴ ，
∴ ，又 ，∴ .
（2）由余弦定理知 ，
即 ，
又 ， ，
∴ .
∴
5．在平面直角坐标系 中， 是坐标原点，锐角 的终边 与单位圆的交点坐标为 ，
射线 绕点 按逆时针方向旋转 弧度后交单位圆于点 ，点 的纵坐标 关于 的函数为 ．
(1)求函数 的解析式，并求 的值；
(2)若 ， ，求 的值．
【答案】(1) ， ；
(2) .【分析】（1）根据特殊值对应的特殊角及三角函数的定义，结合函数值的定义即可求解；
（2）根据（1）的结论及诱导公式，利用同角三角函数的平方关系及商数关系即可求解.
【详解】（1）因为锐角 的终边 与单位圆的交点坐标为 ，
所以 ，且 ，所以
由此得 ，
.
（2）由 知 ，
由于 ，得 ，
与此同时 ，所以
所以 ，
.
6．在① ，② ，③ 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形
存在，求其面积；若问题中的三角形不存在，说明理由．
问题：是否存在 ，它的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 ， ，
_________？
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．【答案】若选条件①， ;若选条件②， ；若选条件③，三角形不存在.
【分析】根据正弦定理，余弦定理，带入即可求解.
【详解】由 和余弦定理得 .
由 及正弦定理得 .
于是 ，由此可得 .
若选条件①：
由① ，解得 .
因此，选条件①时问题中的三角形存在，此时 .
若选条件②：
由上可得： .
由② ，得 .
因此，选条件②时问题中的三角形存在，此时 .
若选条件③：
由于③ ，与 矛盾.
因此，选条件③时问题中的三角形不存在.
7．已知 的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若 ．
(1)求角A的大小；
(2)若 ，D为BC的中点，求线段AD长度的最大值．
【答案】(1)
(2)【分析】（1）利用正弦定理求得正确答案.
（2）利用圆的几何性质求得 的最大值.
【详解】（1）依题意， ，
由正弦定理得 ，
由于 是三角形的内角，所以 ，
所以 ，则 为锐角，所以 .
（2）设三角形 外接圆的半径为 ，圆心为 ，
则 ，
由于 ，所以 在三角形 外接圆上运动，
且只在优弧 （不包括端点）上运动，如图所示，
则 ， ，
当 三点共线时， 最大，
所以 长度的最大值是 .
8．已知函数 ， .
(1)求函数 的最小正周期；
(2)求函数 的单调递增区间；
(3)求函数f(x)在区间 上的最大值和最小值.【答案】(1) ；
(2) ；
(3)最大值是 ，最小值是
【分析】（1）化简可得 ，即可得出周期；
（2）解不等式 ，即可得出函数 的单调递增区间；
（3）由已知可得 ，根据正弦函数的图象及性质可推得， ，
，即可得出答案.
【详解】（1）
，
函数 的最小正周期 .
（2）令
解得 ，
所以函数 的单调递增区间为 .
（3）由已知 ，可得 .根据正弦函数的图象可得，
当 ，即 时， 单调递增；
当 ，即 ， 单调递减.
又 ， ， ，
所以 ， ，
所以函数 在区间 上的最大值是 ,最小值是 .
9．已知函数 ．
(1)求函数 的单调递增区间；
(2)将 的图象向左平移 个单位，得到 的图象，求 的值域．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由三角恒等变换化简函数，由整体法求单增区间；
（2）由三角恒等变换化简函数，由换元法转成二次函数求值域.
【详解】（1）由题： ，
令 ，解得 ，故 的单调递增区间为 ；
（2）由题及（1）得：所以 ，
令 ，则 ，
当 时， ，所以 ．
10． 中， ．
(1)求角 ．
(2)若 为锐角三角形，求 的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据已知条件及两角和的正弦公式逆用，结合三角形的内角和公式及三角函数的特殊值对
应的特殊角注意角的范围即可求解；
（2）根据（1）的结论及三角形的内角和定理，利用两角差的正弦公式及辅助角公式，结合锐角三角形得
出角的范围,再利用三角函数的性质即可求解.
【详解】（1）由 ，得
,
因为 ，所以 ，
所以 ,又 ，
所以 .
（2）由（1）知， ，所以 ,即 ,
所以 ,
因为 为锐角三角形，所以 ,解得 ，即 ，
所以 ，即 ，
所以 的取值范围为 .
