文档内容
专题 7.1 平行线的证明
目录
定义与命题..................................................................................................................................................1
平行线的判定.............................................................................................................................................3
平行线的性质.............................................................................................................................................8
折叠问题....................................................................................................................................................11
实际应用....................................................................................................................................................13
三角板........................................................................................................................................................16
平行线综合运用......................................................................................................................................18
平行线证明综合......................................................................................................................................22
三角形内角和定理.................................................................................................................................27定义与命题
1．定义
对名称和术语的含义加以描述，作出明确的__规定__．
2．命题
(1)定义：__判断__一件事情的句子．
(2)组成：每个命题都由__条件__和__结论__两部分组成．
(3)形式：__如果__……__那么__……
(5)具备命题的__条件__，而不具有命题的__结论__的例子，称为反例．
3．公理、定理和证明
(1)公理：公认的__真__命题．
(2)定理：经过证明的__真__命题．
(3)证明：演绎推理的__过程__．
4．命题证明的步骤
(1)根据命题，画出图形．(2)结合图形，写出已知和求证．(3)写出证明过程．
【例1】下列命题中，是真命题的是
A．两直线平行，同旁内角相等
B．全等三角形的面积相等
C．如果 ，那么 ，
D．三角形的一个外角大于任何一个内角
【变式训练1】下列命题中，假命题的是
A．在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行
B．面积相等的两个三角形全等
C．等腰三角形的顶角平分线垂直于底边
D．三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角【变式训练2】下列命题中，是假命题的是
A．一个锐角与一个钝角的和等于平角
B．全等三角形的面积相等
C．互为邻补角的两个角的平分线互相垂直
D．对顶角相等
【变式训练3】下列命题中，正确的是
A．三个角分别相等的两个三角形全等
B．面积相等的两个三角形全等
C．三边分别相等的两个三角形全等
D．有两边及一个角分别相等的两个三角形全等
平行线的判定
判定
文字叙述
方法
同位角 相等 ,
公理 ∵∠1= ∠2 ,∴a∥b
两直线平行
内错角 相等 ,
定理1 ∵∠2= ∠3 ,∴a∥b
两直线平行
同旁内角 互补 , ∵∠2+ ∠4 = 180° ,
定理2
两直线平行 ∴a∥b
【例2】如图所示，已知 ， ，不能判定 的条件是
A． B． C． D．
【变式训练1】如图，给出下列条件：① ；② ；③ ，且
；④ ．其中，能推出 的条件为A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
【变式训练2】如图，点 在 延长线上，下列条件不能判断 的是
A． B． C． D．
【变式训练3】如图所示，下列条件中不能推出 成立的条件是
A． B． C． D．
【例3】如图，已知 ， ， ，求证： ．【变式训练1】如图， ， ， ， 在同一条直线上， ．
（1）若 ， ，求 的度数．
（2）若 ，求证： ．
【变式训练2】如图， 中， ， 于点 ， ．
证明： ．【变式训练3】已知：如图，在 中，点 ， ， 分别在边 ， ， 上，
与 相交于点 ，且 ， ．
求证： ．
平行线的性质
性质定理 文字叙述
∵a∥b,
定理1 两直线平行,同位角 相等
∴∠1= ∠2
∵a∥b,
定理2 两直线平行,内错角 相等
∴∠2= ∠3
∵a∥b,∴∠2+ ∠4 =
定理3 两直线平行,同旁内角 互补
180°
定理4 平行于同一条直线的两条直线 平行 ∵a∥c,b∥c,∴a∥b
【例4】已知，直线 ，将含 的直角三角板按照如图位置放置， ，则 等
于A． B． C． D．
【变式训练1】如图，直线 ，将一个含 角的三角尺按如图所示的位置放置，若
，则 的度数为
A． B． C． D．
【变式训练2】如图， ， ， ，那么 等于
A． B． C． D．
【变式训练3】如图，直线 ，点 ， 分别在 ， 上， ，过线
段 上的点 作 ，交 于点 ，则 的度数为
A． B． C． D．
折叠问题
【例5】如图，把一张长方形纸片 沿 折叠，若 ，则A． B． C． D．
【变式训练1】如图，将长方形纸片 沿 折叠，使点 ， 分别落在点 ， 处．
若 ，则 的度数为
A． B． C． D．
【变式训练2】如图，将一条两边沿互相平行的纸带折叠，若 比 大 ，则 的度
数为
A． B． C． D．
【变式训练3】如图，将矩形纸条 折叠，折痕为 ，折叠后点 ， 分别落在点
， 处， 与 交于点 ．已知 ，则 的度数是A． B． C． D．
实际应用
【例6】某市为了方便市民绿色出行，推出了共享单车服务．图①是某品牌共享单车放在水
平地面的实物图，图②是其示意图，其中 ， 都与地面 平行， ，
．当 为 度时， 与 平行．
A．16 B．60 C．66 D．114
【变式训练1】生活中常见的探照灯、汽车大灯等灯具都与抛物线有关．如图，从光源
点照射到抛物线上的光线 ， 等反射以后沿着与直线 平行的方向射出，若
， ，则 的度数为
A． B． C． D．
【变式训练2】如图是小亮绘制的潜望镜原理示意图，两个平面镜的镜面 与 平行，
入射光线 与出射光线 平行．若入射光线 与镜面 的夹角 ，则 的度数
为A． B． C． D．
【变式训练3】光线在不同介质中的传播速度不同，因此当光线从水中射向空气时，要发生
折射．由于折射率相同，所以在水中平行的光线，在空气中也是平行的．如图，当
， 时， 和 的度数分别是
A． ， B． ， C． ， D． ，
三角板
【例7】一副直角三角板如图摆放，点 在 的延长线上， ，若
，则 的度数为
A． B． C． D．
【变式训练1】如图，有一块含有 角的直角三角板的两个顶点放在直尺的对边上，如果
，那么 的度数是A． B． C． D．
【变式训练2】将一副直角三角板按如图所示的方式叠放在一起，过点 作 ，则
图中 的度数是
A． B． C． D．
【变式训练3】一副直角三角板如图放置，点 在 的延长线上， ，
， ， ，则 的度数为
A． B． C． D．
平行线综合运用
【例8】如图在 中， ， 分别平分 ， ，交于 ， 为外角
的平分线， 的延长线交 于点 ，记 ， ，则以下结论
① ，② ，③ ，④ 正确的是A．①②③ B．①③④ C．①④ D．①②④
【变式训练1】如图，在 中， ， 平分 ，点 在射线 上，
于 ，交 、 于点 、 ， 于 ．下列结论：① ；
② ；③ ；④ ．其中正确的结
论个数为
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【变式训练2】如图， ， 、 分别平分 的内角 、外角
， 平分外角 交 的延长线于点 ．以下结论：① ；②
；③ ；④ ．其中正确的结论有
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【变式训练3】如图， ， 、 、 分别平分 的外角 、内
角 、 外 角 ， 以 下 结 论 ： ① ； ② ； ③；④ ．其中正确的结论有 （填序号）．平行线证明综合
【例9】如图，四边形 中， ， ， 分别是 ， 的平
分线．
（1） 与 有什么关系，为什么？
（2） 与 有什么关系？请说明理由．
【变式训练1】如图，已知点 、 在直线 上，点 在线段 上， 与 交于点
， ， ．
（1）求证： ；
（2）试判断 与 之间的数量关系，并说明理由；
（3）若 ， ，求 的度数．【变式训练2】如 图 ， 已 知 点 在 上 ， 点 ， 在 上 ， ，
．
（1）求证： ；
（2）若 ， ，求证： ；
（3）若 ， ，求 的度数．【变式训练3】三角形 中， 是 上一点， 交 于点 ，点 是线段
延长线上一点，连接 ， ．
（1）如图1，求证： ；
（2）如图2，连接 ，若 ， ，求 的度数；
（3）如图3，在（2）的条件下，点 是线段 延长线上一点，若 ，
平分 ，求 的度数．三角形内角和定理
定理 三角形的内角和等于 180° .
在△ABC中,
符号语言
∠A + ∠B + ∠C =180°
证法1: 证法2:
证明过程 作CM∥AB 作CM∥AB
把三角形内角和转化为: 把三角形内角和转化为:
∠1 + ∠2 ∠1 + ∠2
+ ∠3 =180° + ∠B =180°
【例10】如图，在 中， ， ， 为 延长线上一点， 与
的平分线相交于点 ，则 的度数为
A． B． C． D．
【变式训练1】如图， 是 中 的平分线， 是 的外角的平分线，如
果 ， ，则 ．
【变式训练2】如图 中， ，延长 到 ， 与 的平分线相交
于点 ， 与 的平分线相交于点 ，依此类推， 与 的平分线
相交于点 ，则 的度数为A． B． C． D．
【变式训练3】如图，在 中， ， 和 的平分线交于点 ，得 ；
和 的平分线交于点 ，得 ； 和 的平分线交于点
，则 度．
一、单选题
1．用反证法证明命题“三角形中必有一个内角小于或等于60°时，首先应假设这个三角形中
（ ）
A．有一个内角小于60° B．有一个内角大于60°
C．每一个内角都小于60° D．每一个内角都大于60°
2．在 中，若一个内角等于另外两个角的差，则（ ）
A．必有一个角等于 B．必有一个角等于
C．必有一个角等于 D．必有一个角等于
3．如图，已知AD是△ABC的中线，E，F分别是AD和AD延长线上的点，且DE＝DF，
连接BF，CE．下列说法正确的是（ ）
①BD＝CD；②∠BAD＝∠CAD；③△BDF≌△CDE；④BF∥CE；⑤CE＝AEA．①② B．③⑤ C．①③④ D．①④⑤
4．如图，已知△ABC中，BD，CE分别是△ABC的角平分线，BD与CE交于点O，如果
设∠A=n°（0＜n＜180），那么∠COD的度数是（ ）
A． B． C． D．
5．如图，已知AB⊥BD，AC⊥CD，∠A＝50°，则∠D的度数为（ ）
A．40° B．50° C．60° D．70°
6．三个等边三角形的摆放位置如图所示，若 ，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
7．如图，在四边形ABCD中， ， ，点E，F分别为BC和CD上
的动点，连接AE，AF．当 的周长最小时， 的度数为（ ）A． B． C． D．
8．如图，先将一张长方形纸片按图①的虚线对折，得到图②，然后将图②沿虚线折叠得到
图③，再将图③沿虚线BC剪下△ABC，展开即可得到一个五角星．若想得到一个正五角
星（如图④，正五角星的5个角都是36°），则在图③中应沿什么角度剪，即∠ABC的度
数为（ ）
A．144° B．126° C．120° D．108°
二、填空题
9．如图，直线MN∥PQ，点A、B分别在MN、PQ上，∠MAB＝33°．过线段AB上的点C
作CD⊥AB交PQ于点D，则∠CDB的大小为_____度．
10．如图是可调躺椅示意图(数据如图)，AE与BD的交点为C，且∠A，∠B，∠E大小保
持不变，为了舒适，需调整∠D的大小，使∠EFD=110°，则图中∠D应减少_______度．11．已知三条不同的直线a、b、c在同一平面内，下列四条命题：
①如果a∥b，a⊥c，那么b⊥c；②如果b∥a，c∥a，那么b∥c；③如果b⊥a，c⊥a，那
么b⊥c；④如果b⊥a，c⊥a，那么b∥c．其中假命题的是___．（填写序号）
12．如图，在四边形ABCD中，∠BCD＝50°，∠B＝∠D＝90°，在BC、CD上分别取一点
M、N，使 AMN的周长最小，则∠MAN＝_____°．
△三、解答题
13．已知：如图，直线AB与直线CD相交于点O， 与 是对顶角．求证：
．
14．如图，已知∠A＝50°，∠D＝40°．
(1)求∠1度数；
(2)求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数．
15．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=40°，△ABC的外角∠CBD的平分线BE交
AC的延长线于点E．
（1）求∠CBE的度数；
（2）过点D作DF∥BE，交AC的延长线于点F，求∠F的度数．
