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2025-2026 学年八年级上册数学单元检测卷
第一章 勾股定理·能力提升
建议用时：120分钟，满分：120分
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
A． B．
1．下列各组数为勾股数的是（ ）
A．7，12，13 B．3，3，4 C．0.1，0.2，0.3 D．9，12，15
C． D．
2．在 中， ， 、 、 所对边的长分别为a、b、c，若 ， ，那么 的值
7．下列选项中（图中三角形都是直角三角形），不能用来验证勾股定理的是（ ）
是（ ）
A．2 B．6 C．20 D．36
A． B． C． D．
3．已知 的三条边分别为 ，下列条件不能判断 是直角三角形的是（ ）
A． B．
8．如图， 是一张纸片， ，现将其折叠，使点 与点 重合，折痕为 ，
C． D．
则 的长为（ ）
4．如图，在四边形 中， ， 相交于点O，且 ，若 ， ，则 的
值为（ ）
A． B．2 C． D．
A．12 B．20 C．25 D．26
9．如图1，以直角三角形的三边为边长制作正方形纸片 ，它们的面积分别记为 ．现将
5．如图，在四边形 中， ， ， ， ，则 的度数为（ ）
正方形纸片 放置在最大的正方形 内，如图2，阴影部分面积记为 ，则下列说法正确的是（ ）
A． B． C． D．
6．《九章算术》是我国古代最重要的数学著作之一，在“勾股”章中记载了一道“折竹抵地”问题：“今
有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者几何？”翻译成数学问题是：“如图，在 中，
， ，求 的长”．若设 ，则可列方程为（ ） A． B． C． D．
10．有一个边长为1的大正方形，经过1次“生长”后，在它的左右肩上生出两个小正方形，其中三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过1次“生长”后，形成的图形如图1所示．如果继续“生长”下去， 15．如图1，这个图案是我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”．此图案
它将变得“枝繁叶茂”如图2所示，若“生长”了2025次后，形成的图形中所有的正方形的面积和是（ 的示意图如图2，其中四边形 和四边形 都是正方形， ， ， ， 是四
）
个全等的直角三角形．若 ，则 的长为 ．
A．2026 B．2025 C． D．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 16．若直角三角形三边长为正整数，且周长与面积数值相等， 则称此三角形为“完美直角三角形”， 求
11．在直线L上依次摆放着七个正方形，已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3，正放置的四个正
“完美直角三角形”的斜边长为
三、解答题（第17，18，19，20题，每题6分；第21，22，23题；每题8分；第24，25题，每题12分；
方形的面积依次是 、 、 、 ，则 共9小题，共72分）
17．在 中， ．
(1)若 ， ，则 ______；
(2)已知 ， ，求 、 的值．
18．在 中， ， ， ．
(1)求边 和 的长；
12．已知a、b、c是 的三边长，且满足关系 ，则 的形状为 ．
(2)求 的面积．
19．学过《勾股定理》后，学校数学兴趣小组的队员们来到操场上测量旗杆 的高度，通过测量得到如下
13．如图，圆柱体的底面直径为 ，高 为 ， 是上底面的直径，一只蚂蚁从点 出发，沿着
信息：
圆柱的侧面爬行到点 处觅食，则爬行的最短路程为 ．
①测得从旗杆顶端垂直挂下来的升旗用的绳子比旗杆长3米（如图1）；
②当将绳子拉直时，测得此时拉绳子的手到地面的距离 为1米，到旗杆的距离 为12米（如图2）．
14．如图，在单位长度为1的 的网格系中， 的顶点都在格点上，则 ．
根据以上信息，解答下列问题
(1)设旗杆 米，则 ______米， ______米（用含 的式子表示）
(2)求旗杆 的值．20．如图，在一条东西走向河流的一侧有一村庄 ，河边原有两个取水点 ， ，道路 因为施工需要封
闭，该村为方便村民取水，决定在河边新建一个取水点 （ ， ， 在同一条直线上），并新修一条道
路 ，已知 ， ， ．
(1)如图1，若 ，求 的长；
(2)如图2，若点 在 的平分线上，求 的长．
24．我们规定：三角形任意一条边的“边高差”等于这条边与这条边上高的长度之差．如图1， 中，
(1) 是否为村庄 到河边最近的道路？请通过计算加以说明；
为 边上高，边 的“边高差”等于 ，记为 ．
(2)已知新的取水点 与原取水点 相距 ，求新路 比原路 少多少千米．
21．如图，点M、N把线段 依次分成 、 、 三段，若以 、 、 为边组成的三角形是
一个直角三角形，则称点M、N是线段 的“勾股分点”．
(1)若 ， ， ，则点M、N______线段 的“勾股分点”（填“是”或“不是”）；
(2)若M、N是线段 的“勾股分点”， ， ，且 是组成的直角三角形的一条直角边，
(1)如图2，若 中， ， ， ，则 ；
求 的长．
22．小明在物理课上学习了发声物体的振动实验后，利用数学知识对其作了进一步的探究．如图1，在一个
(2)若 中， ， ，求 的值；
支架的横杆点O处用一根细绳悬挂一个小球A，让小球A可以自由摆动．如图2， 表示小球静止时的位
置．当小明用发声物体靠近小球时，使小球从 摆到 位置，此时过点B作 于点D．当小球摆 (3)若 中， ， 边上的高为15，求 的值．
到 位置时， 与 互相垂直（点A，B，O，C在同一平面内），过点C作 于点E，测得
25．【问题提出】勾股定理是几何学中一颗光彩夺目的明珠，被称为“几何学的基石”．（1）在我国最早
， ．
对勾股定理进行证明的是三国时期吴国的数学家赵爽．如图1是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形
（直角边分别为 ， ，斜边为 ）拼成，用它可以验证勾股定理 ；（2）图2为美国第二十任总
统加菲尔德的“总统证法”，它用两个全等的直角三角形（直角边分别为 ， ，斜边为 ）和直角边为
的等腰直角三角形拼成一个直角梯形，用它也可以验证勾股定理
(1)求证： ；
(2)求 的长．
23．如图，在 中，点 为边 上一点， ．【问题解决】（1）在直角三角形中，直角边分别为 ， ，斜边为 ，从上述两种方法中，任选一种方法
证明勾股定理 ；
（2）勾股定理的验证过程体现了一种重要的数学思想是（ ）；
A．函数思想 B．整体思想 C．分类讨论思想 D．数形结合思想
【知识应用】（3）如图3，在一条东西走向河流的一侧有一村庄 ，河边原有两个取水点 ， ，该村为
方便村民取水决定在河边新建一个取水点 （ ， ， 在同一条直线上），并新修一条路 ，现测得
千米， 千米， 千米，为最大限度节省铺路的费用（保证质量的前提下），求新修路
的长．
