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全等三角形模型——手拉手模型与半角模型
手拉手模型
特点：由两个等顶角的等腰三角形所组成，并且顶角的顶点为公共顶点，如图所示
结论：（1）△ABD≌△AEC
（2）∠α +∠BOC=180°
（3）OA平分∠BOC
变形：
1. 如图，以 的边 ， 为边，向外作等边 和等边 ，连接 ， 相交于点 ．
（1）求证： ．
（2）求 的度数．
（3）求证： 平分 ．
（4）求证： ．【分析】（1）根据等边三角形的性质和全等三角形的判定和性质得出 即可；
（2）根据全等三角形的性质和角的关系得出 即可；
（3）过点 作 于 ， 于 ，根据三角形面积公式和角平分线的性质解答即可；
（4）在 上截取 ，连接 ，根据全等三角形的判定和性质解答即可．
【解答】证明：（1） 和 是等边三角形，
， ， ，
，
即 ，
在 与 中，
，
，
；
（2） ，
，
，
，
；
（3）过点 作 于 ， 于 ，
，
，，
，
， ，
平分 ；
（4）在 上截取 ，连接 ，
在 与 中，
，
，
， ，
，
，
，
即 ，
是等边三角形，
，
．
2. 等边 和等边 如图所示，连接 与 ，证明：（1） ；（2） 与 的夹角
为 ；（3） 延长线与 的交点设为 ，求证： 平分 ．【分析】（1）根据 和 都是等边三角形，即可得到 ，进而得出 ；
（2）根据全等三角形的性质以及三角形内角和定理，即可得到 中， ，进而得到 与
的夹角为 ；
（3）过 作 于 ， 于 ，根据全等三角形的面积相等，即可得到 ，再根据
于 ， 于 ，可得 平分 ．
【解答】证明：（1） 和 都是等边三角形，
， ， ，
，
在 和 中，
，
，
；
（2） ，
，
又 ，
，
中， ，
即 与 的夹角为 ；
（3）如图，过 作 于 ， 于 ，，
，即 ，
又 ，
，
又 于 ， 于 ，
平分 ．
3. （2021春•宁阳县期末）如图两个等腰直角 与 ， ，连接 ，
交于点 ．
证明：（1） ；
（2） ．
【分析】（1）由两个等腰直角 与 ，可得 ， ， ，进
而得出 ，然后由 即可判定 ，进而可得结论；
（2）根据全等三角形的性质则可证得 ，再根据直角三角形的两锐角互余进而证出
即可得解．
【解答】解：（1）证明： 与 是等腰直角三角形，
， ，且 ，
，
即 ，
在 与 中，，
，
；
（2）证明：设 与 相交于点 ，由（1）知， ，
，
，
，
，
，
，
．
4. 如图，两个等腰 与 ，连接 ， 交于点 ，连接 ．求证： ．
【分析】由“ ”可证 ，可得 ， ，由面积公式可得 ，由
角平分线的判定定理可得结论．【解答】证明：如图，过点 作 于 ， 于 ，
，
，
在 和 中，
，
，
， ，
，
，
又 ， ，
．
5. 如图，两个正方形 和 ，连接 与 ，二者相交于 ．问：
（1）求证： ．
（2） 与 的关系？并说明理由．
（3）求证： 平分 ．【分析】（1）由四边形 与 是正方形，可得 ， ，进而得出
， ，然后由 即可判定 ；
（2）根据全等三角形的性质则可证得 ， ，进而证出 即可；
（3）根据全等三角形的性质和三角形的面积解答即可．
【解答】（1）证明： 四边形 和四边形 是正方形，
， ，且 ，
，
在 与 中， ，
，
（2）解： ， ，理由如下：
由（1）得： ，
， ，
，
，
；
（3）证明：过点 作 于 ， 于 ，如图：
，
，
，
，， ，
平分 ．
6. （2021秋•南岗区校级期中）已知： ， ， ．
（1）如图1，求证： ；
（2）如图2，当 时， 、 交于点 ，连接 ，求证： ；
（3）如图3，在（2）的条件下，过 作 于 ，在 上取点 ，连接 并延长至 ，使
，连接 ，若 ，求 的度数．
【分析】（1）证明 即可；
（2）作 ， ，截取 ，证明 ，可推出 ，从而
可证 ，进而得证；
（3）作 于 ，作 交 于 ，作 于 ，证明 ，可推出
，进而求得结果．
【解答】（1）证明：如图1，，
，
，
， ，
，
；
（2）证明：如图2，
设 与 交于 ，作 于 ， 于 ，在 上截取 ，
，
由（1）知： ，
，
，
，
，
，
，
，
是等边三角形，
，
，，
，
即： ；
（3）解：如图3，
作 于 ，作 交 于 ，作 于 ，
， ，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
由（2）知： ，
，
，
，，
，
，
，
，
， ，
，
，
，
．
7. （2021秋•天河区期末） 是等边三角形，点 是 边上动点， ，把
沿 对折，得到△ ．
（1）如图1，若 ，则 ．
（2）如图2，点 在 延长线上，且 ．
①试探究 ， ， 之间是否存在一定数量关系，猜想并说明理由．
②若 ， ，求 的长．（用含 的式子表示）
【 分 析 】 （ 1 ） 由 是 等 边 三 角 形 知 ， ， 由 ， 知， ，代入 值即可；
（2）①连接 ，在 上取一点 ，使 ，根据 证△ ，得 ，再证
是等边三角形，即可得出 ；
②先证 ，即 、 、 三点在同一直线上，得出 ，根据 证
△ ，得出 ，即可求出 的值．
【解答】解：（1） 是等边三角形，
，
，
，
，
，
，
故答案为： ；
（2）① ，理由如下：
连接 ，在 上取一点 ，使 ，
是等边三角形，
， ，
，
△ ，
， ，
，
，
是等边三角形，， ，
，
即 ；
②如下图，
由①知， ，
，
由（1）知， ，
由折叠知， ，
，
，
，
，
点 、 、 在同一直线上，
即 ，
由折叠知， ， ，
，
，
，
△ ，
，
由①知， ，
， ，，
，
．
半角模型
图形中，往往出现90°套45°的情况，或者120°套60°的情况。还有 套 的情况。求证的结论一般
是线段的和与差。解决的方法是：截长补短构造全等三角形。旋转移位造全等，翻折分割构全等。截长法，
补短法。
8. （2021秋•东坡区期末）如图， 是边长为6的等边三角形， ， ，以点
为顶点作一个 角，使其两边分别交 于点 ，交 于点 ，连结 ，则 的周长是
．
【分析】要求 的周长，根据题目已知条件无法求出三条边的长，只能把三条边长用其它已知边长来
表示，所以需要作辅助线，延长 至 ，使 ，连接 ，通过证明 ，及
，从而得出 ， 的周长等于 的长．
【解答】解： 是等腰三角形，且 ，
，
是边长为4的等边三角形，
，
，
延长 至 ，使 ，连接 ，
在 和 中，
，
，， ，
，
，
，
在 和 中，
，
，
，
的周长是： ．
故答案为：12．
9. 已知，如图，四边形 是正方形， 、 分别在边 、 上，且 ，我们把这种模
型称为“半角模型”，在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的方法
（1）在图1中，连接 ，为了证明结论“ ”，小明将 绕点 顺时针旋转 后解
答了这个问题，请按小明的思路写出证明过程；
（2）如图2，当 的两边分别与 、 的延长线交于点 、 ，连接 ，试探究线段 、 、
之间的数量关系，并证明．
【分析】（1）利用旋转的性质，证明 即可；
（2）把 绕点 逆时针旋转 到 ，交 于点 ，证明 即可求得 ．
【解答】（1）证明：由旋转可得 ， ， ，四边形 为正方形，
，
，
，
，
，
在 和 中，
，
，
，
，
；
（2）解：线段 、 、 之间的数量关系是： ，证明如下：
把 绕点 逆时针旋转 ，使 与 重合，点 与点 对应，如图：
同（1）可证得 ，
，且 ，
．
10. （2020秋•荔湾区期末）如图，在四边形 中， ， ， ， 分别是边
， 上的点，且 ，求证： ．【 分 析 】 延 长 至 ， 使 ， 连 接 ， 先 证 ， 得 ，
，再证 ，得 ，进而得出结论．
【解答】证明：延长 至 ，使 ，连接 ，如图所示：
， ，
，
在 与 中，
，
，
， ，
，
，
，
即 ，
在 与 中，
，
，
，
，．
11. 已知：边长为1的正方形 中， 、 分别是 、 上的点．
（1）若 ，求证： ；
（2）若 得周长为2，求 的度数．
【分析】（1）延长 到 ，使 ，连接 ，因为 ， ， ，所以
， 则 有 ， ， 又 因 为 ， ， 所 以
，故 ，即 ；
（2）延长 至 ，使 ，则 ，故 ，进而求证 ，即可
求得 ．
【解答】（1）证明：延长 到 ，使 ，连接 ，
， ， ，
，
．
， ，
， ，
，
．
，
，
．（2）解：如图，延长 到 ，使 ，连接 ，
， ， ，
，
．
， ，
，
又 ，
，
．
12. （2020秋•新建区校级期中）（1）如图（1），在 中， 是 边上的中点， ，
交 于点 ， 交 于点 ，连接 ．若 ，探索线段 、 、 之间的数量关
系，并加以证明；
（2）如图（2），在四边形 中， ， ， ，以 为顶点作一个
角，角的两边分别交 、 于 、 两点，连接 ，探索线段 、 、 之间的数量关系，
并加以证明．
【分析】（1）如图（1）延长 到 ，使 ，连接 ， ，根据条件证明 ，
得 ， ，易证 垂直平分线段 ，则 ，把问题转化到 中，由勾股定理
可求解；
（2）如图（2），结论： ．延长 到 ，使 ，根据条件证明 ，则 ，再证明 ，从而得 ．
【解答】证明：（1） ，
理由如下：如图（1）延长 到 ，使 ，连接 ， ，
在 与 中，
，
，
， ， ，
又 ，
垂直平分线段 ，
，
，
，
，
在 中， ，
；
（2）如图（2），结论： ，
理由如下：延长 到 ，使 ，，又 ，
，
在 和 中，
，
，
， ，
，
在 和 中，
，
，
，
．
13. 【感知】如图①，点 是正方形 的边 上一点，点 是 延长线上一点，且 ，易
证 ，进而证得 （不要求证明）
【应用】如图②，在正方形 中，点 、 分别在边 、 上，且 ．求证：
．
【拓展】如图③，在四边形 中， ， ， ，点 、 分别在
边 、 上，且 ，若 ， ，则四边形 的周长为 ．【分析】【应用】如图②中，过点 作 交 延长线于点 ．先证明 ，再证明
，得到 ，由此即可证明．
【拓展】如图③中，如图③中，过点 作 交 延长线于点 ．首先证明 ，由此
即可计算四边形的周长．
【解答】【应用】如图②中，过点 作 交 延长线于点 ．
四边形 为正方形，
， ．
， ．
， ．
．
在 和 中，
，
．
， ．
， ，
．
在 和 中，，
．
．
，
．
【拓展】如图③中，过点 作 交 延长线于点 ．
， ，
，
， ．
．
在 和 中，
，
．
， ．
， ，
．
在 和 中，
，
．．
，
．
四边形 的周长为 ，
故答案为6.4
14. 问题背景：“半角问题”
（1）如图：在四边形 中， ， ， ． ， 分别是 ，
上的点．且 ．探究图中线段 ， ， 之间的数量关系．
小明同学探究此“半角问题”的方法是：延长 到点 ．使 ．连接 ，先证明 ，
再证明 ，可得出结论，他的结论应是 ；（直接写结论，不需证明）
探索延伸：当聪明的你遇到下面的问题该如何解决呢？
（2）若将（1）中“ ， ”换为 ．其它条件不变．如图1，试问
线段 、 、 具有怎样的数量关系，并证明．
（3）如图2，在四边形 中， ， ， 、 分别是边 、 上的点，且
，请直接写出线段 、 、 它们之间的数量关系．（不需要证明）
（4）如图3，在四边形 中， ， ， 、 分别是边 、 延长线上的
点，且 ，试问线段 、 、 具有怎样的数量关系，并证明．
【分析】（1）延长 到点 ．使 ．连接 ，即可证明 ，可得 ，再证
明 ，可得 ，即可解题；
（2）如图1，延长 到 ，使 ，连接 ，即可证明 ，可得 ，再证明
，可得 ，即可解题；（3）如图2，同理可得： ；
（4）如图 3，作辅助线，构建 ，同理证明 和 ．可得新的结论：
．
【解答】证明：（1）延长 到点 ．使 ．连接 ，
在 和 中，
，
，
， ，
， ，
，
，
在 和 中，
，
，
，
；
故答案为： ；
（2）如图1，延长 到 ，使 ，连接 ．
在 与 中，
，
．
， ，．
．
又 ，
易证 ．
．
．
（3）（1）中的结论 仍然成立．
理由是：如图2，延长 到 ，使 ，连接 ．
， ，
，
在 与 中，
，
．
， ，
．
．
又 ，
．
．
．
（4）结论 不成立，应当是 ．
证明：在 上截取 ，使 ，连接 ．
， ，
．在 与 中，
，
．
， ．
．
．
，
易证 ．
．
