文档内容
专题 7.1 平行线的证明
目录
定义与命题..................................................................................................................................................1
平行线的判定.............................................................................................................................................3
平行线的性质.............................................................................................................................................8
折叠问题....................................................................................................................................................11
实际应用....................................................................................................................................................13
三角板........................................................................................................................................................16
平行线综合运用......................................................................................................................................18
平行线证明综合......................................................................................................................................22
三角形内角和定理.................................................................................................................................27定义与命题
1．定义
对名称和术语的含义加以描述，作出明确的__规定__．
2．命题
(1)定义：__判断__一件事情的句子．
(2)组成：每个命题都由__条件__和__结论__两部分组成．
(3)形式：__如果__……__那么__……
(5)具备命题的__条件__，而不具有命题的__结论__的例子，称为反例．
3．公理、定理和证明
(1)公理：公认的__真__命题．
(2)定理：经过证明的__真__命题．
(3)证明：演绎推理的__过程__．
4．命题证明的步骤
(1)根据命题，画出图形．(2)结合图形，写出已知和求证．(3)写出证明过程．
【例1】下列命题中，是真命题的是
A．两直线平行，同旁内角相等
B．全等三角形的面积相等
C．如果 ，那么 ，
D．三角形的一个外角大于任何一个内角
【解答】解： ．两直线平行，同旁内角互补，不一定相等，选项不符合题意；
．全等三角形的面积相等，是真命题，选项符合题意；
．如果 ，那么 ， 或 ， ，原命题是假命题，选项不符合题意；
．三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角，原命题是假命题，选项不符合题
意；
故选： ．【变式训练1】下列命题中，假命题的是
A．在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行
B．面积相等的两个三角形全等
C．等腰三角形的顶角平分线垂直于底边
D．三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角
【解答】解： 、在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行，正确，是真命题，
不符合题意；
、面积相等的两个三角形不一定全等，故原命题错误，是假命题，符合题意；
、等腰三角形的顶角的平分线垂直于底边，正确，是真命题，不符合题意；
、三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角，正确，是真命题，不符合题意．
故选： ．
【变式训练2】下列命题中，是假命题的是
A．一个锐角与一个钝角的和等于平角
B．全等三角形的面积相等
C．互为邻补角的两个角的平分线互相垂直
D．对顶角相等
【解答】解： 、一个锐角与一个钝角的和不一定等于平角，故原命题错误，是假命题，
符合题意；
、全等三角形的面积相等，正确，是真命题，不符合题意；
、互为补角的两个角的平分线互相垂直，正确，是真命题，不符合题意；
、对顶角相等，正确，是真命题，不符合题意．
故选： ．
【变式训练3】下列命题中，正确的是
A．三个角分别相等的两个三角形全等
B．面积相等的两个三角形全等
C．三边分别相等的两个三角形全等
D．有两边及一个角分别相等的两个三角形全等
【解答】解： ．三个角分别相等的两个三角形相似，但不一定全等，选项不符合题意；
．全等三角形的面积相等，但面积相等的两个三角形不一定全等，选项不符合题意；．根据 定理知，三边分别相等的两个三角形全等，选项符合题意；
．有两边及夹角相等的两个三角形全等，但有两边及一个角分别相等的两个三角形不一
定全等，选项不符合题意；
故选： ．
平行线的判定
判定
文字叙述
方法
同位角 相等 ,
公理 ∵∠1= ∠2 ,∴a∥b
两直线平行
内错角 相等 ,
定理1 ∵∠2= ∠3 ,∴a∥b
两直线平行
同旁内角 互补 , ∵∠2+ ∠4 = 180° ,
定理2
两直线平行 ∴a∥b
【例2】如图所示，已知 ， ，不能判定 的条件是
A． B． C． D．
【解答】解： 、 ， ， ，
，同旁内角相等，并不能判定两直线平行，符合题意；
、 ， ， ，
，即同旁内角互补，可得 ，不符合题意；
、 、同 ，皆由同旁内角互补，可判定其平行，故 ， 都正确，不符合题意．
故选 ．
【变式训练1】如图，给出下列条件：① ；② ；③ ，且
；④ ．其中，能推出 的条件为A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
【解答】解： ，
，
故①符合题意；
，
，不能得出 ，
故②不符合题意；
，
，
，
，
，
，
故③符合题意；
， ，
，
，
故④符合题意；
故选： ．
【变式训练2】如图，点 在 延长线上，下列条件不能判断 的是
A． B． C． D．【解答】解： ，
，
所以 选项不符合题意；
，
，
所以 选项符合题意；
，
，
所以 选项不符合题意；
，
，
所以 选项不符合题意．
故选： ．
【变式训练3】如图所示，下列条件中不能推出 成立的条件是
A． B． C． D．
【解答】解： 、 ，
，故本选项不符合题意；
、 ，
与 的关系无法确定，故本选项符合题意；
、 ，
，故本选项不符合题意；
、 ，
，故本选项不符合题意；
故选： ．
【例3】如图，已知 ， ， ，求证： ．【解答】证明： 是 ， 所在三角形的外角，
，
又 ，
，
．
【变式训练1】如图， ， ， ， 在同一条直线上， ．
（1）若 ， ，求 的度数．
（2）若 ，求证： ．
【解答】（1）解： ， ，
，
，
；
（2）证明： ， ，
，
，
，
，．
【变式训练2】如图， 中， ， 于点 ， ．
证明： ．
【解答】证明： ，
，
，
，
，
，
，
．
【变式训练3】已知：如图，在 中，点 ， ， 分别在边 ， ， 上，
与 相交于点 ，且 ， ．
求证： ．
【解答】证明： ，
，
，
，
，
．平行线的性质
性质定理 文字叙述
∵a∥b,
定理1 两直线平行,同位角 相等
∴∠1= ∠2
∵a∥b,
定理2 两直线平行,内错角 相等
∴∠2= ∠3
∵a∥b,∴∠2+ ∠4 =
定理3 两直线平行,同旁内角 互补
180°
定理4 平行于同一条直线的两条直线 平行 ∵a∥c,b∥c,∴a∥b
【例4】已知，直线 ，将含 的直角三角板按照如图位置放置， ，则 等
于
A． B． C． D．
【解答】解：如图：
， 与 是对顶角，
，
，
，
，
．
故选： ．
【变式训练1】如图，直线 ，将一个含 角的三角尺按如图所示的位置放置，若，则 的度数为
A． B． C． D．
【解答】解：如图，
由题意得： ， ，
，
，
，
，
是 的外角，
，
．
故选： ．
【变式训练2】如图， ， ， ，那么 等于
A． B． C． D．
【解答】解： ，
，
，，
， ，
．
故选： ．
【变式训练3】如图，直线 ，点 ， 分别在 ， 上， ，过线
段 上的点 作 ，交 于点 ，则 的度数为
A． B． C． D．
【解答】解： 直线 ， ，
，
，
，
．
故选： ．
折叠问题
【例5】如图，把一张长方形纸片 沿 折叠，若 ，则
A． B． C． D．
【解答】解： 长方形纸片 沿 折叠， ，
，
，
四边形 是长方形，，
．
故选： ．
【变式训练1】如图，将长方形纸片 沿 折叠，使点 ， 分别落在点 ， 处．
若 ，则 的度数为
A． B． C． D．
【解答】解：由折叠得： ， ，
，
设 ，则有 ，
，
，
解得： ，
则 ．
四边形 是长方形，
，
，
．
．
故选： ．
【变式训练2】如图，将一条两边沿互相平行的纸带折叠，若 比 大 ，则 的度
数为A． B． C． D．
【解答】解：如图所示，
由题意可得： ，
，
，
，
由图可得， ，
比 大 ，
，
解得 ，
，
故选： ．
【变式训练3】如图，将矩形纸条 折叠，折痕为 ，折叠后点 ， 分别落在点
， 处， 与 交于点 ．已知 ，则 的度数是
A． B． C． D．
【解答】解： 矩形纸条 中， ，，
，
由折叠可得， ，
故选： ．
实际应用
【例6】某市为了方便市民绿色出行，推出了共享单车服务．图①是某品牌共享单车放在水
平地面的实物图，图②是其示意图，其中 ， 都与地面 平行， ，
．当 为 度时， 与 平行．
A．16 B．60 C．66 D．114
【解答】解： ， 都与地面 平行，
，
，
，
， ，
，
当 时， ，
故选： ．
【变式训练1】生活中常见的探照灯、汽车大灯等灯具都与抛物线有关．如图，从光源
点照射到抛物线上的光线 ， 等反射以后沿着与直线 平行的方向射出，若
， ，则 的度数为A． B． C． D．
【解答】解： ， ，
，
， ，
，
．
故选： ．
【变式训练2】如图是小亮绘制的潜望镜原理示意图，两个平面镜的镜面 与 平行，
入射光线 与出射光线 平行．若入射光线 与镜面 的夹角 ，则 的度数
为
A． B． C． D．
【解答】解： 入射角等于反射角， ，
，
，
，
入射光线 与出射光线 平行，．
故选： ．
【变式训练3】光线在不同介质中的传播速度不同，因此当光线从水中射向空气时，要发生
折射．由于折射率相同，所以在水中平行的光线，在空气中也是平行的．如图，当
， 时， 和 的度数分别是
A． ， B． ， C． ， D． ，
【解答】解： ， ，
．
， ，
．
，
．
故选： ．
三角板
【例7】一副直角三角板如图摆放，点 在 的延长线上， ，若
，则 的度数为A． B． C． D．
【解答】解： 与 为一副直角三角板，
， ，
，
，
．
故选： ．
【变式训练1】如图，有一块含有 角的直角三角板的两个顶点放在直尺的对边上，如果
，那么 的度数是
A． B． C． D．
【解答】解：如图，
，
，
根据平行线的性质可得，
．
故选： ．
【变式训练2】将一副直角三角板按如图所示的方式叠放在一起，过点 作 ，则图中 的度数是
A． B． C． D．
【解答】解： ， ， ，
，
， ，
，
，
，
故选： ．
【变式训练3】一副直角三角板如图放置，点 在 的延长线上， ，
， ， ，则 的度数为
A． B． C． D．
【解答】解：由题意可得： ， ，
，
，
．
故选： ．
平行线综合运用
【例8】如图在 中， ， 分别平分 ， ，交于 ， 为外角
的平分线， 的延长线交 于点 ，记 ， ，则以下结论① ，② ，③ ，④ 正确的是
A．①②③ B．①③④ C．①④ D．①②④
【解答】解： 为外角 的平分线， 平分 ，
， ，
又 是 的外角，
，
，故①正确；
， 分别平分 ， ，
， ，
，故②、③错误；
平分 ， 平分 ，
， ，
，
是 的外角，
，故④正确；
故选： ．【变式训练1】如图，在 中， ， 平分 ，点 在射线 上，
于 ，交 、 于点 、 ， 于 ．下列结论：① ；
② ；③ ；④ ．其中正确的结
论个数为
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【解答】解： 平分 ，
，
，
，
， ，
，
． ，
，
， ，
，故①正确，
， ， ，
，故②正确，
， ，
，
，
，故③正确，， ， ，
，
，故④错误，
故选： ．
【变式训练2】如图， ， 、 分别平分 的内角 、外角
， 平分外角 交 的延长线于点 ．以下结论：① ；②
；③ ；④ ．其中正确的结论有
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【解答】解：① ， ，
，
，故①正确．
② 、 分别平分 的内角 、外角 ，
，
，故②正确，
③ ， ，
，，
，
，
，故③正确，
④
，
，故④正确，
故选： ．
【变式训练3】如图， ， 、 、 分别平分 的外角 、内
角 、 外 角 ， 以 下 结 论 ： ① ； ② ； ③
；④ ．其中正确的结论有 （填序号）．
【解答】解： 平分 ，
，
， ，
，
， ①正确；，
，
平分 ， ，
，
， ②正确；
平分 ， 平分 ，
， ，
， ， ，
， ③错误；
， ， ，
，
， ④正确；
故答案为：①②④
平行线证明综合
【例9】如图，四边形 中， ， ， 分别是 ， 的平
分线．
（1） 与 有什么关系，为什么？
（2） 与 有什么关系？请说明理由．
【解答】解：（1） ；
， 分别是 ， 的平分线，， ，
，
，
，
；
（2） ；
在 中， ，
，
，
，
．
【变式训练1】如图，已知点 、 在直线 上，点 在线段 上， 与 交于点
， ， ．
（1）求证： ；
（2）试判断 与 之间的数量关系，并说明理由；
（3）若 ， ，求 的度数．
【解答】（1）证明： ，
；
（2）解： ；
理由： ，
，
又 ，
，
，
；
（3）解： ， ，，
又 ，
，
又 ，
，
．
【变式训练2】如 图 ， 已 知 点 在 上 ， 点 ， 在 上 ， ，
．
（1）求证： ；
（2）若 ， ，求证： ；
（3）若 ， ，求 的度数．
【解答】（1）证明： ， ， ，
，
；
（2）证明： ，
，
，
，
，，
，
；
（3）解： ， ，
，
，
，
，
，
解得 ，
， ，
， ，
．
【变式训练3】三角形 中， 是 上一点， 交 于点 ，点 是线段
延长线上一点，连接 ， ．
（1）如图1，求证： ；
（2）如图2，连接 ，若 ， ，求 的度数；
（3）如图3，在（2）的条件下，点 是线段 延长线上一点，若 ，
平分 ，求 的度数．
【解答】（1）证明： ，
，
．
．
；
（2）解：如图2，过点 作 ，，
，
，
，
；
（3） 平分 ，
，
，
设 ，则 ，
，
， ，
，
，
解得 ，
，
，
．
三角形内角和定理
定理 三角形的内角和等于 180° .
在△ABC中,
符号语言
∠A + ∠B + ∠C =180°
证法1: 证法2:
证明过程
作CM∥AB 作CM∥AB把三角形内角和转化为: 把三角形内角和转化为:
∠1 + ∠2 ∠1 + ∠2
+ ∠3 =180° + ∠B =180°
【例10】如图，在 中， ， ， 为 延长线上一点， 与
的平分线相交于点 ，则 的度数为
A． B． C． D．
【解答】解： 的平分线与 的平分线交于点 ，
， ，
，
即 ，
，
，
．
故选： ．
【变式训练1】如图， 是 中 的平分线， 是 的外角的平分线，如
果 ， ，则 ．【解答】解： 是 中 的平分线， 是 的外角的平分线，
， ，
是 的外角，
，
故答案为： ．
【变式训练2】如图 中， ，延长 到 ， 与 的平分线相交
于点 ， 与 的平分线相交于点 ，依此类推， 与 的平分线
相交于点 ，则 的度数为
A． B． C． D．
【解答】解： 与 的平分线相交于点 ，
，
根据三角形的外角的性质得， ，
根据三角形的外角的性质得， ，
同理： ，
同理：
，，
故选： ．
【变式训练3】如图，在 中， ， 和 的平分线交于点 ，得 ；
和 的平分线交于点 ，得 ； 和 的平分线交于点
，则 度．
【解答】解： 平分 ， 平分 ，
， ，
，
即 ，
，
，
，
，
，
， ，以此类推 ．
故答案为： ．
一、单选题
1．用反证法证明命题“三角形中必有一个内角小于或等于60°时，首先应假设这个三角形中
（ ）
A．有一个内角小于60° B．有一个内角大于60°
C．每一个内角都小于60° D．每一个内角都大于60°
【答案】D
【分析】假设一个与原命题相反的例子即可证明；
【详解】解：用反证法证明命题“三角形中必有一个内角小于或等于60°时，首先应假设这
个三角形中每一个内角都大于60°；
故选：D．
【点睛】本题主要考查用反证法证明命题，掌握命题的概念及反证法是解题的关键．
2．在 中，若一个内角等于另外两个角的差，则（ ）
A．必有一个角等于 B．必有一个角等于
C．必有一个角等于 D．必有一个角等于
【答案】D
【分析】先设三角形的两个内角分别为x，y，则可得第三个角(180°－x－y)，再分三种情况
讨论，即可得到答案.
【详解】设三角形的一个内角为x，另一个角为y，则第三个角为(180°－x－y)，则有三种
情况：
①
②
③综上所述，必有一个角等于90°
故选D.
【点睛】本题考查三角形内角和的性质，解题的关键是熟练掌握三角形内角和的性质，分
情况讨论.
3．如图，已知AD是△ABC的中线，E，F分别是AD和AD延长线上的点，且DE＝DF，
连接BF，CE．下列说法正确的是（ ）
①BD＝CD；②∠BAD＝∠CAD；③△BDF≌△CDE；④BF∥CE；⑤CE＝AE
A．①② B．③⑤ C．①③④ D．①④⑤
【答案】C
【分析】①根据三角形的中线直接进行判断即可；
②一般三角形一条边上的中线不一定是这条边所对的角的平分线；
③根据“SAS”直接进行判断即可；
④根据三角形全等的性质直接判定∠F＝∠DEC，根据平行线的判定方法得出结果；
⑤根据全等三角形的性质可以判定CE＝BF，不能判定CE＝AE．
【详解】解：①∵AD是△ABC的中线，
∴BD＝CD，故①正确；
②∵AD为△ABC的中线，
∴BD＝CD，∠BAD和∠CAD不一定相等，故②错误；
③在△BDF和△CDE中
∴△BDF≌△CDE（SAS），故③正确；
④∵△BDF≌△CDE，
∴∠F＝∠DEC，
∴ ，故④正确；
⑤∵△BDF≌△CDE，
∴CE＝BF，故⑤错误；综上分析可知，①③④正确，故C正确．
故选：C．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形中线的定义，熟练掌握三角形全等
的判定方法并准确识图，是解题的关键．
4．如图，已知△ABC中，BD，CE分别是△ABC的角平分线，BD与CE交于点O，如果
设∠A=n°（0＜n＜180），那么∠COD的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用三角形的内角和定理可求得∠ABC+∠ACB的度数，结合角平分线的定义可
求得∠OBC+∠OCB的度数，再利用三角形外角的性质可求解．
【详解】解：∵∠A=n°，
∴∠ABC+∠ACB=（180-n）°，
∵BD、CE分别是 ABC的角平分线，
△
∴∠OBC+∠OCB= （180-n）°=90°- n°，
∴∠COD=∠OBC+∠OCB=90°- n°，
故选：C．
【点睛】本题主要考查角平分线的定义，三角形的内角和定理，三角形外角的性质，求解
∠OBC+∠OCB的度数是解题的关键．
5．如图，已知AB⊥BD，AC⊥CD，∠A＝50°，则∠D的度数为（ ）A．40° B．50° C．60° D．70°
【答案】B
【分析】利用两个三角形的内角和都为180°，结合相等的角即可求解．
【详解】∵AB⊥BD，AC⊥CD，
∴∠B＝∠C＝90°，
又∵∠BEA＝∠CED，且∠BEA+∠B+∠A＝∠CED+∠C+∠D＝180°，
∴∠D＝∠A＝50°，
故选：B．
【点睛】本题考查了三角形的内角和等于180°，熟记三角形的内角和公式是解题的关键．
6．三个等边三角形的摆放位置如图所示，若 ，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先根据图中是三个等边三角形可知三角形各内角均等于60°，用 表示
出中间三角形的各内角，再根据三角形的内角和即可得出答案．
【详解】解：如图所示，
图中三个等边三角形，
∴ ，
，
，
由三角形的内角和定理可知：
，即 ，
又∵ ，
∴ ，故答案选B．
【点睛】本题考查等边三角形的性质及三角形的内角和定理，熟悉等边三角形各内角均为
60°是解答此题的关键．
7．如图，在四边形ABCD中， ， ，点E，F分别为BC和CD上
的动点，连接AE，AF．当 的周长最小时， 的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】作点A关于CD的对称点H，作点A关于CB的对称点G，连接GH，与CD、CB
分别相交于点F、点E，此时 的周长最小，通过三角形的内角和定理，可求出
∠G+∠H的度数，进而求出∠AEF+∠AFE的度数．最后即可求出 的度数．
【详解】
如图，作点A关于CD的对称点H，作点A关于CB的对称点G，连接GH，与CD、CB分
别相交于点F、点E；
∵∠BAD=140°，
∴∠G+∠H=180°-140°=40°，
∵点G和点H为点A的对称点，∴AD=DH，AB=GB，
∵∠EBA=∠FDA=90°，即FD⊥AH，EB⊥AG，
∴FH=FA，EA=EG，
∴∠H=∠FAD，∠G=∠EAB，
∵∠AEF=∠G+∠EAB=2∠G，∠AFE=∠H+∠FAD=2∠H，
∴ =180°-（2∠G+2∠H）=100°，
故选：C
【点睛】本题主要考查了利用轴对称确定最短路径问题，熟练地掌握用轴对称图形的作法，
三角形的内角和定理以及三角形的外角的性质是解题的关键．
8．如图，先将一张长方形纸片按图①的虚线对折，得到图②，然后将图②沿虚线折叠得到
图③，再将图③沿虚线BC剪下△ABC，展开即可得到一个五角星．若想得到一个正五角
星（如图④，正五角星的5个角都是36°），则在图③中应沿什么角度剪，即∠ABC的度
数为（ ）
A．144° B．126° C．120° D．108°
【答案】B
【分析】根据等腰三角形的性质及内角和定理解题．
【详解】解：如图，
∵∠A= =36°，
∵正五角星的5个角都是36°，
∴∠ACB= ×36°=18°，
∵三角形内角和为180°，
∴∠ABC=180°-18°-36°=126°．
故选：B．【点睛】本题考查折叠问题，三角形内角和定理，也考查了学生动手操作的能力．
二、填空题
9．如图，直线MN∥PQ，点A、B分别在MN、PQ上，∠MAB＝33°．过线段AB上的点C
作CD⊥AB交PQ于点D，则∠CDB的大小为_____度．
【答案】57
【分析】直接利用平行线的性质得出∠ABD的度数，再结合三角形内角和定理得出答案．
【详解】解：∵直线MN∥PQ，
∴∠MAB＝∠ABD＝33°，
∵CD⊥AB，
∴∠BCD＝90°，
∴∠CDB＝180°－∠BCD －∠ABD ＝57°．
故答案为：57．
【点睛】此题主要考查了平行线的性质以及三角形内角和定理，掌握平行线的性质和三角
形的内角和定理是解题关键．
10．如图是可调躺椅示意图(数据如图)，AE与BD的交点为C，且∠A，∠B，∠E大小保
持不变，为了舒适，需调整∠D的大小，使∠EFD=110°，则图中∠D应减少_______度．【答案】10
【分析】延长EF，交CD于点G，根据三角形内角和定理求出∠ACB，即可得出∠DCE，
再根据三角形外角的性质定理得∠DGF，同理得出∠D的度数，即可得出答案．
【详解】延长EF，交CD于点G，如图．
∵∠ACB=180°-50°-60°=70°，
∴∠ECD=∠ACB=70°．
∵∠DGF=∠DCE+∠E，
∴∠DGF=70°+30°=100°．
∵∠EFD=110°，∠EFD=∠DGF+∠D，
∴∠D=10°，
而题意中的∠D=20°，
∴∠D应减少10°．
故答案为：10．
【点睛】本题主要考查了三角形的内角和定理，三角形外角的性质，构造三角形是解题的
关键．
11．已知三条不同的直线a、b、c在同一平面内，下列四条命题：
①如果a∥b，a⊥c，那么b⊥c；②如果b∥a，c∥a，那么b∥c；③如果b⊥a，c⊥a，那么b⊥c；④如果b⊥a，c⊥a，那么b∥c．其中假命题的是___．（填写序号）
【答案】③
【分析】根据两直线的位置关系一一判断即可．
【详解】解：①如果a∥b，a⊥c，那么b⊥c，正确，是真命题；
②如果b∥a，c∥a，那么b∥c，正确，是真命题；
③如果b⊥a，c⊥a，那么b⊥c，错误，应该是b∥c，故原命题是假命题；
④如果b⊥a，c⊥a，那么b∥c，正确，是真命题．
假命题有③，
故答案为：③．
【点睛】本题考查两直线的位置关系，解题的关键是掌握垂直于同一直线的两条直线平行，
平行于同一直线的两条直线平行．
12．如图，在四边形ABCD中，∠BCD＝50°，∠B＝∠D＝90°，在BC、CD上分别取一点
M、N，使 AMN的周长最小，则∠MAN＝_____°．
△
【答案】80
【分析】作点A关于BC、CD的对称点A、A，根据轴对称确定最短路线问题，连接A、
1 2 1
A 分别交BC、DC于点M、N，利用三角形的内角和定理列式求出∠A+∠A，再根据轴对
2 1 2
称的性质和角的和差关系即可得∠MAN．
【详解】如图，作点A关于BC、CD的对称点A、A，连接A、A 分别交BC、DC于点
1 2 1 2
M、N，连接AM、AN，则此时△AMN的周长最小，∵∠BCD＝50°，∠B＝∠D＝90°，
∴∠BAD＝360°﹣90°﹣90°﹣50°＝130°，
∴∠A+∠A＝180°﹣130°＝50°，
1 2
∵点A关于BC、CD的对称点为A、A，
1 2
∴NA＝NA ，MA＝MA ，
2 1
∴∠A＝∠NAD，∠A＝∠MAB，
2 1
∴∠NAD+∠MAB＝∠A+∠A＝50°，
1 2
∴∠MAN＝∠BAD﹣（∠NAD+∠MAB）
＝130°﹣50°
＝80°，
故答案为：80．
【点睛】本题考查了轴对称的最短路径问题，利用轴对称将三角形周长问题转化为两点间
线段最短问题是解决本题的关键．
三、解答题
13．已知：如图，直线AB与直线CD相交于点O， 与 是对顶角．求证：
．【答案】证明见解析．
【分析】根据同角的补角相等，可得答案．
【详解】证明： 直线AB与直线CD相交于点O，
和 都是平角（平角的定义）．
和 都是 的补角（补角的定义）．
（同角的补角相等）．
【点睛】本题考查了对顶角、邻补角，同角的补角相等，解题的关键是掌握同角的补角相
等．
14．如图，已知∠A＝50°，∠D＝40°．
(1)求∠1度数；
(2)求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据三角形的外角的性质即可得到结论；
（2）设∠1的同旁内角为∠2，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可
得∠1＝∠A+∠C，∠2＝∠B+∠D，然后利用三角形的内角和定理列式计算即可得解．
【详解】（1）∠1＝∠A+∠D＝90°；,
（2）设∠1的同旁内角为∠2，如图，∵∠1＝∠A+∠D，∠2＝∠B+∠E，∠1+∠2+∠C＝180°，
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝180°．
【点睛】本题考查了三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，三角形的
内角和定理，熟记性质并准确识图是解题的关键．
15．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=40°，△ABC的外角∠CBD的平分线BE交
AC的延长线于点E．
（1）求∠CBE的度数；
（2）过点D作DF∥BE，交AC的延长线于点F，求∠F的度数．
【答案】(1) 65°；(2) 25°
【分析】（1）先根据直角三角形两锐角互余求出∠ABC=90°﹣∠A=50°，由邻补角定义得
出∠CBD=130°．再根据角平分线定义即可求出∠CBE= ∠CBD=65°；
（2）先根据直角三角形两锐角互余的性质得出∠CEB=90°﹣65°=25°，再根据平行线的性
质即可求出∠F=∠CEB=25°．
【详解】（1）∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=40°，
∴∠ABC=90°﹣∠A=50°，
∴∠CBD=130°．
∵BE是∠CBD的平分线，
∴∠CBE= ∠CBD=65°；
（2）∵∠ACB=90°，∠CBE=65°，∴∠CEB=90°﹣65°=25°．
∵DF∥BE，
∴∠F=∠CEB=25°．
【点睛】本题考查了三角形内角和定理，直角三角形两锐角互余的性质，平行线的性质，
邻补角定义，角平分线定义．掌握各定义与性质是解题的关键．
