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专题7.1 定义与命题（知识讲解）
【学习目标】
1、理解定义、命题、真假命题、互逆命题的概念；
2、理解并掌握证明的一般书写方法，明确推理的基本要求。
【要点梳理】
要点一、定义、命题
1. 定义：一般地，用来说明一个名词或者一个术语的意义的句子叫做定义.
2. 命题：判断一件事情的句子，叫做命题.
特别说明：
（1）每个命题都由题设、结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事
项.
（2）正确的命题称为真命题，不正确的命题称为假命题.
（3）公认的真命题叫做公理.
(4) 经过证明的真命题称为定理.
要点二、证明
在很多情况下，一个命题的正确性需要经过推理，才能作出判断，这种演绎推理的过程称
为证明.
特别说明：
（1）实验、观察、操作所得出的结论不一定都正确，必须推理论证后才能得出正确的结论．
（2）证明中的每一步推理都要有根据，不能“想当然”，这些根据可以是已知条件，学过
的定义、基本事实、定理等.
（3）判断一个命题是正确的，必须经过严格的证明；判断一个命题是假命题，只需列举一
个反例即可．
【典型例题】
类型一、命题
1、阅读下列语句，完成后面的题目．
①同类项的数字系数必相同；②若|a|＝|b|，则a＝b；③抗震救灾；④两直线平行，同
旁内角互补；⑤两点之间的线段是这两点之间的距离；⑥今晚你去看电影吗？
(1)其中属于命题的是________，不属于命题的是________(填序号)；
(2)其中属于真命题的是________(填序号)；
(3)对于每个假命题，你是怎样判断的？
【答案】(1)①②④⑤ ③⑥；(2)④；(3)见解析.
【分析】根据命题与定理解题；一般在数学中我们把用语言、符号或式子表达的，可
以判断真假的陈述句叫做命题；其中判断为真的叫做真命题；判断为假的叫做假命题.
解：(1)①②④⑤ ③⑥；(2)④；
(3)为说明命题是假命题，可采用举反例(举一个即可)的方法，如：①中a和－a是同类项，但它们的系数不同；②中|7|＝|－7|，但7≠－7；⑤中两点之间的距离是指两点之间的线
段的长度．
【点拨】本题考查了命题的定义及真命题、假命题；一般在数学中把用语言、符号或
式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题；命题分为真命题和假命题.
举一反三：
【变式】把下列命题按要求进行改写．
命题①：若x，y为实数，且x2＋y2＝0，则x，y全为0；
命题②：两直线平行，同位角相等．
(1)交换命题的条件和结论；
(2)同时否定命题的条件和结论；
(3)交换命题的条件和结论后，再同时否定新命题的条件和结论．
【答案】命题①：详见解析；命题②：详见解析.
【分析】
（1）若后面是条件,则后面是结论,交换即可,（2）等于的否定为不等于,全为0的否定
为不全为0,（3）直接把第（2）问中的条件和结论交换即可.
解：命题①：(1)若x，y为实数，且x，y全为0，则x2＋y2＝0；(2)若x，y为实数，且
x2＋y2≠0，则x，y不全为0；(3)若x，y为实数，且x，y不全为0，则x2＋y2≠0
命题②：(1)同位角相等，两直线平行；(2)两直线不平行，同位角不相等；(3)同位角不
相等，两直线不平行
【点拨】本题考查了原命题,否命题,逆命题,逆否命题之间的转换,中等难度,掌握命题的
否定是解题关键.
类型二、定理与证明
2、在学习中，小明发现：当n=1，2，3时，n2—10n的值都是负数．于是小明猜
想：当n为任意正整数时，n2-10n的值都是负数．判断小明的猜想是真命题还是假命题，
并说明你的理由．
【答案】假命题，理由见解析.
【解析】试题分析：利用反例可证明小明的猜想为假命题．
试题解析：假命题．理由如下：
如：当n=10时，n2-10n=102-10×10=0，不是负数，所以小明的猜想是假命题．
举一反三：
【变式】．（1）已知：如图，直线AB、CD、EF被直线BF所截， ，．
求证： ；
（2）你在（1）的证明过程中应用了哪两个互逆的真命题．
【答案】（1）见解析；（2）同旁内角互补，两直线平行；两直线平行，同旁内角互
补．
【分析】
（1）利用同旁内角互补，两直线平行和内错角相等；两直线平行判断AB∥CD，
CD∥EF，则利用平行线的传递性得到AB∥EF，然后根据平行线的性质得到结论；
（2）利用了平行线的判定与性质定理求解．
（1）证明：∵∠B＋∠1＝180°，
∴AB∥CD，
∵∠2＝∠3，
∴CD∥EF，
∴AB∥EF，
∴∠B＋∠F＝180°；
（2）解：在（1）的证明过程中应用的两个互逆的真命题为：同旁内角互补，两直线
平行；两直线平行，同旁内角互补．
【点拨】本题考查了命题与定理：命题的“真”“假”是就命题的内容而言．任何一
个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假
命题，只需举出一个反例即可．
3、如图， ， ， ，求证： ．【分析】由 得到 ，然后根据SAS，得到 ，然后
得到结论成立.
证明：∵ （已知），
∴ （等式的性质），
即 ．
在 和 中，
∴ ．
∴ （全等三角形的对应边相等）．
【点拨】本题考查了全等三角形的判定定理，解题的关键是得到 .
类型三、反证法证明命题
4、用反证法证明：
两条直线被第三条直线所截．如果同旁内角互补，那么这两条直线平行．
已知：如图，直线l，l 被l 所截，∠1+∠2=180°．
1 2 3
求证：l l
1 2
证明：假设l l，即l 与l 交与相交于一点P．
1 2 1 2
则∠1+∠2+∠P 180°
所以∠1+∠2 180°，这与 矛盾，故 不成立．
所以 ．
【答案】 ；不平行； ；三角形内角和定理； ；∠1+∠2=180°；假设；结论成
立，l∥l．
1 2
【分析】先假设l 不平行l，根据三角形的内角和定理，可得∠1+∠2+∠P=180°，从而
1 2
得到∠1+∠2＜180°，与已知矛盾，即可求证．
已知：如图，直线l，l 被l 所截，∠1+∠2=180°．
1 2 3求证：
证明：假设l 不平行l，即l 与l 交与相交于一点P．
1 2 1 2
则∠1+∠2+∠P=180°（三角形内角和定理），
所以∠1+∠2＜180°，
这与∠1+∠2=180°矛盾，故假设不成立．
所以结论成立，l∥l．
1 2
【点拨】本题主要考查了反证法，熟练掌握反证法证明的基本过程，解题的关键是找
到与已知相矛盾的条件．
举一反三：
【变式1】如图，已知：直线 与 相交于O， 于F， 于H．求
证： 和 必相交．
【分析】运用反证法假设 与 平行，则它们的垂线也平行，与题设矛盾，从而证
明．
证明：若 与 平行，则它们的垂线也平行，
即 与 平行，与直线 与 相交于O矛盾，
所以 与 不平行即相交．
【点拨】本题结合角的比较考查反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．
反证法的步骤是：
（1）假设结论不成立；
（2）从假设出发推出矛盾；
（3）假设不成立，则结论成立．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一
种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．
【变式2】用反证法证明：一条线段只有一个中点．
【分析】首先假设结论的反面：一条线段可以有多个中点，不妨设有两个，根据中点
的定义得出矛盾，即可证得．
已知：一条线段 ，点M为 的中点．
求证：线段 只有一个中点M，
证明：假设线段 有两个中点，分别为点M、N，不妨设点M在点N的左边，
则 ，
又∵ ，
这与 矛盾，
∴假设不成立，线段 只有一个中点M．
∴一条线段只有一个中点．
【点拨】本题主要考查了反证法，正确理解反证法的基本思想是解题的关键．
类型四、以几何为背景的推理论证
5、收集欧几里得和《原本》的有关资料，并与同伴进行交流．
【分析】可以利用网络查阅手机，并交流心得体会．
欧几里得（Euctid,约公元前 300 年）是古希腊论证数学的集大成者，他通过继承和发
展前人的研究成果，编辑出旷世巨著《原本》（Elements）．这部书的最大意义在于，它
是用公理化方法建立起演绎体系的最早典范．欧几里得的生平后世所知甚少，但根据有限
的历史记载推断，欧几里得早年就学于雅典，公元前 300 年左右，欧几里得应托勒密王一
世之邀到当时的文化中心亚历山大，成为亚历山大学派的奠基人．据说，托勒密王问欧几
里得，除了他的《原本》之外，有没有其他学习几何的捷径，欧几里得回答道：“几何无
王者之路．”意思是在几何里，没有专门为国王铺设的道路．这句话后来推广为“求知无
坦途”，成为千古传诵的学习箴言．另一则故事记载，一个学生才开始学习第一个命题，
就问，“学习了几何学之后我能得到什么？”欧几里得对家奴说：“给他三个钱币，因为
他想在学习中获得实利．”由此可见，欧几里得主张学习必须循序渐进、刻苦钻研，不赞
成投机取巧的作风和狭隘的实用主义观点．
《原本》的前四卷包含了平面几何的一些基本内容，如全等形、平行线、多边形、圆、
毕达哥拉斯定理、初等作图及相似形等．第Ⅴ卷是比例论，这是《原本》的最高成就．毕达哥拉斯学派过去虽然也建立了比例论，不过只适用于可公度量，这样很难建立关于一切
量的比例关系．卷Ⅵ把卷Ⅴ已建立的理论用到平面图形上去，处理相似直线图形中的各种
成比例线段等等．卷Ⅶ、Ⅷ、Ⅸ是数论，讨论正整数的性质和分类．卷Ⅹ是篇幅最大的一
卷，主要讨论无理量，即不可公度量．卷Ⅺ是立体几何，卷Ⅻ是穷竭法，这是希腊人创造
的强有力的证明方法．经欧多克索斯的努力臻于完善，最后被收入《原本》之中，最后的
第ⅩⅢ卷主要讨论了球的内接正多面体的作图法．众所周知，公理化方法是数学中的重要
方法，它的主要精神是从尽可能少的几条公理以及若干原始概念出发，推导出尽可能多的
命题．历史上，公理化思想最早出现在希腊，而《原本》就是公理化思想的典型代表．过
去所积累下来的数学知识是零碎的、片段的，只有借助逻辑的方法，把这些知识组织起来，
加以分类、比较，揭露彼此间的内在联系，系统化、条理化地整理在一个严密的系统之中，
才能建成巍峨的几何大厦，《原本》完成了这项艰巨的任务，对整个数学的发展产生了深
远影响．
它是如何在题目中应用的呢？我们也通过两个问题来具体说明．
问题1：《原本》中第ⅩⅢ卷主要讨论了正整数的性质和分类．
解析：错误
问题2：《原本》中主要讨论无理量的是（ ）
A．卷X
B．卷VII
C．卷XII
D．卷VI
解：A
【点拨】本题是让学生了解欧几里得的情况，学习欧几里得对数学发展的贡献及《几
何原本》的主要内容，以及它们在解题中具体怎么应用．
类型五、以代数为背景的推理论证
6、当 、2、3、4时， 的值有什么特征？当 是任意整数
时，这个结论成立吗？用一句话概括这个结论．
【答案】是8的倍数，当 是任意整数时这个结论成立，概括为两个连续奇数的平方
差是8的倍数．
【分析】运用平方差公式将整式化简为8n,通过观察得出当n是任意整数时,8n都能被8
整除这一结论.【详解】
解:由平方差公式,得
=8n
则当n=1,2,3,4时,(2n+1)2−(2n−1)2的值分别为8,16,24,32
故当n=1,2,3,4时,(2n+1)2−(2n−1)2的值都能被8整除
当n为任意整数时,(2n+1)2−(2n−1)2=8n,因为8能被8整除
故答案为：是8的倍数，当 是任意整数时这个结论成立，概括为两个连续奇数的平
方差是8的倍数.
【点拨】本题主要考查了平方差公式在化简求值题目中的应用.
【变式2】当 ， 时，有 ；
当 ， 时，有 ；
当 ， 时，有 ；
当 ， 时，有 ．
得出结论： 、 为任何数时， ．
这个结论正确吗？
【答案】不正确．
【分析】根据题意设特殊值即可证明结论错误.
解答：不正确．当 时， ．
【点拨】本题考查了演绎证明，通过取特殊值证明结论是否正确是常用的解题方法，
需要掌握.
类型六、逻缉推理论证
6、与同伴做下面的游戏：每个人从一副扑克牌（去掉大、小王和J，Q，K）中
选择3张黑色牌和3张红色牌（黑色牌代表正分，红色牌代表负分），使得6张牌的总分
为零．两人轮流从同伴手中抽1张牌，10次以后，计算每人手中牌的总分，得分高者获胜．
（1）你希望抽到哪种颜色的牌？你希望哪种颜色的牌不被抽走？
（2）游戏结束后，你手中牌的总分与同伴手中牌的总分有什么关系？
（3）你可能得到的最高分是多少？
【答案】（1）黑色牌，黑色牌；（2）两者总分和为0；（3）54分【分析】
（1）根据题意黑色牌代表正分，红色牌代表负分，进而得出答案；
（2）利用每人得6张牌的总分为零，即可得出自己手中牌的总分与同伴手中的总分关
系；
（3）假设抽到三张黑色牌且为8，9，10，进而得出答案．
【详解】
解：（1）希望抽到黑颜色的牌，不希望黑颜色的牌抽走；
（2）∵每人手中6张牌的总分为零，
故无论多少次后，二人总分之和为0；
（3）可能得到最高分时是6张黑色牌都在自己手中，分数最大的6张黑色牌为2张黑
10，2张黑9，2张黑8．
∴自己可能得到的最高分是：2×（10+9+8）=54（分）．
【点拨】此题主要考查了推理与论证，根据题意注意黑色牌代表正分得出是解题关键．
