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专题 7.1 为什么要证明（专项训练）
1．甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩．老师说：你们四人中有 2
位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．
看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩．根据以上信息，则（ ）
A．乙可以知道四人的成绩
B．丁可以知道四人的成绩
C．乙、丁可以知道对方的成绩
D．乙、丁可以知道自己的成绩
【答案】D
【解答】解：由于甲对大家说：我还是不知道我的成绩，可以推断出乙和丙只能一个优
秀一个良好，
当乙知道丙的成绩后，就知道自己的成绩了，但还是不知道甲和丁的成绩，
由于甲和丁也是一个优秀一个良好，所以给丁看甲的成绩后，丁就知道自己的成绩了，
但还是不知道乙和丙的成绩，
所以只有乙、丁可以知道自己的成绩，
故选：D．
2．小明花整数元网购了一本《趣数学》，让同学们猜书的价格．甲说：“至少 15元”，
乙说“至多13元”，丙说：“至多10元”．小明说：“你们都猜错了．”则这本书的
价格为（ ）
A．12元 B．13元 C．14元 D．无法确定
【答案】C
【解答】解：由题意可得，
甲、乙、丙的说法都是错误的，
甲的说法错误，说明这本书的价格少于15元，
乙、丙的说法错误，说明这本书的价格高于13元，
又因为明花整数元网购了一本《趣数学》，
所以这本书的价格是14元，
故选：C．
3．某轮船往返于A、B两地之间，设船在静水中的速度不变，那么，当水的流速增大时，
轮船往返一次所用的时间（ ）A．不变 B．增加
C．减少 D．增加，减少都有可能
【答案】B
【解答】解：设全程为S，船在静水中的速度为V，水的流速为V水 ，往返一次所需时间
为 ，当水的流速度增大时，则不妨设水的流速由 V水1 ，变为V水2 ，所
以，时间差为
＝
∵（V+V水1 ）（V﹣V水1 ）﹣（V+V水2 ）（V﹣V水2 ）＝V水2 2﹣V水1 2＞0，
∴V水2 ＞V水1
∴当水速增加时，往返一次时间变长．
故选：B．
4．甲、乙、丙三个学生分别在A、B、C三所大学学习数学、物理、化学中的一个专业，
若已知：①甲不在A校学习；②乙不在B校学习；③在B校学习的学数学；④在A
校学习的不学化学；⑤乙不学物理，则（ ）
A．甲在B校学习，丙在A校学习
B．甲在B校学习，丙在C校学习
C．甲在C校学习，丙在B校学习
D．甲在C校学习，丙在A校学习
【答案】A
【解答】解：因为在B校学习的学数学，在A校学习的不学化学，那么看判断A学校学
习的是物理，C学校学习的是化学，
因为乙不在B校学习，乙不学物理，那么乙在C学校学习，
因为甲不在A校学习，甲就在B学校学习，丙就在A学校学习．
故选：A．
5．有红、白、黄、蓝、黑5种颜色的花，将其中两种花色插一瓶，共有（ ）种不同的选法．
A．5 B．8 C．10 D．15
【答案】C
【解答】解：红、白、黄、蓝、黑5种颜色的花，取其中两个颜色，则有以下情况：
红，白；红，黄；红，篮；红，黑；白，黄；白，篮；白，黑；黄，篮；黄，黑；篮，
黑；
∴共有10种方案，
故选：C．
6．有六名同学需要在某天内每人交一份作业给老师，每名同学交作业时将作业放在作业堆
的最上面，老师一有空就从最上面拿一份作业来批改．按交作业的先后顺序将六份作业
依次编号为①、②、③、④、⑤、⑥．已知当天中午老师已经批改完两份作业且第
二份作业编号为④．则老师下午作业批改的顺序不可能为（ ）
A．③、⑥、⑤、① B．②、⑥、①、⑤
C．③、⑤、⑥、② D．⑤、③、①、⑥
【答案】B
【解答】解：A、下午老师改完③，⑤⑥再交来作业，这样老师下午作业批改的顺序
可能是③、⑥、⑤、①，故A不符合题意；
B、下午老师改完②，⑤⑥再交来作业，这样老师下午作业批改才可能先改⑥，再批
改⑤，①不可能在⑤前面，故老师下午作业批改的顺序不可能是②、⑥、①、
⑤，故B符合题意；
C、下午老师改完③，⑤交来作业批改后，⑥交来作业，故老师下午作业批改的顺序
可能是③、⑤、⑥、②，故C不符合题意；
D、下午⑤交来作业批改后，再批改完③①，最后⑥才交来作业，故老师下午作业批
改的顺序可能是⑤、③、①、⑥，故D不符合题意；
故选：B．
7．在第36届全国中学生物理竞赛决赛中，华师一物理竞赛团队有5位同学获金牌，并全
部进入国家集训队．五位同学猜谁是第一名，A说：是B，B说：是D，C说：是A，D
说：B 说错了，E 说：不是我．教练说：你们中只有一人说对了，那么第一名是
（ ）
A．B B．C C．D D．E
【答案】D【解答】解：B说：是D，D说：B说错了，教练说：你们中只有一人说对了，所以 B
和D的说法只能一真一假，不能同真，也不能同假；
所以C和A，E说得都是假话，
所以只有D说对了，
答：第一名是E．
故选：D．
8．最近网上一个烧脑问题的关注度很高（如图所示），通过仔细观察、分析图形，你认为
打开水龙头，哪个标号的杯子会先装满水（ ）
A．3号杯子 B．5号杯子 C．6号杯子 D．7号杯子
【答案】A
【解答】解：∵1号杯左侧出口比右侧低，
∴水先从左边流出，进入3号杯，
∵3号杯左侧封闭，只有右侧流出，而右侧流入5号杯的出口端封闭，
∴水最终会先灌满3号杯，
故选：A．
9．小英、小亮、小明和小华四名同学参加了“学用杯”竞赛选拔赛，小亮和小华两个同学
的得分和等于小明和小英的得分和；小英与小亮的得分和大于小明和小华的得分和，小
华的得分超过小明与小亮的得分和．则这四位同学的得分由大到小的顺序是（ ）
A．小明，小亮，小华，小英 B．小华，小明，小亮，小英
C．小英，小华，小亮，小明 D．小亮，小英，小华，小明
【答案】C
【解答】解：设小英的得分为a，小亮的得分为b，小明的得分为c，小华的得分为d，
∵小亮和小华两个同学的得分和等于小明和小英的得分和，
∴b+d＝a+c，
∴b＝a+c﹣d①
∵小英与小亮的得分和大于小明和小华的得分和，∴a+b＞c+d②，
把①代入②，可得：a+a+c﹣d＞c+d，
∴a＞d，
又∵b+d＝a+c，
∴b＞c，
∵小华的得分超过小明与小亮的得分和，
∴d＞b+c，即d＞b，
∴a＞d＞b＞c，
即四位同学的得分由大到小的顺序是小英、小华、小亮、小明．
故选：C．
10．在一次生活垃圾分类知识竞赛中，某校七、八年级各有 100名学生参加，已知七年级
男生成绩的优秀率为40%，女生成绩的优秀率为60%，八年级男生成绩的优秀率为
50%，女生成绩的优秀率为70%．对于此次竞赛的成绩，下面有三个推断：
①七年级男生成绩的优秀率小于八年级男生成绩的优秀率；
②七年级学生成绩的优秀率一定小于八年级学生成绩的优秀率；
③七、八年级所有男生成绩的优秀率一定小于七、八年级所有女生成绩的优秀率．
所有合理推断的序号是（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
【答案】B
【解答】解：∵七年级男生成绩的优秀率为40%，八年级男生成绩的优秀率为50%，
∴七年级男生成绩的优秀率小于八年级男生成绩的优秀率；
故①正确，
∵七年级学生成绩的优秀率在40%与60%之间，八年级学生成绩的优秀率在在50%与
70%之间，
∴不能确定哪个年级的优秀率大，
故②错误；
∵七、八年级所有男生成绩的优秀率是 45%，七、八年级所有女生成绩的优秀率是
65%．
∴七、八年级所有男生成绩的优秀率一定小于七、八年级所有女生成绩的优秀率．
故③正确．
故选：B．11．有甲、乙、丙三人，甲说乙在说谎，乙说丙在说谎，丙说甲和乙都在说谎，则
（ ）
A．甲说实话，乙和丙说谎 B．乙说实话，甲和丙说谎
C．丙说实话，甲和乙说谎 D．甲、乙、丙都说谎
【答案】B
【解答】解：A、若甲说的是实话，即乙说的是谎话，则丙没有说谎，即甲、乙都说谎
是对的，与甲说的是实话相矛盾，故A不合题意；
B、若乙说的是实话，即丙说的谎话，即甲、乙都说谎是错了，即甲，乙至少有一个说
了实话，与乙说的是实话不矛盾，故B符合题意；
C、若丙说的是实话，甲、乙都说谎是对的，那甲说的乙在说谎是对的，与丙说的是实
话相矛盾，故C不合题意；
D、若甲、乙、丙都说谎，与丙说的甲和乙都在说谎，相矛盾，故D不合题意；
故选：B．
12．破译密码：根据下面五个已知条件，推断正确密码是 ．
【答案】798．
【解答】解：∵密码532，三个号码都不正确，
∴密码中没有数字：2，3，5，
∵密码257只有一个号码正确但位置不正确，
∴密码中必有数字7，并且不能在个位，
∵密码876只有两个号码正确，但位置都不正确，
∴密码7不能在十位，密码中8，6只有一个正确，
∴密码中的7只能在百位，
∵密码628中只有一个号码正确且位置正确，
∴密码中必有数字8，且在个位，
∵密码619中只有一个号码正确当位置不正确，∴密码中只有数字9，且在十位，
∴正确的密码为798，
故答案为：798．
13．甲：“我没有偷”；乙：“丙是小偷”；丙：“丁是小偷”；丁：“我没有偷”．若
四个人里面只有一个人说了真话，则小偷是 ．
【答案】甲
【解答】解：他们4人中只有一人说了真话，由于丙与丁两人说的话相互矛盾，所以丙
与丁两个人必有一人说真话，一人说假话．
如果丙说的是真话，那么丁说的就是假话，丁就是小偷，这样甲说的就是真话，与题意
不符；
如果丁说的是真话，那么丙说的就是假话，丁不是小偷，甲和乙说的是假话，甲就是小
偷，符合题意；
所以可以判定甲是小偷．
故答案为：甲．
14．今年长沙马拉松中三名参赛者甲、乙、丙．他们来自不同职业：医生，教师，会计．
已知甲和医生不同年龄，丙比会计年轻，医生比乙年长．则甲的职业是 ．
【答案】会计
【解答】解：记已知条件为①，②，③，
由①知甲不是医生，由③知乙也不是医生，故知丙是医生，
假定甲是教师，则乙应是会计，
但由②知丙比乙年轻，由③又得丙比乙年长，两者矛盾，故甲不是教师，
∴甲是会计．
故答案为：会计．
15．一个俱乐部里只有两种成员：一种是老实人，永远说真话；一种是骗子，永远说假
话．某天俱乐部的全体成员围坐成一圈，每个老实人两旁都是骗子，每个骗子两旁都是
老实人．外来一位记者问俱乐部的成员张三：“俱乐部里共有多少成员？”张三
答：“共有45人．”另一个成员李四说：“张三是老实人．”据此可判断李四是
（填“老实人”或“骗子”）．
【答案】骗子
【解答】解：因为圆圈上，每个老实人两旁都是骗子，每个骗子两旁都是老实人，所以
可知：老实人与骗子人数相等，因此圆圈上的人数为偶数，
而张三说有45人是奇数，这说明张三说了假话，张三是骗子，
而李四却说张三是老实人，也说了假话，所以李四也是骗子．
故答案为骗子．
16．以下是小亮的妈妈做晚饭的食材准备及加工时间列表，有一个炒菜锅，一个电饭煲，
一个煲汤锅，两个燃气灶可用，做好这顿晚餐一般情况下至少需要 分钟．
用时 准备时间 加工时间
（分钟） （分钟）
种类
米饭 3 30
炒菜1 5 6
炒菜2 5 8
汤 5 15
【答案】33
【解答】解：3+30＝33（分钟），
答：妈妈做晚饭最少要用33分钟，
故答案为：33．
17．四位同学参加数学知识竞赛活动，分别获得第一、二、三、四名，大家猜测谁得第几
名时，明明说：“甲得第一，乙得第二”；文文说：“甲得第二，丁得第四”；凡凡
说：“丙得第二，丁得第三”．名次公布后，他们每人都只猜对了一半，那么甲、乙、
丙、丁的名次顺序为 ．（按一、二、三、四的名次排序）
【答案】甲、丙、乙、丁
【解答】解：因为他们每人只猜对一半，
可以先假设明明说“甲得第一”是正确的，由此推导：
明明：甲得第一→文文：丁得第四→凡凡：丙得第二→乙得第三，成立；
若假设明明说“乙得第二”是正确的，由此进行推导：
明明：乙得第二→文文：丁得第四→凡凡：丙得第二，矛盾．
所以甲、乙、丙、丁的名次顺序为甲、丙、乙、丁．故答案为：甲、丙、乙、丁．
18．有一个密码箱，密码由三个数字组成，甲、乙、丙三个人都开过，但都记不清了．甲
记得：这三个数字分别是7，2，1，但第一个数字不是7；乙记得：1和2的位置相邻；
丙记得：中间的数字不是1．根据以上信息，可以确定密码是 ．
【答案】127
【解答】解：∵三个数字分别是7，2，1，但第一个数字不是7，
∴第一个数为1或2，
∵1和2的位置相邻，
∴前两个数字是1，2或2，1，第三位是数字7，
∵中间的数字不是1，
∴第一个数字只能是1，第二个数字为2，
即密码为127，
故答案为127．
19．一个黑暗的房间里有3盏关着的电灯，每次都按下其中的2个开关，最后 将3盏
电灯都开亮．（填“能”或“不能”）
【答案】不能
【解答】解：∵一个黑暗的房间里有3盏关着的电灯，每次都按下其中的2个开关，
∴第一次按下后有两盏电灯亮着，有一盏电灯不亮，
这样再继续按两个开关，不论怎样一定会至少有一盏电灯不亮，故最后不能将3盏电灯
都开亮．
故答案为：不能．
20．学校的教学大楼大厅里有甲、乙两盏变色的灯，细心的丽丽发现甲灯每隔 1分钟改变
一次颜色，乙灯每隔1分半改变一次颜色，两灯同时从红色开始亮灯，变色顺序如下：
甲的变色顺序：红→紫→蓝→黄→绿→红；
乙的变色顺序：红→紫→蓝→白→红；
你能帮助丽丽算出几分钟后，两灯第一次同时变成蓝色吗？
【解答】解：由题知，
甲灯亮蓝灯的时间点是：2分钟、7分钟、22分钟、27分钟……，
乙灯亮蓝灯的时间点是：3分钟、9分钟、15分钟、21分钟、27分钟……，
∴27分钟后，两灯第一次同时变成蓝色．
21．2019年9月29日，中国女排以十一连胜的战绩夺得女排世界杯冠军，成为世界三大赛的“十冠王”2019年女排世界杯的参赛队伍为12支，比赛采取单循环方式，五局三
胜，积分规则如下：比赛中以3﹣0或者3﹣1取胜的球队积3分，负队积0分；而在比
赛中以3﹣2取胜的球队积2分，负队积1分．前四名队伍积分榜部分信息如下表所示：
名次 球队 场次 胜场 负场 总积分
1 中国 11 11 0 3 2
2 美国 11 10 1 28
3 俄罗斯 11 8 3 23
4 巴西 11 21
（1）中国队11场胜场中只有一场以3﹣2取胜，请将中国队的总积分填在表格中．
（2）巴西队积3分取胜的场次比积2分取胜的场次多5场，且负场积分为1分，总积分
见表，求巴西队胜场的场数．
【解答】解：（1）中国队的总积分＝3×10+2＝32；
故答案为：32；
（2）设巴西队积3分取胜的场数为x场，则积2分取胜的场数为（x﹣5）场，
依题意可列方程3x+2（x﹣5）+1＝21，
3x+2x﹣10+1＝21，
5x＝30，
x＝6，
则积2分取胜的场数为x﹣5＝1，
所以取胜的场数为6+1＝7，
答：巴西队取胜的场数为7场．
