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专题 7.4 平行线性质（专项训练）
1．（2022春•玄武区校级期中）如图，AB∥EC，则下列结论正确的是（ ）
A．∠A＝∠ECD B．∠A＝∠ACE C．∠B＝∠ACE D．∠B＝∠ACB
【答案】B
【解答】解：∵AB∥EC，
∴∠A＝∠ACE，∠B＝∠ECD．
故选：B．
2．（2022秋•琼中县校级月考）如图，直线 MN∥PQ，点A，B分别在MN，PQ上，
∠MAB＝33°，过线段AB上的点C作CD⊥AB，交PQ于点D，则∠CDB的度数为（
）
A．47° B．57° C．67° D．77°
【答案】B
【解答】解：∵直线MN∥PQ，∠MAB＝33°，
∴∠MAB＝∠ABD＝33°，
∵CD⊥AB，
∴∠BCD＝90°，
∴∠CDB＝90°﹣33°＝57°．
故选：B．
3．（2022春•牟平区期中）2022年北京冬奥会男子500米短道速滑冠军高亭玉在一次速滑
训练中，经过两次拐弯后的速滑方向与原来的方向相反，则两次拐弯的角度可能是（）
A．第一次向左拐52°，第二次向右拐52°
B．第一次向左拐48°，第二次向左拐48°
C．第一次向左拐73°，第二次向右拐107°
D．第一次向左拐32°，第二次向左拐148°
【答案】D
【解答】解：因为两次拐弯后，按原来的相反方向前进，
所以两次拐弯的方向相同，形成的角是同旁内角，且互补．
故选：D．
4．（2022春•如皋市期中）如图，AB∥CD，AE平分∠BAC，∠AEC＝58°，则∠C的度数
为（ ）
A．54° B．64° C．74° D．58°
【答案】B
【解答】解：∵AB∥CD，∠AEC＝58°，
∴∠BAE＝∠AEC＝58°，
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAC＝2∠BAE＝116°，
∵AB∥CD，
∴∠C＝180°﹣∠BAC＝64°，
故选：B．
5．（2022•永嘉县三模）如图，在墙面上安装某一管道需经两次拐弯，拐弯后的管道与拐
弯前的管道平行．若第一个弯道处∠B＝140°，则第二个弯道处∠C也为140°，能解释
这一现象的数学知识是（ ）A．两直线平行，内错角相等
B．内错角相等，两直线平行
C．两直线平行，同位角相等
D．同位角相等，两直线平行
【答案】A
【解答】解：因为拐弯后的管道与拐弯前的管道平行，
所以根据两直线平行，内错角相等可得∠B＝∠C＝140°，
故选A．
6．（2022•乐清市开学）已知：如图，直线a，b被直线c所截，且a∥b，若∠2＝110°，
则∠1的度数是（ ）
A．130° B．110° C．80° D．70°
【答案】D
【解答】解：如图：
∵a∥b，∠2＝110°，
∴∠3＝∠2＝110°，
∵∠1+∠3＝180°，
∴∠1＝70°．
故选：D7．（2022春•牟平区期中）已知直线a∥b，将一块含30°角的直角三角板（∠BAC＝30°）
按如图所示方式放置，并且顶点A、C分别落在直线a、b上，若∠2＝41°，则∠1的度
数是（ ）
A．17° B．19° C．23° D．26°
【答案】B
【解答】解：∵a∥b，
∴∠2+∠BCA+∠BAC+∠1＝180°，
∵∠BAC＝30°，∠BCA＝90°，∠2＝41°，
∴∠1＝19°，
故选：B．
8．（2022春•龙岗区校级期中）一副直角三角板如图放置（∠F＝∠ACB＝90°，∠E＝
45°，∠A＝60°），如果点C在FD的延长线上，点B在DE上，且AB∥CF，则∠DBC
的度数为（ ）
A．10° B．15° C．18° D．30°
【答案】B
【解答】解：∵AB∥CF，
∴∠ABD＝∠EDF＝45°，
∵∠ABC＝30°，
∴∠DBC＝∠ABD﹣∠ABC＝15°，故选：B．
9．（2022春•如皋市期中）如图，长方形纸片按图①中的虚线第一次折叠得图②，折痕
与长方形的一边形成的∠1＝55°，再按图②中的虚线进行第二次折叠得到图③，则∠2
的度数为（ ）
A．20° B．25° C．30° D．35°
【答案】D
【解答】解：如图：
由折叠的性质得：∠5＝∠1＝55°，∠3＝∠4，
∴∠3＝∠4＝ （180°﹣∠1﹣∠5）＝35°，
∵长方形的对边平行，
∴∠2＝∠3＝35°，
故选：D．
10．（2022•宜阳县二模）如图，AB∥CD，∠ABM＝30°，∠CDM＝45°，则∠BMD的度数
为（ ）A．105° B．90° C．75° D．70°
【答案】C
【解答】解：过点M作ME∥AB，如图，
∵AB∥CD，
∴AB∥ME∥CD，
∴∠ABM＝∠BME＝30°，∠CDM＝∠DME＝45°，
∴∠BMD＝∠BME+∠DME＝75°．
故选：C
11．（2022•越秀区校级开学）下列各图中，当 a∥b时，符合∠1＝∠2+∠3关系的是（
）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解答】解：A、如图：
∵∠ACD是△ABC的一个外角，
∴∠ACD＝∠1+∠3，∵a∥b，
∴∠ACD＝∠2，
∴∠2＝∠1+∠3，
故A不符合题意；
B、如图：延长AD交BF于点C，
∵a∥b，
∴∠1＝∠ACF，
∵∠ACF＝∠3+∠2，
∴∠1＝∠3+∠2，
故B符合题意；
C、如图：过点A作AB∥a，
∴∠2+∠CAB＝180°，
∵a∥b，
∴AB∥b，
∴∠1+∠BAD＝180°，
∴∠2+∠CAB+∠1+∠BAD＝360°，
∴∠1+∠2+∠3＝360°，
故C不符合题意；
D、如图：延长DA交直线b于点C，
∵a∥b，
∴∠2＝∠DCB，
∵∠3＝∠1+∠DCB，∴∠3＝∠1+∠2，
故D不符合题意；
故选：B．
12．（2022•南京模拟）如图，已知AB∥DE，∠ABC＝75°，∠CDE＝150°，则∠BCD的
度数为（ ）
A．55° B．45° C．60° D．50°
【答案】B
【解答】解：延长ED交BC于点M，如图：
∵AB∥DE，∠B＝75°，
∴∠BMD＝∠B＝75°，
∴∠CMD＝180°﹣∠BMD＝105°，
又∵∠CDE＝∠CMD+∠C，∠CDE＝150°．
∴∠C＝∠CDE﹣∠CMD＝150°﹣105°＝45°．
故选：B．
13．（2022春•冠县期中）生活中常见一种折叠拦道闸，如图1所示．若想求解某些特殊
状态下的角度，需将其抽象为几何图形，如图 2所示，BA垂直于地面AE于A，CD平
行 于 地 面 AE ， 则 ∠ ABC+∠ BCD ＝ （ ）A．270° B．180° C．150° D．90°
【答案】A
【解答】解：过点B作BF∥AE，如图，
∵CD∥AE，
∴BF∥CD，
∴∠BCD+∠CBF＝180°，
∵AB⊥AE，
∴AB⊥BF，
∴∠ABF＝90°，
∴∠ABC+∠BCD＝∠ABF+∠CBF+∠BCD＝90°+180°＝270°．
故选：A．
14．（2022•新华区校级一模）如图，有 A，B，C三地，B地在A地北偏西36°方向上，
AB⊥BC，则B地在C地的（ ）
A．北偏东44°方向 B．北偏东54°方向
C．南偏西54°方向 D．南偏西90°方向
【答案】B
【解答】解：如图：过点B作BD∥AF，∴∠DBA＝∠BAF＝36°，
∵AB⊥BC，
∴∠ABC＝90°，
∴∠CBD＝∠ABC﹣∠DBA＝54°，
∵CE∥AF，
∴CE∥BD，
∴∠ECB＝∠CBD＝54°，
∴B地在C地的北偏东54°方向，
故选：B．
15．（2022春•江岸区校级月考）一条公路修到湖边时，需拐弯绕道而过，第一次拐弯∠A
的度数为100°，第二次拐弯∠B的度数为120°，到了点C后需要继续拐弯，拐弯后与第
一次拐弯之前的道路平行，则∠C的度数为（ ）
A．100° B．160° C．140° D．120°
【答案】B
【解答】解：过点B作BE∥CD，如图：
∵AF∥CD，BE∥CD，
∴AF∥BE∥CD，
∴∠A＝∠ABE，∠C+∠CBE＝180°∵∠A＝100°，
∴∠ABE＝100°，
∵∠ABC＝120°，
∴∠CBE＝120°﹣100°＝20°，
∴∠C＝180°﹣20°＝160°．
故选：B．
16．（2022秋•柳城县期中）如图，CD是∠ACB的角平分线，DE∥BC，∠AED＝70°，求
∠EDC的度数．
【解答】解：∵DE∥BC，
∴∠ACB＝∠AED＝70°．
∵CD平分∠ACB，
∴∠BCD＝ ∠ACB＝35°．
又∵DE∥BC，
∴∠EDC＝∠BCD＝35°．
17．（2022春•玄武区校级期中）如图，DE∥BF，∠A＝∠B，∠C＝∠D，AC与DE、BF
相交于点G、H．
求证：AB∥CD．
【解答】证明：∵DE∥BF，∴∠AGD＝∠AHF，
∵∠AGD＝∠C+∠D，∠AHF＝∠A+∠B，
∴∠C+∠D＝∠A+∠B，
∵∠A＝∠B，∠C＝∠D，
∴∠A＝∠C，
∴AB∥CD．
18．（2022春•江岸区校级月考）如图，∠1+∠2＝180°，∠B＝∠3．
（1）求证：DE∥BC；
（2）若∠C＝76°，∠AED＝2∠3，求∠CEF的度数．
【解答】（1）证明：∵∠1+∠2＝180°，∠2＝∠4，
∴AB∥EF，
∴∠B＝∠EFC，
∵∠B＝∠3，
∴∠3＝∠EFC，
∴DE∥BC；
（2）解：∵DE∥BC，∠C＝76°，
∴∠C+∠DEC＝180°，∠AED＝∠C＝76°，
∵∠AED＝2∠3，
∴∠3＝38°
∵∠DEC＝180°﹣∠C＝104°，
∴∠CEF＝∠DEC﹣∠3＝104°﹣38°＝66°．
19．（2020 春•建安区期末）如图，CD∥AB，∠DCB＝70°，∠CBF＝20°，∠EFB＝130°，问直线EF与AB有怎样的位置关系？为什么？
【解答】平行．
证明：∵CD∥AB，
∴∠ABC＝∠DCB＝70°；
又∵∠CBF＝20°，
∴∠ABF＝∠ABC﹣∠CBF＝70°﹣20°＝50°；
∴∠ABF+∠EFB＝50°+130°＝180°；
∴EF∥AB（同旁内角互补，两直线平行）．
20．（2022春•雨花区校级月考）已知：如图，AE⊥BC，FG⊥BC，∠1＝∠2，∠D＝
∠3+60°，∠CBD＝70°．
（1）求证：AB∥CD；
（2）求∠C的度数．
【解答】（1）证明：∵AE⊥BC，FG⊥BC，
∴AE∥GF，
∴∠2＝∠A，
∵∠1＝∠2，
∴∠1＝∠A，
∴AB∥CD；
（2）解：∵AB∥CD，
∴∠D+∠CBD+∠3＝180°，
∵∠D＝∠3+60°，∠CBD＝70°，∴∠3＝25°，
∵AB∥CD，
∴∠C＝∠3＝25°．
21．（2021春•梁园区期末）如图，已知∠ABC＝180°﹣∠A，BD⊥CD于D，EF⊥CD于
F．
（1）求证：AD∥BC；
（2）若∠1＝36°，求∠2的度数．
【解答】（1）证明：∵∠ABC＝180°﹣∠A，
∴∠ABC+∠A＝180°，
∴AD∥BC；
（2）解：∵AD∥BC，∠1＝36°，
∴∠3＝∠1＝36°，
∵BD⊥CD，EF⊥CD，
∴BD∥EF，
∴∠2＝∠3＝36°．
22．（2022春•定远县期末）已知AM∥CN，点B为平面内一点，AB⊥BC于B．
（1）如图1，直接写出∠A和∠C之间的数量关系 ；
（2）如图2，过点B作BD⊥AM于点D，求证：∠ABD＝∠C；
（3）如图3，在（2）问的条件下，点E、F在DM上，连接BE、BF、CF，BF平分
∠DBC，BE平分∠ABD，若∠FCB+∠NCF＝180°，∠BFC＝3∠DBE，求∠EBC的度
数．【解答】解：（1）如图1，AM与BC的交点记作点O，
∵AM∥CN，
∴∠C＝∠AOB，
∵AB⊥BC，
∴∠A+∠AOB＝90°，
∴∠A+∠C＝90°，
故答案为：∠A+∠C＝90°；
（2）如图2，过点B作BG∥DM，
∵BD⊥AM，
∴DB⊥BG，即∠ABD+∠ABG＝90°，
又∵AB⊥BC，
∴∠CBG+∠ABG＝90°，
∴∠ABD＝∠CBG，
∵AM∥CN，BG∥AM，
∴CN∥BG，
∴∠C＝∠CBG，
∴∠ABD＝∠C；
（3）如图3，过点B作BG∥DM，
∵BF平分∠DBC，BE平分∠ABD，
∴∠DBF＝∠CBF，∠DBE＝∠ABE，
由（2）可得∠ABD＝∠CBG，
∴∠ABF＝∠GBF，
设∠DBE＝ ，∠ABF＝ ，则
∠ABE＝ ，α∠ABD＝2 β＝∠CBG，∠GBF＝ ＝∠AFB，∠BFC＝3∠DBE＝3 ，
α α β α∴∠AFC＝3 + ，
∵∠AFC+∠αNCβF＝180°，∠FCB+∠NCF＝180°，
∴∠FCB＝∠AFC＝3 + ，
△BCF中，由∠CBF+α∠βBFC+∠BCF＝180°，可得
（2 + ）+3 +（3 + ）＝180°，①
由AαB⊥βBC，α可得α β
+ +2 ＝90°，②
β由①β ②α 联立方程组，解得 ＝15°，
∴∠ABE＝15°， α
∴∠EBC＝∠ABE+∠ABC＝15°+90°＝105°．
23．（2021春•恩施市校级期末）如图，直线CB∥OA，∠C＝∠OAB＝100°，E、F在CB
上，且满足∠FOB＝∠AOB，OE平分∠COF
（1）求∠EOB的度数；
（2）若平行移动AB，那么∠OBC：∠OFC的值是否随之发生变化？若变化，找出变化
规律或求出变化范围；若不变，求出这个比值．
（3）在平行移动AB的过程中，是否存在某种情况，使∠OEC＝∠OBA？若存在，求出
其度数；若不存在，说明理由．
【解答】解：（1）∵CB∥OA，
∴∠AOC＝180°﹣∠C＝180°﹣100°＝80°，
∵OE平分∠COF，
∴∠COE＝∠EOF，
∵∠FOB＝∠AOB，
∴∠EOB＝∠EOF+∠FOB＝ ∠AOC＝ ×80°＝40°；
（2）∵CB∥OA，
∴∠AOB＝∠OBC，∵∠FOB＝∠AOB，
∴∠FOB＝∠OBC，
∴∠OFC＝∠FOB+∠OBC＝2∠OBC，
∴∠OBC：∠OFC＝1：2，是定值；
（3）在△COE和△AOB中，
∵∠OEC＝∠OBA，∠C＝∠OAB，
∴∠COE＝∠AOB，
∴OB、OE、OF是∠AOC的四等分线，
∴∠COE＝ ∠AOC＝ ×80°＝20°，
∴∠OEC＝180°﹣∠C﹣∠COE＝180°﹣100°﹣20°＝60°，
故存在某种情况，使∠OEC＝∠OBA，此时∠OEC＝∠OBA＝60°．
24.（2022•南京模拟）如图，已知AM∥BN，∠A＝60°，点P是射线AM上一动点（与点A
不重合），BC，BD分别平分∠ABP和∠PBN，分别交射线AM于点C，D．
（1）求∠CBD的度数；
（2）当点P运动时，∠APB：∠ADB的比值是否随之变化？若不变，请求出这个比
值；若变化，请找出变化规律；
（3）当点P运动到某处时，∠ACB＝∠ABD，求此时∠ABC的度数．
【解答】解：（1）∵AM∥BN，
∴∠ABN＝180°﹣∠A＝120°，
又∵BC，BD分别平分∠ABP和∠PBN，
∴∠CBD＝∠CBP+∠DBP＝ （∠ABP+∠PBN）＝ ∠ABN＝60°．
（2）不变．理由如下：
∵AM∥BN，
∴∠APB＝∠PBN，∠ADB＝∠DBN，
又∵BD平分∠PBN，∴∠ADB＝∠DBN＝ ∠PBN＝ ∠APB，即∠APB：∠ADB＝2：1．
（3）∵AM∥BN，
∴∠ACB＝∠CBN，
又∵∠ACB＝∠ABD，
∴∠CBN＝∠ABD，
∴∠ABC＝∠ABD﹣∠CBD＝∠CBN﹣∠CBD＝∠DBN，
∴∠ABC＝∠CBP＝∠DBP＝∠DBN，
∴∠ABC＝ ∠ABN＝30°．
25．（2021春•石阡县期末）问题情境：如图1，AB∥CD，∠PAB＝130°，∠PCD＝120°，
求∠APC的度数．
小明的思路是：过P作PE∥AB，通过平行线性质来求∠APC．
（1）按小明的思路，易求得∠APC的度数为 度；
（2）问题迁移：如图2，AB∥CD，点P在射线OM上运动，记∠PAB＝ ，∠PCD＝
，当点P在B、D两点之间运动时，问∠APC与 、 之间有何数量关系α？请说明理
β由； α β
（3）在（2）的条件下，如果点P在B、D两点外侧运动时（点P与点O、B、D三点不
重合），请直接写出∠APC与 、 之间的数量关系．
α β
【解答】（1）解：过点P作PE∥AB，
∵AB∥CD，
∴PE∥AB∥CD，∴∠A+∠APE＝180°，∠C+∠CPE＝180°，
∵∠PAB＝130°，∠PCD＝120°，
∴∠APE＝50°，∠CPE＝60°，
∴∠APC＝∠APE+∠CPE＝110°．
（2）∠APC＝ + ，
理由：如图2，α过βP作PE∥AB交AC于E，
∵AB∥CD，
∴AB∥PE∥CD，
∴ ＝∠APE， ＝∠CPE，
∴α∠APC＝∠AβPE+∠CPE＝ + ；
α β
（3）如图所示，当P在BD延长线上时，
∠CPA＝ ﹣ ；
α β
如图所示，当P在DB延长线上时，
∠CPA＝ ﹣ ．
β α
