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专题01 勾股定理的证明
1．做8个全等的直角三角形，设它们的两条直线边分别为a，b，斜边为c，再做3个边长分别为
a，b，c的正方形，把它们按下图所示的方式拼成两个正方形．利用两个正方形的面积相等来证明
勾股定理：a2＋b2＝c2
2．勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，其巧妙各有不同，当两个全等的直角三角形如图摆放时，
也可以用面积法来证明勾股定理，请完成证明过程．（提示：BD和AC都可以分割四边形
ABCD）
3．如图，四边形ACFD是一个边长为b的正方形，延长FC到B，使BC＝a，连接AB，使AB＝
C；E是边DF上的点且DE＝a．
（1）判断 ABE的形状，并证明你的结论；
（2）用含△b的式子表示四边形ABFE的面积；
（3）求证：a2+b2＝c2．
4．如图，小明用6个图1中的矩形组成图2，其中四边形 ， ， 都是正方形，
证明： ．5．中国古代数学家们对于勾股定理的发现和证明，在世界数学史上具有独特的贡献和地位，体现
了数学研究中的继承和发展．现用4个全等的直角三角形拼成如图所示“弦图”． 中，
，若 ， ，请你利用这个图形说明 ；
6．魏晋时期，伟大数学家刘徽利用如图通过“以盈补虚，出入相补”的方法，即“勾自乘为朱方，
股自乘为青方，令出入相补，各从其类证明了勾股定理．已知四边形ABCD、四边形AHGE、四边
形DMNE均为正方形，AD＝4，CF＝3．
（1）DE的长为 ___．
（2）连接AG交DE于点P，则PE的长为 ___．7．勾股定理被誉为“几何明珠”，在数学的发展历程中占有举足轻重的地位．它是初中数学中的
重要知识点之一，也是初中学生以后解决数学问题和实际问题中常常运用到的重要知识，因此学
好勾股定理非常重要．学习数学“不仅要知其然，更要知其所以然”，所以，我们要学会勾股定
理的各种证明方法．请你利用如图图形证明勾股定理：
已知：如图，四边形ABCD中，BD⊥CD，AE⊥BD于点E，且△ABE≌△BCD．
求证：AB2＝BE2+AE2．
8．【经典回顾】
梅文鼎是我国清初著名的数学家，他在《勾股举隅》中给出多种证明勾股定理的方法图1是其中
一种方法的示意图及部分辅助线．
在 中， ，四边形 、 和 分别是以 的三边为一边的正
方形．延长 和 ，交于点 ，连接 并延长交 于点 ，交 于点 ，延长 交 于
点 ．
(1)证明： ；
(2)证明：正方形 的面积等于四边形 的面积；
(3)请利用（2）中的结论证明勾股定理．
(4)【迁移拓展】
如图2，四边形 和 分别是以 的两边为一边的平行四边形，探索在 下方是否
存在平行四边形 ，使得该平行四边形的面积等于平行四边形 、 的面积之和．若存在，作出满足条件的平行四边形 （保留适当的作图痕迹）；若不存在，请说明理由．
9．阅读理解下列材料，并解决相应的问题．
材料一：对角线互相垂直的四边形的面积等于对角线乘积的一半．
如图1，四边形ABCD中，若 ，则 ．
材料二：人教版教材八年级下册介绍了几种利用全等直角三角形通过拼图证明勾股定理的方法．
这些方法的共同特点：利用两种不同的方法计算同一个拼图的面积，然后建立等量关系，化简即
可证明勾股定理．
小文发现：把两块全等的直角三角板ACB和直角三角板DEF摆成图2的形状，点C与点F重合，
并且点C，E，B在同一条直线上，连接DA，DB．利用这种摆放方式，也能证明勾股定理．
问题：
如图2，已知 ，
AB，CD交于点O．求证：
(1) ；
(2) ．
10．数学王老师在探索乘法公式时利用了面积法，面积法可以帮助我们直观地推导或验证公式，
俗称“无字证明”，我国三国时期的数学家赵爽创造了一幅“勾股圆方图”（也称“赵爽弦
图”）证明了勾股定理．2002年在北京召开的国际数学家大会把“赵爽弦图”作为会徽（如图
1），彰显了这一中国古代的重大成就．运用“赵爽弦图”证明勾股定理的基本思路如下：
“赵爽弦图”是将四个完全相同的直角三角形（如图2，其中构成直角的两条边叫直角边，边长分
别为 和 ，且 ；最长的那条边叫做斜边，边长为 ）围成一个边长为 的大正方形（如图
3），中间空的部分是一个边长为 的小正方形．
(1)验证过程：大正方形的面积可以表示为 ，又可用四个直角三角形和一个小正方形的和表
示为 ，∴ ．
化简等号右边的式子可得∴ _______．
即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．
(2)爱动脑筋的小新把这四个相同的直角三角形拼成了另一个大的正方形（如图4），模仿上述过
程也能验证这个结论，请你帮助小新完成验证的过程．
11．阅读理解：我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代的数学著作《周髀算
经》中，汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅如图1所示的“弦图”，后人称之为
“赵爽弦图”（边长为c的大正方形中放四个全等的直角三角形，两直角边长分别为a，b，斜边长为c）．
(1)请根据“赵爽弦图”写出勾股定理的推理过程；
探索研究：
(2)小亮将“弦图”中的2个三角形进行了运动变换，得到图2，请利用图2证明勾股定理；
问题解决：
(3)如图2，若 ， ，此时空白部分的面积为__________；
(4)如图3，将这四个直角三角形紧密地拼接，形成风车状，已知外围轮廓（实线）的周长为24，
，求该风车状图案的面积．
12．勾股定理在全世界有超过400种证法，下面介绍欧几里得的证法：（不得直接运用勾股定理
结论进行证明）
在 中， 分别以 ， ， 为边向 外侧做正方形，求正方形，分
别得到正方形 ，正方形 ，正方形 ．
(1)如图1，连接 ， ，试证明线段 和线段 的数量关系．
(2)如图2，过点C作直线 交正方形 中 边于点H， 边于点I，求证：
．(3)设 ， ， ，运用此图合勾股定理的学习经验证明结论： ．（不得
直接运用勾股定理结论证明）
13．（1）阅读理解
我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代的数学著作《周髀算经》中．汉代数
学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅如图①所示的“弦图”，后人称之为“赵爽弦图”．根
据“赵爽弦图”写出勾股定理和推理过程；
（2）问题解决
勾股定理的证明方法有很多，如图②是古代的一种证明方法：过正方形ACDE的中心O，作
FG⊥HP，将它分成4份，所分成的四部分和以BC为边的正方形恰好能拼成以AB为边的正方形．
若AC＝12，BC＝5，求EF的值．
14．勾股定理是人类重大科学发现之一．我国古代数学书《周髀算经》记载，约公元前11世纪，
我国古代劳动人民就知道“若勾三，股四，则弦五”，比西方早500多年．请你运用学到的知识、
方法和思想探究以下问题．
【探究一】我国汉代数学家赵爽创制了“赵爽弦图”，通过图形切割、拼接，巧妙地利用面积关
系证明了勾股定理．古往今来，人们对勾股定理的证明一直保持着极大的热情．意大利著名画家
达·芬奇用两张一样的纸片，拼出不一样的空洞，利用空洞面积相等也成功地证明了勾股定理（如
图）．
请你写出这一证明过程（图中所有的四边形都是正方形，三角形都是直角三角形）．【探究二】在学习勾股定理的过程中，我们获得了以下数学活动经验：分别以直角三角形的三边
为边向外侧作正方形（如图2），它们的面积 ， ， 之间满足的等量关系是：__________．
迁移应用：如图3，图中所有的四边形都是正方形，三角形都是直角三角形．若正方形 ， ， ，
的边长分别是 ， ， ， ，则正方形 的面积是________．
【探究三】如图4，分别以直角三角形的三边为直径向外侧作半圆，则它们的面积 ， ， 之
间满足的等量关系是________．迁移应用：如图5，直角三角形的两条直角边长分别为 ， ，斜边长为 ，分别以三边为直径作
半圆．若 ， ，则图中阴影部分的面积等于________．
【探究四】《九章算术》卷九“勾股”中记载：今有立木，系索其末，委地三尺．引索却行，去
本八尺而索尺．问索长几何．译文：今有一竖立着的木柱，在木桩的上端系有绳索，绳索从木柱
上端顺木柱下垂后，堆在地面的部分尚有 尺．牵着绳索（绳索与地面接触）退行，在距木柱根部
尺处时绳索用尽．问绳索长多少？
