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专题02 特殊平行四边形（难点）
一、单选题
1．如图， 、 、 、 分别是四边形 四条边的中点，顺次连接 、 、 、 得四边形
，连接 、 ，下列命题不正确的是（ ）
A．当四边形 是矩形时，四边形 是菱形
B．当四边形 是菱形时，四边形 是矩形
C．当四边形 满足 时，四边形 是菱形
D．当四边形 满足 ， 时，四边形 是矩形
2．如图，E、F、H分别为正方形 的边 、 、 上的点，连接 ， ，且 ，
平分 交 于点G．若 ，则 的度数为（ ）
A．26° B．38° C．52° D．64°
3．如图： 是边长为1的正方形 的对角线 上一点，且 ， 为 上任意一点，
于点 ， 于点 ，则 的值是（ ）
A． B． C． D．
4．如下图，在菱形 中， ， ，过菱形 的对称中心 分别作边 ， 的垂
线，交各边于点 ， ， ， ，则四边形 的周长为（ ）
1A． B． C． D．
5．如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，BF⊥AC交CD于点F，DE⊥AC交AB于点E，垂
足分别为M、N，连接EM、FN．则下列四个结论：① ；②EM//FN；③ ；④当
时，四边形DEBF是菱形；其中正确结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
6．如图，菱形ABCD中， ，AC与BD交于点O，E为CD延长线上一点，且 ，连接
BE，分别交AC，AD于点F、G，连接OG，则下列结论：
① ；② ；③由点A、B、D、E构成的四边形是菱形；④ ，其中
正确的结论是（ ）
A．①② B．①②③ C．①③④ D．②③④
7．如图，在正方形 中， 、 是射线 上的动点，且 ，射线 、 分别交 、
延长线于 、 ，连接 ，在下列结论中：① ；② ；③ ；
④若 ，则 ，
⑤ ，其中正确的结论有（ ）
2A． 个 B． 个 C． 个 D． 个
8．正方形ABCD的边长为8，点E、F分别在边AD、BC上，将正方形沿EF折叠，使点A落在 处，点B
落在 处， 交BC于G．下列结论错误的是（ ）
A．当 为CD中点时，则 ＝
B．当 时，则 ＝
C．连接 ，则
D．当 （点 不与C、D重合）在CD上移动时， 周长随着 位置变化而变化
9．如图，点 为正方形 的中心， ， 平分 交 于点 ，延长 到点 ，使
，连接 交 的延长线于点 ，连接 交 于点 ，连接 则以下四个结论中：①
；② ；③连接 ，则 ；④ ；正确的结论为（ ）
A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．②③
10．已知，矩形 中， ， ，点 是线段 上的一个动点，将线段 绕点 逆时
针旋转 得到 ，过 作 于点 ，连接 ，取 的中点 ，连接 ， ．点 在运动
过程中，下列结论：
3① ；
②当点 和点 互相重合时， ；
③ ；
④ ．正确的有( )个．
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题
11．菱形ABCD中，AD＝4，∠DAB＝60°，E、F、G、H分别是AD、AB、BC、CD上的点，且DH＝
FB，DE＝BG，当四边形EFGH为正方形时，DH＝ ．
12．如图，在正方形 中， ， 是对角线 上的一点，连结 ，过点 作 交 于
点 ． 和 的面积分别为 和 ，若 ，则 的长为 ．
13．已知：边长为 的菱形 ，过点O作两条夹角为 的射线，分别交边 ，边
于点M，N，连结 ，则下列命题：①S OMFN ，② 的长度为定值，③ 的形状为
四边形
等边三角形， 的最小值为3．其中正确的有 （填序号）
414．如图，正方形 中，在 的延长线上取点E，F，使 ， ，连接 分别交
， 于H，G．下列结论：①图中有8个等腰三角形；② ；③ ；④ ．
其中正确的有 （填序号）．
15．如图，在 中， ，将 沿对角线 折叠得到 ， 与 交于点F，
恰出如下结论：①当 时，则 ；②当F恰好为 的中点时，则 的面积为 ；③
当 时，连接 ，四边形 是菱形，其中正确的结论为 ．（只填序号）
16．如图，四边形 是边长为 的正方形，M为对角线 （不含B点）上任意一点．
（1） 的最小值是 ．
（2） 的最小值是 ．
17．如图，矩形 中， ，点H在边 上， ，E为边 上一个动点，连 ．以
为一边在 的右上方作菱形 ，使点G落在边 上，连结 ．
5（1）当菱形 为正方形时， 的长为 ；
（2）在点E的运动过程中， 的面积S的取值范围为 ．
18．如图，菱形 中， ，点E在对角线 上，且 ，点F在 延长线上，连
接 ，作 ．交 延长线于点G， ，则 ，延长 ， 交于点H，则
的长是 ．
三、解答题
19．如图，已知四边形 是正方形， ，点E为对角线 上一动点，连接 ．过点E作
，交射线 点F，以 为邻边作矩形 ．连接 ．
(1)连接 ，求证： ．
(2)求证：矩形 是正方形．
(3)探究： 的值是否为定值？若是，请求出这个定值，若不是，请说明理由．
20．如图，在矩形 中， 平分 交 于E，连接 ， ．
6(1)如图1，若 ， ，求 的长；
(2)如图2，若点F是 边上的一点，若 ，连结 交 于G，
①猜想 的度数，并说明理由；
②若 ，求 的值．
21．如图，在平面直角坐标系中，点 在 轴的正半轴，点 在 轴正半轴，且 ， ．
(1)求点 和点 的坐标；
(2)点 从点 出发以2个单位/秒的速度向 轴负方向运动，同时点 从点 出发以2个单位/秒的速度向
轴正方向运动，一个点停止运动另外一个点也随之停止运动．连接 交直线 于点 ，连接 ，设
、 两点运动时间为 ， 的面积为 ，请用含 的式子表示 ，并直接写出 的取值范围；
(3)在（2）的条件下，当 在线段 上运动时，过 作 ，过 作 轴的平行线交 于点 ，延
长 至 ，使 ，连接 ，若 时，求此时 的值并求出 的长度．
22．已知，矩形 ，点 在 上，点 在 上，点 在射线 上，点 在 上．
(1)如图 ，当矩形 为正方形时，且 ，求证： ；
(2)在（1）的条件下，将 沿 向右平移至点 与点 重合，如图 ，连接 ，取 的中点 ，连接
，试判断 与 的数量关系，并说明理由；
(3)如图 ，点 在 上，连接 ， 交 于 ， ，若 ， ， ，求
线段 的长
723．如图①，四边形 是正方形， ， 分别在边 、 上，且 ，我们称之为“半
角模型”，在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的方法，如图①，将 绕点 顺时针旋转
，点 与点 重合，连接 、 、 ．
(1)试判断 ， ， 之间的数量关系；
(2)如图②，点 、 分别在正方形 的边 、 的延长线上， ，连接 ，请写出
、 、 之间的数量关系，并写出证明过程．
(3)如图③，在四边形 中， ， ， ，点 ， 分别在边 ，
上， ，请直接写出 ， ， 之间数量关系．
24．综合与实践
如图①，四边形 是正方形， 是边 上一点， ，且 交正方形外角平分线 于点
，求证 （不需要证明），对于本题，我们常用的思路是在 上截取 ，如图⑦构造全等
三角形进行证明．
小明通过深度研究，又总结出了以下三种思路：
思路一：如图②，在 的延长线上截取 ，使 连接 ， 利用全等三角形和特殊四边形，
转化得到线段之间的数量关系，获证．
思路二：如图③，连接 ，过点 作 于点 ， ，交 的延长线于点 ，利用全等三
角形，获证．
思路三：如图④，连接 ，过点 作 ，交 于点 ，利用全等三角形，获证．
【进一步探究】小明继续对这道题目进行了改编，请完成下面改编题目的解答．
四边形 是正方形， 是直线 上一点， 交正方形外角平分线 于点 ．
(1)如图⑥，若点 在边 上， ，则 的度数为______；
(2)如图⑤，若点 在边 的延长线上， ，线段 与线段 存在怎样的数量关系？并加以证
8明；
(3)如图⑧，四边形 是正方形， 是边 上一点， ，且 交正方形外角平分线 于点
，过 作 垂直 交 的延长线与 ， ， ，则 的长为_______．
25．综合与实践
问题情境：
在矩形 中，对角线 、 交于点O， 交 于点E，连接 ，F是 的中点．
探究发现：
(1)如图1，直接写出 和 的数量关系：______；
(2)探究拓展：勤奋小组的同学们在射线 上任取一点P，将射线 绕点O逆时针旋转得射线 ，使
，与射线 交与点Q．在如图2中，猜想并证明线段 与线段 之间的数量关系．
(3)探究拓广：在（2）的条件下，若 ， ，当 时，直接写出 的长度．
26．如图，在菱形 中， ， ．点 在边 上由 向 运动，点 在边 上由
向 运动，速度均为 ，连接 、 ，以 ， 为邻边构造 ，连接 过点 作
，交折线 于点 ，分别交 、 于点 、 ．
(1)求证： 为菱形．
(2)连接 ， ，求 周长的最小值，并说明理由．
(3)当点 在线段 上时，若某时刻满足 ，
①证明： 为 中点．
②请直接写出此时 点的运动时间．
27．如图1，正方形 的边长为1， 为边 上一点（不与点 、 重合），垂直于 的一条直线
分别交 、 、 于点 、 、 ．
9(1)①求证： ；
②连接 、 、 ，直接写出四边形 的面积S的取值范围．
(2)如图2，若垂足 为 的中点，连接 ，交 于点 ，连接 ，求 的度数．
(3)如图3，当垂足 在正方形 的对角线 上时，作 ，垂足为 ，点 在边 上运动过
程中， 的长度是否变化？若不变，求出 的长；若变化，说明变化规律．
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