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专题 02 期末复习专题：一元一次不等式与一元一次不等式组
目录
【考点一 不等式的基本性质】................................................................................................................................4
【考点二 解一元一次不等式（组）】....................................................................................................................6
【考点三 一元一次不等式（组）求解中错解复原问题】....................................................................................9
【考点四 根据一元一次不等式的解集求参数】..................................................................................................13
【考点五 利用一元一次不等式的整数解求参数的取值范围】...........................................................................15
【考点六 利用一元一次不等式组的整数解求参数的取值范围】.......................................................................17
【考点七 根据一元一次不等式组的解集的情况求参数的取值范围】...............................................................19
【考点八 整式方程(组)与一元一次不等式（组）结合求参数的问题】...........................................................21
【考点九 一元一次不等式（组）与一次函数结合的问题】...............................................................................23
【考点十 用一元一次不等式与不等式组解决实际问题】..................................................................................25
知识点01 不等式的概念
一般地，用“＜”、 “＞”、“≤”或“≥”表示大小关系的式子，叫做不等式．用“≠”表示不
等关系的式子也是不等式．
特别说明：
(1)不等号“＜”或“＞”表示不等关系，它们具有方向性，不等号的开口所对的数较大．
(2)五种不等号的读法及其意义：
符号 读法 意义
它说明两个量之间的关系是不相等的，但不能确定哪
“≠” 读作“不等于”
个大，哪个小
“＜” 读作“小于” 表示左边的量比右边的量小
“＞” 读作“大于” 表示左边的量比右边的量大
读作“小于或等 即“不大于”，表示左边的量不大于右边的量
“≤”
于”
读作“大于或等 即“不小于”，表示左边的量不小于右边的量
“≥”
于”
(3)有些不等式中不含未知数，如3＜4，-1＞-2；有些不等式中含有未知数，如2x＞5中，x表示未知数，
对于含有未知数的不等式，当未知数取某些值时，不等式的左、右两边符合不等号所表示的大小关系，我
们说不等式成立，否则，不等式不成立．
知识点02 不等式的基本性质
不等式的基本性质1：不等式两边加(或减)同一个数(或式子)，不等号的方向不变．
用式子表示：如果a＞b，那么a±c＞b±c．
不等式的基本性质2：不等式两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变．用式子表示：如果a＞b，c＞0，那么ac＞bc(或 )．
不等式的基本性质3：不等式两边乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．
用式子表示：如果a＞b，c＜0，那么ac＜bc(或 )．
特别说明： 不等式的基本性质的掌握注意以下几点：
(1)不等式的基本性质是对不等式变形的重要依据，是学习不等式的基础，它与等式的两条性质既有联系，
又有区别，注意总结、比较、体会．
(2)运用不等式的性质对不等式进行变形时，要特别注意性质2和性质3的区别，在乘(或除以)同一个数时，
必须先弄清这个数是正数还是负数，如果是负数，不等号的方向要改变．
知识点03 不等式的解与解集
1.不等式的解：能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解.
2.不等式的解集：对于一个含有未知数的不等式，它的所有解组成这个不等式的解集．
注意：
不等式的解 是具体的未知数的值，不是一个范围
是一个集合，是一个范围．其含义：
不等式的解集 ①解集中的每一个数值都能使不等式成立；
②能够使不等式成立的所有数值都在解集中
知识点04 一元一次不等式（组）的定义
1.一元一次不等式
（1）一元一次不等式的定义：含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式．
（2）概念解析
一方面：它与一元一次方程相似，即都含一个未知数且未知项的次数都是一次，但也有不同，即它是用不
等号连接，而一元一次方程是用等号连接．
另一方面：它与不等式有区别，不等式中可含、可不含未知数，而一元一次不等式必含未知数．但两者也
有联系，即一元一次不等是属于不等式．
2.一元一次不等式组
（1）一元一次不等式组的定义：
几个含有同一个未知数的一元一次不等式组合在一起，就组成了一个一元一次不等式组．
（2）概念解析
形式上和方程组类似，就是用大括号将几个不等式合起来，就组成一个一元一次不等式组．但与方程组也
有区别，在方程组中有几元一般就有几个方程，而一元一次不等式组中不等式的个数可以是两个及以上的
任意几个．
知识点05 解一元一次不等式（组）
1.解一元一次不等式
根据不等式的性质解一元一次不等式
基本操作方法与解一元一次方程基本相同，都有如下步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤化系数为1．
以上步骤中，只有①去分母和⑤化系数为1可能用到性质3，即可能变不等号方向，其他都不会改变不等
号方向．
注意：符号“≥”和“≤”分别比“＞”和“＜”各多了一层相等的含义，它们是不等号与等号合写形式．
2.解一元一次不等式组
（1）一元一次不等式组的解集：几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做由它们所组成的不等式组
的解集．
（2）解不等式组：求不等式组的解集的过程叫解不等式组．
（3）一元一次不等式组的解法：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些
解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集．
方法与步骤：①求不等式组中每个不等式的解集；②利用数轴求公共部分．
解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．
知识点06 一元一次不等式（组）的整数解
1.解决此类问题的关键在于正确解得不等式的解集，然后再根据题目中对于解集的限制得到下一步所需要
的条件，再根据得到的条件进而求得不等式的整数解．可以借助数轴进行数形结合，得到需要的值，进而
非常容易的解决问题．
2.一元一次不等式组的整数解
（1）利用数轴确定不等式组的解（整数解）．
解决此类问题的关键在于正确解得不等式组或不等式的解集，然后再根据题目中对于解集的限制得到下一
步所需要的条件，再根据得到的条件进而求得不等式组的整数解．
（2）已知解集（整数解）求字母的取值．
一般思路为：先把题目中除未知数外的字母当做常数看待解不等式组或方程组等，然后再根据题目中对结
果的限制的条件得到有关字母的代数式，最后解代数式即可得到答案．
知识点07 一元一次不等式（组）的应用
（1）由实际问题中的不等关系列出不等式，建立解决问题的数学模型，通过解不等式可以得到实际问题
的答案．
（2）列不等式解应用题需要以“至少”、“最多”、“不超过”、“不低于”等词来体现问题中的不等
关系．因此，建立不等式要善于从“关键词”中挖掘其内涵．
（3）列一元一次不等式（组）解决实际问题的方法和步骤：
①弄清题中数量关系，用字母表示未知数．
②根据题中的不等关系列出不等式．
③解不等式，求出解集．
④写出符合题意的解．
知识点08 利用一次函数的图象得到一元一次不等式的解集
(1)一元一次不等式kx+b>0的解集，一次函数的图象在x轴上方的点的横坐标所组成的集合.
(2)一元一次不等式kx+b<0的解集，一次函数的图象在x轴下方的点的横坐标所组成的集合.
(3)一元一次不等式kx+b>kx+b 的解集，一次函数y=kx+b 图象在一次函数y=kx+b 图象上方的点的横
1 1 2 2 1 1 2 2坐标所组成的集合.
(4)一元一次不等式kx+b<kx+b 的解集，一次函数y=kx+b 图象在一次函数y=kx+b 图象下方的点的横
1 1 2 2 1 1 2 2
坐标所组成的集合.
【考点一 不等式的基本性质】
例题：（23-24八年级下·河南郑州·期末）若 ，则下列式子错误的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】不等式的性质
【分析】本题考查了不等式的性质，能熟记不等式的性质的内容是解此题的关键．根据不等式的性质逐个
判断即可．
【详解】解：A． ，
，故本选项不符合题意；
B． ，
，故本选项符合题意；
C． ，
，故本选项不符合题意；
D． ，
，故本选项符不符合题意；
故选：B．
【变式训练】
1．（24-25八年级上·湖南邵阳·期末）若 ，则下列结论一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】不等式的性质
【分析】本题考查不等式的性质，由不等式两边同时乘以（除以）同一个负数不等号方向改变；不等式两
边同时加上（减去）同一个数不等号方向不变；逐项验证即可得到答案，熟记不等式性质是解决问题的关
键．
【详解】解：A、由 ， 可知 ，故原结论错误，不符合题意；
B、由 ， 可知 ，故原结论错误，不符合题意；
C、由 可知 ，故原结论正确，符合题意；
D、由 ， 可知 ，则 ，故原结论错误，不符合题意；故选：C．
2．（24-25八年级上·浙江绍兴·期中）若 ，下列不等式不成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】不等式的性质
【分析】本题主要考查不等式的性质，掌握不等式的性质是解题的关键．
根据不等式的基本性质“不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或式子，不等号的方向不变；不等式
的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负
数，不等号的方向改变”逐项判断即可解题．
【详解】解：A、由 两边同时加上8，可得 ，成立；
B、由 两边同时乘以3，可得 ，成立；
C、由 两边同时除以7，可得 ，成立；
D、由 两边同时乘以 再加上1，可得 ，原式不成立；
故选：D．
3．（24-25八年级上·贵州铜仁·期末）下列说法不正确的是（ ）
A．若 ，则 B．若 ，则
C．若 ，则 D．若 ，则
【答案】D
【知识点】不等式的性质
【分析】此题考查了不等式的基本性质．根据不等式的基本性质进行判断即可得到答案．
【详解】解：A、若 ，则 ，故本选项不符合题意；
B、若 ，则 ，故本选项不符合题意；
C、若 ，则 ，故本选项不符合题意；
D、若 ，只有当 时， ，故本选项符合题意；
故选：D．
【考点二 解一元一次不等式（组）】
例题：（24-25七年级下·四川宜宾·期末）（1）解不等式： ，并把它的解集表示在数轴上．（2）解不等式组： ，并求它的非正整数解．
【答案】（1） ，数轴见解析；（2） ，非正整数解为 ，0
【知识点】求一元一次不等式的解集、求不等式组的解集、求一元一次不等式组的整数解、在数轴上表示
不等式的解集
【分析】本题考查了解一元一次不等式，解一元一次不等式组，用数轴表示不等式解集，熟练掌握解一元
一次不等式和解一元一次不等式组的解法是解题的关键．
（1）先两边同时乘以6去分母得 ，然后去分母，移项，合并同类项，最后把 的系
数化为1得到解集，再在数轴上表示出解集即可；
（2）先解不等式①得 ，解不等式②得 ，得到不等式组的解集，再写出不等式组的非正整数解
即可．
【详解】解：（1）
不等式的解集在数轴上表示如图所示：
（2）
解不等式①，得 ，
解不等式②，得
该不等式组得解集为 ，
非正整数解为 ，0．
【变式训练】
1．（24-25八年级上·湖南岳阳·期末）（1）解不等式： ，并将解集表示在下列数轴上；
（2）解不等式组：
【答案】（1） ；（2）【知识点】求不等式组的解集、在数轴上表示不等式的解集、求一元一次不等式的解集
【分析】本题考查的是解一元一次不等式和解一元一次不等式组，
（1）不等式移项合并，把x系数化为1，即可求出解，然后在数轴表示即可；
（2）分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可．
【详解】（1）解：
数轴表示如下：
（2）解：
解①得： ，
解②得 ，
不等式组的解为： ．
2．（24-25八年级上·广东深圳·期末）（1）解不等式： ，并写出该不等式的最大整数解．
（2）解不等式组： ，并在数轴上表示它的解集．
【答案】（1） ，最大整数解为7；（2） ，图见解析
【知识点】求一元一次不等式的解集、求不等式组的解集、在数轴上表示不等式的解集
【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小
取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
（1）根据解一元一次不等式的解法求解即可．
（2）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不
到确定不等式组的解集，表示在数轴上即可．
【详解】解：（1）去分母得， ，
即 ，
∴
∴
∴最大整数解为7
（2）解：解①得： ，
解②得： ，
∴不等式组的解集为 ，在数轴上表示为：3．（24-25八年级上·重庆·期末）解不等式（组）：
(1)解不等式，并把解集表示在数轴上： ；
(2)解不等式组： ．
【答案】(1) ，数轴见解析
(2)
【知识点】求一元一次不等式的解集、求不等式组的解集、在数轴上表示不等式的解集
【分析】本题主要考查了解一元一次不等式和一元一次不等式组，在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握
运算法则是解本题的关键．
（1）求出一元一次不等式的解集，表示在数轴上即可；
（2）分别求出不等式组中两不等式的解集，找出解集的公共部分确定出不等式组的解集即可．
【详解】（1）∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
解得 ，
数轴表示为，
（2） ，
由①得 ，
解①得 ，
由②得 ，
即 ，
解②得 ，
∴不等式组的解集为 ．
【考点三 一元一次不等式（组）求解中错解复原问题】
例题：（23-24七年级下·山西临汾·期末）下面是小明同学解不等式的过程，请你认真阅读并完成相应任务．解不等式：
解： 第一步
第二步
第三步
第四步
第五步
任务一：
填空：①小明解不等式过程中，第二步是依据______（填运算律）进行变形的；
②第______步开始出错，这一步错误的原因是______；
任务二：
请直接写出该不等式的解集______并把它的解集在数轴上表示出来．
【答案】任务一：①乘法分配律；②五，系数化1时，不等式两边同除同一个负数，不等式号的方向没有
变；任务二： ，数轴见解析
【知识点】求一元一次不等式的解集、在数轴上表示不等式的解集
【分析】本题考查求不等式的解集，并在数轴上表示出解集，熟练掌握解不等式的步骤，是解题的关键：
任务一：①根据乘法分配律变形；②第五步，系数化1时，不等式号的方向没有变；
任务二：求出不等式的解集，定边界，定方向，在数轴上表示出解集即可．
【详解】解：任务一：①小明解不等式过程中，第二步是依据乘法分配律进行变形的；
②第五步开始出错，原因是系数化1时，不等式两边同除同一个负数，不等式号的方向没有变；
任务二：
解：
；
数轴表示解集如图：
【变式训练】
1．（23-24七年级下·四川内江·期末）解不等式（组）
(1)小英解不等式 的过程如下，请指出她解答过程中错误步骤的序号，并写出正确的解答过程．
解：去分母得： ①
去括号得： ②
移项得： ③
合并同类项得： ④
两边都除以 得： ⑤
(2)解不等式组： ，并把解集在数轴上表示出来．
【答案】(1)错误的步骤有①②⑤，正确过程见解析
(2) ，解集在数轴上表示见解析
【知识点】求一元一次不等式的解集、求不等式组的解集
【分析】本题考查的是解一元一次不等式（组），熟练掌握解一元一次不等式（组）的步骤和依据是解题
的关键．
（1）根据小英的解题步骤找出错误的步骤；再根据解一元一次不等式的步骤：①去分母；②去括号；③
移项；④合并同类项；⑤化系数为1依次计算可得．
（2）分别求出每个不等式的解集，再取它们解集的公共部分，在数轴上表示出来即可．
【详解】（1）解：错误的步骤有①②⑤，
正确解答过程如下：
去分母，得 ，
去括号，得 ，
移项，得 ，
合并同类项，得 ，
系数化为1，得 ．
（2）解： ，
由①得 ；
由②得 ；
∴不等式组的解集为 ，
不等式组的解集在数轴上表示为：2．（23-24八年级下·河南郑州·期末）下面是小明作业本上解不等式组 的部分过程，
请认真阅读，完成相应任务．
解：由不等式①得，
第1步
∴ 第2步
∴ 第3步
∴ 第4步
∴ 第5步
任务一：小明的解答过程中，第______步是依据乘法分配律进行变形的；第 步开始出现错误，这一步错
误的原因是 ；
任务二：不等式②的解集是 ；直接写出这个不等式组的整数解是 ．
任务三：请你根据平时的学习经验，就解不等式组需要注意的事项给其他同学分享一下．（至少说两条）
【答案】任务一：2，5，不等式两边同时除以一个负数，不等号的方向没有改变；任务二： ，1；任
务三：不唯一，如不等式两边同时除以一个负数，不等号的方向改变；去分母时不要漏乘；移项要变号
【知识点】求不等式组的解集、求一元一次不等式组的整数解、不等式的性质
【分析】本题考查了不等式的性质，解一元一次不等式组，求一元一次不等式组的整数解．熟练掌握不等
式的性质，解一元一次不等式组是解题的关键．
根据不等式的性质以及解一元一次不等式（组）的步骤，判断、求解、作答即可．
【详解】任务一：解：小明的解答过程中，第2步是依据乘法分配律进行变形的；第5步开始出现错误，
这一步错误的原因是不等式两边同时除以一个负数，不等号的方向没有改变；
故答案为：2，5，不等式两边同时除以一个负数，不等号的方向没有改变；
任务二：解： ，
，
，
解得 ，
解不等式①得， ，
∴不等式组的解集为 ，
∴这个不等式组的整数解是1，
故答案为： ，1；
任务三：解：由题意知，①不等式两边同时除以一个负数，不等号的方向改变；②去分母时不要漏乘；移
项要变号．
3．（23-24八年级下·江西九江·期末）（1）下面是某同学解不等式组 ，的过程，请认真阅读并完成相应任务．
解：令
解不等式①，
去分母，得 ………第一步
移项，得 ………第二步
合并同类项，得 ………第三步
系数化为1，得 ………………第四步
任务一：上述解不等式①的过程第________步出现了错误，其原因是：________．不等式①的解集是
________．
任务二：求不等式组的解集并将解集在数轴上表示出来．
【答案】任务一：四；在不等式两边同时乘(除以)同一个负数，不等号的方向没有进行改变， ；任务
二： ，见详解
【知识点】求不等式组的解集、在数轴上表示不等式的解集、求一元一次不等式的解集
【分析】本题考查解一元一次不等式（组）．
任务一：根据解一元一次不等式的一般步骤逐步分析即可；
任务二：按照解一元一次不等式组的步骤求解集，将不等式组的解集在数轴上表示出来即可．
【详解】任务一：上述解不等式①的过程第四步出现了错误，其原因是在不等式两边同时乘(除以)同一个
负数，不等号的方向没有改变；
不等式①的解集是
任务二：令
由任务一可知：解不等式①，得 ，
解不等式②， ，
移项，得 ，
解得： ，
∴不等式组的解集为： ，
如图：将不等式组的解集表示在数轴上：
【考点四 根据一元一次不等式的解集求参数】例题：（24-25八年级上·浙江绍兴·期末）已知关于x的方程 的解是不等式 的一个解，
则a的取值范围是 ．
【答案】
【知识点】求一元一次不等式的解集、解一元一次方程（三）——去分母
【分析】本题考查了方程的解与不等式的解集，正确解关于x的不等式是关键．
首先解方程求得a的值，然后代入不等式即可求得a的范围．
【详解】解：解方程 ，
方程两边同时乘以3得 ，
解得： ，
把 代入 得： ，
解得： ．
故答案为： ．
【变式训练】
1．（22-23七年级下·北京·期末）关于x的不等式 的解如图所示，则 ．
【答案】
【知识点】求一元一次不等式的解集、在数轴上表示不等式的解集
【分析】本题主要考查的是解一元一次不等式、在数轴上表示解集等知识点，能根据题意得出不等式的解
集是解题的关键．先用a表示出x的取值范围，再由不等式的解集得出a的值即可．
【详解】解：由不等式 得： ，
∵由数轴可知 ，
∴ ，
解得： ．
故答案为： ．
2．（23-24七年级下·全国·期末）定义新运算“ ”，规定： ，若关于 的不等式 的
解集为 ，则 的值为 ．
【答案】
【知识点】求一元一次不等式的解集、解一元一次方程（一）——合并同类项与移项【分析】本题主要考查对新定义运算的理解、不等式的解集、一元一次方程的解等，解题的关键是将新定
义运算转化为所熟悉的不等式．
根据定义的新运算得到 ，得 ，由不等式的解集得 ，即可求得 的值．
【详解】解： ，
，
得： ，
不等式 的解集为 ，
，
解得： ，
故答案为： ．
3．（23-24七年级下·黑龙江牡丹江·期末）若关于x的不等式 的解集是 ，那么关于
x的不等式 的解集是 ．
【答案】
【知识点】求一元一次不等式的解集
【分析】本题是一个方程与不等式的综合题目．由关于x的不等式 的解集是 ，知
且 ，据此得出 ，且 ，再代入求解即可．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∵关于x的不等式 的解集是 ，
∴ 且 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，关于x的不等式 可化为 ，
解得：
故答案为： ．
【考点五 利用一元一次不等式的整数解求参数的取值范围】
例题：（23-24七年级下·天津南开·期末）关于x的不等式 有2个正整数解，则a的取值范围是
．
【答案】
【知识点】求一元一次不等式的整数解
【分析】按照解一元一次不等式的步骤进行计算可得 ，然后再根据题意可得： ，从而
进行计算即可解答．
本题考查了一元一次不等式的整数解，熟练掌握解一元一次不等式的步骤是解题的关键．
【详解】解： ，
∴ ，
∴ ，
∵不等式有2个正整数解，
∴ ，
解得： ，
故答案为： ．
【变式训练】
1．（23-24七年级下·广东广州·期末）若关于 的不等式 的正整数解是1，2，3，则整数 的最小值
是 ．
【答案】10
【知识点】求一元一次不等式的整数解
【分析】本题考查了一元一次不等式的整数解，首先确定不等式的解集，先利用含a的式子表示，根据整
数解的个数就可以确定有哪些整数解，根据解的情况可以得到关于a的不等式，从而求出a的范围．
【详解】解：不等式的解集是： ，
∵不等式的正整数解恰是1，2，3，
∴ ，
∴a的取值范围是 ．∴整数a的最小值是10．
故答案为：10．
2．（23-24七年级下·辽宁葫芦岛·期末）若 是关于x的不等式 的一个整数解，而 不
是其整数解，则m的取值范围为 ．
【答案】
【知识点】求一元一次不等式的整数解
【分析】本题考查了一元一次不等式的整数解．先解一元一次不等式可得 ，再根据 不是不等
式 的整数解，可得 ，然后根据 是关于x的不等式 的一个整数解，
可得 ，即可解答．
【详解】解：∵ ，
∴ ．
∵ 不是不等式的整数解，
∴ ，
解得 ．
∵ 是关于x的不等式 的一个整数解，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
故答案为： ．
3．（23-24七年级下·江苏南京·期末）若关于 的不等式 只有4个正整数解，则 的取值范围为 ．
【答案】
【知识点】求一元一次不等式的整数解
【分析】本题考查了不等式的整数解，首先确定不等式的正整数解，则a的范围，根据a的取值范围正确
确定a与4和5的关系是关键．
【详解】解：关于x的不等式 只有4个正整数解，
则正整数解是：1，2，3，4，
则a的取值范围： ，
故答案为： ．
【考点六 利用一元一次不等式组的整数解求参数的取值范围】
例题：（24-25八年级上·四川成都·期末）如果关于 的不等式组 有且只有5个整数解，则符
合条件的所有整数 的和为 ．
【答案】
【知识点】求一元一次不等式组的整数解、由不等式组解集的情况求参数【分析】本题考查一元一次不等式组的整数解、解一元一次不等式组，解答本题的关键是求出 的取值范
围．先分别解出两个不等式的解，根据不等式组有且只有 个整数解可以是 ， ， ， ， ，即可得到
，解得 ，可以求得满足条件的整数 的值，然后求出其和即可．
【详解】解：由 ，得 ，
由 ，得 ，
关于 的不等式组有且只有 个整数解，
这 个整数解是 ， ， ， ， ，
，
解得： ，
满足条件的整数 的值为 ， ， ，
符合条件的所有整数 的和为 ，
故答案为： ．
【变式训练】
1．（23-24七年级下·湖北襄阳·期末）已知关于 的不等式组 有4个整数解，那么实数
的取值范围是 ．
【答案】 /
【知识点】求一元一次不等式组的整数解、由一元一次不等式组的解集求参数
【分析】此题考查的是一元一次不等式组的整数解．解题的关键是不等式组的解集，应遵循以下原则：同
大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．
首先解每个不等式可得 ，根据不等式组只有四个整数解，确定整数解的值，进而求得a的范围．
【详解】解：
解不等式①得： ，
解不等式②得：
∴
∵不等式组有四个整数解，
∴整数解是1，2，3，4；
∴
∴ ，故答案为：
2．（23-24七年级下·四川广安·期末）若关于x的不等式组 仅有5个整数解，则 的取值范围
为 ．
【答案】
【知识点】求一元一次不等式组的整数解、由不等式组解集的情况求参数
【分析】本题考查了一元一次不等式组的整数解，先解每一个不等式，再根据不等式组有5个整数解，确
定含a的式子的取值范围求解即可．
【详解】解： ，
解不等式①得： ，
解不等式②得： ，
∵不等式组有5个整数解，即： ，0，1，2，3，
，
，
故答案为： ．
3．（23-24七年级下·四川宜宾·期末）若关于x的不等式组 所有整数解的和为9，则整数m
的值为 ．
【答案】1或4/4或1
【知识点】由不等式组解集的情况求参数、求一元一次不等式组的整数解
【分析】本题考查了解一元一次不等式组以及整数解问题，先分别算出 的解集为
，再结合所有整数解的和为9，得出 或者 ，然后列式计算，即可作答．
【详解】解：∵
∴
即
∵关于x的不等式组 所有整数解的和为9∴ 或者
则 或者
∴ 或
故答案为：1或4
【考点七 根据一元一次不等式组的解集的情况求参数的取值范围】
例题：（24-25七年级下·全国·期末）若关于x的不等式组 无解，则a的取值范围为 ．
【答案】
【知识点】由不等式组解集的情况求参数
【分析】本题考查了解一元一次不等式组，先解不等式组，根据不等式组无解进行计算即可解答．熟练掌
握不等式组无解是解题的关键．
【详解】解： ，
解不等式①得： ，
由不等式②得： ，
不等式组无解，
，
故答案为： ．
【变式训练】
1．（24-25八年级上·浙江金华·期末）不等式组 的解集是 ，则m的取值范围是 ．
【答案】
【知识点】由不等式组解集的情况求参数
【分析】本题考查了解一元一次不等式组的应用，能根据不等式的解集和已知得出关于 的不等式是解此
题的关键．
先求出每个不等式的解集，再根据已知得出关于 的不等式，求出不等式的解集即可．
【详解】
解不等式①得： ，
解不等式②得： ，
∵不等式组的解集为 ，
，
故答案为： ．
2．（24-25八年级上·广东深圳·期末）已知关于x的不等式组 无解，则a的取值范围为．
【答案】
【知识点】求一元一次不等式的解集、由不等式组解集的情况求参数
【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，分别求出每一个不等式的解集，再根据原不等式组无解可得
，求解即可．
【详解】解： ，
解不等式①可得： ，
解不等式②得： ，
∵关于x的不等式组 无解，
∴ ，
解得： ，
故答案为： ．
3．（23-24七年级下·福建福州·期末）若关于 的不等式组 的解集是 ，则 的值为
．
【答案】
【知识点】由不等式组解集的情况求参数
【分析】本题考查了解一元一次不等式组、一元一次方程组，先求出不等式组中两个不等式的解，再根据
不等式组的解集可得一个关于a的一元一次方程组，解方程组可得a的值即可．
【详解】解：解不等式 得 ，
解不等式 得 ，
∵解集是 ，
∴ ，
解得： ，
故答案为： ．
【考点八 整式方程(组)与一元一次不等式（组）结合求参数的问题】
例题：（23-24七年级下·山东威海·期末）已知关于x，y的方程组 的解满足
，求m的取值范围 ．
【答案】【知识点】不等式组和方程组结合的问题
【分析】本题考查根据方程组的解集的情况求参数的范围，求不等式组的解集，根据方程组的解集的情况，
得到关于 的不等式组，求解即可．
【详解】解： ，
得： ，即 ，
得： ，
∵ ，
∴
∴ ，
故答案为： ．
【变式训练】
1．（23-24七年级下·新疆巴音郭楞·期末）已知关于x，y的方程组 的解都为负数，则整数
a的值为 ．
【答案】0，
【知识点】不等式组和方程组结合的问题
【分析】本题考查解二元一次方程组、二元一次方程组的解、解一元一次不等式组，先解方程组，用a表
示方程组的解，根据方程组的解都为负数得到关于a的不等式组，然后求解即可．
【详解】解：解关于x，y的方程组 ，得 ，
∵该方程组的解都为负数，
∴ ，即 ，
∴ ，
∴整数a的值为 ， ，
故答案为：0， ．
2．（23-24七年级下·河南三门峡·期末）已知关于x，y的二元一次方程组 的解满足
，则a的取值范围是 ．【答案】
【知识点】不等式组和方程组结合的问题
【分析】本题主要考查解一元一次不等式组，解二元一次方程组．由 可得得 ，从而得
到关于a的不等式组，即可求解．
【详解】解： ，
由 得： ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴a的取值范围是 .
故答案为： .
3．（23-24七年级下·河南洛阳·期末）已知关于 ， 的二元一次方程组的解 满足 ，则
的取值范围是 ．
【答案】
【知识点】不等式组和方程组结合的问题
【分析】本题考查了解二元一次方程组，解一元一次不等式，根据题意列出不等式是解题的关键．先用代
入消元法解方程得出 、 ，然后再列不等式求解即可．
【详解】解： ，
由②得： ③，
将③代入①得：
，
，
，
，
，
，
解得： ，
故答案为： ．
【考点九 一元一次不等式（组）与一次函数结合的问题】
例题：（24-25八年级上·江苏泰州·期末）如图，直线 与直线 交于点A，当 时，x的取值范围是 ．
【答案】
【知识点】根据两条直线的交点求不等式的解集
【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次不等式，观察图象可知交点为 ，从交点向左函数 的图
象在 的图象下方，进而得出取值范围．
【详解】解：观察图象可知，
当 时， ．
故答案为： ．
【变式训练】
1．（24-25八年级上·浙江金华·期末）如图，直线 与 交点的横坐标为3，则关于
x的不等式 的解为 ．
【答案】 /
【知识点】根据两条直线的交点求不等式的解集
【分析】此题主要考查函数与不等式的关系，解题的关键是熟知函数图象交点的几何含义．根据直线
在直线 的上方即可得出不等式 的解集即可．
【详解】解： 观察函数图象可知：当 时，直线 在直线 的上方，
∴关于 的不等式 的解为 ，
故答案为：
2．（24-25八年级上·江苏盐城·期末）如图，已知函数 和 的图象交于点 ，则根
据图象可得不等式 的解集是 ．【答案】
【知识点】根据两条直线的交点求不等式的解集
【分析】本题考查了数形结合思想，一次函数与一元一次不等式：根据两条直线的交点求不等式的解集，
正确掌握相关性质内容是解题的关键．因为函数 和 的图象交于点 ，则
的解集是 ，即可作答．
【详解】解：∵因为函数 和 的图象交于点 ，
则 的解集是 ，
即不等式 的解集是 ，
故答案为：
3．（23-24八年级下·黑龙江哈尔滨·期末）一次函数 的图象如图所示，点 在该函数
的图象上，则关于 ．的不等式 的解集为 ．
【答案】
【知识点】由直线与坐标轴的交点求不等式的解集
【分析】此题考查了利用函数图象求不等式的解集，正确理解一次函数与一元一次不等式的关系是解题的
关键．
观察函数图象得到即可．
【详解】解：由图象可得：当 时， ，
所以不等式 的解集为 ，
故答案为： ．
【考点十 用一元一次不等式与不等式组解决实际问题】
例题：（24-25八年级上·广西贺州·期末）某中学决定在“文体周”为一个节目制作 、 两种道具，共80个，制作的道具需要甲、乙两种材料组合而成，现有甲种材料300件，乙种材料280件，已知组装 、
两种道具所需的甲、乙两种材料，如下表所示：
甲种材料（件） 乙种材料（件）
道具 3 4
道具 5 2
经过计算，制作一个 道具的费用为5元，一个 道具的费用为4元．设组装 种道具 个，所需总费用
为 元．
(1)求 与 的函数表达式，并求出 的取值范围；
(2)问组装 种道具多少个时，所需总费用最少，最少费用是多少？
【答案】(1) ，
(2)当组装A道具50个时，所需费用最少，最少费用是370元
【知识点】最大利润问题(一次函数的实际应用)、一元一次不等式组的其他应用
【分析】本题考查了一次函数的应用，关键是通过实际问题列出一次函数关系，然后根据一次函数的性质
解决问题．
（1）设组装A种道具x个，则B种道具 个，根据“总费用 种道具费用 种道具费用”即可得
出y与x的函数关系式；再根据题意列不等式组即可得出x的取值范围；
（2）根据（1）的结论，结合一次函数的性质解答即可．
【详解】（1）解：
．
根据题意，得
．
解得
的取值范围是 ．
∴（2）解：由（1）得
是 的一次函数，且
∵ 随着 的增大而增大．
∴当 时，
∴答：当组装A道具50个时，所需费用最少，最少费用是370元．
【变式训练】
1．（24-25八年级上·浙江舟山·期末）舟山市某校第 届科技体育人文艺术节，吉祥物“菱菱”脱颖而出，
学校将它定制成钥匙扣和立牌．若定制钥匙扣 件，立牌2件共需要8元；若定制钥匙扣 件，立牌5件
共需要 元．(1)钥匙扣和立牌单价分别是多少？
(2)学校计划购买钥匙扣和立牌共 件，总费用不超过 元，那么最多能购买立牌多少件？
【答案】(1)钥匙扣单价为 元/件，立牌单价为1元/件
(2) 件
【知识点】销售、利润问题(二元一次方程组的应用)、用一元一次不等式解决实际问题
【分析】本题考查二元一次方程组与一元一次不等式的实际应用，熟练掌握二元一次方程组的解法和一元
一次不等式的解法是解题的关键，
（1）设钥匙扣单价为x元/件，立牌单价为y元/件，根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可得到答
案；
（2）设立牌买m件，钥匙扣买 件，利用总价等于单价乘以数量，结合总价不超过 元，列出
一元一次不等式，解之取最大值即可．
【详解】（1）解：设钥匙扣单价为x元/件，立牌单价为y元/件，依题意可得：
解得 ，
答：钥匙扣单价为 元/件，立牌单价为1元/件．
（2）解：设立牌买m件，钥匙扣买 件，依题意可得：
，
解得 ，
答：最多购买立牌 件．
2．（24-25八年级上·浙江杭州·期末）近年来光伏建筑一体化广受关注．某社区拟修建 ， 两种光伏车棚．
已知修建 个A种光伏车棚需投资 万元， 个 种光伏车棚需投资 万元，若修建 ， 两种光伏车棚共
个，要求修建的 种光伏车棚的数量不少于修建的 种光伏车棚数量的 倍．设修建 种光伏车棚 个，
修建车棚总费用为 万元．
(1)求出 （万元）关于 （个）的函数关系式，并求出自变量 的取值范围；(2)修建多少个 种光伏车棚时，可使投资总额最少？最少投资总额为多少万元？
【答案】(1) （万元）关于 （个）的函数关系式是 （ 且 为整数）
(2)修建 个 种光伏车棚时，可使投资总额最少，最少投资总额为 万元
【知识点】用一元一次不等式解决实际问题、最大利润问题(一次函数的实际应用)
【分析】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，写出相应的函数解析式，利用一次函数
的性质求最值．
（1）根据题意和题目中的数据，可以写出 （万元）关于 （个）的函数关系式，然后根据要求修建的
种光伏车棚的数量不少于修建的 种光伏车棚数量的 倍．可以得到 的取值范围；
（2）根据（1）中的结果和一次函数的性质，可以求得 的最小值，以及此时 的值．
【详解】（1）解：由题意可得， ，
∵要求修建的 种光伏车棚的数量不少于修建的 种光伏车棚数量的 倍．
∴ ，
解得： ，
即 （万元）关于 （个）的函数关系式是 （ 且 为整数）；
（2）解：由（1）知： ，
∴ 随 的增大而增大，
∵ 且 为整数，
∴当 时， 取得最小值，此时 ，
故修建 个 种光伏车棚时，可使投资总额最少，最少投资总额为 万元．
3．（24-25八年级上·江苏宿迁·期末）为落实“五育并举”，我市某学校积极开展“阳光体育运动”．引
导学生走向操场、积极参加体育锻炼．为满足学生需求，保障“阳光体育运动”的开展，学校计划购进 ，
两种品牌的足球共50个，其中 品牌足球的价格为100元/个，购买 品牌足球所需费用 （单位：
元）与购买数量 （单位：个）之间的关系如图所示．
(1)购买数量 个时， 品牌足球的价格_____元/个；
(2)求出当 时， 与 的函数表达式：
(3)若购买 种品牌足球的数量不超过30个，但不少于 种品牌足球的数量，请设计购买方案，使购买总费用 （单位：元）最低，并求出最低费用．
【答案】(1)120
(2)
(3)当购买A种品牌的足球 个，B种品牌的足球 个时，总费用最少，最低费用是 元
【知识点】其他问题(一次函数的实际应用)、一元一次不等式组的其他应用
【分析】本题考查一次函数的应用、一元一次不等式组的应用，掌握待定系数法求一次函数的关系式、一
次函数的增减性及一元一次不等式组的解法是解题的关键．
（1）根据“所需费用÷购买数量”列式计算即可;
（2）利用待定系数法解答即可；
（3）设购买B种品牌的足球m个，则购买A种品牌的足球 个，列关于m的一元一次不等式组并
求其解集，写出W关于m的函数关系式，根据一次函数的增减性和m的取值范围，确定当m取何值时W
的值最小，求出其最小值及 的值即可．
【详解】（1）解：购买数量 个时，B品牌足球的价格 (元/个)，
故答案为：120；
（2）解：设当 时，y与x的函数关系式为 ，
得 ，解得
即当 时，y与x的函数关系式为 ；
（3）解：设购买B种品牌的足球m个，则购买A种品牌的足球 个，
∵ ，
解得 ，
∵ ，
∵ ，
∴W随着m的增大而减小，
∴当 时，W取得最小值，此时 ，
∴ ，
答：当购买A种品牌的足球 个，B种品牌的足球 个时，总费用最少，最低费用是 元．
