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2.4 一元一次不等式组
题型一 一元一次不等式组的定义
1． 【答案】D
2． 【答案】A
3． 【答案】B
4． 【答案】③④⑤
题型二 求不等式组的解集
1．
【答案】不等式组的解集为 ，数轴表示见解析
【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式的解集，正确求出每一个不等式解集是
基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．分别
求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等
式组的解集．
【详解】解： ．
由①得： ，
由②得： ，
则不等式组的解集为 ，
将解集表示在数轴上如下：
．
2．
【答案】
【分析】本题考查了解一元一次不等式组，掌握不等式组的解法是解题关键．先分别求出两个不等式的解，
再找出它们的公共部分即为不等式组的解集．
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学科网（北京）股份有限公司【详解】解： ，
解不等式①得 ，
解不等式②得 ，
不等式组的解集为 ．
3．
【答案】(1)不等式的基本性质2；三
(2)见解析
【分析】本题考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式组解集．
（1）根据不等式的基本性质和移项需要变号可知第三步出错；
（2）按照解一元一次不等式的步骤求解，把解集表示在数轴上即可．
【详解】（1）解：第一步的依据是：不等式的基本性质2；
第三步移项出错， 移项没有改变符号；
故答案为：不等式的基本性质2；三；
（2）解：由①去分母得 ，
去括号，得 ，
移项，得 ，
合并同类项，得 ；
由②移项，得 ，
解得 ；
不等式组的解集为： ；
如图：
．
4．
【答案】
【分析】本题考查了解一元一次不等式组，正确求解每个不等式是关键．分别求出每个不等式的解集，再
求出其公共部分即可．
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学科网（北京）股份有限公司【详解】解： ，
解不等式①，得 ；
解不等式②，得 ；
∴不等式组的解集为 ．
5．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，先求出每个不等式的解集，再根据口诀：同大取大，同小取
小，大小小大中间找，大大小小无解了，确定不等式组的解集．
【详解】（1）解：解不等式 ，
移项得 ，
两边同乘 得
解不等式 ，
两边同乘 得 ，
即 ，
整理得 ，
移项得 ，
所以
不等式组的解集为
（2）解：解不等式 ，
展开得 ，
移项得 ，
所以
解不等式 ，
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学科网（北京）股份有限公司两边同乘 得 ，
即 ，
移项得 ，
所以
不等式组的解集为
6．
【答案】 ，作图见详解
【分析】本题考查了解一元一次不等式组及不等式解集在数轴上的表示，先分别解不等式组里的两个不等
式，再取公共部分的解集，最后将所求解集表示在数轴上即可．
【详解】解：由不等式①，得 ，
由不等式②，得 ．
∴原不等式组的解集为： ，
将不等式组的解集表示在数轴上如下，
7．
【答案】（1） ，数轴见解析；（2） ，数轴见解析
【分析】本题考查的是解一元一次不等式和不等式组．
（1）根据解一元一次不等式基本步骤：去括号、移项、合并同类项、系数化为1可得；
（2）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不
到确定不等式组的解集．
【详解】（1）解： ，
去括号得， ，
移项得， ，
合并同类项得， ，
系数化为1得， ，
在数轴上表示为：
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学科网（北京）股份有限公司（2）解： ，
解 得：
解 得： ，
∴ ，
在数轴上表示为：
题型三 求一元一次不等式组的整数解
1． 【答案】A
2． 【答案】B
3． 【答案】6、7、8、9
4．
【答案】 ， ，
【分析】本题考查一元一次不等式的解法以及一元一次不等式组的解集确定，掌握一元一次不等式的解法
是解题关键．
先分别求出两个一元一次不等式的解集，再找出两个解集的公共部分，确定不等式组的解集，最后从解集
中筛选出所有整数即可．
【详解】解：解 ：
，
，
；
解 ：
，
，
，
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学科网（北京）股份有限公司；
则不等式组的解集为 ，
所以不等式组的所有整数解为 ， ， ．
5．
【答案】解为 ，所有非正整数解的和为
【分析】本题考查了解一元一次不等式组，分别求出每个不等式的解集，从而得出原不等式组的解为
，即可得出非正整数解为 、 、 、0，求和即可，熟练掌握解一元一次不等式组的运算
方法是解此题的关键．
【详解】解：解不等式 ，得 ．
解不等式 ，得 ．
原不等式组的解为 ．
∴
非正整数解为 、 、 、0．
∴
所有非正整数解的和为 ．
∴
6．
【答案】（1） ；（2）最大整数为1，最小整数为
【分析】本题考查解一元一次不等式组的整数解，熟练掌握一元一次不等式组的解法步骤是解答的关键．
（1）先解出不等式组的解集，再求出其整数解即可解答．
（2）先解出不等式组的解集，再求出满足不等式组的最大整数和最小整数即可解答．
【详解】解：（1） ，
解不等式①，得： ，
解不等式②，得： ，
∴不等式组解集是 ，
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学科网（北京）股份有限公司∴该不等式组的整数解是 ；
（2） ，
解不等式①，得： ，
解不等式②，得： ，
∴不等式组解集是 ，
∴满足该不等式组的最大整数是1和最小整数是 ．
7．
【答案】解集： ，整数和：9
【分析】本题考查了解一元一次不等式组，有理数的加法，熟练掌握该知识点是解题的关键．
分别解不等式 、 ，求出一元一次不等式组的解集，从而得到一元一次不等式组的整数解，相加即可．
【详解】解：
解不等式 ， ，
；
解不等式 ， ，
；
此不等式组的解集为 ，
整数解为： ，0，1，2，3，4，
整数解的和： ．
题型四 解特殊不等式组
1． 【答案】
2． 【答案】
3． 【答案】
4． 【答案】 /
5．
【答案】(1)
(2)另两边长为 和 或 和
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学科网（北京）股份有限公司【分析】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系定理，解题的关键是利用分类讨论的思想方法．
（1）根据三角形的三边关系列不等式组，解答即可；
（2）本题没有明确说明已知的边长是否是腰长，所以分两种情况讨论．
【详解】（1）解： 等腰三角形的周长为 ，腰长为 ，
等腰三角形的底边为 ，
根据三角形的三边关系可得， ，
解得 ，
x的取值范围为 ；
（2）若腰长为 ，则底边长为 ，
三角形的另两边长为 和 ；
若底边长为 ，则腰长为 ，
三角形的另两边长为 和 ，
综上所述，另两边长为 和 或 和 ．
题型五 列一元一次不等式组
1． 【答案】C
2． 【答案】A
3． 【答案】B
4． 【答案】C
5． 【答案】C
6． 【答案】
7．
【答案】(1)
(2) 且 且 ．
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学科网（北京）股份有限公司【分析】本题考查了列不等式，正确找出不等量关系是解题关键．
（1）先求出所需乙种原料的质量为 ，再根据要求含有4200单位以上的维生素 列出不等式即可
得；
（2）先求出所需乙种原料的质量为 ，再根据含有4200单位以上的维生素 ，购买甲、乙两种原
料的总费用低于72元，列出不等式即可得．
【详解】（1）解：∵现配制这种饮料 ，所需甲种原料的质量为 ，
∴所需乙种原料的质量为 ，
∵要求含有4200单位以上的维生素 ，
∴ ．
（2）解：∵现配制这种饮料 ，所需甲种原料的质量为 ，
∴所需乙种原料的质量为 ，
∵要求含有4200单位以上的维生素 ，购买甲、乙两种原料的总费用低于72元，
∴ 且 且 ．
题型一 由一元一次不等式组的解集求参数
1． 【答案】C
2． 【答案】B
3． 【答案】
4． 【答案】1
5． 【答案】
6． 【答案】
7． 【答案】8
8． 【答案】19
9． 【答案】
10． 【答案】
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学科网（北京）股份有限公司11．
【答案】4
【分析】本题考查了解一元一次不等式组的应用，解分式方程，掌握不等式组和分式方程的解法是解题关
键．先通过解不等式组和分式方程确定a的取值范围，再求得符合条件的a的值，最后求得此题的结果．
【详解】解：由题意得 ，
解①得： ，
解②得： ，
∴该不等式组的解集为 ，
∵该不等式组至少有2个整数解，
∴ 4，
∴解得 ，
解分式方程 得， ，
∵分式方程有非负整数解，
∴ 且 ，
∴ 且 ，
∴a的取值范围为 且 ，
∵ 为整数，
∴ 为奇数，
∴a可取整数为1，3，
∴ 或 ，
∴所有满足条件的整数a的值之和是 ．
题型二 不等式组和方程组结合问题
1． 【答案】C
2． 【答案】
3．
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学科网（北京）股份有限公司【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，解一元一次不等式，不等式组，掌握平面内点的坐标的特征，
各象限内点的坐标的符号特点是解题的关键．
（1）求出关于 ， 的二元一次方程组的解，再令 ， 确定 的取值范围即可；
（2）将（1）中求出的方程组的解代入不等式，即可求出 的取值范围．
【详解】（1）解：解方程组 ，得
∵点 在第一象限，
∴
解得 ．
（2）解：由（1）可知方程组的解为 ，
代入 ，得 ，
解得 ．
4．
【答案】(1) ；
(2) ．
【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解法、一元一次不等式组的解法以及绝对值的化简，熟练掌握
方程组的解法和绝对值的性质是解题的关键．
（1）先通过解方程组求出 、 关于 的表达式，再根据解都是正数列出不等式组，求解不等式组得到
的取值范围．
（2）根据（1）中 的取值范围，判断绝对值内式子的正负，再根据绝对值的性质化简式子．
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学科网（北京）股份有限公司【详解】（1）解： ，
得 ，
，
把 代入 得 ，
解得 ，
∵ 方程组的解都是正数，即 ，
∴ ，
解 得， ，
解 得 ，
∴ 的取值范围是 ；
（2）解：∵ ，
∴ ， ，
∴ ．
5．
【答案】
【分析】本题考查了解二元一次方程组，解一元一次不等式．
得到 ，求出 ，进而代入①求出 ，将 ， 代
入 求解即可．
【详解】解： 得： ，
解得： ，
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学科网（北京）股份有限公司将 代入①得： ，
根据题意得： ，
解得： ．
6．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查了方程组与不等式组相结合的问题，不等式的性质，求不等式组的整数解，熟知相
关知识是解题的关键．
（1）利用加减消元法求出方程组的解，再根据方程组的解的情况建立不等式组求解即可；
（2）根据不等式的性质可得 ，求出该不等式的解集，结合（1）所求得到m的取值范围即可得到
答案．
【详解】（1）解：
得 ，解得 ，
把 代入①得 ，解得 ，
∴原方程组的解为 ；
∵方程组 的解满足 为非正数， 为负数，
∴ ，
∴ ；
（2）解：∵ ，
∴ ，
∵不等式 的解为 ，
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学科网（北京）股份有限公司∴不等式 的两边同时除以 时，不等号的方向发生了改变，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
又∵m为整数，
∴ ．
7．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查了解二元一次方程组和一元一次不等式组，熟练掌握解二元一次方程组的一般方法，
是解题的关键．
（1）将m看作已知数，x、y看作未知数解方程组，得出 ，然后将 代入得出方程组的解即
可；
（2）根据方程组的解为 且该方程组的解满足 、 均为正数，列出不等式组，解不等式组即可．
【详解】（1）解：由方程组 得： ，
把 代入 得： ；
（2）解：∵方程组 的解为 ，
又 、 均为正数，
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学科网（北京）股份有限公司，
解不等式组得： ．
题型三 不等式组的行程问题
1． 【答案】D
2． 【答案】D
3． 【答案】
4．
【答案】(1)图中点 的实际意义是：当慢车行驶 时，快车追上慢车
(2)慢车每小时行驶 ，快车每小时行驶 ，泰州与上海的距离为
(3)两车均在行驶过程中能通话的时间为 小时
【分析】本题考查了一次函数图象的应用，追及问题的运用，不等式组的解法，根据图象信息，运用函数
图象解决实际问题，看懂图象是关键．
（1）根据点 得出两车距离为 可知，两车相遇；
（2）由图象可以知道慢车行驶 小时时，快车到达终点，与慢车相距 ，就可以根据题意列出方程
组从而可以求出慢车快车的速度及全程．
（3）当慢车在前时和快车在前时求出通话时间范围就可以求出通话时间．
【详解】（1）解：图中点 的实际意义是：当慢车行驶 时，快车追上慢车；
（2）解：设慢车每小时行驶 ，快车每小时行驶 ，由题意和图意得
，
解得： ，
则全程为： ．
答：慢车每小时行驶 ，快车每小时行驶 ，泰州与上海的距离为 ．
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学科网（北京）股份有限公司（3）解：设快车行驶 小时后，两车之间的距离不超过 ，由题意得，
，
解得： ．
小时．
答：两车均在行驶过程中能通话的时间为 小时．
5．
【答案】(1)①M，N；②
(2)① ，② 或
【分析】 ①根据题意，分别得到 ， ， ，，根据甲乙两车的速度，
即可得到两车行驶的距离，即可得到结果；
②根据甲车在 段和 段的速度不同，得到甲车的行驶时间，结合乙车比甲车晚出发 ，得到乙
车所用时间；
①两车在P处相遇 与N重合 ，分别求出甲乙所用的时间，从而得到乙车的速度；
②分类讨论相遇点在 上，分别表示甲乙所行驶的路程，根据总路程为 ，得到等式，表示出
速度，同时结合限速的要求，得到结果．
本题考查了一元一次方程的应用，一元一次不等式组的应用，以及路程、速度、时间之间的关系的应用，
正确理解题意是解题的关键．
【详解】（1）解：① 依题意， ， ， ，
，
甲车从A地出发，始终以 的速度行驶，
甲车2小时共行驶了 ，
甲车出发2小时，行至M处，
乙车从B地出发，比甲车晚出发 小时，以 的速度行驶，
乙车共行驶了 ，
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学科网（北京）股份有限公司乙车行至N处，
故答案为：M，N；
②甲车行至 的中点时，所用时间为： ，
此时乙车行驶所用时间： ，
故答案为： ；
（2）①两车在P处相遇，P与N重合，
甲车所用时间为 ，
此时乙车所用时间为 ，
乙车的速度为 ；
②P在非施工道路上 不与M，N重合 ，
若P在 上，设甲的行驶时间为t，则 ，
此时甲行驶路程为 ，乙行驶的路程为 ，
，
，
，
解得 ，
限速为 ，
，
若P在 上，设甲的行驶时间为t， ，
则 ，
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学科网（北京）股份有限公司此时甲行驶路程为 ，乙行驶的路程为 ，
，
，
，
解得 ，
限速为 ，
，
综上所述 或 ．
6．
【答案】(1)
(2) 小时
(3)时间范围是
【分析】本题考查一次函数的应用、一次函数的图象、一次函数的行程问、一元一次不等式组的应用题等
知识点，掌握时间、速度和路程之间的关系及一元一次不等式组的解法是解题的关键．
（1）根据图象以及速度与路程、时间得关系计算即可；
（2）分别写出线段 和 对应的函数关系式，当二人相遇时离乙地的距离相等，据此列关于x的方程
并求解即可；
（3）设小李a小时的时候出发，写出小张距乙地的距离y与时间x的关系式，求出它的图象与 交点的
横坐标，令二者交点的横坐标位于点D和E的横坐标之间，从而求出a的取值范围即可．
【详解】（1）解：小李到达甲地后，小张再经过 （小时）到达乙地，
小张骑自行车的速度是 （千米/时）．
故答案为：1，15．
（2）解：设线段 的解析式为 ，则
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学科网（北京）股份有限公司，解得： ，
所以线段 的解析式为 ，
设线段 的解析式为 ，则 ，解得： ，
所以线段 的解析式为 ，
当小张与小李相遇时，得 ，解得 ．
答：小张出发 小时与小李相遇．
（3）解：设小李a小时的时候出发，则小张距乙地的距离y与时间x的关系式为 ，
当 时，解得 ，
若小李想在小张修休息期间与他相遇，则 ，解得： ，
所以小李出发的时间范围是 ．
题型四 不等式组的工程问题
1．
【答案】(1)改造一所中学需资金80万元，改造一所小学需资金55万元
(2)要改造的小学有12所
(3)四种改造方案∶方案一∶改造2所中学，8所小学；方案二∶改造3所中学，7所小学；方案三∶改造4
所中学，6所小学；方案四∶改造5所中学，5所小学
【分析】（1）设改造一所中学需资金x万元，改造一所小学需资金y万元，根据改造一所中学和一所小学
共需资金135万元；改造两所中学和一所小学共需资金215万元，列出方程组进行求解即可；
（2）设要改造的小学有m所，根据要改造的乡镇中学不超过8所，列出不等式进行求解即可；
（3）设改造中学a所，则改造小学 所，由今年市财政拨付的改造资金不超过550万元；区财政投
入的改造资金不少于110万元，列出不等式组进行求解即可．
【详解】（1）设改造一所中学需资金x万元，改造一所小学需资金y万元，根据题意，得 ，
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学科网（北京）股份有限公司解得 ，
答∶改造一所中学需资金80万元，改造一所小学需资金55万元．
（2）设要改造的小学有m所，根据题意，得 ，
解得 ．
∵m为正整数，且在 范围内，使 为整数的 值只有 ，
∴ ．
答∶要改造的小学有12所．
（3）设改造中学a所，则改造小学 所，根据题意，
得 ，解得 ．
∵a取整数，
∴a的值为2，3，4，5．
∴ 对应的值分别为8，7，6，5，
∴有以下四种改造方案∶
方案一∶改造2所中学，8所小学；
方案二∶改造3所中学，7所小学；
方案三∶改造4所中学，6所小学；
方案四∶改造5所中学，5所小学．
【点睛】本题考查二元一次方程组，一元一次不等式和一元一次不等式组的实际应用，正确的列出方程组
和不等式组是解题的关键．
2．
【答案】(1)乙队需要16个月完成
(2)方案一：甲队作6个月，乙队作4个月；方案二：甲队作7个月，乙队作4个月．方案一最省钱，费用
为126万元．
【分析】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式组的应用，正确列出方程和不等式组是解答本题的
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学科网（北京）股份有限公司关键．
（1）设完成本项工程的工作总量为1，由题意可知 ，从而得出x=15． 即单独完成这项工程需
要15个月．
（2）根据工程总费用不超过141万元，工程必须在一年内竣工列出方程组，得出a的取值范围，确定工程
方案，再求出费用即可．
【详解】（1）设乙队需要x个月完成，根据题意得： ，
解得 ，
经检验 是原方程的根
答：乙队需要16个月完成；
（2）根据题意得： ，
解得
方案一：甲队作6个月，乙队作4个月， 万元；
方案二：甲队作7个月，乙队作4个月， 万元；
所以方案一最省钱，费用为126万元．
3．
【答案】(1)120天
(2)当 ，具体施工方案甲、乙两队先合做80天，剩余的由乙队单独施工20天；当 ，
具体施工方案甲、乙两队先合做84天，剿余的由乙队单独施工11天；当 ，具体施工方案甲、
乙两队先合做88天，剩余的由乙队单独施工2天．
【分析】本题主要考查了分式方程的应用以及不等式组的应用；
（1）设这项工程的规定工期是t天，根据甲、乙两队先合做64天，剩余的由乙队单独完成，恰好如期完
成，再建立分式方程求解即可；
（2）由（1）求解甲队工作效率 ，乙队工作效率 ，设缩短后总工期t天，可
得 ，再进一步求解即可．
【详解】（1）解：设这项工程的规定工期是t天，
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学科网（北京）股份有限公司根据题意得： ，
解得： ，经检验， 是所列方程的解，且符合题意，
答：这项工程的规定工期是120天；
（2）解：由（1）得甲队工作效率 ，乙队工作效率 ，
设缩短后总工期t天，
根据题意得： ，
解得： ，
∵ ， 均为正整数且由实际可知 ，
∴ ，
得
故当 ，具体施工方案甲、乙两队先合做80天，剩余的由乙队单独施工20天；
当 ，具体施工方案甲、乙两队先合做84天，剿余的由乙队单独施工11天；
当 ，具体施工方案甲、乙两队先合做88天，剩余的由乙队单独施工2天．
4．
【答案】(1)甲、乙两工程队每天能完成绿化的面积分别是100 、50
(2)
(3)安排甲队施工10天，乙队施工16天时，施工总费用最低为10万元
【分析】（1）设乙工程队每天能完成绿化的面积是 ，根据在独立完成面积为 区域的绿化时，甲
队比乙队少用4天，列方程求解；
（2）根据题意得到 ，整理得： ，再根据甲、乙两队施工的总天数不超过26
天求出自变量取值范围即可解答．
（3）由（2）可得 ，设施工总费用为 元，得出 与x的关系式，根据一次函数的性质，即可
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学科网（北京）股份有限公司解答．
【详解】（1）设乙工程队每天能完成绿化的面积是 ，
根据题意．得： ，
解得： ，
经检验， 是原方程的解，
则甲工程队每天能完成绿化的面积是 ，
答：甲、乙两工程队每天能完成绿化的面积分别是 、 ；
（2）根据题意，得： ，
整理得： ，
∵甲、乙两队施工的总天数不超过26天，
∴ ，即
解得
∴y与x的函数解析式为： ．
（3）设施工总费用为w万元，根据题意得：
∵ ，
∴w随x减小而减小，
∵
∴当 时，w有最小值，最小值为 ，
此时 ．
答：安排甲队施工10天，乙队施工16天时，施工总费用最低为10万元．
【点睛】本题考查了分式方程和一元一次不等式的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出
合适的等量关系和不等关系，列方程和不等式求解．
题型五 不等式组的经济问题
1．
【答案】(1) ，其中
(2)48，49，50
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学科网（北京）股份有限公司(3)当 时，W最低，最低总运费为50600元
【分析】本题考查了一次函数的应用，根据题意正确求出函数解析式是解题的关键，掌握一次函数的性质
是解题的关键；
（1）根据题意求出总费用即可求出 关于 的函数关系式，再根据粮食的质量是非负数列关于x的不等式
组，即可求出自变量x的范围．
（2）根据题意列不等式组，再求出整数解即可．
（3）根据一次函数的性质可知， 时，W取得最小值，求出W的最小值即可．
【详解】（1）解：已知A地运送到甲中心粮食为x吨，A地可运出粮食80吨，则A地运往乙中心的粮食
为 吨．
甲地需要粮食90吨，A地运往甲中心x吨，所以B地运往甲中心的粮食为 吨．
乙地需要粮食50吨，A地运往乙中心 吨， 所以B地运往乙中心的粮食为 吨．
根据题意，得： ，
根据题意，得： ，
解得 ．
W关于x的函数关系式为 ；
（2）解：根据题意，得 ，
解得 ．
x为整数，
x的值为48，49，50．
符合条件的x值为48，49，50；
（3）解：由（1）可知 ，
，
W随x的增大而增大．
，
当 时，W取得最小值．
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学科网（北京）股份有限公司此时 (元) ，
当 时，总运费W最低，最低总运费是50600元．
2．
【答案】(1)甲商品的单价是60元，乙商品的单价是80元
(2)有三种购买方案
(3)
【分析】（1）设乙商品单价为 元，根据题意得到等量关系列出分式方程，求解即可，
（2）设乙商品 件，根据题意得到不等量关系，列出不等式组，求解即可，
（3）根据题目所有进货方案获利都相同，即所得的值与 无关，从而判断 的系数为0，则可以得出 的
取值．
本题主要考查了分式方程的应用，一元一次不等式组的应用，找准等量关系和不等量关系是解此题的关键．
【详解】（1）解：乙商品的单价为 元，则甲商品的单价为 元，
根据题意得，
解得 ，
经检验 是方程的解，
则
答：甲商品的单价是60元，乙商品的单价是80元．
（2）解：购买乙商品 件，则甲商品 件，
根据题意得，
解得 ，
为正整数，
或 或 ，
则方案一购买乙商品48件，则甲商品102件，
方案二购买乙商品49件，则甲商品101件，
方案三购买乙商品50件，则甲商品100件．
故商品共有三种购买方案．
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学科网（北京）股份有限公司（3）解：设商品总获利为 元，
所有进货方案获利都相同，
的取值与 无关，
则 的系数为0，
．
即答案为： ．
3．
【答案】(1)付款总额y和x之间的函数关系式为 ，自变量x的取值范围为
(2)该商场将足球和篮球全部售出，能获得的最大利润是2600元
(3)
【分析】本题考查了解不等式组的应用，一次函数的最大利润，销售问题，正确掌握相关性质内容是解题
的关键．
（1）先理解题意，再设购进x（x为整数）个篮球，则 个足球，根据篮球和足球的进价分别为80
元／个、50元／个，整理得 ，又因为篮球的数量不少于足球的2倍，付款总额不过4500元，
进行列出不等式组，再解得 ，即可作答．
（2）设商场将足球和篮球全部售出获得利润为w元，结合篮球和足球的进价分别为80元／个、50元／个，
售价分别为120元／个、100元／个．现购进x（x为整数）个篮球，以及 进行列式，再结合
一次函数的性质进行分析，即可作答．
（3）与 （2）同理得 ，再进行分类讨论，且结合一次函数的性质进行分析，即
可作答．
【详解】（1）解：设购进x（x为整数）个篮球，则 个足球，
根据题意得： ，
篮球的数量不少于足球的2倍，付款总额不过4500元，
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学科网（北京）股份有限公司，
解得 ，
付款总额y和x之间的函数关系式为 ，
自变量x的取值范围为 ；
（2）解：设商场将足球和篮球全部售出获得利润为w元，
根据题意得： ，
， ，
当 时，w有最大值，最大值为 ，
该商场将足球和篮球全部售出，能获得的最大利润是2600元；
（3）解：根据题意得：
，
当 ，即 时， 随着 的增大而增大，
∵ ，
当 时，w最大，
即 ，
解得 ；
当 ，即 时， 随着 的增大而减小，
当 时，w最大，
即 ，
解得 （不成立，故舍去），
．
4．
【答案】 件
【分析】本题考查一元一次不等式的实际应用，掌握相关知识是解决问题的关键．设购进乙种智能家电 x
件，则甲种智能家电为 件，丙种智能家电为 件，根据件数关系和总金额限制建立不等式解出
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学科网（北京）股份有限公司解集后，取 的最小整数解即可．
【详解】解：设购进乙种智能家电 x 件，则甲种智能家电为 件，丙种智能家电为 件，由题
意得：
；
∵
∴ ，
∴ ，
∵ 取最小整数解，
故 ．
答：该商场购进的乙种智能家电至少为 件．
5．
【答案】(1)
(2)最大利润为4500元
(3)b的值为4
【分析】本题考查一次函数的应用，一元一次不等式组的应用，一次函数的性质，根据题意建立函数关系
式是求解本题的关键．
（1）由总利润等于两种服装的利润之和可得函数关系式．
（2）先求解自变量x的取值范围，再根据一次函数增减性求最值．
（3）先建立总利润关于x的函数关系式，再结合一次函数的性质，建立关于b的方程求值即可．
【详解】（1）解： ，
即y与x之间的函数关系式为 ．
（2）解：由题意，得
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学科网（北京）股份有限公司解得 ．
∵在 中， ，
∴y随x的增大而增大，
∴当 时，y有最大值，最大值为 （元），
∴最大利润为4500元．
（3）解：
．
又∵ ，
∴ ，
∴ ．
∵ ，此时y随x的增大而增大，
∴当 时， ．
∵最大利润为4000元，
∴ ，
解得 ，符合题意，
∴b的值为4．
6．
【答案】(1) ；
(2) ；
(3) ．
【分析】本题考查了一次函数的应用，待定系数法求解析式，不等式组的应用，掌握知识点的应用是解题
的关键．
（ ）设 与 之间的函数关系式为 ，然后利用待定系数法即可求解；
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学科网（北京）股份有限公司（ ）根据题意，得 ，然后结合 ，则得 的取值范围为 ；
（ ）设获得的利润为 元，则 ，当 的最大值为 时，得 ，
然后根据一次函数性质即可求解．
【详解】（1）解：当 时，设 与 之间的函数关系式为 ，
将 ， 代入，
得 ，
解得 ，
∴当 时， 与 之间的函数关系式为 ；
（2）解：根据题意，得 ，
解得 ，
又∵ ，
∴ 的取值范围为 ；
（3）解：设获得的利润为 元，则 ，
当 的最大值为 时，得 ，
∵ ，
∴ ，即 ，
∴ 随 的减小而增大，
当 时， 值最大， ，
解得 ，
∴ 的值为 ．
题型六 不等式组的分配问题
1．
【答案】8或9
【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，找准数量关系，正确列出一元一次不等式组是解题的关键．
两次分配的粽子数量是相等的，因此可设有 人包粽子，则表示出粽子总量为 个，第二次分配时最
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学科网（北京）股份有限公司后一个人的粽子数量为 个．根据最后一名学生能分到的粽子不少于 个但少于 个列出
不等式组，求正整数解即可．
【详解】解：设参加端午节包粽子活动的学生有 人．
由题意，得 ，
解得 ．
∵ 为正整数，
∴ 可取 或 ，
答：参加端午节包粽子活动的学生的人数为 或 ．
2．
【答案】(1) （ ，且x为整数）
(2)至少应安排15名工人去制造乙种零件
【分析】本题考查了一次函数的应用、一元一次不等式（组）的应用，正确建立函数关系式是解题关键．
（1）先求出有 名工人制造乙种零件，再根据利润计算公式即可得；
（2）根据 建立不等式，解不等式，从而求出 ，由此即可得．
【详解】（1）解：车间每天安排 名工人制造甲种零件，则有 名工人制造乙种零件，
则此车间每天所获利润 ，
∵ ，
∴ ，
所以此车间每天所获利润 元与 名工人之间的函数表达式为 （ ，且x为整
数）．
（2）解：由题意得： ，即 ，
解得 ，
则 ，
答：至少应安排15名工人去制造乙种零件．
31 / 48
学科网（北京）股份有限公司3．
【答案】(1)该小区新建1个地上充电桩需要0.3万元，1个地下充电桩需要0.4万元
(2)共有4种建造方案，方案1：新建20个地上充电桩，40个地下充电桩；方案2：新建21个地上充电桩，
39个地下充电桩；方案3：新建22个地上充电桩，38个地下充电桩；方案4：新建23个地上充电桩，37
个地下充电桩；
(3)
【分析】（1）设该小区新建1个地上充电桩需要x万元，1个地下充电桩需要y万元，根据“新建1个地
上充电桩和2个地下充电桩需要1.1万元；新建2个地上充电桩和1个地下充电桩需要1万元”，可列出关
于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设新建m个地上充电桩，则新建 个地下充电桩，根据“该小区计划用不超过22万元的资金
新建60个充电桩，且地下充电桩的数量不少于37个”，可列出关于m的一元一次不等式组，解之可得出
m的取值范围，再结合m为正整数，即可得出各建造方案；
（3）分别求出选择各方案时新建充电桩的总占地面积，结合“在（2）的条件下，若仅有一种方案可供选
择”，即可确定a的取值范围．
【详解】（1）解：设该小区新建1个地上充电桩需要x万元，1个地下充电桩需要y万元，根据题意得：
，
解得： ；
答：该小区新建1个地上充电桩需要0.3万元，1个地下充电桩需要0.4万元；
（2）解：设新建m个地上充电桩，则新建 个地下充电桩，根据题意得：
，
解得： ，
又∵m为正整数，
∴m可以为20，21，22，23，
∴共有4种建造方案，
方案1：新建20个地上充电桩，40个地下充电桩；
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学科网（北京）股份有限公司方案2：新建21个地上充电桩，39个地下充电桩；
方案3：新建22个地上充电桩，38个地下充电桩；
方案4：新建23个地上充电桩，37个地下充电桩；
（3）解：选择方案1时新建充电桩的总占地面积为 ；
选择方案2时新建充电桩的总占地面积为 ；
选择方案3时新建充电桩的总占地面积为 ；
选择方案4时新建充电桩的总占地面积为 ．
∵在（2）的条件下，若仅有一种方案可供选择，
∴ ．
【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找
准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组；
（3）根据各数量之间的关系，求出选择各方案时新建充电桩的总占地面积．
4．
【答案】(1)甲种30元/本，乙种50元/本
(2)该班共有6种购买方案．分别为方案一：购买甲种图书10本，乙种图书10本；
方案二：购买甲种图书11本，乙种图书9本；
方案三：购买甲种图书12本，乙种图书8本；
方案四：购买甲种图书13本，乙种图书7本；
方案五：购买甲种图书14本，乙种图书6本；
方案六：购买甲种图书15本，乙种图书5本．
【分析】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式组的应用．
（1）设甲种图书的单价为 元/本，则乙种图书的单价为 元/本，根据题意列分式方程求解即可；
（2）设该班计划购进甲种图书 本，则计划购进乙种图书 本，根据题意列出不等式组，求出a的
取值范围，进而即可找出方案.
【详解】（1）解：设甲种图书的单价为 元/本，则乙种图书的单价为 元/本．
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学科网（北京）股份有限公司根据题意，得 ，解得 ，
经检验， 是原分式方程的解，且符合题意，
．
答：甲种图书的单价为30元/本，乙种图书的单价为50元/本．
（2）解：设该班计划购进甲种图书 本，则计划购进乙种图书 本．
根据题意，得
解得 ．
∵a为正整数，
∴a的值为10，11，12，13，14，15，
∴该班共有6种购买方案．
分别为方案一：购买甲种图书10本，乙种图书10本；
方案二：购买甲种图书11本，乙种图书9本；
方案三：购买甲种图书12本，乙种图书8本；
方案四：购买甲种图书13本，乙种图书7本；
方案五：购买甲种图书14本，乙种图书6本；
方案六：购买甲种图书15本，乙种图书5本．
5．
【答案】小朋友的人数与玩具数分别为5人、 件或6人、 件．
【分析】本题主要考查了一元一次不等式组的应用，解本题的关键在于找出小朋友人数和玩具数之间的关
系式．
设小朋友的人数为 人，玩具数为 ，则 ， ，且 ， 的是正整数，将
代入 求出 、 的值，当求出 的值后，求 的值即可．
【详解】解：设小朋友的人数为 人，玩具数为 ，由题意可得：
，
，即： ，
解得 ，由于 的是正整数，所以 的取值为5人或6人，
34 / 48
学科网（北京）股份有限公司当 时， 件；
当 时， 件；
所以小朋友的人数及玩具数分别为5人、 件或6人、 件．
6．
【答案】(1) ； ； ；
(2)
(3) ，从东区城运往南区0吨，运往北区250吨；从西区运往南区280吨，运往北区70吨，
此时总运费最少，最少的运输费用是 元．
【分析】此题考查了一次函数的应用、一元一次不等式组的应用，根据已知得出 城和 城运往各地的肥
料吨数是解题的关键．
（1）根据题意列表，列代数式即可得出结果；
（2）由运量不能为负数，建立不等式组，即可求解；
（3）根据题意得总费用 与 之间的函数关系式，再利用一次函数的增减性即可求解；
【详解】（1）解：设从东区往南区运 吨肥料，分析列表如下（单位：吨）：
东区 西区 合计
南区
北区
合计
∴从东区往北区运 吨肥料，从西区往南区运 吨肥料，从西区往北区运
吨肥料；
故答案为： ； ； ；
（2）解：根据题意得：
，
解得： ；
故答案为： ；
35 / 48
学科网（北京）股份有限公司（3）解：由题意可得：
整理得：
∵ ， 随 的增大而增大， ，
∴当 时， ，
∴从东区城运往南区0吨，运往北区250吨；从西区运往南区280吨，运往北区70吨，此时总运费最少，
最少的运输费用是 元．
7．
【答案】配制每千克饲料需要甲原料的重量范围为大于等于 千克，且小于等于 千克
【分析】本题主要考查了一元一次不等式组的实际应用，设配制每千克饲料需要甲原料x千克，则需要乙
原料 千克，根据配好的饲料每千克中含营养物质 不低于240克、不高于245克建立不等式组求解
即可．
【详解】解：设配制每千克饲料需要甲原料x千克，则需要乙原料 千克，
由题意得， ，
解得 ，
答：配制每千克饲料需要甲原料的重量范围为大于等于 千克，且小于等于 千克．
题型七 不等式组的方案选择问题
1．
【答案】(1)A型智能机器人的单价为70万元，B型智能机器人的单价为50万元．
(2)共有2种方案：A型5台、B型5台；A型6台、B型4台．
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用和一元一次不等式组的应用，根据题意正确列出方程组和不等
式组是解题的关键．
（1）设A型智能机器人的单价为 万元，B型智能机器人的单价为 万元，根据信息一中给出的两种购买
情况列方程组，解方程组即可得到答案；
（2）设购进A型 台，则B型为 台，根据总价不超过620万元和每天分拣快递不少于200万件列
出不等式组，解不等式组得到 的取值范围，再根据 为整数确定购买方案．
36 / 48
学科网（北京）股份有限公司【详解】（1）解：设A型智能机器人的单价为 万元，B型智能机器人的单价为 万元，
由题意得： ，
解方程组得： ，
答：A型智能机器人的单价为70万元，B型智能机器人的单价为50万元．
（2）解：设购进A型 台，则B型为 台，
由题意得： ，
解不等式组： ，
∴ ，又 为整数，
∴ 或6，
当 时， ，即A型5台，B型5台；
当 时， ，即A型6台，B型4台．
答：共有两种购买方案：方案一：A型5台，B型5台；方案二：A型6台，B型4台．
2．
【答案】(1)该小区新建1个地上充电桩需要0.2万元，1个地下充电桩需要0.3万元
(2)共有3种建造方案，见解析
【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：①找准等
量关系，正确列出二元一次方程组；②根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组．
（1）设该小区新建 个地上充电桩需要 万元， 个地下充电桩需要 万元，根据题意列出二元一次方程组
求解即可；
（2）设新建m个地上充电桩，则新建 个地下充电桩，根据题意列出不等式组求解即可．
【详解】（1）解：设该小区新建一个地上充电桩需 万元，一个地下充电桩需 万元，
根据题意得： ，
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学科网（北京）股份有限公司解得： ，
答：该小区新建一个地上充电桩需 万元，一个地下充电桩需 万元；
（2）解：设新建m个地上充电桩，则新建 个地下充电桩，
根据题意得： ，
解得： ，
又 m为正整数，
m可以为18，19，20，
共有3种建造方案，
方案1：新建18个地上充电桩，42个地下充电桩；
方案2：新建19个地上充电桩，41个地下充电桩；
方案3：新建20个地上充电桩，40个地下充电桩．
3．
【答案】(1)每个甲种商品的进价是8元，每个乙种商品的进价是10元
(2)该商场购进甲、乙两种商品有2种方案：①购进甲种商品67个，乙种商品24个；②购进甲种商品70个，
乙种商品25个．
【分析】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，
正确列出分式方程；（2）找出数量关系，正确列出一元一次不等式组．
（1）设每个乙种商品的进价是 元，则每个甲种商品的进价是 元，根据用80元购进甲商品的数量与
用100元购进乙商品的数量相同．列出分式方程，解方程即可；
（2）设购进乙种商品 个，则购进甲种商品 个，根据乙的数量不超过25个，销售两种商品的总利
润超过380元，列出一元一次不等式组，解不等式组，即可解决问题．
【详解】（1）解：设每个乙种商品的进价是 元，则每个甲种商品的进价是 元，
根据题意得： ，
解得： ，
经检验， 是原方程的解，且符合题意，
，
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学科网（北京）股份有限公司答：每个甲种商品的进价是8元，每个乙种商品的进价是10元．
（2）解：设购进乙种商品 个，则购进甲种商品 个，
根据题意得： ，
解得： ，
为正整数，
或25，
该商场购进甲、乙两种商品有2种方案：
①购进甲种商品67个，乙种商品24个；
②购进甲种商品70个，乙种商品25个．
4．
【答案】(1)平开窗每平方米单价为400元，推拉窗每平方米单价为480元；
(2)一共有两种可行的设计方案：方案一，平开窗面积为25平方米，则推拉窗面积为10平方米；方案二，
平开窗面积为26平方米，则推拉窗面积为9平方米．
【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，一元一次不等式组的实际应用，正确理解题意列出方程和
不等式组是解题的关键．
（1）设平开窗每平方米单价为x元，则推拉窗每平方米单价为 元，根据将10000元用于采购平开窗，
余下资金全部用于购买推拉窗，则所购平开窗的面积将比推拉窗面积多出15平方米建立方程求解即可；
（2）设平开窗面积为a平方米，则推拉窗面积为 平方米，根据用于推拉窗的资金不低于4000元且
总费用不超预算建立不等式组求解即可．
【详解】（1）解：设平开窗每平方米单价为x元，则推拉窗每平方米单价为 元，
由题意得， ，
解得 ，
经检验， 是原方程的解，且符合题意，
∴ ，
答：平开窗每平方米单价为400元，推拉窗每平方米单价为480元；
（2）解：设平开窗面积为a平方米，则推拉窗面积为 平方米，
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学科网（北京）股份有限公司由题意得， ，
解得 ，
∵a为整数，
∴a的值可以为25或26，
当 时， ，
当 时， ，
答：一共有两种可行的设计方案：方案一，平开窗面积为25平方米，则推拉窗面积为10平方米；方案二，
平开窗面积为26平方米，则推拉窗面积为9平方米．
5．
【答案】(1)第一次购进A礼盒20个，B礼盒80个
(2)该超市有8种进货方案
【分析】本题考查了一元一次方程的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量
关系，正确列出一元一次方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组．
（1）设该超市第一次购进x个A礼盒，则购进 个B礼盒，根据该超市第一次购进的A，B两种礼
盒全部售出后共获利4600元，可列出关于x的一元一次方程，解之可得出x的值（即该超市第一次购进A
礼盒的数量），再将其代入 中，即可求出该超市第一次购进B礼盒的数量；
（2）根据“第二次的总利润至少比第一次的总利润多2060元，且第二次购进礼盒总成本不超过12100
元”，可列出关于m的一元一次不等式组，解之可得出m的取值范围，再结合m为正整数，即可得出该超
市共有8种进货方案．
【详解】（1）解：设A种礼盒x个，则B种礼盒 个，由题意得：
解得 ，
则
答：第一次购进A礼盒20个，B礼盒80个；
（2）解：由题意得
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学科网（北京）股份有限公司解得 ，
∴该超市有8种进货方案．
6．
【答案】(1)每个篮球 元，每个足球 元
(2)三种方案：篮球20个、足球10个；篮球21个、足球9个；篮球22个、足球8个
【分析】本题考查了二元一次方程组和一元一次不等式组的实际应用，正确理解题意，建立方程组或不等
式组是解题的关键．
（1）设每个篮球的售价为 元，每个足球的售价为 元，根据“已知购买2个篮球和3个足球共需380元；
购买4个篮球和1个足球共需440元”建立二元一次方程组求解；
（2）设购买足球 个，则篮球为 个，根据总价款和两种球的数量关系列出关于 的一元一次不等式组，
求解不等式组的整数解，即可得出符合条件的购买方案．
【详解】（1）解：设每个篮球的售价为 元，每个足球的售价为 元，
由题意得， ，
解得 ，
答：每个篮球的售价为 元，每个足球的售价为 元
（2）解：设购买足球 个，则篮球 个，
由题意得， ，
解得， ，
∵ 为正整数，
∴ 取8或9或10，
∴有三种购买方案：
即篮球20个、足球10个；篮球21个、足球9个；篮球22个、足球8个．
7．
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学科网（北京）股份有限公司【答案】(1)甲品牌排球的单价是60元，乙品牌排球的单价是80元
(2)有4种购买方式：方案一：购买30个甲品牌排球，则购买20个乙品牌排球；方案二：购买31个甲品牌
排球，则购买19个乙品牌排球；方案三：购买32个甲品牌排球，则购买18个乙品牌排球；方案四：购买
33个甲品牌排球，则购买17个乙品牌排球；最少费用为2936元．
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：找准等量关系，
正确列出二元一次方程组；根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组．
（1）设甲品牌排球的单价是 元，乙品牌排球的单价是 元，根据题意可得出关于 ， 的二元一次方程
组，解之即可得出结论；
（2）设购买 个甲品牌排球，则购买 个乙品牌排球，根据题意可得出关于 的一元一次不等式组，
解之即可得出 的取值范围，结合 为正整数，可得出共有4种购买方案，再分别求出各方案所需总费用，
比较后即可得出结论．
【详解】（1）解：设甲品牌排球的单价是 元，乙品牌排球的单价是 元，
依题意得： ，解得 ．
答：甲品牌排球的单价是60元，乙品牌排球的单价是80元．
（2）设购买 个甲品牌排球，则购买 个乙品牌排球，
依题意得： ，解得 ．
为正整数，
，31，32，33．
∴共有4种购买方式：
方案一：购买30个甲品牌排球，则购买20个乙品牌排球；
方案二：购买31个甲品牌排球，则购买19个乙品牌排球；
方案三：购买32个甲品牌排球，则购买18个乙品牌排球；
方案四：购买33个甲品牌排球，则购买17个乙品牌排球．
方案一费用： （元）；
方案二费用： （元）；
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学科网（北京）股份有限公司方案三费用： （元）；
方案四费用： （元）；
∵ ，
∴最少费用为2936元．
题型八 不等式组的阶梯收费问题
1． 【答案】
2． 【答案】
3． 【答案】
题型九 不等式组的其他应用
1． 【答案】
2．
【答案】(1)A型相册每本零售价60元，B型相册每本零售价50元
(2)该社团共有3种购买方案，方案1：购买10本 型相册，5本 型相册；方案2：购买11本 型相册，4
本 型相册；方案3：购买12本 型相册，3本 型相册，方案1所需费用最少，为850元
【分析】该题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等
量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组．
（1）设这家商场 型相册每本的零售价是 元， 型相册每本的零售价是 元，根据“购买30本 型相
册和10本 型相册，共需支付2240元；购买20本 型相册和40本 型相册，共需支付3100元”，可列
出关于 的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设购买 本 型相册，则购买 本 型相册，根据“购买 型相册数量大于或等于 型相册数
量的2倍，且总费用不超过870元”，可列出关于 的一元一次不等式组，解之可得出 的取值范围，结
合 为正整数，可得出各购买方案，再求出各方案所需费用，比较后，即可得出结论．
【详解】（1）解：设这家商场 型相册每本的零售价是 元，B型相册每本的零售价是 元，
根据题意得： ，
解得： ．
答：这家商场 型相册每本的零售价是60元， 型相册每本的零售价是50元；
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学科网（北京）股份有限公司（2）解：设购买 本 型相册，则购买 本 型相册，
根据题意得： ，
解得： ，
又∵m为正整数，
∴m可以为10，11，12，
∴该社团共有3种购买方案，
方案1：购买10本 型相册，5本 型相册；
方案2：购买11本 型相册，4本 型相册；
方案3：购买12本 型相册，3本 型相册．
选择购买方案1所需费用为 （元）；
选择购买方案2所需费用为 （元）；
选择购买方案3所需费用为 （元），
，
∴方案1所需费用最少．
答：该社团共有3种购买方案，方案1：购买10本 型相册，5本 型相册；方案2：购买11本 型相册，
4本 型相册；方案3：购买12本 型相册，3本 型相册，方案1所需费用最少，为850元．
3．
【答案】(1) ；
(2)甲果园运往 仓库的水蜜桃为 时，能使两果园的运费之和最小，最小是83000元
【分析】（1）由运费=数量×单价就可以得出 、 与 之间的函数关系式；
（2）根据甲果园今年预计拿出不超过 元的费用作为运费，乙果园今年预计拿出不超过 元的费
用作为运费，求出 的范围，设两地运费之和为 元，表示出 与 的关系式，由一次函数性质可得答案．
【详解】（1）解：由从甲果园运往 仓库的水蜜桃为 可得，
从甲果园运往 仓库的水蜜桃为 ，
从乙果园运往 仓库的水蜜桃为 ，
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学科网（北京）股份有限公司从乙果园运往 仓库的水蜜桃为 ．
根据题意，得 ，
．
（2）解：由题意，得 解得 ．
设两果园的运费之和为 元．
由题意，得 ．
， 随 的增大而减小，
当 时， 取得最小值，最小值为83000，
甲果园运往 仓库的水蜜桃为 时，能使两果园的运费之和最小，最小是83000元．
【点睛】本题考查一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出函数关系式．
4．
【答案】(1)
(2)① ；②当购进甲种图书 本，乙种图书 本图书时，总费用最少，最少费用为 元．
【分析】本题考查一次函数的实际应用．
（1）根据函数图象利用待定系数法求解当 时对应的函数解析式．
（2）设总费用为 元，求出 关于 的关系式，再利用一次函数的性质求出最少的费用即可．
【详解】（1）解： 当 时，设 与 之间的函数关系式是 ，
，解得 ，
即当 时， 与 之间的函数关系式是 ，
与 之间的函数关系式是： ．
（2）解：①当 时，设 与 之间的函数关系式是 ，
，
解得， ，
即当 时， 与 之间的函数关系式是 ，
当 时， 元
故答案为： ；
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学科网（北京）股份有限公司②设总费用为 元，设购买x本甲种图书，则购买 本乙种图书，
两种图书均不少于 本，
则 ，
，
，
， 随 的增大而减小，
当 时， 最少为 ，
应购买甲种图书300本，乙种图书100本，才能使总费用最少，最少是8500元．
题型一 一元一次不等式组的综合应用
1． 【答案】9或7
2． 【答案】 5 8183
3．
【答案】a的取值范围为全体实数．
【分析】先分析不等式①的解集，需要考虑a的不同取值（如 、 、 ）对解集的影响，再分
析不等式②的解集，同样需考虑a的不同取值对解集的影响，最后确定两个解集有解时的公共部分，即找
到a的取值范围．
【详解】解：∵ 有解，
∴将①因式分解得： ，
将②因式分解得： ，
∴此时 有三种情况：
①当 时， ，解得： ，
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学科网（北京）股份有限公司②当 时，不等式 的根为 和 ，
由于 ，则有 ，因此解集为 ，
③当 时，不等式 的根为 和 ，
由于 ，则有 ：
（i）若 ，即 ，解集为 或 ，
（ii）若 ，即 ，此时 ，解得： ，
∴解集为 或 ，
（iii）若 ，即 ，解集为 或 ．
同理，此时 有三种情况：
①当 时，此时 ，即 ，解得： ，
∴解集为 或 ，
②当 时，不等式 的根为 和 ，
由于 ，解集为： 或 ，
③当 时，不等式 的根为 和 ，
由于 ，解集为： 或 ，
结合两个不等式，当 时，不等式①的解集为： ，不等式②的解集为： 或 ，公共解集为
或 ；
当 时，不等式①解集为： ，不等式②的解集为： 或 ，
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学科网（北京）股份有限公司若 ，不等式组解集为： ，
若 ，不等式组解集为： 或 ，
若 ，不等式组解集为： ，
∴对于 ，不等式组有解集，
当 时，不等式①的解集分三种情况：
若 ，解集为 或 ，
若 ，解集为 或 ，
若 ，解集为 或 ，
而不等式②的解集分两种情况：
若 ，解集为 或 ，
若 ，解集为 或 ，
此时 时，不等式组有解集，
综上所述，a的取值范围为全体实数．
【点睛】本题考查解含参数的一元一次不等式组的取值范围，此题需进行分类讨论，难度较大．
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