专题13数列的通项与数列的求和（讲）解析版_02高考数学_新高考复习资料_2023年新高考资料_二轮复习_备战2023年高考数学二轮复习核心考点精讲精练（新教材·新高考）287235765

第一篇 热点、难点突破篇 专题13 数列的通项与数列的求和（讲） 真题体验 感悟高考 1．（2022·浙江·统考高考真题）已知数列 满足 ，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先通过递推关系式确定 除去 ，其他项都在 范围内，再利用递推公式变形得到 ，累加可求出 ，得出 ，再利用 ，累加可求出 ，再次放缩可得出 ． 【详解】∵ ，易得 ，依次类推可得 由题意， ，即 ， ∴ ， 即 ， ， ，…， ， 累加可得 ，即 ， ∴ ，即 ， ,又 ， ∴ ， ， ，…， ， 累加可得 ， ∴ ， 即 ，∴ ，即 ； 综上： ． 故选：B． 2．（2022·全国·统考高考真题）嫦娥二号卫星在完成探月任务后，继续进行深空探测，成为我国第一颗环绕 太阳飞行的人造行星，为研究嫦娥二号绕日周期与地球绕日周期的比值，用到数列 ： ， ， ，…，依此类推，其中 ．则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据 ，再利用数列 与 的关系判断 中各项的大小，即可求解. 【详解】[方法一]:常规解法 因为 ，所以 ， ，得到 ， 同理 ，可得 ， 又因为 ， 故 ， ； 以此类推，可得 ， ，故A错误； ，故B错误； ，得 ，故C错误； ，得 ，故D正确. [方法二]：特值法 不妨设 则 故D正确. 3．（2022·全国·统考高考真题）记 为数列 的前n项和，已知 是公差为 的等差数列． (1)求 的通项公式； (2)证明： ．【答案】(1) (2)见解析 【分析】（1）利用等差数列的通项公式求得 ，得到 ，利用和与项的关系 得到当 时， ,进而得： ，利用累乘法求得 ，检 验对于 也成立，得到 的通项公式 ； （2）由（1）的结论，利用裂项求和法得到 ，进而证得. 【详解】（1）∵ ，∴ ,∴ , 又∵ 是公差为 的等差数列， ∴ ,∴ , ∴当 时， ， ∴ , 整理得： , 即 , ∴， 显然对于 也成立， ∴ 的通项公式 ； （2） ∴ 总结规律 预测考向 （一）规律与预测 1. 等差(等比)数列的定义、通项公式及求和公式是高考的基础考点与高频考点.以小题居多，属于容易题. 2. 数列求和方法中的公式法、错位相减法、裂项相消法及分组求和法是高考的高频考点，以小题或解答题形 式出现，难易程度有些起伏，从趋势看，与不等式等相结合，其难度有所增大，总体属于中档题.涉及数列的 通项、递推与不等式相结合的客观题有所增加. （二）本专题考向展示 考点突破 典例分析 考向一 分组转化法求和 【核心知识】 1．等差数列的求和公式： ； 2．等比数列的求和公式： 【典例分析】典例1.（2023秋·黑龙江牡丹江·高三牡丹江市第三高级中学校考阶段练习）已知各项均不相等的等差数列 的前4项和为10，且 是等比数列 的前3项． (1)求 ； (2)设 ，求 的前n项和 ． 【答案】(1) ， (2) 【分析】（1）利用等差数列的通项公式与等比中项公式求得基本量 ，从而利用公式法依次求得 ； （2）结合（1）中结论，利用分组求和法与裂项相消法即可得解. 【详解】（1）设等差数列 的公差为 ，前 项和为 ，则 ， 因为 ，则 ，即 ， 又因为 成等比数列，所以 ，即 ，整理得 ， 又因为 ，所以 ， 联立 ，解得 ， 所以 ， 又 ， ， 是等比数列， 所以 ，则 . （2）由（1）得 ，所以 ， 所以数列 的前n项和 . 典例2.（2022秋·北京·高三统考阶段练习）已知数列 满足 ， . (1)若 ， ， ①求 ， ， ； ②求数列 的通项公式； (2)若 ， ，求数列 的通项公式. 【答案】(1)① ；② (2) 【分析】（1）由已知条件取n的值代入计算可得 ，然后利用递推关系，验证 ，即为数列 的通项公式； （2）由（1）可证数列 是 为首项， 为公比的等比数列，进而求得 ，利用累 加法可求数列 的通项公式. 【详解】（1）①已知 ， 若 ， ，则 ， ，而 ， ， ， ，即 ； ②由 ，得 ， 即 ， 所以 ， 因为 ， 所以 ，即 ； （2）由（1）知 ， 若 ， ，则 ， ∴ ， 因此数列 是 为首项， 为公比的等比数列， 所以 ，即 ， 当 时， ，又当 时， 也满足上式， 所以 . 典例3. （2022秋·辽宁丹东·高三校联考阶段练习）已知数列 的前n项和为 ，且满足 ， ， (1)求数列 的通项公式； (2)若数列 ，求数列 的前2n项和 ． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用 进行类比作差法即可求解；（2）分组求和，等比数列求和以及等差数列求和 方法即可得解. 【详解】（1）∵ ，∴ ， 当 时， ， ∴ ，即 ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， 又当 时， ， ，∴ ，又 ，适合上式，则数列 的通项公式为 ； （2）由题意可得， 则 ， ∴ ． 【规律方法】 分组转化法求和的常见类型 (1)若a＝b±c，且{b}，{c}为等差或等比数列，可采用分组转化法求{a}的前n项和． n n n n n n (2)通项公式为a＝的数列，其中数列{b}，{c}是等比数列或等差数列，可采用分组转化法求和． n n n 考向二 裂项相消法求和 【核心知识】 裂项相消法是指把数列和式中的各项分别裂开后，某些项可以相互抵消从而求和的方法，主要适用于或(其中 {a}为等差数列)等形式的数列求和． n 【典例分析】 典例4.（2023秋·湖北十堰·高三统考阶段练习）设等差数列 的前 项和为 ，且 ， . (1)求 的通项公式； (2)若 ，求数列 的前 项和 . 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由等差数列的通项公式以及等差数列的前n项和公式展开可求得结果； （2）由裂项相消求和可得结果. 【详解】（1）设数列 的公差为 ，由题意可得 解得 ， 则 （2）由（1）可知 ， 则 典例5. （2023秋·云南·高三云南师大附中校考阶段练习）已知公差不为0的等差数列 的前 项和为 ， 、 、 成等差数列，且 、 、 成等比数列． (1)求 的通项公式； (2)若 ，数列 的前 项和为 ，证明： ． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）公式法列方程组解决即可；（2）运用裂项相消解决即可. 【详解】（1）由题知， 设 的公差为 ，由题意得 ， 即 ，解得 ， 所以 ，所以 的通项公式为 . （2）证明：由（1）得 ， 所以 ， 所以 ． 典例6. （2022秋·江西南昌·高三校联考阶段练习）已知数列 的各项均为正数， 是其前 项的和.若 ，且 （ ）. (1)求数列 的通项公式； (2)设 ，求数列 的前 项和 . 【答案】(1) (2) （或 ） 【分析】（1）利用 与 的关系进行求解； （2）使用裂项相消法进行求和. 【详解】（1）∵ ，∴ ， ① 时， ，即 ，解得 或 ， ∵ ，∴ ； ② 时，由 ，有 ，两式相减得 ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∵数列 的各项均为正数，∴ ， ∴ ，即 ∴综上所述， 是首项 ，公差 的等差数列， ∴ ， ∴数列 的通项公式为 . （2）由（1）知 ，∴ ， ∴ ， ∴ ∴数列 的前 项和 .注：结果也可以为 . 【总结提升】 利用裂项相消法求和的注意事项 1．抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项，也有可能前面剩两项，后面也剩两项； 2．将通项裂项后，有时需要调整前面的系数，使裂开的两项之差和系数之积与原通项相等．如：若{a}是等 n 差数列，则＝，＝. 3.裂项相消法就是把数列的每一项分解，使得相加后项与项之间能够相互抵消，但在抵消的过程中，有的是依 次项抵消，有的是间隔项抵消．常见的裂项方式有： 1 11 1  1 1 1       nnk k n nk  k 1 nn1 n n1 （1） ，特别地当 时， ； 1 1  1  nk  n  n1 n nk  n k k 1 n1 n （2） ，特别地当 时， ； 2n2 1 1 1  a  1    n 2n12n1 22n1 2n1 （3） 1 1 1 1  a      n nn1n2 2  nn1 n1n2   （4） 1 1 1 1  (  ) (p  q) pq q p p q （5） 考向三 错位相减法求和 【核心知识】 错位相减法是在推导等比数列的前n项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{a·b}的前n项和，其 n n 中{a}，{b}分别是等差数列和等比数列． n n 【典例分析】 典例7.（2022·天津·统考高考真题）设 是等差数列， 是等比数列，且 ． (1)求 与 的通项公式； (2)设 的前n项和为 ，求证： ；(3)求 ． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）利用等差等比数列的通项公式进行基本量运算即可得解； （2）由等比数列的性质及通项与前n项和的关系结合分析法即可得证； （3）先求得 ，进而由并项求和可得 ，再结合错位相 减法可得解. 【详解】（1）设 公差为d， 公比为 ，则 ， 由 可得 （ 舍去）， 所以 ； （2）证明：因为 所以要证 ， 即证 ，即证 ， 即证 ， 而 显然成立，所以 ； （3）因为 ， 所以， 设 所以 ， 则 ， 作差得 ， 所以 ， 所以 . 典例8.（2022·浙江杭州·模拟预测）已知数列 满足 ，记 ，在 中每相邻 两项之间都插入3个数，使它们和原数列的数一起构成一个新的正项等比数列 ，若数列 中的第 项是 数列 中的第 项. (1)求数列 及 的通项公式. (2)求数列 的前 项和 . 【答案】(1) ， (2) 【分析】（1）根据题意结合等比数列的定义即可得到数列 的通项公式，从而得到数列 的通项公式； （2）由（1）中的结论表示出 ，再结合错位相减法计算即可得到结果. 【详解】（1）因为 ，所以 ，因为 ， 所以 ，所以 是首项为1，公比为2的等比数列， 所以 .所以 .由题意知 .所以 ，即 ， 又 ，则 . 所以 .又 ，则 ，则 . （2） ，① ，② ①-②得 ， . 所以 . 典例9.（2022秋·河北张家口·高三统考期末）已知 为数列 的前 项和, ． (1)证明:数列 为等比数列; (2)求数列 的前 项和 ． 【答案】(1)证明见解析(2) 【分析】(1)先求出 ,根据 ,写出 , ,两式相减即可得 ,要证 数列 为等比数列,只需证明 为一个常数,将 代入即可; (2)由(1)得出数列 的通项公式,若求 前 项和,需要进行分组求和,先利用错位相减求出 的前 项和,再求等差数列的前 项和,即可得 . 【详解】（1）证明:由题知 , , 解得: 故 , 由 , 可得 , , 两式相减可得: , , 所以 , , 所以 , , 所以数列 是以6为首项,2为公比的等比数列; （2）由(1)得数列 是以6为首项,2为公比的等比数列, 所以 ,故 , 则 , 设 ,其前n项和为 , 则 ①, ②, ①-②可得: , 所以 , 所以 , 综上: . 【规律方法】 1．求解此类题需掌握三个技巧：一是巧分拆，即把数列的通项转化为等差数列、等比数列的通项的积，并求 出等比数列的公比；二是构差式，求出前n项和的表达式，然后乘以等比数列的公比，两式作差；三是得结论， 即根据差式的特征进行准确求和． 2．运用错位相减法求和时应注意三点：一是判断模型，即判断数列{a}，{b}一个为等差数列，一个为等比数 n n 列；二是错开位置；三是相减时一定要注意最后一项的符号. 3．用错位相减法求和时，应注意： (1)等比数列的公比为负数的情形； (2)在写出“S”和“qS”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”，以便准确写出“S－qS”的表达式． n n n n(3)在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解． 考向四 数列的综合问题 【核心知识】 数列与函数、不等式的综合问题是高考命题的一个方向，此类问题突破的关键在于通过函数关系寻找数列的递 推关系，通过放缩进行等式的证明． 【典例分析】 典例10.（2022秋·江苏南通·高三期末）已知数列 成等比数列， 是其前 项的和，若 成等差数列. (1)证明： 成等差数列； (2)比较 与 的大小； (3)若 ， 为大于1的奇数，证明： 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)证明见解析 【分析】（1）根据等差中项得 ， 即可； （2）作差法比较即可； （3）利用等比数列求和公式可得 ，然后进行求和即可得到答案 【详解】（1）由题知， ， 所以 ， 所以 ，所以公比 ， 所以 ， 所以 ， 所以 成等差数列.得证 （2）由（1）得 ， 因为 ， 所以 ， 所以 . （3）由（1）和题意得， ， 所以 ， 所以 .得证 典例11.（2021·浙江·统考高考真题）已知数列 的前n项和为 ， ，且 . （1）求数列 的通项；（2）设数列 满足 ，记 的前n项和为 ，若 对任意 恒成立，求 实数 的取值范围. 【答案】（1） ；（2） . 【分析】（1）由 ，结合 与 的关系，分 讨论，得到数列 为等比数列，即可得 出结论； （2）由 结合 的结论，利用错位相减法求出 ， 对任意 恒成立，分类讨论分 离参数 ，转化为 与关于 的函数的范围关系，即可求解. 【详解】（1）当 时， ， ， 当 时，由 ①， 得 ②，① ②得 ， 又 是首项为 ，公比为 的等比数列， ； （2）由 ，得 ， 所以 ， ，两式相减得 ， 所以 ， 由 得 恒成立， 即 恒成立， 时不等式恒成立； 时， ，得 ； 时， ，得 ； 所以 . 【点睛】易错点点睛：（1）已知 求 不要忽略 情况；（2）恒成立分离参数时，要注意变量的正负零 讨论，如（2）中 恒成立，要对 讨论，还要注意 时，分离参 数不等式要变号. 典例12.（2022·云南昆明·昆明一中校考模拟预测）已知函数 ，其中 (1)当 时，求 ； (2)设 ，记数列 的前n项和为 ，求使得 恒成立的m的最小整数. 【答案】(1) (2)2 【分析】（1）依据题给条件，利用等差数列前n项和公式即可求得 ； （2）先利用裂项相消法求得数列 的前n项和 ，再依据题给条件列出关于m的不等式，解之即可求得m 的最小整数 【详解】（1）由 ，可得 则当 时， （2）由（1）可得，当 时， 则当 时， ， 则当 时，数列 的前n项和 又当 时， ， ， 由 恒成立，可得 ，解之得 则当 时，使得 恒成立的m的最小整数为2 当 时， 成立，综上，使得 恒成立的m的最小整数为2 典例13.（2022秋·天津南开·高三南开中学校考阶段练习）已知公差不为零的等差数列 ， 为等比数列， 且满足 ， ， ， ， ， 成等比数列. (1)求数列 和 的通项公式； (2)设数列 的前 项和为 ，若不等式 恒成立，求实数 的取值范围. 【答案】(1) ， (2) 【分析】（1）利用通项公式以及等比中项公式即可求解； （2）利用错位相减法求和，再利用导数讨论单调性求最值即可. 【详解】（1）设等差数列 的公差为 ，等比数列 的公比为 . ， ， ， ①， ②， ， ， 成等比数列， ， ③， 由①②③解得： ， ， ， . （2）由（1）知：所以： ， 即： ①， 所以： ②， 由① ②得： ， 化简得： ， 由 ，即 ， 所以 . 令 ，则 ， 由 解得： ， 所以， 时， ， 单调递增， 时， ， 单调递减， 又 ， ， . 所以，若不等式 恒成立，实数 的取值范围为： . 典例14. （2022秋·天津和平·高三耀华中学校考阶段练习）已知数列 是公差为2的等差数列，其前8项的 和为64．数列 是公比大于0的等比数列， ， ． (1)求数列 和 的通项公式； (2)记 ， ，求数列 的前 项和 ； (3)设 ，记 ，证明：当 时， ． 【答案】(1) ； (2) (3)证明见解析 【分析】（1）根据等差、等比数列的通项公式、前 项和公式进行计算可求出结果； （2）根据 进行并项求和可求出结果； （3）转化为证明 ，根据 进行裂项求和可证明不等 式成立. 【详解】（1）因为 是公差为2的等差数列，且 ， 所以 ，解得 ， 所以 ； 设等比数列 的公比为 ， 因为 ， ，所以 ，即 ，解得 （舍去）或 ， 所以 ． （2）由（1）得 ， 则 ， ． （3）由（1）可知： ．又 ， ， 所以要证明原不等式成立，只需证明： 成立． 当 时，左边=1，右边=1，左边=右边． 当 时，因为 ， 因为 ， 所以 ， 因为， 所以 ， 因为 ，所以 ， 所以 ， 即 ． 所以当 时，有 ， 所以 即 ， 所以 ， 于是，当 时， 成立． 综上所述：当 时， ． 【点睛】关键点点睛：通过放缩得到 ，并利用它进行裂项求和是解题关键. 【总结提升】 1.数列与不等式的综合应用是高考命题的一个重要方向.此类问题的常见类型及求解策略: （1）依据数列的单 调性解答数列中的最值问题.求解策略:一是根据数列的结构特征构建对应的函数，利用函数的性质、导数等判断函数的单调性，从而得到数列的单调性；二是通过对数列相邻项的比较( 作差、作商) 得到数列的单调性. （2）利用“放缩法”证明数列型不等式.求解策略:一是在求和过程中将通项“放缩”为“可求和的数列”； 二是求和后再 “放缩”. 2.易错提醒： (1)公式a＝S－S 适用于所有数列，但易忽略n≥2这个前提． n n n－1 (2)数列和不等式的综合问题，要注意条件n∈N*，求最值要注意等号成立的条件，放缩不等式要适度． 考向五 数列中的奇、偶项问题 【核心知识】 数列中的奇、偶项问题是对一个数列分成两个新数列进行单独研究，利用新数列的特征(等差、等比数列或其 他特征)求解原数列． 【典例分析】 典例15.（2021·全国·统考高考真题）已知数列 满足 ， （1）记 ，写出 ， ，并求数列 的通项公式； （2）求 的前20项和. 【答案】（1） ；（2） . 【分析】(1)方法一：由题意结合递推关系式确定数列 的特征，然后求和其通项公式即可； (2)方法二：分组求和，结合等差数列前 项和公式即可求得数列的前20项和. 【详解】解：（1）[方法一]【最优解】： 显然 为偶数，则 ， 所以 ，即 ，且 ， 所以 是以2为首项，3为公差的等差数列， 于是 ． [方法二]：奇偶分类讨论 由题意知 ，所以 ．由 （ 为奇数）及 （ 为偶数）可知， 数列从第一项起， 若 为奇数，则其后一项减去该项的差为1， 若 为偶数，则其后一项减去该项的差为2． 所以 ，则 ． [方法三]：累加法 由题意知数列 满足 ． 所以 ， ， 则 ． 所以 ，数列 的通项公式 ． （2）[方法一]：奇偶分类讨论 ． [方法二]：分组求和 由题意知数列 满足 ， 所以 ． 所以数列 的奇数项是以1为首项，3为公差的等差数列； 同理，由 知数列 的偶数项是以2为首项，3为公差的等差数列． 从而数列 的前20项和为：． 【整体点评】(1)方法一：由题意讨论 的性质为最一般的思路和最优的解法； 方法二：利用递推关系式分类讨论奇偶两种情况，然后利用递推关系式确定数列的性质； b  方法三：写出数列 的通项公式，然后累加求数列 n 的通项公式，是一种更加灵活的思路. n (2)方法一：由通项公式分奇偶的情况求解前 项和是一种常规的方法； 方法二：分组求和是常见的数列求和的一种方法，结合等差数列前n项和公式和分组的方法进行求和是一种不 错的选择. 典例16.（2022秋·广东东莞·高三统考期末）已知数列 的前n项和为 ，且对于任意的 都有 ． (1)求数列 的通项公式； (2)记数列 的前n项中的最大值为 ，最小值为 ，令 ，求数列 的前20项和 ． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据 可得 是以公比为 的等比数列，进而可求解， （2）根据数列 的通项性质可对 分奇偶，进而可得 ， ，分组求和即可求解. 【详解】（1）对于任意的 都有 , 当 时， ，两式相减得 ，即 ， 进而得 ， 当 时， ，故 ，所以数列 是以首项为1，公比为 的等比数列， 所以 （2）当 为奇数时， ，且 ，当 为偶数时， ，且 ， 因此当 为大于1的奇数时， 的前n项中的最大值为 ，最小值为 ，此时 ， 因此当 为偶数时， 的前n项中的最大值为 ，最小值为 ，此时 ， 当 时， ， 因此 的前20项和 典例17.（2022秋·天津静海·高三静海一中校考阶段练习）已知数列 为等差数列，数列 为等比数列， 且 ， ， ， . (1)求 ， 的通项公式. (2)已知 ，求数列 的前2n项和 .(3)求证： . 【答案】(1) , . (2) ； (3)证明见解析. 【分析】（1）由等差等比的通项公式即可求解； （2）分 是奇数和 是偶数，分别利用错位相减法和裂项相消法求和即可； （3）根据 ，裂项求和即可证明. 【详解】（1）设等差数列 的公差为 ，等比数列 的公比为 , 由 得 ①， 将①代入 ，得 ， 即 ② 将①代入 ，得 ③， 将②代入③，得 ，又 ， 所以 解得： ，所以 ， 所以 ， ，故 ， 所以 .（2）当 是奇数时， ， 当 是偶数时， ， 则 ① ② ①-②得： 即 化简得： . 所以 . （3） ， 当 时， ， 因为 ，所以 ； 当 时， 也成立.故 . 【点睛】方法点睛：本题的核心是考查错位相减求和.一般地，如果数列 是等差数列， 是等比数列， 求数列 的前n项和时，可采用错位相减法求和，一般是和式两边同乘以等比数列 的公比，然后作 差求解． 【规律方法】 1．数列中的奇、偶项问题的常见题型 ①数列中连续两项和或积的问题(a＋a ＝f(n)或a·a ＝f(n))； n n＋1 n n＋1 ②含有(－1)n的类型； ③含有{a }，{a }的类型； 2n 2n－1 ④已知条件明确的奇偶项问题． 2．对于通项公式分奇、偶不同的数列{a}求S 时，我们可以分别求出奇数项的和与偶数项的和，也可以把 n n 看作一项，求出S ，再求S ＝S －a . 2k 2k－1 2k 2k 考向六 数列中的创新与数学文化问题 【核心知识】 数学文化问题是近年来高考命题的亮点，此类问题把数学史、数学美、数学语言、数学思维及数学方法结合起 来，可有效考查学生在新情境中对数学文化的鉴赏、对数学知识的理解、对数学方法的迁移，因此备受命题者 青睐.在我国浩瀚的传统文化中，有丰富的与数列有关的数学文化背景知识，故也成为近年高考命题的热点. 【典例分析】 典例18. （2020·全国·统考高考真题）北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层，上层中心有 一块圆形石板(称为天心石)，环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块，下一层的第 一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块，已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则 三层共有扇面形石板(不含天心石)（ ）A．3699块 B．3474块 C．3402块 D．3339块 【答案】C 【分析】第n环天石心块数为 ，第一层共有n环，则 是以9为首项，9为公差的等差数列， 设 为 的前n项和，由题意可得 ，解方程即可得到n，进一步得到 . 【详解】设第n环天石心块数为 ，第一层共有n环， 则 是以9为首项，9为公差的等差数列， ， 设 为 的前n项和，则第一层、第二层、第三层的块数分 别为 ，因为下层比中层多729块， 所以 ， 即 即 ，解得 ， 所以 . 故选：C 典例19. （2022秋·安徽·高三合肥一六八中学校联考阶段练习）我国古代数学著作《九章算术》中有如下问题： “今有人持金出五关，前关二税一；次关三而税一，次关四而税一，次关五而税一，次关六而税一，并五关所 税，适重一斤.问本持金几何？”其意思为“今有人持金出五关，第1关收税金为持金的 ，第2关收税金为剩 余金的 ，第3关收税金为剩余金的 ，第4关收税金为剩余金的 ，第5关收税金为剩余金的 ，5关所收 税金之和恰好重1斤.问原来持金多少？”.记这个人原来持金为 斤，设 ，则 （ ） A．0 B．1 C．-1 D．2【答案】C 【分析】设这个人原来持金为 斤，分别计算每关收税金，让5关所收税金之和为1斤，列出方程，求出 的 值. 【详解】由题意知：这个人原来持金为 斤， 第1关收税金为： 斤； 第2关收税金为 斤； 第3关收税金为 斤， 以此类推可得的，第4关收税金为 斤，第5关收税金为 斤， 所以 ， 即 ，解得 ， 又由 ，所以 ． 故选：C． 【规律方法】 对于数学文化中所涉及的数列模型，解题时应认真审题，从问题背景中提取相关信息并分析归纳，然后构造恰 当的数列模型，再利用数列的有关知识进行解答，最后对实际问题作出解释，必要时要进行检验.