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2022年内蒙古包头市中考数学试卷
一、选择题：本大题共有12小题，每小题3分，共36分。每小题只有一个正确选项，请将答题
卡上对应题目的答案标号涂黑。
1．（3分）（2022•包头）若24×22＝2m，则m的值为（ ）
A．8 B．6 C．5 D．2
2．（3分）（2022•包头）若a，b互为相反数，c的倒数是4，则3a+3b﹣4c的值为（ ）
A．﹣8 B．﹣5 C．﹣1 D．16
3．（3分）（2022•包头）若m＞n，则下列不等式中正确的是（ ）
A．m﹣2＜n﹣2 B．﹣ m＞﹣ n C．n﹣m＞0 D．1﹣2m＜1﹣2n
4．（3分）（2022•包头）几个大小相同，且棱长为1的小正方体所搭成几何体的俯视图如图所
示，图中小正方形中的数字表示在该位置小正方体的个数，则这个几何体的左视图的面积
为（ ）
A．3 B．4 C．6 D．9
5．（3分）（2022•包头）2022年2月20日北京冬奥会大幕落下，中国队在冰上、雪上项目中，
共斩获9金4银2铜，创造中国队冬奥会历史最好成绩．某校为普及冬奥知识，开展了校
内冬奥知识竞赛活动，并评出一等奖3人．现欲从小明等3名一等奖获得者中任选2名参
加全市冬奥知识竞赛，则小明被选到的概率为（ ）
A． B． C． D．
6．（3分）（2022•包头）若x ，x 是方程x2﹣2x﹣3＝0的两个实数根，则x •x 2的值为（ ）
1 2 1 2
A．3或﹣9 B．﹣3或9 C．3或﹣6 D．﹣3或6
7．（3分）（2022•包头）如图，AB，CD是 O的两条直径，E是劣弧 的中点，连接BC，DE．
若∠ABC＝22°，则∠CDE的度数为（⊙ ）
第1页（共33页）A．22° B．32° C．34° D．44°
8．（3分）（2022•包头）在一次函数y＝﹣5ax+b（a≠0）中，y的值随x值的增大而增大，且ab
＞0，则点A（a，b）在（ ）
A．第四象限 B．第三象限 C．第二象限 D．第一象限
9．（3分）（2022•包头）如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，A，B，C，D四个点均在格
点上，AC与BD相交于点E，连接AB，CD，则△ABE与△CDE的周长比为（ ）
A．1：4 B．4：1 C．1：2 D．2：1
10．（3分）（2022•包头）已知实数a，b满足b﹣a＝1，则代数式a2+2b﹣6a+7的最小值等于（
）
A．5 B．4 C．3 D．2
11．（3分）（2022•包头）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝2，将△ABC绕点
C顺时针旋转得到△A'B'C，其中点A'与点A是对应点，点B'与点B是对应点．若点B'恰好
落在AB边上，则点A到直线A'C的距离等于（ ）
A．3 B．2 C．3 D．2
12．（3分）（2022•包头）如图，在矩形ABCD中，AD＞AB，点E，F分别在AD，BC边上，
EF∥AB，AE＝AB，AF与BE相交于点O，连接OC．若BF＝2CF，则OC与EF之间的数量
关系正确的是（ ）
第2页（共33页）A．2OC＝ EF B． OC＝2EF C．2OC＝ EF D．OC＝EF
二、填空题：本大题共有7小题，每小题3分，共21分。请将答案填在答题卡上对应的横线上。
13．（3分）（2022•包头）若代数式 + 在实数范围内有意义，则x的取值范围是
．
14．（3分）（2022•包头）计算： + ＝ ．
15．（3分）（2022•包头）某校欲招聘一名教师，对甲、乙两名候选人进行了三项素质测试，各
项测试成绩满分均为100分，根据最终成绩择优录用，他们的各项测试成绩如下表所示：
候选人 通识知识 专业知识 实践能力
甲 80 90 85
乙 80 85 90
根据实际需要，学校将通识知识、专业知识和实践能力三项测试得分按2：5：3的比例确定
每人的最终成绩，此时被录用的是 ．（填“甲”或“乙”）
16．（3分）（2022•包头）如图，已知 O的半径为2，AB是 O的弦．若AB＝2 ，则劣弧
的长为 ． ⊙ ⊙
17．（3分）（2022•包头）若一个多项式加上3xy+2y2﹣8，结果得2xy+3y2﹣5，则这个多项式为
．
18．（3分）（2022•包头）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝3，D为AB边上一点，
且BD＝BC，连接CD，以点D为圆心，DC的长为半径作弧，交BC于点E（异于点C），连
接DE，则BE的长为 ．
第3页（共33页）19．（3分）（2022•包头）如图，反比例函数y＝ （k＞0）在第一象限的图象上有A（1，6），B
（3，b）两点，直线AB 与x轴相交于点C，D是线段OA上一点．若AD•BC＝AB•DO，连接
CD，记△ADC，△DOC的面积分别为S ，S ，则S ﹣S 的值为 ．
1 2 1 2
三、解答题：本大题共有6小题，共63分。请将必要的文字说明、计算过程或推理过程写在答
题卡的对应位置。
20．（8分）（2022•包头）2022年3月28日是第27个全国中小学生安全教育日．某校为调查
本校学生对安全知识的了解情况，从全校学生中随机抽取若干名学生进行测试，测试后发
现所有测试的学生成绩均不低于50分．将全部测试成绩x（单位：分）进行整理后分为五
组（50≤x＜60，60≤x＜70，70≤x＜80，80≤x＜90，90≤x≤100），并绘制成频数分布直方
图（如图）．
请根据所给信息，解答下列问题：
（1）在这次调查中，一共抽取了 名学生；
（2）若测试成绩达到80分及以上为优秀，请你估计全校960名学生对安全知识的了解情
况为优秀的学生人数；
（3）为了进一步做好学生安全教育工作，根据调查结果，请你为学校提一条合理化建议．
第4页（共33页）21．（8分）（2022•包头）如图，AB是底部B不可到达的一座建筑物，A为建筑物的最高点，测
角仪器的高DH＝CG＝1.5米．某数学兴趣小组为测量建筑物AB的高度，先在H处用测
角仪器测得建筑物顶端A处的仰角∠ADE为 ，再向前走5米到达G处，又测得建筑物顶
α
端A处的仰角∠ACE为45°，已知tan ＝ ，AB⊥BH，H，G，B三点在同一水平线上，求建
α
筑物AB的高度．
22．（10分）（2022•包头）由于精准扶贫的措施科学得当，贫困户小颖家今年种植的草莓喜获
丰收，采摘上市16天全部销售完．小颖对销售情况进行统计后发现，在该草莓上市第x天
（x 取整数）时，日销售量 y（单位：千克）与 x 之间的函数关系式为 y＝
，草莓价格m（单位：元/千克）与x之间的函数关系如图所示．
（1）求第14天小颖家草莓的日销售量；
（2）求当4≤x≤12时，草莓价格m与x之间的函数关系式；
第5页（共33页）（3）试比较第8天与第10天的销售金额哪天多？
23．（12分）（2022•包头）如图，AB为 O的切线，C为切点，D是 O上一点，过点D作
DF⊥AB，垂足为F，DF交 O于点E，⊙连接EO并延长交 O于点⊙G，连接CG，OC，OD，
已知∠DOE＝2∠CGE． ⊙ ⊙
（1）若 O的半径为5，求CG的长；
（2）试⊙探究DE与EF之间的数量关系，写出并证明你的结论．（请用两种证法解答）
24．（12分）（2022•包头）如图，在 ABCD中，AC是一条对角线，且AB＝AC＝5，BC＝6，E，F
是AD边上两点，点F在点E的▱右侧，AE＝DF，连接CE，CE的延长线与BA的延长线相交
于点G．
（1）如图1，M是BC边上一点，连接AM，MF，MF与CE相交于点N．
①若AE＝ ，求AG的长；
②在满足①的条件下，若EN＝NC，求证：AM⊥BC；
（2）如图2，连接GF，H是GF上一点，连接EH．若∠EHG＝∠EFG+∠CEF，且HF＝
2GH，求EF的长．
第6页（共33页）25．（13分）（2022•包头）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+c（a≠0）与x轴交于A，
B两点，点B的坐标是（2，0），顶点C的坐标是（0，4），M是抛物线上一动点，且位于第一
象限，直线AM与y轴交于点G．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）如图1，N是抛物线上一点，且位于第二象限，连接OM，记△AOG，△MOG的面积分
别为S ，S ．当S ＝2S ，且直线CN∥AM时，求证：点N与点M关于y轴对称；
1 2 1 2
（3）如图2，直线BM与y轴交于点H，是否存在点M，使得2OH﹣OG＝7．若存在，求出点
M的坐标；若不存在，请说明理由．
第7页（共33页）2022年内蒙古包头市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共有12小题，每小题3分，共36分。每小题只有一个正确选项，请将答题
卡上对应题目的答案标号涂黑。
1．（3分）（2022•包头）若24×22＝2m，则m的值为（ ）
A．8 B．6 C．5 D．2
【分析】同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加．
【解答】解：∵24×22＝24+2＝26＝2m，
∴m＝6，
故选：B．
【点评】本题考查了同底数幂的乘法，掌握幂的运算法则是解答本题的关键．
2．（3分）（2022•包头）若a，b互为相反数，c的倒数是4，则3a+3b﹣4c的值为（ ）
A．﹣8 B．﹣5 C．﹣1 D．16
【分析】两数互为相反数，和为0；两数互为倒数，积为1，由此可解出此题．
【解答】解：∵a，b互为相反数，c的倒数是4，
∴a+b＝0，c＝ ，
∴3a+3b﹣4c
＝3（a+b）﹣4c
＝0﹣4×
＝﹣1．
故选：C．
【点评】本题考查的是相反数和倒数的概念，两数互为相反数，则它们的和为0；两数互为
倒数，它们的积为1．
3．（3分）（2022•包头）若m＞n，则下列不等式中正确的是（ ）
A．m﹣2＜n﹣2 B．﹣ m＞﹣ n C．n﹣m＞0 D．1﹣2m＜1﹣2n
【分析】A、不等式的两边同时减去2，不等号的方向不变；
第8页（共33页）B、不等式的两边同时乘以﹣ ，不等号的方向改变；
C、不等式的两边同时减去m，不等号的方向不变；
D、不等式的两边同时乘以﹣2，不等号的方向改变．
【解答】解：A、m﹣2＞n﹣2，∴不符合题意；
B、﹣ m n，∴不符合题意；
C、m﹣n＞0，∴不符合题意；
D、∵m＞n，
∴﹣2m＜﹣2n，
∴1﹣2m＜1﹣2n，∴符合题意；
故选：D．
【点评】本题主要考查了不等式的性质，掌握不等式的3个性质是解题关键．
4．（3分）（2022•包头）几个大小相同，且棱长为1的小正方体所搭成几何体的俯视图如图所
示，图中小正方形中的数字表示在该位置小正方体的个数，则这个几何体的左视图的面积
为（ ）
A．3 B．4 C．6 D．9
【分析】根据俯视图中正方体的个数画出左视图即可得出结论．
【解答】解：由俯视图可以得出几何体的左视图为：
则这个几何体的左视图的面积为4，
故选：B．
【点评】本题主要考查三视图的知识，根据俯视图作出左视图是解题的关键．
5．（3分）（2022•包头）2022年2月20日北京冬奥会大幕落下，中国队在冰上、雪上项目中，
共斩获9金4银2铜，创造中国队冬奥会历史最好成绩．某校为普及冬奥知识，开展了校
内冬奥知识竞赛活动，并评出一等奖3人．现欲从小明等3名一等奖获得者中任选2名参
第9页（共33页）加全市冬奥知识竞赛，则小明被选到的概率为（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据概率公式直接计算即可．
【解答】解：∵3名一等奖获得者中任选2名参加全市冬奥知识竞赛，
∴小明被选到的概率为 ，
故选：D．
【点评】本题主要考查概率的知识，熟练掌握概率公式是解题的关键．
6．（3分）（2022•包头）若x ，x 是方程x2﹣2x﹣3＝0的两个实数根，则x •x 2的值为（ ）
1 2 1 2
A．3或﹣9 B．﹣3或9 C．3或﹣6 D．﹣3或6
【分析】先用因式分解法解出方程，然后分情况讨论，然后计算．
【解答】解：x2﹣2x﹣3＝0，
（x﹣3）（x+1）＝0，
x＝3或x＝﹣1，
①x ＝3，x ＝﹣1时， ＝3，
1 2
②x ＝﹣1，x ＝3时， ＝﹣9，
1 2
故选：A．
【点评】本题主要考查了解一元二次方程﹣因式分解法，掌握因式分解法解出方程的步骤，
分情况讨论是解题关键．
7．（3分）（2022•包头）如图，AB，CD是 O的两条直径，E是劣弧 的中点，连接BC，DE．
若∠ABC＝22°，则∠CDE的度数为（⊙ ）
A．22° B．32° C．34° D．44°
【分析】连接OE，根据等腰三角形的性质求出∠OCB，根据三角形内角和定理求出
∠BOC，进而求出∠COE，再根据圆周角定理计算即可．
【解答】解：连接OE，
第10页（共33页）∵OC＝OB，∠ABC＝22°，
∴∠OCB＝∠ABC＝22°，
∴∠BOC＝180°﹣22°×2＝136°，
∵E是劣弧 的中点，
∴ ＝ ，
∴∠COE＝ ×136°＝68°，
由圆周角定理得：∠CDE＝ ∠COE＝ ×68°＝34°，
故选：C．
【点评】本题考查的是圆周角定理、三角形内角和定理、等腰三角形的性质，在同圆或等圆
中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
8．（3分）（2022•包头）在一次函数y＝﹣5ax+b（a≠0）中，y的值随x值的增大而增大，且ab
＞0，则点A（a，b）在（ ）
A．第四象限 B．第三象限 C．第二象限 D．第一象限
【分析】根据一次函数的增减性，确定自变量x的系数﹣5a的符号，再根据ab＞0，确定b
的符号，从而确定点A（a，b）所在的象限．
【解答】解：∵在一次函数y＝﹣5ax+b中，y随x的增大而增大，
∴﹣5a＞0，
∴a＜0．
∵ab＞0，
∴a，b同号，
∴b＜0．
∴点A（a，b）在第三象限．
故选：B．
【点评】本题考查了一次函数的性质，对于一次函数y＝kx+b，当k＞0时，y随x的增大而
增大；当k＜0时，y随x的增大而减小．
第11页（共33页）9．（3分）（2022•包头）如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，A，B，C，D四个点均在格
点上，AC与BD相交于点E，连接AB，CD，则△ABE与△CDE的周长比为（ ）
A．1：4 B．4：1 C．1：2 D．2：1
【分析】利用网格图，勾股定理求得AB，CD的长，利用直角三角形的边角关系定理得出
∠BAF＝∠HCD，进而得到∠BAC＝∠DCA，则AB∥CD，再利用相似三角形的判定与性
质解答即可．
【解答】解：如图所示，
由网格图可知：BF＝2，AF＝4，CH＝2，DH＝1，
∴AB＝ ＝2 ，
CD＝ ＝ ．
∵FA∥CG，
∴∠FAC＝∠ACG．
在Rt△ABF中，
tan∠BAF＝ ，
在Rt△CDH中，
tan∠HCD＝ ，
∴tan∠BAF＝tan∠HCD，
∴∠BAF＝∠HCD，
∵∠BAC＝∠BAF+∠CAF，∠ACD＝∠DCH+∠GCA，
∴∠BAC＝∠DCA，
∴AB∥CD，
第12页（共33页）∴△ABE∽△CDE，
∴△ABE与△CDE的周长比＝ ＝ ＝2．
故选：D．
【点评】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，直角三角形的边角关系定
理，平行线的判定与性质，充分利用网格图的特征是解题的关键．
10．（3分）（2022•包头）已知实数a，b满足b﹣a＝1，则代数式a2+2b﹣6a+7的最小值等于（
）
A．5 B．4 C．3 D．2
【分析】由题意得b＝a+1，代入代数式a2+2b﹣6a+7可得（a﹣2）2+5，故此题的最小值是
5．
【解答】解：∵b﹣a＝1，
∴b＝a+1，
∴a2+2b﹣6a+7
＝a2+2（a+1）﹣6a+7
＝a2+2a+2﹣6a+7
＝a2﹣4a+4+5
＝（a﹣2）2+5，
∴代数式a2+2b﹣6a+7的最小值等于5，
故选：A．
【点评】此题考查了代数式的变式与二次函数最值问题的解决能力，关键是能对以上知识
准确理解并正确变形、计算．
11．（3分）（2022•包头）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝2，将△ABC绕点
C顺时针旋转得到△A'B'C，其中点A'与点A是对应点，点B'与点B是对应点．若点B'恰好
落在AB边上，则点A到直线A'C的距离等于（ ）
A．3 B．2 C．3 D．2
第13页（共33页）【分析】由直角三角形的性质求出AC＝2 ，∠B＝60°，由旋转的性质得出CA＝CA′，
CB＝CB′，∠ACA′＝∠BCB′，证出△CBB′和△CAA′为等边三角形，过点A作
AD⊥A'C于点D，由等边三角形的性质及直角三角形的性质可得出答案．
【解答】解：连接AA′，如图，
∵∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，BC＝2，
∴AC＝ BC＝2 ，∠B＝60°，
∵将△ABC绕点C顺时针旋转得到△A'B'C，
∴CA＝CA′，CB＝CB′，∠ACA′＝∠BCB′，
∵CB＝CB′，∠B＝60°，
∴△CBB′为等边三角形，
∴∠BCB′＝60°，
∴∠ACA′＝60°，
∴△CAA′为等边三角形，
过点A作AD⊥A'C于点D，
∴CD＝ AC＝ ，
∴AD＝ CD＝ ＝3，
∴点A到直线A'C的距离为3，
故选：C．
【点评】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连
线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了直角三角形的性质及等边三角
形的判定与性质．
12．（3分）（2022•包头）如图，在矩形ABCD中，AD＞AB，点E，F分别在AD，BC边上，
EF∥AB，AE＝AB，AF与BE相交于点O，连接OC．若BF＝2CF，则OC与EF之间的数量
关系正确的是（ ）
第14页（共33页）A．2OC＝ EF B． OC＝2EF C．2OC＝ EF D．OC＝EF
【分析】过点O作OH⊥BC于H，得出四边形ABFE是正方形，再根据线段等量关系得出
CF＝EF＝2OH，根据勾股定理得出OC＝ OH，即可得出结论．
【解答】解：过点O作OH⊥BC于H，
∵在矩形ABCD中，EF∥AB，AE＝AB，
∴四边形ABFE是正方形，
∴OH＝ EF＝ BF＝BH＝HF，
∵BF＝2CF，
∴CF＝EF＝2OH，
∴OC＝ OH，
即2OC＝ EF，
故选：A．
【点评】本题主要考查矩形和正方形的性质，熟练掌握矩形和正方形的性质及勾股定理等
知识是解题的关键．
二、填空题：本大题共有7小题，每小题3分，共21分。请将答案填在答题卡上对应的横线上。
13．（3分）（2022•包头）若代数式 + 在实数范围内有意义，则x的取值范围是 x ≥
﹣ 1 且 x ≠ 0 ．
【分析】根据二次根式有意义的条件，分式有意义的条件是分母不等于零，列不等式组，解
出即可．
【解答】解：根据题意，得 ，
第15页（共33页）解得x≥﹣1且x≠0，
故答案为：x≥﹣1且x≠0．
【点评】本题主要考查了二次根式有意义的条件、分式有意义的条件，掌握这两个知识点
的应用，列出不等式组是解题关键．
14．（3分）（2022•包头）计算： + ＝ a ﹣ b ．
【分析】根据同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减，分子分解因式后，一定要约
分．
【解答】解：原式＝
＝
＝a﹣b，
故答案为：a﹣b．
【点评】本题考查了分式加减法，熟练运用同分母分式加减法法则是解题关键．
15．（3分）（2022•包头）某校欲招聘一名教师，对甲、乙两名候选人进行了三项素质测试，各
项测试成绩满分均为100分，根据最终成绩择优录用，他们的各项测试成绩如下表所示：
候选人 通识知识 专业知识 实践能力
甲 80 90 85
乙 80 85 90
根据实际需要，学校将通识知识、专业知识和实践能力三项测试得分按2：5：3的比例确定
每人的最终成绩，此时被录用的是 甲 ．（填“甲”或“乙”）
【分析】将两人的总成绩按比例求出测试成绩，比较得出结果．
【解答】解：甲的测试成绩为：（80×2+90×5+85×3）÷（2+5+3）＝86.5（分），
乙的测试成绩为：（80×2+85×5+90×3）÷（2+5+3）＝85.5（分），
∵86.5＞85.5，
∴甲将被录用．
故答案为：甲．
【点评】此题考查了平均数，熟记加权平均数公式是解答本题的关键．
16．（3分）（2022•包头）如图，已知 O的半径为2，AB是 O的弦．若AB＝2 ，则劣弧
的长为 ． ⊙ ⊙
π
第16页（共33页）【分析】根据勾股定理的逆定理和弧长的计算公式解答即可．
【解答】解：∵ O的半径为2，
∴AO＝BO＝2，⊙
∵AB＝2 ，
∴AO2+BO2＝22+22＝ ＝AB2，
∴△AOB是等腰直角三角形，
∴∠AOB＝90°，
∴ 的长＝ ＝ ．
π
故答案为： ．
【点评】本题π主要考查了勾股定理逆定理和弧长的计算，熟练掌握相关的定理和计算公式
是解答本题的关键．
17．（3分）（2022•包头）若一个多项式加上3xy+2y2﹣8，结果得2xy+3y2﹣5，则这个多项式为
y 2 ﹣ xy +3 ．
【分析】现根据题意列出算式，再去掉括号合并同类项即可．
【解答】解：由题意得，这个多项式为：
（2xy+3y2﹣5）﹣（3xy+2y2﹣8）
＝2xy+3y2﹣5﹣3xy﹣2y2+8
＝y2﹣xy+3．
故答案为：y2﹣xy+3．
【点评】本题考查整式的加减法，能根据题意列出算式是解答本题的关键．
18．（3分）（2022•包头）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝3，D为AB边上一点，
且BD＝BC，连接CD，以点D为圆心，DC的长为半径作弧，交BC于点E（异于点C），连
接DE，则BE的长为 3 ﹣ 3 ．
第17页（共33页）【分析】利用等腰直角三角形的性质，等腰三角形的性质，同圆的半径相等，三角形的内角
和定理和全等三角形的判定与性质解答即可．
【解答】解：∵∠ACB＝90°，AC＝BC＝3，
∴AB＝ AC＝3 ，∠A＝∠B＝45°，
∵BD＝BC＝3，AC＝BC，
∴BD＝AC，AD＝3 ﹣3．
∵DC＝DE，
∴∠DCE＝∠DEC．
∵BD＝BC，
∴∠DCE＝∠CDB，
∴∠CED＝∠CDB，
∵∠CDB＝∠CDE+∠EDB，∠CED＝∠B+∠EDB，
∴∠CDE＝∠B＝45°．
∴∠ADC+∠EDB＝180°﹣∠CDE＝135°．
∵∠ADC+∠ACD＝180°﹣∠A＝135°，
∴∠ACD＝∠EDB．
在△ADC和△BED中，
，
∴△ADC≌△BED（SAS）．
∴BE＝AD＝3 ﹣3．
故答案为：3 ﹣3．
【点评】本题主要考查了等腰直角三角形的性质，等腰三角形的性质，同圆的半径相等，三
角形的内角和定理和全等三角形的判定与性质，准确找出图中的全等三角形是解题的关
键．
第18页（共33页）19．（3分）（2022•包头）如图，反比例函数y＝ （k＞0）在第一象限的图象上有A（1，6），B
（3，b）两点，直线AB与x轴相交于点C，D是线段OA上一点．若AD•BC＝AB•DO，连接
CD，记△ADC，△DOC的面积分别为S ，S ，则S ﹣S 的值为 4 ．
1 2 1 2
【分析】根据反比例函数k＝xy（定值）求出B点坐标，根据待定系数法求出直线AB的解析
式，进而求出点C的坐标，求出AB，BC的长度，根据AD•BC＝AB•DO，得到AD＝2DO，
根据△ADC，△DOC是等高的三角形，得到S
1
＝2S
2
，从而S
1
﹣S
2
＝S
2
，根据S
1
+S
2
＝S△AOC
得到S
2
＝ S△AOC ，从而得出答案．
【解答】解：∵反比例函数y＝ （k＞0）在第一象限的图象上有A（1，6），B（3，b）两点，
∴1×6＝3b，
∴b＝2，
∴B（3，2），
设直线AB的解析式为y＝mx+n，
，
解得： ，
∴y＝﹣2x+8，
令y＝0，
﹣2x+8＝0，
解得：x＝4，
∴C（4，0），
第19页（共33页）∵AB＝ ＝2 ，
BC＝ ＝ ，
AD•BC＝AB•DO，
∴AD• ＝2 •DO，
∴AD＝2DO，
∴S ＝2S ，
1 2
∴S ﹣S ＝S ，
1 2 2
∵S
1
+S
2
＝S△AOC ，
∴S
1
﹣S
2
＝S
2
＝ S△AOC ＝ × ×4×6＝4．
故答案为：4．
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，根据 AD•BC＝
AB•DO得到AD＝2DO，根据△ADC，△DOC是等高的三角形，得到S ＝2S 是解题的关
1 2
键．
三、解答题：本大题共有6小题，共63分。请将必要的文字说明、计算过程或推理过程写在答
题卡的对应位置。
20．（8分）（2022•包头）2022年3月28日是第27个全国中小学生安全教育日．某校为调查
本校学生对安全知识的了解情况，从全校学生中随机抽取若干名学生进行测试，测试后发
现所有测试的学生成绩均不低于50分．将全部测试成绩x（单位：分）进行整理后分为五
组（50≤x＜60，60≤x＜70，70≤x＜80，80≤x＜90，90≤x≤100），并绘制成频数分布直方
图（如图）．
请根据所给信息，解答下列问题：
（1）在这次调查中，一共抽取了 4 0 名学生；
（2）若测试成绩达到80分及以上为优秀，请你估计全校960名学生对安全知识的了解情
况为优秀的学生人数；
（3）为了进一步做好学生安全教育工作，根据调查结果，请你为学校提一条合理化建议．
第20页（共33页）【分析】（1）把各组频数相加即可；
（2）利用样本估计总体即可；
（3）根据（2）的结论解答．
【解答】解：（1）4+6+10+12+8＝40（名），
故答案为：40；
（2）960× ＝480（人），
故优秀的学生人数约为480人；
（3）加强安全教育，普及安全知识：通过多种形式，提高安全意识，结合校内，校外具体活
动，提高避险能力．
【点评】本题主要考查频数分布直方图及样本估计总体，解题的关键是根据直方图得出解
题所需数据及样本估计总体思想的运用．
21．（8分）（2022•包头）如图，AB是底部B不可到达的一座建筑物，A为建筑物的最高点，测
角仪器的高DH＝CG＝1.5米．某数学兴趣小组为测量建筑物AB的高度，先在H处用测
角仪器测得建筑物顶端A处的仰角∠ADE为 ，再向前走5米到达G处，又测得建筑物顶
α
端A处的仰角∠ACE为45°，已知tan ＝ ，AB⊥BH，H，G，B三点在同一水平线上，求建
α
筑物AB的高度．
第21页（共33页）【分析】根据题意得：DH＝CG＝BE＝1.5米，CD＝GH＝5米，DE＝BH，∠AED＝90°，然后
设CE＝x米，在Rt△ACE中，利用锐角三角函数的定义求出AE的长，再在Rt△ADE中，
利用锐角三角函数的定义列出关于x的方程，进行计算即可解答．
【解答】解：由题意得：
DH＝CG＝BE＝1.5米，CD＝GH＝5米，DE＝BH，∠AED＝90°，
设CE＝x米，
∴BH＝DE＝DC+CE＝（x+5）米，
在Rt△ACE中，∠ACE＝45°，
∴AE＝CE•tan45°＝x（米），
在Rt△ADE中，∠ADE＝ ，
α
∴tan ＝ ＝ ＝ ，
α
∴x＝17.5，
经检验：x＝17.5是原方程的根，
∴AB＝AE+BE＝17.5+1.5＝19（米），
∴建筑物AB的高度为19米．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义
是解题的关键．
22．（10分）（2022•包头）由于精准扶贫的措施科学得当，贫困户小颖家今年种植的草莓喜获
丰收，采摘上市16天全部销售完．小颖对销售情况进行统计后发现，在该草莓上市第x天
（x 取整数）时，日销售量 y（单位：千克）与 x 之间的函数关系式为 y＝
，草莓价格m（单位：元/千克）与x之间的函数关系如图所示．
（1）求第14天小颖家草莓的日销售量；
第22页（共33页）（2）求当4≤x≤12时，草莓价格m与x之间的函数关系式；
（3）试比较第8天与第10天的销售金额哪天多？
【分析】（1）当10≤x≤16时，y＝﹣20x+320，把x＝14代入，求出其解即可；
（2）利用待定系数法即可求得草莓价格m与x之间的函数关系式；
（3）利用销售金额＝销售量×草莓价格，比较第8天与第10天的销售金额，即可得答案．
【解答】解：（1）∵当10≤x≤16时，y＝﹣20x+320，
∴当x＝14时，y＝﹣20×14+320＝40（千克），
∴第14天小颖家草莓的日销售量是40千克．
（2）当4≤x≤12时，设草莓价格m与x之间的函数关系式为m＝kx+b，
∵点（4，24），（12，16）在m＝kx+b的图象上，
∴ ，
解得： ，
∴函数解析式为m＝﹣x+28．
（3）当0≤x≤10时，y＝12x，
∴当x＝8时，y＝12×8＝96，
当x＝10时，y＝12×10＝120；
当4≤x≤12时，m＝﹣x+28，
∴当x＝8时，m＝﹣8+28＝20，
当x＝10时，m＝﹣10+28＝18
∴第8天的销售金额为：96×20＝1920（元），
第10天的销售金额为：120×18＝2160（元），
第23页（共33页）∵2160＞1920，
∴第10天的销售金额多．
【点评】此题考查了一次函数的应用．此题难度适中，解题的关键是理解题意，利用待定系
数法求得函数解析式，注意数形结合思想与函数思想的应用．
23．（12分）（2022•包头）如图，AB为 O的切线，C为切点，D是 O上一点，过点D作
DF⊥AB，垂足为F，DF交 O于点E，⊙连接EO并延长交 O于点⊙G，连接CG，OC，OD，
已知∠DOE＝2∠CGE． ⊙ ⊙
（1）若 O的半径为5，求CG的长；
（2）试⊙探究DE与EF之间的数量关系，写出并证明你的结论．（请用两种证法解答）
【分析】（1）连接CE，由切线的性质及圆周角定理证出△ODE是等边三角形，由等边三角
形的性质得出∠DOE＝60°，由直角三角形的性质可得出答案；
（2）方法一：证明△OCE为等边三角形，由等边三角形的性质得出∠OCE＝60°，由直角三
角形的性质可得出结论；
方法二：连接CE，过点O作OH⊥DF于H，证明四边形OCFH是矩形，得出CF＝OH，证
明Rt△CFE≌Rt△OHE（HL），由全等三角形的性质得出EF＝EH，则可得出结论．
【解答】解：（1）连接CE，
∵ ，
∴∠COE＝2∠CGE，
∵∠DOE＝2∠CGE，
第24页（共33页）∴∠COE＝∠DOE，
∵AB为 O的切线，C为切点，
∴OC⊥A⊙B，
∴∠OCB＝90°，
∵DF⊥AB，
∴∠DFB＝90°，
∴∠OCB＝∠DFB＝90°，
∴OC∥DF，
∴∠COE＝∠OED，
∴∠DOE＝∠OED，
∴OD＝DE，
∵OD＝OE，
∴△ODE是等边三角形，
∴∠DOE＝60°，
∴∠CGE＝30°，
∵ O的半径为5，
∴⊙EG＝10，
∵EG是 O的直径，
∴∠GCE⊙＝90°，
在Rt△GCE中，GC＝EG•cos∠CGE＝10×cos30°＝10× ＝5 ；
（2）DE＝2EF．
方法一：
证明：∵∠COE＝∠DOE＝60°，
∴ ＝ ，
∴CE＝DE，
∵OC＝OE，
∴△OCE为等边三角形，
∴∠OCE＝60°，
∵∠OCB＝90°，
∴∠ECF＝30°，
第25页（共33页）∴EF＝ CE，
∴EF＝ DE，
即DE＝2EF；
方法二：
证明：连接CE，
过点O作OH⊥DF于H，
∴∠OHF＝90°，
∵∠OCB＝∠DFC＝90°，
∴四边形OCFH是矩形，
∴CF＝OH，
∵△ODE是等边三角形，
∴DE＝OE，
∵OH⊥DF，
∴DH＝EH，
∵∠COE＝∠DOE，
∴ ＝ ，
∴CE＝DE，
∴CE＝OE，
∵CF＝OH，
∴Rt△CFE≌Rt△OHE（HL），
∴EF＝EH，
∴DH＝EH＝EF，
∴ED＝2EF．
【点评】本题是圆的综合题，考查了切线的性质，等腰三角形的性质，平行线的性质，直角
第26页（共33页）三角形的性质，全等三角形的判定与性质，圆周角定理，等边三角形的判定与性质等知识；
熟练掌握切线的性质和等边三角形的判定与性质是解决问题的关键．
24．（12分）（2022•包头）如图，在 ABCD中，AC是一条对角线，且AB＝AC＝5，BC＝6，E，F
是AD边上两点，点F在点E的▱右侧，AE＝DF，连接CE，CE的延长线与BA的延长线相交
于点G．
（1）如图1，M是BC边上一点，连接AM，MF，MF与CE相交于点N．
①若AE＝ ，求AG的长；
②在满足①的条件下，若EN＝NC，求证：AM⊥BC；
（2）如图2，连接GF，H是GF上一点，连接EH．若∠EHG＝∠EFG+∠CEF，且HF＝
2GH，求EF的长．
【分析】（1）①根据平行四边形的性质和相似三角形的判定定理解答即可；
②根据全等三角形的判定定理和等腰三角形的性质解答即可；
（2）连接CF，通过相似三角形的判定定理和方程思想解答即可．
【解答】解：（1）①∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AD∥BC，DC＝AB＝5，AD＝BC＝6，
∴∠GAE＝∠CDE，∠AGE＝∠DCE，
∴△AGE∽△DCE，
∴ ＝ ，
∵AE＝ ，
∴DE＝ ，
第27页（共33页）∴ AG＝5× ，
∴AG＝ ．
②证明：∵AD∥BC，
∴∠EFN＝∠CMN，
∵∠ENF＝∠CNM，EN＝NC，
∴△ENF≌△CNM（AAS），
∴EF＝CM，
∵AE＝ ，AE＝DF，
∴DF＝ ，
∴EF＝AD﹣AE﹣DF＝3，
∴CM＝﹣3，
∵BC＝6，
∴BM＝3，
∴BM＝MC，
∴AB＝AC，
∴AM⊥BC．
（2）连接CF，
∵AB＝AC，AB＝DC，
∴AC＝DC，
∴∠CAD＝∠CDA，
∵AE＝DF，
∴△AEC≌△DFC（SAS），
∴CE＝CF，
∴∠CFE＝∠CEF，
∴∠EHG＝∠EFG+∠CEF，
∴∠EHG＝∠EFG+∠CFE＝∠CFG，
∴EH∥CF，
∴ ＝ ，
第28页（共33页）∵HF＝2GH，
∴ ＝ ，
∵AB∥CD，
∴∠GAE＝∠CDE，∠AGE＝∠DCE，
∴△AGE∽△DCE，
∴ ＝ ，
∴ ＝ ，
∴DE＝2AE，
设AE＝x，则DE＝2x，
∵AD＝6，
∴x+2x＝6，
∴x＝2，
即AE＝2，
∴DF＝2，
∴EF＝AD﹣AE﹣DF＝2．
【点评】本题主要考查了四边形的相关知识，熟练掌握相似三角形的判定定理和性质定理，
等腰三角形的性质定理，全等三角形的判定定理是解答本题关键．
25．（13分）（2022•包头）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+c（a≠0）与x轴交于A，
B两点，点B的坐标是（2，0），顶点C的坐标是（0，4），M是抛物线上一动点，且位于第一
象限，直线AM与y轴交于点G．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）如图1，N是抛物线上一点，且位于第二象限，连接OM，记△AOG，△MOG的面积分
第29页（共33页）别为S ，S ．当S ＝2S ，且直线CN∥AM时，求证：点N与点M关于y轴对称；
1 2 1 2
（3）如图2，直线BM与y轴交于点H，是否存在点M，使得2OH﹣OG＝7．若存在，求出点
M的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）用待定系数法求出解析式即可；
（2）过点M作MD⊥y轴，垂足为D，根据面积关系得出OA＝2MD，设M点的坐标为（m，
﹣m2+4），求出M点的坐标，用待定系数法求出直线AM的解析式，根据C点坐标求出直
线CN的解析式，确定N点的坐标，即可得出结论；
（3）过点M作ME⊥x轴，垂足为E，令M（m，﹣m2+4），用m的代数式表示出OE和ME，
利用三角函数得出OH和OG的代数式，根据2OH﹣OG＝7，得出关于m的方程，求出m
的值即可得出M点的坐标．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+c（a≠0）与x轴交于（2，0），顶点C的坐标是（0，4），
∴ ，
解得 ，
∴该抛物线的解析式为y＝﹣x2+4；
（2）证明：过点M作MD⊥y轴，垂足为D，
第30页（共33页）当△AOG与△MOG都以OG为底时，
∵S ＝2S ，
1 2
∴OA＝2MD，
当y＝0时，则﹣x2+4＝0，
解得x＝±2，
∵B（2，0），
∴A（﹣2，0），
∴OA＝2，MD＝1，
设M点的坐标为（m，﹣m2+4），
∵点M在第一象限，
∴m＝1，
∴﹣m2+4＝3，
即M（1，3），
设直线AM的解析式为y＝kx+b，
∴ ，
解得 ，
∴直线AM的解析式为y＝x+2，
∵CN∥AM，
∴设直线CN的解析式为y＝x+t，
∵C（0，4），
∴t＝4，
即直线CN的解析式为y＝x+4，将其代入y＝﹣x2+4中，
第31页（共33页）得x+4＝﹣x2+4，
解得x＝0或﹣1，
∵N点在第二象限，
∴N（﹣1，3），
∵M（1，3），
∴点N与点M关于y轴对称；
（3）过点M作ME⊥x轴，垂足为E，令M（m，﹣m2+4），
∴OE＝m，ME＝﹣m2+4，
∵B（2，0），
∴OB＝2，BE＝2﹣m，
在Rt△BEM和Rt△BOH中，
∵tan∠MBE＝tan∠HBO，
∴ ，
∴OH＝ ＝ ＝2（2+m）＝2m+4，
∵OA＝2，
∴AE＝m+2，
在Rt△AOG和Rt△AEM中，
∵tan∠GAO＝tan∠MAE，
∴ ，
∴OG＝ ＝ ＝2（2﹣m）＝4﹣2m，
第32页（共33页）∵2OH﹣OG＝7，
∴2（2m+4）﹣（4﹣2m）＝7，
解得m＝ ，
当m＝ 时，﹣m2+4＝ ，
∴M（ ， ），
∴存在点M（ ， ），使得2OH﹣OG＝7．
【点评】本题主要考查二次函数的图象和性质，熟练掌握待定系数法求函数解析式，二次
函数的性质，三角函数，一次函数的性质等知识是解题的关键．
第33页（共33页）
