文档内容
2022年吉林省中考数学试卷
一、单项选择题（每小题2分，共12分）
1．（2分）（2022•吉林）吉林松花石有“石中之宝”的美誉，用它制作的砚台叫松花砚，能与
中国四大名砚媲美．如图是一款松花砚的示意图，其俯视图为（ ）
A． B．
C． D．
2．（2分）（2022•吉林）要使算式（﹣1）□3的运算结果最大，则“□”内应填入的运算符号
为（ ）
A．+ B．﹣ C．× D．÷
3．（2分）（2022•吉林）y与2的差不大于0，用不等式表示为（ ）
A．y﹣2＞0 B．y﹣2＜0 C．y﹣2≥0 D．y﹣2≤0
4．（2分）（2022•吉林）实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，则a，b的大小关系为（
）
A．a＞b B．a＜b C．a＝b D．无法确定
5．（2分）（2022•吉林）如图，如果∠1＝∠2，那么AB∥CD，其依据可以简单说成（ ）
A．两直线平行，内错角相等
B．内错角相等，两直线平行
第1页（共31页）C．两直线平行，同位角相等
D．同位角相等，两直线平行
6．（2分）（2022•吉林）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，BC＝4．以点A为圆心，r为
半径作圆，当点C在 A内且点B在 A外时，r的值可能是（ ）
⊙ ⊙
A．2 B．3 C．4 D．5
二、填空题（每小题3分，共24分）
7．（3分）（2022•吉林）﹣ 的相反数是 ．
8．（3分）（2022•吉林）计算：a•a2＝ ．
9．（3分）（2022•吉林）篮球队要购买10个篮球，每个篮球m元，一共需要 元．（用含
m的代数式表示）
10．（3分）（2022•吉林）《九章算术》中记载了一道数学问题，其译文为：有大小两种盛酒的桶，
已知5个大桶加上1个小桶可以盛酒3斛（斛，音hú，是古代一种容量单位），1个大桶加
上5个小桶可以盛酒2斛．1个大桶、1个小桶分别可以盛酒多少斛？设1个大桶可以盛
酒x斛、1个小桶可以盛酒y斛．根据题意，可列方程组为 ．
11．（3分）（2022•吉林）第二十四届北京冬奥会入场式引导牌上的图案融入了中国结和雪花
两种元素．如图，这个图案绕着它的中心旋转角 （0°＜ ＜360°）后能够与它本身重合，则
角 可以为 度．（写出一个即可） α α
α
12．（3分）（2022•吉林）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（﹣2，0），点B在y轴正半
轴上，以点B为圆心，BA长为半径作弧，交x轴正半轴于点C，则点C的坐标为 ．
第2页（共31页）13．（3分）（2022•吉林）如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E是边AD的
中点，点F在对角线AC上，且AF＝ AC，连接EF．若AC＝10，则EF＝ ．
14．（3分）（2022•吉林）如图，在半径为1的 O上顺次取点A，B，C，D，E，连接AB，AE，OB，
OC，OD，OE．若∠BAE＝65°，∠COD＝7⊙0°，则 与 的长度之和为 （结果保留
）．
π
三、解答题（每小题5分，共20分）
15．（5分）（2022•吉林）如图，AB＝AC，∠BAD＝∠CAD．求证：BD＝CD．
16．（5分）（2022•吉林）下面是一道例题及其解答过程的一部分，其中A是关于m的多项式．
请写出多项式A，并将该例题的解答过程补充完整．
例：先去括号，再合并同类项：m（A）﹣6（m+1）．
解：m（A）﹣6（m+1）
＝m2+6m﹣6m﹣6
第3页（共31页）＝ ．
17．（5分）（2022•吉林）长白山国家级自然保护区、松花湖风景区和净月潭国家森林公园是
吉林省著名的三个景区．甲、乙两人用抽卡片的方式决定一个自己要去的景区．他们准备
了3张不透明的卡片，正面分别写上长白山、松花湖、净月潭．卡片除正面景区名称不同外
其余均相同，将3张卡片正面向下洗匀，甲先从中随机抽取一张卡片，记下景区名称后正
面向下放回，洗匀后乙再从中随机抽取一张卡片．请用画树状图或列表的方法，求两人都
决定去长白山的概率．
18．（5分）（2022•吉林）图①，图②均是4×4的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．
其中点A，B，C均在格点上，请在给定的网格中按要求画四边形．
（1）在图①中，找一格点D，使以点A，B，C，D为顶点的四边形是轴对称图形；
（2）在图②中，找一格点E，使以点A，B，C，E为顶点的四边形是中心对称图形．
四、解答题（每小题7分，共28分）
19．（7分）（2022•吉林）刘芳和李婷进行跳绳比赛．已知刘芳每分钟比李婷多跳20个，刘芳
跳135个所用的时间与李婷跳120个所用的时间相等．求李婷每分钟跳绳的个数．
20．（7分）（2022•吉林）密闭容器内有一定质量的气体，当容器的体积V（单位：m3）变化时，
气体的密度 （单位：kg/m3）随之变化．已知密度 与体积V是反比例函数关系，它的图象
如图所示．ρ ρ
（1）求密度 关于体积V的函数解析式．
（2）当V＝1ρ0m3时，求该气体的密度 ．
ρ
第4页（共31页）21．（7分）（2022•吉林）动感单车是一种新型的运动器械．图①是一辆动感单车的实物图，
图②是其侧面示意图．△BCD为主车架，AB为调节管，点A，B，C在同一直线上．已知BC
长为70cm，∠BCD的度数为58°．当AB长度调至34cm时，求点A到CD的距离AE的长
度（结果精确到1cm）．（参考数据：sin58°≈0.85，cos58°≈0.53，tan58°≈1.60）
22．（7分）（2022•吉林）为了解全国常住人口城镇化率的情况，张明查阅相关资料，整理数据
并绘制统计图如下：
（以上数据来源于《中华人民共和国2021年国民经济和社会发展统计公报》）
注：城镇化率＝ ×100%．例如，城镇常住人口60.12万人，总人口100万人，
则城镇化率为60.12%．
第5页（共31页）回答下列问题：
（1）2017﹣2021年年末，全国常住人口城镇化率的中位数是 %．
（2）2021年年末全国人口141260万人，2021年年末全国城镇常住人口为 万人．
（只填算式，不计算结果）
（3）下列推断较为合理的是 （填序号）．
①2017﹣2021年年末，全国常住人口城镇化率逐年上升，估计2022年年末全国常住人
口城镇化率高于64.72%．
②全国常住人口城镇化率2020年年末比2019年年末增加1.18%，2021年年末比2020年
年末增加0.83%，全国常住人口城镇化率增加幅度减小，估计2022年年末全国常住人口
城镇化率低于64.72%．
五、解答题（每小题8分，共16分）
23．（8分）（2022•吉林）李强用甲、乙两种具有恒温功能的热水壶同时加热相同质量的水，甲
壶比乙壶加热速度快．在一段时间内，水温y（℃）与加热时间x（s）之间近似满足一次函数
关系，根据记录的数据，画函数图象如下：
（1）加热前水温是 ℃．
（2）求乙壶中水温y关于加热时间x的函数解析式．
（3）当甲壶中水温刚达到80℃时，乙壶中水温是 ℃．
24．（8分）（2022•吉林）下面是王倩同学的作业及自主探究笔记，请认真阅读并补充完整．
【作业】如图①，直线l ∥l ，△ABC与△DBC的面积相等吗？为什么？
1 2
解：相等．理由如下：
设l 与l 之间的距离为h，
1 2
则S△ABC ＝ BC•h，S△DBC ＝ BC•h．
∴S△ABC ＝S△DBC ．
第6页（共31页）【探究】（1）如图②，当点D在l ，l 之间时，设点A，D到直线l 的距离分别为h，h′，则
1 2 2
＝ ．
证明：∵S△ABC ＝ ．
（2）如图③，当点D在l ，l 之间时，连接AD并延长交l 于点M，则 ＝ ．
1 2 2
证明：过点A作AE⊥BM，垂足为E，过点D作DF⊥BM，垂足为F，则∠AEM＝∠DFM＝
90°．
∴AE∥ ．
∴△AEM∽ ．
∴ ＝ ．
由【探究】（1）可知 ＝ ，
∴ ＝ ．
（3）如图④，当点D在l 下方时，连接AD交l 于点E．若点A，E，D所对应的刻度值分别
2 2
为5，1.5，0，则 的值为 ．
第7页（共31页）六、解答题（每小题10分，共20分）
25．（10分）（2022•吉林）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB＝6cm．动点P从点
A出发，以2cm/s的速度沿边AB向终点B匀速运动．以PA为一边作∠APQ＝120°，另一边
PQ与折线AC﹣CB相交于点Q，以PQ为边作菱形PQMN，点N在线段PB上．设点P的
运动时间为x（s），菱形PQMN与△ABC重叠部分图形的面积为y（cm2）．
（1）当点Q在边AC上时，PQ的长为 cm．（用含x的代数式表示）
（2）当点M落在边BC上时，求x的值．
（3）求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围．
26．（10分）（2022•吉林）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx+c（b，c是常数）经过
点A（1，0），点B（0，3）．点P在此抛物线上，其横坐标为m．
（1）求此抛物线的解析式．
（2）当点P在x轴上方时，结合图象，直接写出m的取值范围．
（3）若此抛物线在点P左侧部分（包括点P）的最低点的纵坐标为2﹣m．
①求m的值．
②以PA为边作等腰直角三角形PAQ，当点Q在此抛物线的对称轴上时，直接写出点Q的
第8页（共31页）坐标．
第9页（共31页）2022年吉林省中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、单项选择题（每小题2分，共12分）
1．（2分）（2022•吉林）吉林松花石有“石中之宝”的美誉，用它制作的砚台叫松花砚，能与
中国四大名砚媲美．如图是一款松花砚的示意图，其俯视图为（ ）
A． B．
C． D．
【分析】由物体的正面示意图可得物体的俯视图为两同心圆．
【解答】解：俯视图是从物体的上面向下面投射所得的视图，
由松花砚的示意图可得其俯视图为C．
故选：C．
【点评】本题考查物体的三视图，解题关键是掌握物体的三视图的有关概念．
2．（2分）（2022•吉林）要使算式（﹣1）□3的运算结果最大，则“□”内应填入的运算符号
为（ ）
A．+ B．﹣ C．× D．÷
【分析】分别把加、减、乘、除四个符号填入括号，计算出结果即可．
【解答】解：当填入加号时：﹣1+3＝2；
当填入减号时﹣1﹣3＝﹣4；
当填入乘号时：﹣1×3＝﹣3；
当填入除号时﹣1÷3＝﹣ ，
∵2＞﹣ ＞﹣3＞﹣4，
第10页（共31页）∴这个运算符号是加号．
故选：A．
【点评】本题考查的是有理数的运算及有理数的大小比较，根据题意得出填入加、减、乘、
除四个符号的得数是解答此题的关键．
3．（2分）（2022•吉林）y与2的差不大于0，用不等式表示为（ ）
A．y﹣2＞0 B．y﹣2＜0 C．y﹣2≥0 D．y﹣2≤0
【分析】不大于就是小于等于的意思，根据y与2的差不大于0，可列出不等式．
【解答】解：根据题意得：y﹣2≤0．
故选：D．
【点评】本题主要考查了一元一次不等式，解答本题的关键是理解“不大于”的意思，列
出不等式．
4．（2分）（2022•吉林）实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，则a，b的大小关系为（
）
A．a＞b B．a＜b C．a＝b D．无法确定
【分析】由数轴上b在a的右侧可得b与a的大小关系．
【解答】解：∵b＞0，a＜0，
∴a＜b，
故选：B．
【点评】本题考查实数与数轴，解题关键是掌握数轴的定义．
5．（2分）（2022•吉林）如图，如果∠1＝∠2，那么AB∥CD，其依据可以简单说成（ ）
A．两直线平行，内错角相等
B．内错角相等，两直线平行
C．两直线平行，同位角相等
D．同位角相等，两直线平行
【分析】由平行的判定求解．
【解答】解：∵∠1＝∠2，
第11页（共31页）∴AB∥CD（同位角相等，两直线平行），
故选：D．
【点评】本题考查平行线的判定与性质，解题关键是掌握平行线的判定方法及平行线的性
质．
6．（2分）（2022•吉林）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，BC＝4．以点A为圆心，r为
半径作圆，当点C在 A内且点B在 A外时，r的值可能是（ ）
⊙ ⊙
A．2 B．3 C．4 D．5
【分析】由勾股定理求出AC的长度，再由点C在 A内且点B在 A外求解．
⊙ ⊙
【解答】解：在Rt△ABC中，由勾股定理得AC＝ ＝4，
∵点C在 A内且点B在 A外，
∴3＜r＜5⊙， ⊙
故选：C．
【点评】本题考查点与圆的位置关系，解题关键是掌握勾股定理．
二、填空题（每小题3分，共24分）
7．（3分）（2022•吉林）﹣ 的相反数是 ．
【分析】根据相反数的意义，相反数是只有符号不同的两个数，改变﹣ 前面的符号，即
可得﹣ 的相反数．
【解答】解：﹣ 的相反数是 ．
故答案为： ．
【点评】本题考查了相反数．解题的关键是掌握相反数的意义，一个数的相反数就是在这
个数前面添上“﹣”号；一个正数的相反数是负数，一个负数的相反数是正数，0的相反
数是0．
8．（3分）（2022•吉林）计算：a•a2＝ a 3 ．
【分析】根据同底数幂的乘法法则，同底数幂相乘，底数不变，指数相加，即am•an＝am+n计
算即可．
【解答】解：a•a2＝a1+2＝a3．
第12页（共31页）故答案为：a3．
【点评】本题主要考查同底数幂的乘法的性质，熟练掌握性质是解题的关键．
9．（3分）（2022•吉林）篮球队要购买10个篮球，每个篮球m元，一共需要 1 0 m 元．（用
含m的代数式表示）
【分析】根据题意直接列出代数式即可．
【解答】解：篮球队要买10个篮球，每个篮球m元，一共需要10m元，
故答案为：10m．
【点评】本题主要考查了通过实际问题列出代数式，理解题意是解答本题的关键．
10．（3分）（2022•吉林）《九章算术》中记载了一道数学问题，其译文为：有大小两种盛酒的桶，
已知5个大桶加上1个小桶可以盛酒3斛（斛，音hú，是古代一种容量单位），1个大桶加
上5个小桶可以盛酒2斛．1个大桶、1个小桶分别可以盛酒多少斛？设1个大桶可以盛
酒x斛、1个小桶可以盛酒y斛．根据题意，可列方程组为 ．
【分析】根据题意列出二元一次方程组即可．
【解答】解：设1个大桶可以盛酒x斛、1个小桶可以盛酒y斛，
由题意得： ，
故答案为： ．
【点评】本题考查的是二元一次方程组的应用，找等量关系是列方程组的关键和难点．
11．（3分）（2022•吉林）第二十四届北京冬奥会入场式引导牌上的图案融入了中国结和雪花
两种元素．如图，这个图案绕着它的中心旋转角 （0°＜ ＜360°）后能够与它本身重合，则
角 可以为 7 2 （答案不唯一）． 度．（写α出一个即α 可）
α
【分析】先求出正五边形的中心角，再根据旋转变换的性质解答即可．
【解答】解：360°÷5＝72°，
则这个图案绕着它的中心旋转72°后能够与它本身重合，
故答案为：72（答案不唯一）．
第13页（共31页）【点评】本题考查的是旋转对称图形、正多边形的性质，求出正五边形的中心角是解题的
关键．
12．（3分）（2022•吉林）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（﹣2，0），点B在y轴正半
轴上，以点B为圆心，BA长为半径作弧，交x轴正半轴于点C，则点C的坐标为 （ 2 ， 0 ）
．
【分析】由图象可得OB与圆的直径重合，由BO⊥AC及垂径定理求解．
【解答】解：由图象可得OB与直径重合，
∵BO⊥AC，
∴OA＝OC，
∵A（﹣2，0），
∴C（2，0），
故答案为：（2，0）．
【点评】本题考查与圆的有关计算，解题关键是掌握垂径定理及其推论．
13．（3分）（2022•吉林）如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E是边AD的
中点，点F在对角线AC上，且AF＝ AC，连接EF．若AC＝10，则EF＝ ．
【分析】由AF＝ AC可得点F为AO中点，从而可得EF为△AOD的中位线，进而求解．
【解答】解：在矩形ABCD中，AO＝OC＝ AC，AC＝BD＝10，
∵AF＝ AC，
∴AF＝ AO，
第14页（共31页）∴点F为AO中点，
∴EF为△AOD的中位线，
∴EF＝ OD＝ BD＝ ．
故答案为： ．
【点评】本题考查矩形的性质，解题关键是掌握三角形的中位线的性质．
14．（3分）（2022•吉林）如图，在半径为1的 O上顺次取点A，B，C，D，E，连接AB，AE，OB，
⊙
OC，OD，OE．若∠BAE＝65°，∠COD＝70°，则 与 的长度之和为 （结果保
留 ）．
π
【分析】由圆周角定理可得∠BOE的大小，从而可得∠BOC+∠DOE的大小，进而求解．
【解答】解：∵∠BAE＝65°，
∴∠BOE＝130°，
∴∠BOC+∠DOE＝∠BOE﹣∠COD＝60°，
∴ + 的长度＝ ×2 ×1＝ ，
π
故答案为： ．
π
【点评】本题考查圆周角定理，解题关键是掌握圆心角与圆周角的关系，掌握计算弧长的
方法．
三、解答题（每小题5分，共20分）
15．（5分）（2022•吉林）如图，AB＝AC，∠BAD＝∠CAD．求证：BD＝CD．
第15页（共31页）【分析】由AB＝AC，∠BAD＝∠CAD，AD＝AD可证明△ABD≌△ACD，从而可得BD＝
CD．
【解答】证明：在△ABD与△ACD中，
，
∴△ABD≌△ACD（SAS），
∴BD＝CD．
【点评】本题考查全等三角形的判定及性质，解题关键是掌握全等三角形的判定方法及全
等三角形的性质．
16．（5分）（2022•吉林）下面是一道例题及其解答过程的一部分，其中A是关于m的多项式．
请写出多项式A，并将该例题的解答过程补充完整．
例：先去括号，再合并同类项：m（A）﹣6（m+1）．
解：m（A）﹣6（m+1）
＝m2+6m﹣6m﹣6
＝ m 2 ﹣ 6 ．
【分析】根据题意合并同类项即可．
【解答】解：由题知，m（A）﹣6（m+1）
＝m2+6m﹣6m﹣6
＝m2﹣6，
∵m2+6m＝m（m+6），
∴A为：m+6，
故答案为：m2﹣6．
【点评】本题主要考查整式的加减，熟练掌握整式的运算是解题的关键．
17．（5分）（2022•吉林）长白山国家级自然保护区、松花湖风景区和净月潭国家森林公园是
吉林省著名的三个景区．甲、乙两人用抽卡片的方式决定一个自己要去的景区．他们准备
了3张不透明的卡片，正面分别写上长白山、松花湖、净月潭．卡片除正面景区名称不同外
其余均相同，将3张卡片正面向下洗匀，甲先从中随机抽取一张卡片，记下景区名称后正
面向下放回，洗匀后乙再从中随机抽取一张卡片．请用画树状图或列表的方法，求两人都
决定去长白山的概率．
【分析】根据题意作图得出概率即可．
第16页（共31页）【解答】解：由题意作树状图如下：
由图知，两人都决定去长白山的概率为 ．
【点评】本题主要考查概率的知识，熟练掌握列表法和树状图法求概率是解题的关键．
18．（5分）（2022•吉林）图①，图②均是4×4的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．
其中点A，B，C均在格点上，请在给定的网格中按要求画四边形．
（1）在图①中，找一格点D，使以点A，B，C，D为顶点的四边形是轴对称图形；
（2）在图②中，找一格点E，使以点A，B，C，E为顶点的四边形是中心对称图形．
【分析】（1）作点B关于直线AC的对称点D，四边形ABCD为筝形．
（2）将点A向右平移1个单位，再向上平移1个单位可得点D，四边形ABCD为平行四边
形．
【解答】解：（1）作点B关于直线AC的对称点D，连接ABCD，四边形ABCD为筝形，符合
题意．
（2）将点A向右平移1个单位，再向上平移1个单位可得点D，连接ABCD，AD∥BC且
AD＝BC，
第17页（共31页）∴四边形ABCD为矩形，符合题意．
【点评】本题考查网格无刻度尺作图，解题关键是掌握平行四边形的性质．
四、解答题（每小题7分，共28分）
19．（7分）（2022•吉林）刘芳和李婷进行跳绳比赛．已知刘芳每分钟比李婷多跳20个，刘芳
跳135个所用的时间与李婷跳120个所用的时间相等．求李婷每分钟跳绳的个数．
【分析】设李婷每分钟跳绳x个，则刘芳每分钟跳绳x+20个，根据时间相等列方程求解即
可．
【解答】解：设李婷每分钟跳绳x个，则刘芳每分钟跳绳x+20个，
根据题意列方程，得 ，
即135x＝120（x+20），
解得x＝160，
经检验x＝160是原方程的解，
答：李婷每分钟跳绳160个．
【点评】本题主要考查分式方程，根据时间相等列方程求解是解题的关键．
20．（7分）（2022•吉林）密闭容器内有一定质量的气体，当容器的体积V（单位：m3）变化时，
气体的密度 （单位：kg/m3）随之变化．已知密度 与体积V是反比例函数关系，它的图象
如图所示．ρ ρ
（1）求密度 关于体积V的函数解析式．
（2）当V＝1ρ0m3时，求该气体的密度 ．
ρ
第18页（共31页）【分析】（1）通过待定系数法求解．
（2）将V＝10代入函数解析式求解．
【解答】解：（1）设 ＝ ，
ρ
将（4，2.5）代入 ＝ 得2.5＝ ，
ρ
解得k＝10，
∴ ＝ ．
ρ
（2）将V＝10代入 ＝ 得 ＝1．
ρ ρ
∴该气体的密度为1kg/m3．
【点评】本题考查反比例函数的应用，解题关键是掌握待定系数法求函数解析式，掌握函
数与方程的关系．
21．（7分）（2022•吉林）动感单车是一种新型的运动器械．图①是一辆动感单车的实物图，
图②是其侧面示意图．△BCD为主车架，AB为调节管，点A，B，C在同一直线上．已知BC
长为70cm，∠BCD的度数为58°．当AB长度调至34cm时，求点A到CD的距离AE的长
度（结果精确到1cm）．（参考数据：sin58°≈0.85，cos58°≈0.53，tan58°≈1.60）
第19页（共31页）【分析】由AB，BC的长度求出AC长度，然后根据sin∠BCD＝ 求解．
【解答】解：∵AB＝34cm，BC＝70cm，
∴AC＝AB+BC＝104cm，
在Rt△ACE中，sin∠BCD＝ ，
∴AE＝AC•sin∠BCD＝104×0.85≈88cm．
答：点A到CD的距离AE的长度约88cm．
【点评】本题考查解直角三角形，解题关键是掌握锐角三角函数的定义．
22．（7分）（2022•吉林）为了解全国常住人口城镇化率的情况，张明查阅相关资料，整理数据
并绘制统计图如下：
（以上数据来源于《中华人民共和国2021年国民经济和社会发展统计公报》）
注：城镇化率＝ ×100%．例如，城镇常住人口60.12万人，总人口100万人，
则城镇化率为60.12%．
回答下列问题：
（1）2017﹣2021年年末，全国常住人口城镇化率的中位数是 62.7 1 %．
（2）2021 年年末全国人口 141260 万人，2021 年年末全国城镇常住人口为
141260×64.72% 万人．（只填算式，不计算结果）
（3）下列推断较为合理的是 ① （填序号）．
①2017﹣2021年年末，全国常住人口城镇化率逐年上升，估计2022年年末全国常住人
口城镇化率高于64.72%．
②全国常住人口城镇化率2020年年末比2019年年末增加1.18%，2021年年末比2020年
年末增加0.83%，全国常住人口城镇化率增加幅度减小，估计2022年年末全国常住人口
第20页（共31页）城镇化率低于64.72%．
【分析】（1）将2017﹣2021年年末的城镇化率从小到大排列，从而可得中位数．
（2）根据城镇化率＝ ×100%可得 2021 年年末全国城镇常住人口为
141260×64.72%（万人）．‘
（3）由折线图可得全国常住人口城镇化率在逐年增加．
【解答】解：（1）∵2017﹣2021年年末，全国常住人口城镇化率分别为60.24%，61.50%，
62.71%，63.89%，64.72%，
∴中为数是62.71%，
故答案为：62.71．
（2）∵2021年年末城镇化率为64.72%，
∴常住人口为141260×64.72%（万人），
故答案为：141260×64.72%．
（3）∵2017﹣2021年年末，全国常住人口城镇化率逐年上升，
∴估计2022年年末全国常住人口城镇化率高于64.72%．
故答案为：①．
【点评】本题考查数据的收集与整理，解题关键是掌握中位数的概念，读懂折线图．
五、解答题（每小题8分，共16分）
23．（8分）（2022•吉林）李强用甲、乙两种具有恒温功能的热水壶同时加热相同质量的水，甲
壶比乙壶加热速度快．在一段时间内，水温y（℃）与加热时间x（s）之间近似满足一次函数
关系，根据记录的数据，画函数图象如下：
（1）加热前水温是 2 0 ℃．
（2）求乙壶中水温y关于加热时间x的函数解析式．
（3）当甲壶中水温刚达到80℃时，乙壶中水温是 6 5 ℃．
第21页（共31页）【分析】（1）由图象x＝0时y＝20求解．
（2）通过待定系数法求解．
（3）由图象可求出甲壶的加热速度，求出甲壶中水温达到80℃时的x，将其代入（2）中解
析式求解．
【解答】解：（1）由图象得x＝0时y＝20，
∴加热前水温是20℃，
故答案为：20．
（2）设乙壶中水温y关于加热时间x的函数解析式为y＝kx+b，
将（0，20），（160，80）代入y＝kx+b得 ，
解得 ，
∴y＝ x+20．
（3）甲水壶的加热速度为（60﹣20）÷80＝ ℃/s，
∴甲水壶中温度为80℃时，加热时间为（80﹣20）÷ ＝120s，
将x＝120代入y＝ x+20得y＝65，
故答案为：65．
【点评】本题考查一次函数的应用，解题关键是掌握待定系数法求函数解析式，掌握一次
函数与方程的关系．
24．（8分）（2022•吉林）下面是王倩同学的作业及自主探究笔记，请认真阅读并补充完整．
【作业】如图①，直线l ∥l ，△ABC与△DBC的面积相等吗？为什么？
1 2
解：相等．理由如下：
设l 与l 之间的距离为h，
1 2
则S△ABC ＝ BC•h，S△DBC ＝ BC•h．
∴S△ABC ＝S△DBC ．
【探究】（1）如图②，当点D在l ，l 之间时，设点A，D到直线l 的距离分别为h，h′，则
1 2 2
第22页（共31页）＝ ．
证明：∵S△ABC ＝ BC • h ．
（2）如图③，当点D在l ，l 之间时，连接AD并延长交l 于点M，则 ＝ ．
1 2 2
证明：过点A作AE⊥BM，垂足为E，过点D作DF⊥BM，垂足为F，则∠AEM＝∠DFM＝
90°．
∴AE∥ DF ．
∴△AEM∽ △ DFM ．
∴ ＝ ．
由【探究】（1）可知 ＝ ，
∴ ＝ ．
（3）如图④，当点D在l 下方时，连接AD交l 于点E．若点A，E，D所对应的刻度值分别
2 2
为5，1.5，0，则 的值为 ．
第23页（共31页）【分析】（1）由S△ABC ＝ BC•h，S△DBC ＝ BC•h′即可证明．
（2）由AE∥DF可得△AEM∽△DFM，再由相似三角形的性质可得 ＝ ，然后结合
【探究】（1）结论可得 ＝ ．
（3）作DK∥AC交l 于点K，由【探究】（1）（2）可得 ＝ ，进而求解．
2
【解答】（1）证明：∵S△ABC ＝ BC•h，S△DBC ＝ BC•h′，
∴ ＝ ．
（2）证明：过点A作AE⊥BM，垂足为E，过点D作DF⊥BM，垂足为F，则∠AEM＝
∠DFM＝90°．
∵AE∥DF，
∴△AEM∽△DFM，
∴ ＝ ，
由【探究】（1）可知 ＝ ，
第24页（共31页）∴ ＝ ．
故答案为：DF，△DFM， ．
（3）作DK∥AC交l 于点K，
2
∵DK∥AC，
∴△ACE∽△DKE，
∵DE＝1.5，AE＝5﹣1.5＝3.5，
∴ ＝ ＝ ，
由【探究】（2）可得 ＝ ＝ ．
故答案为： ．
【点评】本题考查图形的探究题型，解题关键是掌握三角形的面积公式，掌握相似三角形
的判定及性质．
六、解答题（每小题10分，共20分）
25．（10分）（2022•吉林）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB＝6cm．动点P从点
A出发，以2cm/s的速度沿边AB向终点B匀速运动．以PA为一边作∠APQ＝120°，另一边
PQ与折线AC﹣CB相交于点Q，以PQ为边作菱形PQMN，点N在线段PB上．设点P的
运动时间为x（s），菱形PQMN与△ABC重叠部分图形的面积为y（cm2）．
（1）当点Q在边AC上时，PQ的长为 2 x cm．（用含x的代数式表示）
（2）当点M落在边BC上时，求x的值．
（3）求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围．
第25页（共31页）【分析】（1）作PE⊥AC于点E，由含30°角的直角三角形可得AE的长度，再由等腰三角形
的性质可得AQ的长度．
（2）作出点M落在边BC上的图象，由AP+PN+NB＝AB求解．
（3）分类讨论0≤x≤1，1＜t≤ ， ＜x≤3并作出图象求解．
【解答】解：（1）作PE⊥AC于点E，
在Rt△APE中，cos30°＝ ，
∴AE＝AP•cos30°＝ x，
∵∠APQ＝120°，
∴∠AQP＝180°﹣120°﹣30°＝30°，
∴AP＝PQ，
∴点E为AQ中点，
∴AQ＝2 x（cm），
故答案为：2 x．
（2）如图，
第26页（共31页）∵∠APQ＝120°，
∴∠MNB＝∠PQB＝60°，
∵∠B＝60°，
∴△MNB为等边三角形，
∴AP＝PQ＝PN＝MN＝NB，即AP+PN+NB＝3AP＝AB，
∴3×2x＝6，
解得x＝1．
（3）当0≤x≤1时，作QF⊥AB于点F，
∵∠A＝30°，AQ＝2 x，
∴QF＝ AQ＝ x，
∵PN＝PQ＝AP＝2x，
∴y＝PN•QF＝2x• x＝2 x2．
当1＜t≤ 时，QM，NM交BC于点H，K，
第27页（共31页）∵AB＝6cm，∠A＝30°，
∴AC＝ AB＝3 cm，
∴CQ＝AC﹣AQ＝3 ﹣2 x，
∴QH＝ CQ＝ （3 ﹣2 x）＝6﹣4x，
∴HM＝QM﹣QH＝2x﹣（6﹣4x）＝6x﹣6，
∵△HKM为等边三角形，
∴S△HKM ＝ HM2＝9 x2﹣18 x+9 ，
∴y＝2 x2﹣（9 x2﹣18 x+9 ）＝﹣7 x2+18 x﹣9 ．
当 ＜x≤3时，重叠图形△PQM为等边三角形，
PQ＝PB＝AB﹣AP＝6﹣2x，
∴y＝ PB2＝ （6﹣2x）2＝ x2﹣6 x+9 ．
综上所述，y＝ ．
【点评】本题考查图形的综合题，解题关键是掌握解直角三角形的方法，掌握菱形的性质，
第28页（共31页）通过分类讨论求解．
26．（10分）（2022•吉林）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx+c（b，c是常数）经过
点A（1，0），点B（0，3）．点P在此抛物线上，其横坐标为m．
（1）求此抛物线的解析式．
（2）当点P在x轴上方时，结合图象，直接写出m的取值范围．
（3）若此抛物线在点P左侧部分（包括点P）的最低点的纵坐标为2﹣m．
①求m的值．
②以PA为边作等腰直角三角形PAQ，当点Q在此抛物线的对称轴上时，直接写出点Q的
坐标．
【分析】（1）通过待定系数法求解．
（2）令y＝0，求出抛物线与x轴交点坐标，结合图象求解．
（3）①分类讨论点P在抛物线对称轴右侧及左侧两种情况，分别求出顶点为最低点和点
P为最低点时m的值．
②根据m的值，作出等腰直角三角形求解．
【解答】解：（1）将（1，0），（0，3）代入y＝x2+bx+c得 ，
解得 ，
∴y＝x2﹣4x+3．
（2）令x2﹣4x+3＝0，
解得x ＝1，x ＝3，
1 2
∴抛物线与x轴交点坐标为（1，0），（3，0），
∵抛物线开口向上，
∴m＜1或m＞3时，点P在x轴上方．
（3）①∵y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，
第29页（共31页）∴抛物线顶点坐标为（2，﹣1），对称轴为直线x＝2，
当m＞2时，抛物线顶点为最低点，
∴﹣1＝2﹣m，
解得m＝3，
当m≤2时，点P为最低点，
将x＝m代入y＝x2﹣4x+3得y＝m2﹣4m+3，
∴m2﹣4m+3＝2﹣m，
解得m ＝ （舍），m ＝ ．
1 2
∴m＝3或m＝ ．
②当m＝3时，点P在x轴上，AP＝2，
∵抛物线顶点坐标为（2，﹣1），
∴点Q坐标为（2，﹣1）或（2，1）符合题意．
当m＝ 时，如图，∠QPA＝90°过点P作y轴平行线，交x轴于点F，作QE⊥PF于点
E，
第30页（共31页）∵∠QPE+∠APF＝∠APF+∠PAF＝90°，
∴∠QPE＝∠PAF，
又∵∠QEP＝∠PFA＝90°，QP＝PA，
∴△QEP≌△PFA（AAS），
∴QE＝PA，即2﹣m＝m2﹣4m+3，
解得m ＝ （舍），m ＝ ．
1 2
∴PF＝2﹣ ，AF＝PE＝1﹣ ，
∴EF＝PF+PE＝2﹣ +1﹣ ＝ ，
∴点Q坐标为（2， ）．
综上所述，点Q坐标为（2，﹣1）或（2，1）或（2， ）．
【点评】本题考查二次函数的综合应用，解题关键是掌握二次函数的性质，掌握二次函数
与方程的关系，通过数形结合求解．
第31页（共31页）
