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专题 14 平面中的轨迹方程问题
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题型01 直接法...........................................................................................................................................................1
题型02 定义法...........................................................................................................................................................2
题型03 相关点法.......................................................................................................................................................4
题型04 交轨法...........................................................................................................................................................5
题型 01 直接法
【解题规律·提分快招】
1、曲线方程的定义
一般地，如果曲线 与方程 之间有以下两个关系：
①曲线 上的点的坐标都是方程 的解；
②以方程 的解为坐标的点都是曲线 上的点．
此时，把方程 叫做曲线 的方程，曲线 叫做方程 的曲线．
2、求曲线方程的一般步骤
（1）建立适当的直角坐标系（如果已给出，本步骤省略）；
（2）设曲线上任意一点的坐标为 ；
（3）根据曲线上点所适合的条件写出等式；
x、y
（4）用坐标 表示这个等式，并化简；
（5）确定化简后的式子中点的范围．
上述五个步骤可简记为：建(建系)设(设点)现(限制条件)代(代点)化(化简)．
3、直接法
如果动点运动的条件就是一些几何量的等量关系，这些条件简单明确，不需要特殊的技巧，易于表述成含
的等式，就可得到轨迹方程，且要注意等量关系中的限制条件（三角形、斜率等）
【典例训练】
一、单选题
1．（2024·山东泰安·一模）在平面内， 是两个定点， 是动点，若 ，则点 的轨迹为（ ）
A．椭圆 B．抛物线 C．直线 D．圆
2．（24-25高三上·全国·课后作业）已知两定点 ，动点 满足
，则点 的轨迹方程是（ ）
A． B．
C． D．
3．（24-25高三上·全国·课后作业）已知 是坐标原点，点 满足 ，且
，则点 的轨迹方程为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
4．（24-25高三上·吉林通化·期中）在 中， ， ， ，则点 的轨迹方程为
．
5．（24-25高三上·上海·随堂练习）在平面直角坐标系xOy中，动点P关于x轴对称的点为Q，且
，则点P的轨迹方程为 .
题型 02 定义法
【解题规律·提分快招】
1、椭圆定义
如果动点 的运动规律合乎我们已知的某种曲线（如圆、椭圆、双曲线、抛物线）的定义，则可先设出轨
迹方程，再根据已知条件，待定方程中的常数，即可得到轨迹方程。
①第一定义：平面内与两个定点F,F 的距离之和等于常数(大于|FF|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫
1 2 1 2
做椭圆的焦点,两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．
②第二定义：平面内一动点到定点与定直线的距离之比等于常数e (0＜e＜1) ，则该动点的轨迹为椭圆，
该常数为椭圆离心率，定点为焦点，定直线为该焦点对应的准线。
③椭圆第三定义：A,B为关于原点对称的两个定点，一动点到 A，B两点的斜率之积为常数e2−1，当0＜
e2＜1时，该动点的轨迹为椭圆。
2、双曲线定义
①第一定义：平面内与两个定点F,F 的距离的差的绝对值等于常数(小于|FF|)的点的轨迹叫做双曲线．这
1 2 1 2
两个定点叫做双曲线的焦点,两焦点间的距离叫做双曲线的焦距
②第二定义：平面内一动点到定点与定直线的距离之比等于常数e (e＞1) ，则该动点的轨迹为双曲线，该常数为双曲线离心率，定点为焦点，定直线为该焦点对应的准线。
③第三定义：A,B为关于原点对称的两个定点，一动点到 A，B两点的斜率之积为常数e2−1，当e2＞1
时，该动点的轨迹为双曲线。
3、抛物线定义
平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点 F叫做抛物线的
焦点,直线l叫做抛物线的准线．
注意：
(1)定直线l不经过定点F.
(2)定义中包含三个定值,分别为一个定点,一条定直线及一个确定的比值.
【典例训练】
一、单选题
1．（24-25高三上·重庆沙坪坝·期末）点 的坐标分别是 ，直线 相交于点 ，且
它们的斜率之积是 ，则点 的轨迹方程是（ ）
A． B．
C． D．
2．（24-25高三上·四川绵阳·期中）已知 ， ，直线 相交于点 ，且直线 与直
线 的斜率之积为1，则点 的轨迹方程为（ ）
A． B．
C． D．
3．（24-25高三上·福建福州·阶段练习）已知动点 到点 的距离比它到直线 的距离大1，则
动点 的轨迹方程为（ ）
A． B． C． D．
4．（24-25高三上·河南南阳·阶段练习）动点 与定点 的距离和 到定直线 的距离
的比是常数 ，则动点 的轨迹方程是（ ）
A． B．
C． D．
5．（24-25高三上·湖南邵阳·阶段练习）一动圆 过定点 ，且与已知圆 ： 外切，则动圆圆心 的轨迹方程是（ ）
A． B．
C． D．
6．（24-25高三上·黑龙江·期中）已知圆 和圆 ，若动圆P与这
两圆一个内切一个外切，该动圆圆心P的轨迹方程为（ ）
A． B．
C． D．
题型 03 相关点法
【解题规律·提分快招】
如果动点 的运动是由另外某一点 的运动引发的，而该点的运动规律已知（该点坐标满足某已知曲线
方程），则可以设出 ，用 表示出相关点 的坐标，然后把 的坐标代入已知曲线方程，即
可得到动点 的轨迹方程。
“相关点法”求轨迹方程的基本步骤
(1)设点：设被动点坐标为(x,y),主动点坐标为(x,y)；
1 1
{x =f(x,y)
(2)求关系式：求出两个动点坐标之间的关系式 1
y =g(x,y)
1
(3)代换：将上述关系式代入已知曲线方程,便可得到所求动点的轨迹方程．
【典例训练】
一、单选题
1．（24-25高三上·广东·开学考试）在平面直角坐标系中，将圆 上所有点的横坐标伸长到原
来的2倍，纵坐标缩短为原来的 ，则得到的新曲线的曲线方程为（ ）
A． B．
C． D．
2．（24-25高三上·福建莆田·期末）在圆 上任取一点P，过点P作x轴的垂线段 ，D为垂足，
M是线段 上的点，且 ，当点P在圆上运动时，则点M的轨迹方程是（ ）A． + =1(y ) B． + =1(y )
C． + =1(y ) D． + =1(y )
3．（24-25高三上·海南·阶段练习）已知椭圆 的短轴的两个端点分别为 、 ， 为椭圆上一动
点，则 的重心 的轨迹方程是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
4．（24-25高三上·江苏南通·阶段练习）如图， 轴，垂足为 ，点 在 的延长线上，且
，当点 在圆 上运动时，点 的轨迹方程为 ．
5．（23-24高三上·山东烟台·阶段练习）已知定点B（3,0），点A在圆x2＋y2＝1上运动，∠AOB的平分线
交线段AB于点M，则点M的轨迹方程是 ．
题型 04 交轨法
【解题规律·提分快招】
求两曲线的交点轨迹时,可由方程直接消去参数,或者先引入参数来建立这些动曲线的联系,然后消去参数来
得到轨迹方程,称之交轨法.若动点是两曲线的交点,可以通过这两曲线的方程直接求出交点的轨迹方程,也可
以解方程组先求出交点坐标的参数方程,再化为普通方程.
【典例训练】
一、单选题
1．（24-25高三上·江苏南通·阶段练习）在平面直角坐标系 中， ，动点 和 分别位
于 正半轴和负半轴上，若 ，则 和 的交点 的轨迹方程为（ ）
A． B．C． D．
2．（2024高三上·全国·专题练习）设 是椭圆 与x轴的两个交点， 是椭圆上垂直于
的弦的端点，则直线 与 交点的轨迹方程为（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
3．（2024高三·全国·专题练习）已知 是椭圆 中垂直于长轴的动弦， 是椭圆
长轴的两个端点，则直线 和 的交点 的轨迹方程为 ．
一、单选题
1．（24-25高三上·福建福州·期末）已知 两点的坐标分别是 ，直线 相交于点 ，且
它们的斜率之和是2，则点 的轨迹方程是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2024高三·全国·专题练习）若动点 满足方程 ，则动点P的轨
迹方程为（ ）
A． B． C． D．
3．（24-25高三上·广西南宁·开学考试）已知 ， ，在x轴上方的动点M满足直线AM的斜率
与直线BM的斜率之积为2，则动点M的轨迹方程为（ ）
A． B．
C． D．
4．（24-25高三上·山东菏泽·期中）已知曲线 ，从曲线上任意一点P向y轴作垂线，垂足为 ，且 ，则点N的轨迹方程为（ ）
A． B． C． D．
5．（24-25高三上·黑龙江鸡西·期中）当点 在圆 上运动时，它与定点 相连，则线段PQ
的中点 的轨迹方程是（ ）
A． B．
C． D．
6．（2024·广西·模拟预测）已知 ， 分别为 轴、 轴上的动点，若以线段 为直径的圆过点 ，
则线段 的中点 的轨迹方程为（ ）.
A． B．
C． D．
7．（23-24高三上·江苏南通·阶段练习）已知等腰 底边两端点的坐标分别为 ， ，则
顶点A的轨迹方程是（ ）
A． B．
C． D．
8．（24-25高三上·贵州铜仁·阶段练习）在平面直角坐标系 中，已知点 ， ， 是一个
动点，则下列说法正确的是（ ）
A．若 ，则点 的轨迹为椭圆
B．若 ，则点 的轨迹为圆
C．若 ，则点 的轨迹为双曲线
D．若 ，则点 的轨迹为一条线段
9．（24-25高三上·河北·期中）已知圆 ，点 ，点 在圆 上运动，线段 的中垂线与
交于点 ，则点 的轨迹方程为（ ）
A． B．
C． D．10．（2024·辽宁·模拟预测）已知 是椭圆 的长轴上的两个顶点，点 是椭圆上异于长轴
顶点的任意一点，点 与点 关于 轴对称，则直线 与直线 的交点 所形成的轨迹为（ ）
A．双曲线 B．抛物线
C．椭圆 D．两条互相垂直的直线
二、填空题
11．（24-25高三上·山西晋城·期中）已知平面内点 ， ，平面内满足 的动点
的轨迹方程为 ．（化简成最简形式）
12．（24-25高三上·江苏南通·阶段练习）已知点 是椭圆的一个焦点，且椭圆经过 ，
两点，则椭圆的另一个焦点 的轨迹方程为 ．
13．（24-25高三上·河北承德·期中）过曲线C上一点P作圆 的两条切线，切点分别为A，B，若
，则曲线C的方程为 ．
14．（24-25高三上·黑龙江黑河·阶段练习）已知 分别是直线 和 上的两个动点，线段
的长为 ， 是 的中点，则动点 的轨迹方程是 .
15．（24-25高三上·山西·期末）在平面直角坐标系 中，已知点 ， 在椭圆 ：
上，且直线 ， 的斜率之积为 ，则 中点的轨迹方程为 .
16．（23-24高三上·四川成都·期中）关于直线 ，有下列说法:
①对任意 ，直线 不过定点；
②平面内任给一点，总存在 ，使得直线 经过该点；
③当 时，点 到直线 的距离最小值为 ；
④对任意 ，且有 ，则直线 与 的交点轨迹为一直线.
其中正确的是 .
