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北师大版 2022-2023 学年九年级上册期中测试卷 02
一、单选题
1．下列方程式属于一元二次方程的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程；由此问
题可求解．
【解析】解：A、未知数的最高次数为3，故不是一元二次方程；
B、不是整式方程，故不是一元二次方程；
C、含有2个未知数，故不是一元二次方程；
D、是一元二次方程，故符合题意；
故选D．
【点睛】本题主要考查一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义是解题的关键．
2．在菱形ABCD中，周长为24，已知其两个相邻的内角度数比为 ，则菱形ABCD中较短对角线长度为
（ ）
A．6 B．8 C． D．
【答案】A
【分析】如图，由题意易得 ，然后可得△ABD是等边三角形，进而问题可求解．
【解析】解：如图，∵四边形ABCD是菱形，且周长为24，
∴ ， ，
∴ ，
∵两个相邻的内角度数比为 ，
∴ ，
∴△ABD是等边三角形，
∴ ，
即菱形较短的对角线长为6；
故选A．
【点睛】本题主要考查菱形的性质及等边三角形的性质与判定，熟练掌握菱形的性质及等边三角形的性质
与判定是解题的关键．
3．如图，E为 的边CB的延长线上一点，若 ，则 的值为（ ）
A． B． C．2 D．3
【答案】C
【分析】先根据平行四边形的性质可得 ，再根据 可得 ，从而可得
，然后根据相似三角形的判定证出 ，根据相似三角形的性质即可得．
【解析】解： 四边形 是平行四边形，
，
，
，
，即 ，
又 ，，
，
故选：C．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质、相似三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握相似三角形的判定
与性质是解题关键．
4．随着10月18号第十七届景德镇国际博览会开幕，吸引来无数国内外陶瓷爱好者来景德镇旅游，外国友
人汤姆和杰瑞计划看完陶瓷会展之后，然后各自在“古窑”，“瑶里”，“古县衙”，“陶溪川”这四个
景点中选一个去参观，汤姆和杰瑞正好选中同一地方的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用列表法得到16种等可能结果，其中汤姆和杰瑞正好选中同一地方的有4种情况，再根据概率
公式计算，即可求解．
【解析】解：设“古窑”，“瑶里”，“古县衙”，“陶溪川”这四个景点分别用A、B、C、D表示，
根据题意，列出表格如下：
A B C D
A AA BA CA DA
B AB BB CB DB
C AC BC CC DC
D AD BD CD DD
一共得到16种等可能结果，其中汤姆和杰瑞正好选中同一地方的有4种情况，
∴汤姆和杰瑞正好选中同一地方的概率是 ．
故选：B
【点睛】本题主要考查了利用树状图或列表法求概率，明确题意，准确画出树状图或列出表格是解题的关
键．
5．已知3是关于x的方程 的一个根，并且这个方程的两个根恰好是等腰三角形ABC的两条
边长，则三角形ABC的周长为（ ）A．9 B．12 C．12或15 D．15
【答案】D
【分析】把x＝3代入已知方程求得a的值，然后求出该方程的两根，即等腰 ABC的两条边长，由三角形
三边关系和三角形的周长公式进行解答即可． △
【解析】解：把x＝3代入方程得： ，
解得a＝9，
则原方程为 ，
解得： ，
因为这个方程的两个根恰好是等腰 ABC的两条边长，
①当 ABC的腰为3，底边为6时，△不符合三角形三边关系
②当△ABC的腰为6，底边为3时，符合三角形三边关系， ABC的周长为6＋6＋3＝15，
综上△所述， ABC的周长为15． △
故选：D．△
【点睛】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的
解．也考查了解一元二次方程、等腰三角形的性质以及三角形三边关系．
6．如图，在 ABC中，P为AB上一点，∠ACP＝∠B，则下列结论中错误的是（ ）
△
A．∠APC＝∠ACB B．AC2＝APBP
C．ACCP＝APCB D．
【答案】B
【分析】根据 ， ，证明 ，再利用相似三角形的性质逐一分析即可．
【解析】解：∵ ， ，
∴ ，
∴ ， ，故A、D正确，不满足题意；
∴ ，故C正确，不满足题意；∴ ，故B不正确，满足题意．
故选：B．
【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质．解题的关键在于掌握相似三角形的对应角相等，对应边成比
例．
7．如图，矩形ABCD的顶点B在矩形AEFC的边EF上，矩形ABCD的周长为10，对角线AC为 ，则
图中阴影部分的面积为( )
A．6 B．5 C．3 D．10
【答案】C
【分析】过点B作BG⊥AC于点G，证明四边形AEBG和四边形BGCF为矩形，得出图中阴影部分的面积
为Rt ABC的面积，求出Rt ABC的面积即可．
【解析△】解：过点B作BG⊥△AC于点G，如图，
∴
∵四边形AEFC是矩形，
∴
∴四边形AEBG和四边形BGCF为矩形，
∴
∴∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=90°
∴ ①
又
∴ ②，
由①②得 或
∴
∴图中阴影部分的面积为3
故选：C
【点睛】本题主要考查了矩形的判定与性质，正确作出辅助线构造矩形是解答本题的关键．
8．如图，在矩形ABCD中， ， ，AG平分 ，分别过点B，C作 于点E，
于点F，则 的值为（ ）
A．1 B．2 C． D．
【答案】C
【分析】根据矩形的性质和角平分线的性质，可证△ADG、△ABE、△CGF都是等腰直角三角形，等腰直
角三角形的直角边和斜边比为1： ，AE可用AB表示，GF可用CG表示，而CG可用CD表示，即可求
解．
【解析】∵四边形ABCD为矩形，且AG平分
∴∠DAG=∠EAB=45°，∠D=90°
∴AD=DG=2
∵
∴∠AEB=90°，即△AEB为等腰直角三角形∴AB= =CD
令AE=BE=x，则AB=CD=
由图可知：CG=CD-DG= -2
∵ ，∠DGA=∠CGF=45°
∴△CGF为等腰直角三角形
∴GF=
∴ =x-（ ）=
故选：C
【点睛】本题主要考查了矩形的性质和等腰直角三角形的性质，矩形的四个角都是直角，等腰直角三角形
的直角边和斜边比为1： ，熟练地将各条边进行相互转化，必要时可引入一个未知数来表示不知道长度
地边是解题的关键．
9．如图，Rt ABC纸片中，∠C=90°，AC=3，BC=4，点D在边BC 上，以AD为折痕 ABD折叠得到
AB′D，AB△′与边BC交于点E．若 DEB′为直角三角形，则BD的长为（ ） △
△ △
A．1 B．2.5 C．1或3 D．1或2.5
【答案】D
【分析】先依据勾股定理求得AB的长，然后由翻折的性质可知：AB′＝AB，DB＝DB′，接下来分∠B′DE＝
90°和∠B′ED＝90°两种情况画出图形，设DB＝DB′＝x，然后依据勾股定理列出关于x的方程求解即可．
【解析】解：∵Rt△ABC纸片中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，
∴AB＝5，∵以AD为折痕，△ABD折叠得到△AB′D，
∴BD＝DB′，AB′＝AB＝5．
如图1所示：当∠B′DE＝90°时，过点B′作B′F⊥AC，交AC的延长线于点F，
则四边形B′DCF是矩形，
∴CD=B′F，CF= B′D，
设BD＝DB′＝x，则AF＝3+x，FB′＝4﹣x．
在Rt△AFB′中，由勾股定理得：AB′2＝AF2+FB′2，即（3+x）2+（4﹣x）2＝52．
解得：x＝1，x＝0（舍去）．
1 2
∴BD＝1．
如图2所示：当∠B′ED＝90°时，C与点E重合．
∵AB′＝5，AC＝3，
∴B′E＝2．
设BD＝DB′＝x，则CD＝4﹣x．
在Rt△B′DE中，DB′2＝DE2+B′E2，即x2＝（4﹣x）2+22．
解得：x＝2.5．
∴BD＝2.5．
综上所述，BD的长为1或2.5．
故选：D．【点睛】本题考查了折叠的性质、勾股定理、矩形的判定与性质以及一元二次方程的解法等知识，正确分
类、熟练掌握上述知识、灵活应用方程思想是解题的关键．
10．如图，在正方形ABCD中，△BPC是等边三角形，BP、CP的延长线分别交AD于点EF，连接BD、
DP，BD与CF相交于点H．给出下列结论：①AE＝ FC；②∠PDE＝15°；③ ；④DE2＝
PF•FC．其中正确的为（ ）
A．①②③ B．①③ C．②③④ D．①②④
【答案】D
【分析】由△BPC是等边三角形，得AE＝ ，而BE＝CF，故①正确；由PC＝BC＝CD，∠PCD＝90°
﹣60°＝30°，可判定②正确；由△FDN∽△CHB，得 ，由△BHC与△DHC同高，可知
，则判定③错误，由△PED∽△DEB，得 ，则ED2＝PE•BE，可判定④正确．
【解析】解：∵△BPC为等边三角形，
∴PB＝PC，∠PBC＝∠PCB＝60°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴FE∥BC，
∴△FEP∽△CPB，
∴ ,
∴PE＝PF，
∴FC＝EB，
∵∠PBC＝60°，∠ABC＝90°，∴∠ABE＝30°，
在Rt△ABE中，∵∠ABE＝30°，
∴AE＝ ，
又∵BE＝FC，
∴AE＝ ，故①正确；
∵PC＝BC＝CD，∠PCD＝90°﹣60°＝30°，
∴∠DPC＝∠PDC＝ ＝75°，
∴∠PDE＝∠ADC﹣∠PDC＝90°﹣75°＝15°，故②正确；
∵FD∥BC，
∴△FDH∽△CBH，
∴ ，
又∵△BHC与△DHC同高，
∴ ，
又∵ ，
∵∠FDC=90°，∠FCD=30°，
∴CF=2DF，
∴ ，
∴F不是AD中点，
∴ ，
∴ ，故③错误；
∵∠EPD＝180°﹣∠EPF﹣∠DPC＝180°﹣60°﹣75°＝45°＝∠ADB，∠PED＝∠PED，
∴△PED∽△DEB，
∴ ，∴ED2＝PE•BE，
又∵PE＝PF，BE＝FC，
∴DE2＝PF•FC，故④正确，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质，相似三角形的性质与判定，含30度角的直角三角形的性质，勾股
定理，等腰三角形的性质与判定，等边三角形的性质，三角形内角和定理等等，熟知相关知识是解题的关
键．
二、填空题
11．已知线段 ， ，线段c是线段a，b的比例中项，则c=_______．
【答案】4
【分析】利用比例中项的定义得到c2=ab=16，然后求出16的算术平方根即可．
【解析】解：∵线段c是线段a，b的比例中项，
∴c2=ab，
而线段a=8，b=2，
∴c2=8×2=16，
而c＞0，
∴c=4．
故答案为：4．
【点睛】本题考查了成比例线段，掌握比例中项的定义是解决问题的关键．
12．已知m是方程 的一个根，则 ______．
【答案】3
【分析】由题意知，m是方程的一个根，则可把x=m代入原方程，即可求解．
【解析】解：∵m是方程 的一个根
∴把x=m代入原方程得：
∴ 3
故答案为：3．
【点睛】本意主要考查了对一元二次方程的根的理解，知道了方程得一个根，就可把根代入原方程求解．再计算过程中注意，得到一个关于m得方程后，把 当作一个整体，直接移项可求解，不需要算出m
得值．
13．如图，在正方形ABCD中，点E为边长AB延长线上一点，且 ，则 ______．
【答案】
【分析】根据正方形的性质易得∠CAE=∠ACB =45°，然后根据等腰三角形的性质可求解．
【解析】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠CAE=∠ACB=45°，
∵ ，
∴ ，
∴ ；
故答案为 ．
【点睛】本题主要考查正方形的性质，熟练掌握正方形的性质是解题的关键．
14．有一只鸡患了 流感，经过两轮传染后共有 只鸡患了流感，那么每轮传染中，平均一只鸡传
染的只数为________．
【答案】9
【分析】设每轮传染中平均每只鸡传染了x只鸡，第一轮后有（1+x）只鸡患了流感，第二轮后会传染给x
（1+x）只鸡，则两轮以后共有1+x+x（1+x）只鸡得病，然后根据共有100只鸡患了流感就可以列出方程
求解．
【解析】设每轮传染中平均每个人传染了x只鸡．
依题意得1+x+x（1+x）=100，
∴x2+2x-99=0，
∴x=9或x=-11（不合题意，舍去）．
所以，每轮传染中平均一只鸡传染给9个只鸡．
故答案为9．【点睛】考查一元二次方程的应用，设出未知数，找出等量关系，列出方程是解题的关键.
15．在 中，现有以下四个条件：① ，② ，③ ，④ ，小马准
备从以上四个条件中，随机选出两个，可以得出 为正方形的概率为______．
【答案】
【分析】根据正方形的判定条件分析判断即可．
【解析】解：题目中四个条件，随机选出两个，共计有 种可能性，
其中能够证明 为正方形的有4种，分别为：①②，①④，②③，③④，
故可以得出 为正方形的概率为 ．
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了正方形的判定与简单概率计算，熟练掌握正方形的判定条件是解题关键．
16．我国古代数学著作《九章算术》中记载了一个问题：“今有邑方不知大小，各开中门，出北门三十步
有木，出西门七百五十步见木，问：邑方几何？”．其大意是：如图，一座正方形城池，A为北门中点，
从点A往正北方向走30步到B处有一树木，C为西门中点，从点C往正西方向走750步到D处正好看到B
处的树木，则正方形城池的边长为_____步．
【答案】300．
【分析】设正方形城池的边长为 步, 根据比例性质求 .
【解析】解：设正方形城池的边长为 步,即正方形城池的边长为300步．
故答案为300．
【点睛】本题考查了相似三角形的应用：构建三角形相似，利用相似比计算对应的线段长．
17．如图，在矩形ABCD中， ， ，点P在BC边上，点M在AD边上， ，点Q为AP
的中点，当 为直角三角形时，AP的长为__________．
【答案】4或 或
【分析】分当P为B重合时和当∠AQM=90°，当∠AMQ=90°时三种情况讨论求解即可．
【解析】解：当P为B重合时，Q为AB的中点，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠QAM=90°，满足△AMQ是直角三角形，
∴此时AP=AB=4；
当∠AQM=90°时，如图1所示，连接MP，过点M作MN⊥BC于N，则四边形ABNM是矩形，
∴MN=AB=4，∠MNP=90°，BN=AM=5，
∵Q为AP的中点，MQ⊥AP，
∴MQ是线段AP的垂直平分线，
∴AM=MP=5，
∴ ，
∴BP=2，
∴ ，同理当∠AQM=90°时，如图2所示，求得PN=3，
∴BP=8，
∴ ；
当∠AMQ=90°时，如图3所示，
∵点P在BC上，
∴ 的最大值即为P与C点重合时AC的长，即 ，
∴ 长度的最大值为 ，
∵ ，
∴此种情况不成立；
综上所述，AP的长为4或 或 ．故答案为：4或 或 ．
【点睛】本题主要考查了矩形的性质与判定，线段垂直平分线的性质，勾股定理，利用分类讨论的思想求
解是解题的关键．
18．如图，在边长为6的正方形ABCD内作 ，AE交BC于点E，AF交CD于点F，连接EF，将
绕点A顺时针旋转90°得到 ，若 ，则BE的长为__________．
【答案】2
【分析】根据旋转的性质可知， ADF≌ ABG，然后即可得到DF=BG，∠DAF=∠BAG，然后根据已知条
件证明 EAG≌ EAF，设 △，在 △ 中，由勾股定理可以求出BE的长．
【解析△】解：由△旋转可知， ADF≌ ABG，
∴ ，∠DAF=∠B△AG， △
∵∠DAB=90°，∠EAF=45°，
∴∠DAF+∠EAB=45°，
∴∠BAG+∠EAB=45°，
∴∠EAF=∠EAG，
在△EAG和△EAF中，
，∴△EAG≌△EAF(SAS)，
∴GE=FE，
设 ，则 ， ，
∴ ，
∵CD=6，DF=3，
∴ ，
∵∠C=90°，
∴在 中， ，即 ，
解得， ，即BE=2．
故答案为：2．
【点睛】本题考查旋转的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理，解答本题的关键是明确题意，利用
数形结合的思想解题．
三、解答题
19．已知 、 、 是 的三边长，且 .
（1）求 的值；
（2）若 的周长为90，求各边的长.
【答案】（1） ；（2）各边的长为：30，24，36
【分析】利用已知中的比例式，用同一未知数表示出a，b，c的值，进而计算得出答案．
【解析】解：（1）∵ ，
∴设a=5x，b=4x，c=6x，
∴ ，
（2）∵ 的周长为90，
∴a+b+c=90
∴5x+4x+6x=90
∴x=6
∴各边的长为：30，24，36【点睛】此题主要考查了比例的性质，正确表示出各数是解题关键．
20．（1）解方程
（2）如图所示， 中， 求证：
【答案】（1） ；（2）证明见解析
【分析】（1）先移项，再利用直接开平方法解方程即可；
（2）由 可得 从而可得结论.
【解析】解：（1）
移项得：
或
解得：
（2）
【点睛】本题考查的是一元二次方程的解法，平行线分线段成比例，掌握“直接开平方法解一元二次方程，
平行线分线段成比例”是解题的关键.
21．已知关于x的一元二次方程ax2＋bx＋1＝0(a≠0)有两个相等的实数根，求 的值．【答案】4
【分析】根据关于 的一元二次方程 有两个相等的实数根，得出 ，再代入要求
的式子，然后进行整理即可得出答案．
【解析】解： 关于 的一元二次方程 有两个相等的实数根，
△ ，
，
．
【点睛】本题考查了解方程和根的判别式，用到的知识点是因式分解法、根的判别式、约分，一元二次方
程根的情况与判别式△的关系：（1）△ 方程有两个不相等的实数根；（2）△ 方程有两个相
等的实数根；（3）△ 方程没有实数根．
22．已知，如图，点D是 ABC的边AB的中点，四边形BCED是平行四边形，
（1）求证：四边形ADCE△是平行四边形；
（2）当 ABC满足什么条件时，平行四边形ADCE是矩形？
△
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【解析】解：（1）∵四边形BCED是平行四边形，
∴BD=CE且BD//CE．
又∵D是 ABC的边AB的中点，
∴AD=BD，△
∴DA=CE．
又∵DA//CE，
∴四边形ADCE是平行四边形．
（2）当 ABC为等腰三角形且AC=BC时，四边形ADCE是矩形．证明如下：
∵AC=BC△，D是 ABC的边AB的中点，
∴CD⊥AD， △∴∠CDA=90°．
∵四边形ADCE是平行四边形，
∴四边形ADCE是矩形．
23．如图所示，四边形ABCD是正方形， 是等边三角形，请仅用无刻度的直尺分别按下列要求做图
（保留作图痕迹）．
（1）在图1中，作CD的中点M．
（2）在图2中，在CD边上作一点N，使 ．
【答案】（1）作图见解析；（2）作图见解析
【分析】（1）根据正方形的性质作图即可；
（2）根据正方形的性质的性质作图即可；
【解析】（1）连接AC，BD交于点F，连接EF并延长交DC于M，即点M时所求点；
（2）在（1）的基础上延长ME交AB于点H，连接HC，BM交于点P，连接FP，并延长交BC于点G，连
接CF，MG交于点Q，连接PQ并延长交DC于点N，即可得到 ；【点睛】本题主要考查了利用正方形和等边三角形的性质作图，准确作图是解题的关键．
24．某种油菜籽在相同条件下的发芽试验的结果如下：
每批粒数n 100 150 200 500 800 1000
发芽的粒数m 65 111 136 345 560 700
0.65 0.74 0.68 0.69 a b
发芽的频率
(1)上表中a＝ ，b＝ ；
(2)请估计，当n很大时，频率将会接近 ；
(3)这种油菜籽发芽的概率的估计值是多少？请简要说明理由；
(4)如果该种油菜籽发芽后的成秧率为90%，则在相同条件下用10000粒该种油菜籽估计可得到油菜秧苗多
少棵？
【答案】(1)0.70；0.70
(2)0.70
(3)0.70，在相同条件下，当实验次数很大时，事件发生的频率可作为概率的近似值
(4)6300
【分析】（1）用发芽的粒数m÷每批粒数n，即可得到发芽的频率 ；
（2）根据估计得出频率即可；
（3）6批次种子粒数从100粒逐渐增加到1000粒时，种子发芽的频率趋近于0.7，所以估计当n很大时，
频率将接近0.7；
（4）首先计算发芽的种子数，然后乘以90%计算得到油菜秧苗的棵数即可．
（1）解：a= =0.70，b= =0.70；
故答案为：0.70；0.70；
（2）
当n很大时，频率将会接近0.70；
故答案为：0.70；
（3）
这种油菜籽发芽的概率估计值是0.70，
理由：在相同条件下，当试验次数很大时，事件发生的频率可作为概率的近似值；
（4）
10000×0.70×90%=6300（棵），
答：10000粒该种油菜籽可得到油菜秧苗6300棵．
【点睛】本题考查利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：频率=所求
情况数与总情况数之比．
25．如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥BC，垂足为E，连接DE，F为线段DE上一点，且
∠AFE=∠B
（1）求证：△ADF∽△DEC；
（2）若AB=8，AD=6 ，AF=4 ，求AE的长．
【答案】（1）见解析（2）6
【分析】（1）利用对应两角相等，证明两个三角形相似 ；
（2）利用 ，可以求出线段 的长度；然后在 中，利用勾股定理求出线段 的长
度．
【解析】（1）证明： 四边形 是平行四边形，
， ，
， ．
， ，
．在 与 中，
．
（2）解： 四边形 是平行四边形，
．
由（1）知 ，
，
．
， ，
，
，
在 中，由勾股定理得： ．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质，勾股定理，解题的关键是证明
．
26．因魔幻等与众不同的城市特质，以及抖音等新媒体的传播，重庆已成为国内外游客最喜欢的旅游目的
地城市之一．著名“网红打卡地”磁器口在2018年五一长假期间，接待游客达20万人次，预计在2020年
五一长假期间，接待游客将达28.8万人次．在磁器口老街，美食无数，一家特色小面店希望在五一长假期
间获得好的收益，经测算知，该小面成本价为每碗6元，借鉴以往经验：若每碗卖25元，平均每天将销售
300碗，若价格每降低1元，则平均每天多销售30碗．
(1)求出2018至2020年五一长假期间游客人次的年平均增长率；
(2)为了更好地维护重庆城市形象，店家规定每碗售价不得超过20元，则当每碗售价定为多少元时，店家
才能实现每天利润6300元？
【答案】(1)年平均增长率为20%；(2)每碗售价定为20元时，每天利润为6300元.
【分析】（1）根据题意设平均增长率为未知数 ，再根据题意建立方程式求解；
（2）根据题意设每碗售价为未知数 ，再根据题意建立方程式求解．
【解析】（1）解：设平均增长率为 ，
则 ，解得： ， (舍)，
答：年平均增长率为20%；
（2）设每碗售价定为 元时，每天利润为6300元，
，
解得： ， ，
∵每碗售价不超过20元，所以 ．
【点睛】本题考查了在实际生活中对方程式的建立及求解，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的实际运
用．
27．如图1，在正方形ABCD中，P是对角线BD上的一点，点E在AD的延长线上，且PA=PE，PE交CD
于F，
（1）证明：PC=PE；
（2）求∠CPE的度数；
（3）如图2，把正方形ABCD改为菱形ABCD，其他条件不变，当∠ABC=120°时，连接CE，试探究线段
AP与线段CE的数量关系，并说明理由．
【答案】（1）证明见解析；（2）90°；（3）AP=CE，理由见解析
【分析】(1)根据正方形得出AB=BC，∠ABP=∠CBP=45°，结合PB=PB得出 ABP ≌△CBP，从而得出结论；
(2)根据全等得出∠BAP=∠BCP，∠DAP=∠DCP，根据PA=PE得出∠DAP=∠△E，即∠DCP=∠E，易得答案；
(3)首先证明 ABP和 CBP全等，然后得出PA=PC，∠BAP=∠BCP，然后得出∠DCP=∠DEP，从而得出
∠CPF=∠ED△F=60°，△然后得出 EPC是等边三角形，从而得出AP=CE．
【解析】(1)证明：在正方形AB△CD中，AB=BC，∠ABP=∠CBP=45°，
又∵ PB=PB，∴△ABP ≌△CBP（SAS），
∴PA=PC，
∵PA=PE，
∴PC=PE；
(2)解：由（1）知， ABP≌△CBP，
∴∠BAP=∠BCP， △
∴∠DAP=∠DCP，
∵PA=PE，
∴∠DAP=∠E，
∴∠DCP=∠E，
∵∠CFP=∠EFD（对顶角相等），
∴180°﹣∠PFC﹣∠PCF=180°﹣∠DFE﹣∠E，即∠CPF=∠EDF=90°；
(3)AP＝CE
理由是：在菱形ABCD中，AB=BC，∠ABP=∠CBP，
在 ABP和 CBP中，又∵ PB=PB，
∴ △ABP≌△C△BP（SAS），
∴△PA=PC，∠BAP=∠BCP，
∵PA=PE，
∴PC=PE，
∴∠DAP=∠DCP，
∵PA=PE，
∴∠DAP=∠DEP，
∴∠DCP=∠DEP，
∵∠CFP=∠EFD（对顶角相等），
∴180°﹣∠PFC﹣∠PCF=180°﹣∠DFE﹣∠DEP，即∠CPF=∠EDF=180°﹣∠ADC=180°﹣120°=60°，
∴△EPC是等边三角形，
∴PC=CE，
∴AP=CE．
28．在 中， ， （与点 ， 不重合）为 边上一动点，连接 ，以 为直角边，
在 的右侧作等腰直角三角形 ，直线 与 相交于点 ，连接 ．
（1）如图1，如果 ．
①直线 与 之间的位置关系是__________；
②线段 ， ， ， 的数量关系是_________．
（2）如图2，如果 ，（1）中的结论是否还成立，为什么？
（3）若 ， ，求 的长．
【答案】（1）①垂直，② ；（2）成立，理由见解析；（3）
【分析】（1）①由∠ACB=45°，AB=AC，得出∠BAC=90°，再根据∠BAD=∠CAE，BA=CA，AD=AE，
运用“SAS”证明△ABD≌△ACE得出∠ACE=∠ABD=45°，即可得出结论
②根据∠AED=∠ACB=45°和对顶角相等得出△AFE∽△DFC，从而得出结论
（2）（1）中的结论仍成立，过点A作AG⊥AC交BC于点G，得出△ACG是等腰直角三角形，与（1）
中①的方法相同即可得出CE⊥BD，与（1）中②的方法相同即可得出线段 ， ， ， 的数量关
系
（3）根据勾股定理 ， ，再根据△AFE∽△DFC得出 ，从而得出FA
【解析】解：（1）①CE与BD位置关系是垂直；
证明如下：
∵AB=AC，∠ACB=45°，
∴∠ABC=45°．由等腰直角三角形 得AD=AE，∠AED=45°
∵∠DAE=∠BAC=90°，
∴∠DAB=∠EAC，
∴△DAB≌△EAC（SAS），
∴∠ACE=∠ABC=45°．
∴∠BCE=∠ACB+∠ACE=90°．
即CE⊥BD．
②线段 ， ， ， 的数量关系是
理由：∵∠AED=∠ACB=45°，∠AFE=∠DFC
∴△AFE∽△DFC
∴
∴
（2）（1）中的结论还成立，
理由：过点A作AG⊥AC交BC于点G，
∴AC=AG，∠AGC=45°，
即△ACG是等腰直角三角形，
∵∠GAD+∠DAC=90°=∠CAE+∠DAC，
∴∠GAD=∠CAE，
又∵DA=EA，
∴△GAD≌△CAE，
∴∠ACE=∠AGD=45°，
∴∠BCE=∠ACB+∠ACE=90°，
即CE⊥BD．
∵∠AED=∠ACB=45°，∠AFE=∠DFC∴△AFE∽△DFC
∴
∴
（3）过A作AM⊥BC于M,
∵∠ACB=45°，
∴△AMC是等腰直角三角形，
∴
∴
∴
∴CD=CM-DM=
∵△AFE∽△DFC
∴
∴
∴ ；
【点睛】此题为三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质，相似三角
形的判定与性质，勾股定理等知识，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形，根据全等三角形的对应
边相等，对应角相等进行求解．
