文档内容
2021-2022学年陕西省咸阳市旬邑县九年级（上）期末数学试卷
一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分。每小题只有一个选项是符合题意的，请将正确
答案的序号填在题前的答题栏中）
1．（3分）下列方程中，关于x的一元二次方程是（ ）
A．3（x+1）2＝2（x+1） B．
C．ax2+bx+c＝0 D．x2+2x＝x2﹣1
2．（3分）如图，水平放置的空心圆柱体的主视图为（ ）
A． B．
C． D．
3．（3分）下列命题中正确的是（ ）
A．有一组邻边相等的四边形是菱形
B．有一个角是直角的平行四边形是矩形
C．对角线垂直的平行四边形是正方形
D．一组对边平行的四边形是平行四边形
4．（3分）在一个不透明的口袋中，装有若干个红球和6个黄球，它们只有颜色不同，摇匀后
从中随机摸出一个球，记下颜色后再放回口袋中，通过大量重复摸球试验发现，摸到黄球
的频率稳定在0.6，则估计口袋中大约有红球（ ）
A．24个 B．10个 C．9个 D．4个
5．（3分）如图，已知AB∥CD∥EF，则下列结论正确的是（ ）
第1页（共26页）A． ＝ B． ＝ C． ＝ D． ＝
6．（3分）如图，为了测量学校操场上旗杆BC的高度，在距旗杆24米的A处用测倾器测得旗
杆顶部的仰角为30°，则旗杆的高度为（ ）
A． 米 B． 米 C． 米 D． 米
7．（3分）已知ab＜0，一次函数y＝ax﹣b与反比例函数y＝ 在同一平面直角坐标系中的图
象可能（ ）
A． B．
C． D．
8．（3分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（1，0）和点B，与y轴的正半轴交
于点C，对称轴为x＝﹣1．下列结论正确的是（ ）
第2页（共26页）A．abc＜0 B．3a+c＝0 C．4a+2b+c＞0 D．2a+b＞0
二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分）
9．（3分）方程x（x+2）＝8化成一般形式是 ．
10．（3分）如图，在△ABC中，点D，E在边AB，AC上，DE∥BC，△ADE与△ABC的周长比为
2：5，则AD：DB＝ ．
11．（3分）将抛物线y＝3x2先向右平移2个单位，再向上平移3个单位，所得抛物线对应的函
数表达式为 ．
12．（3分）若点A（﹣3，y ），B（﹣2，y ），C（1，y ）都在反比例函数y＝﹣ 的图象上，则y ，
1 2 3 1
y ，y 的大小关系是 ．
2 3
13．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝10，BC＝5，若点M、N分别是线段AC、AB上的两个
动点，则BM+MN的最小值为 ．
三、解答题（共13小题，计81分，解答应写出过程）
14．（5分）解方程：3x（x﹣2）＝x﹣2．
15．（5分）如图，四边形ABCD∽四边形A'B'C'D'．
（1）∠B＝ °．
（2）求边x，y的长度．
第3页（共26页）16．（5分）如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，若AD＝6．tanC＝ ，BC＝12，求cosB的值．
17．（5分）如图，△ABC中，点P在边AB上，请用尺规在边AC上作一点Q，使 ．（保
留作图痕迹，不写作法）．
18．（5分）已知关于x的一元二次方程（m﹣2）x2+2mx+m+3＝0有两个不相等的实数根，求m
的取值范围．
19．（5分）在菱形ABCD中，点E，F分别是边AD，AB的中点．
求证：△ABE≌△ADF．
20．（6分）如图，琪琪在一座桥的附近试飞一架小型无人机，为了测量无人机飞行的高度
AD，琪琪通过操控装置测得无人机俯视桥头B，C的俯角分别为∠EAB＝60°和∠EAC＝
30°，且D，B，C在同一水平线上．已知桥BC＝36米，求无人机的飞行高度AD．
第4页（共26页）21．（6分）某口罩生产厂生产的口罩1月份平均日产量为18000个，1月底市场对口罩需求量
大增，为满足市场需求，工厂决定从2月份起扩大产量，3月份平均日产量达到21780个．
（1）求口罩日产量的月平均增长率；
（2）按照这个增长率，预计4月份平均日产量为多少？
22．（6分）“一方有难，八方支援”是中华民族的传统美德，在抗击新冠病毒战役中，某省为
支援西安，派出了由460人组成的医疗队．其中小张、小明和两个同事共四人直接派往一
线的同一家医院，根据该医院人事安排需要先抽出一人去急诊科，再派两人到该医院的发
热门诊，若正好抽出她们的一位同事去往急诊科，请你利用画树状图或列表的方法，求出
小张和小明同时被派往发热门诊的概率．
23．（7分）如图，直线y ＝ x+2与x轴交于点A，与y轴交于点C，与反比例函数y ＝ （x＞
1 2
0）的图象交于点P，过点P作PB⊥x轴于点B，且AC＝BC．求点P的坐标和反比例函数y
2
的表达式．
24．（8分）如图，在四边形ABCD中，AC平分∠BAD，∠ADC＝∠ACB＝90°，E为AB的中点，
AC与DE交于点F．
（1）求证：AC2＝AB•AD；
（2）若AC＝ ，AB＝2，求 的值．
第5页（共26页）25．（8分）一座古老的石拱桥的侧面形状可以用如图抛物线来表示，OB为水平面，距O点水
平距离1米的AC处立着一个水泥柱加固桥梁，拱桥在距O点水平距离3米处达到最大高
度9米．
（1）求此抛物线的表达式；
（2）一只蜻蜓落在水泥柱左侧的拱桥内壁D处，且它飞到C点和A点的距离相同，求点D
的坐标．
26．（10分）在平面直角坐标系中，过原点O及点A（8，0），C（0，6）作矩形OABC，连接OB，
点D为OB的中点，点E是线段AB上的动点，连接DE，作DF⊥DE，交OA于点F，连接
EF．已知点E从A点出发，以每秒1个单位长度的速度在线段AB上移动，设移动时间为t
秒．
（1）如图①，当t＝3时，求DF的长；
（2）如图②，当点E在线段AB上移动的过程中， 的大小是否发生变化？若变化，请说
明理由；若不变，请求出 的值；
（3）连接AD，当AD将△DEF分成的两部分的面积之比为1：2时，求相应的t＜3时的值．
第6页（共26页）第7页（共26页）2021-2022学年陕西省咸阳市旬邑县九年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分。每小题只有一个选项是符合题意的，请将正确
答案的序号填在题前的答题栏中）
1．（3分）下列方程中，关于x的一元二次方程是（ ）
A．3（x+1）2＝2（x+1） B．
C．ax2+bx+c＝0 D．x2+2x＝x2﹣1
【分析】一元二次方程有四个特点：
（1）只含有一个未知数；
（2）未知数的最高次数是2；
（3）是整式方程．
（4）二次项系数不为0．
【解答】解：
A、3（x+1）2＝2（x+1）化简得3x2+4x+1＝0，是一元二次方程，故正确；
B、方程不是整式方程，故错误；
C、若a＝0，则就不是一元二次方程，故错误；
D、是一元一次方程，故错误．
故选：A．
【点评】判断一个方程是否是一元二次方程：
首先要看是否是整式方程；
然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2．
这是一个需要识记的内容．
2．（3分）如图，水平放置的空心圆柱体的主视图为（ ）
第8页（共26页）A． B．
C． D．
【分析】找到从正面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中．
【解答】解：水平放置的空心圆柱的主视图是矩形，中间有两条虚线，
故选：C．
【点评】本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图．
3．（3分）下列命题中正确的是（ ）
A．有一组邻边相等的四边形是菱形
B．有一个角是直角的平行四边形是矩形
C．对角线垂直的平行四边形是正方形
D．一组对边平行的四边形是平行四边形
【分析】利用特殊四边形的判定定理对个选项逐一判断后即可得到正确的选项．
【解答】解：A、一组邻边相等的平行四边形是菱形，故选项错误；
B、正确；
C、对角线垂直的平行四边形是菱形，故选项错误；
D、两组对边平行的四边形才是平行四边形，故选项错误．
故选：B．
【点评】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是牢记特殊的四边形的判定定理，难
度不大，属于基础题．
4．（3分）在一个不透明的口袋中，装有若干个红球和6个黄球，它们只有颜色不同，摇匀后
从中随机摸出一个球，记下颜色后再放回口袋中，通过大量重复摸球试验发现，摸到黄球
的频率稳定在0.6，则估计口袋中大约有红球（ ）
A．24个 B．10个 C．9个 D．4个
【分析】设口袋中红球有x个，用黄球的个数除以球的总个数等于摸到黄球的频率，据此列
出关于x的方程，解之可得答案．
【解答】解：设口袋中红球有x个，
根据题意，得： ＝0.6，
第9页（共26页）解得x＝4，
经检验：x＝4是分式方程的解，
所以估计口袋中大约有红球4个，
故选：D．
【点评】此题主要考查了利用频率估计概率，本题利用了用大量试验得到的频率可以估计
事件的概率．关键是根据红球的频率得到相应的等量关系．
5．（3分）如图，已知AB∥CD∥EF，则下列结论正确的是（ ）
A． ＝ B． ＝ C． ＝ D． ＝
【分析】根据平行线分线段成比例定理判断即可．
【解答】解：∵AB∥CD∥EF，
∴ ，故A错误，
，故B错误；
，即 ，故C正确；
，即 ，故D错误．
故选：C．
【点评】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的
关键．
6．（3分）如图，为了测量学校操场上旗杆BC的高度，在距旗杆24米的A处用测倾器测得旗
杆顶部的仰角为30°，则旗杆的高度为（ ）
A． 米 B． 米 C． 米 D． 米
第10页（共26页）【分析】根据锐角三角函数关系得出tan30°＝ 进而求出BC的长，即可得出答案．
【解答】解：根据题意得出：AC＝24m，∠A＝30°，
则tan30°＝ ＝ ＝ ，
解得：BC＝8 ，
故旗杆的高度为8 m，
故选：A．
【点评】此题主要考查了解直角三角中仰角问题，根据已知得出AC＝24m，∠A＝30°再利
用锐角三角函数求出是解题关键．
7．（3分）已知ab＜0，一次函数y＝ax﹣b与反比例函数y＝ 在同一平面直角坐标系中的图
象可能（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据反比例函数图象确定b的符号，结合已知条件求得a的符号，由a、b的符号确
定一次函数图象所经过的象限．
【解答】解：若反比例函数y＝ 经过第一、三象限，则a＞0．所以b＜0．则一次函数y＝ax
﹣b的图象应该经过第一、二、三象限；
若反比例函数y＝ 经过第二、四象限，则a＜0．所以b＞0．则一次函数y＝ax﹣b的图象
应该经过第二、三、四象限．
故选项A正确；
故选：A．
第11页（共26页）【点评】本题考查了反比例函数的图象性质和一次函数函数的图象性质，要掌握它们的性
质才能灵活解题．
8．（3分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（1，0）和点B，与y轴的正半轴交
于点C，对称轴为x＝﹣1．下列结论正确的是（ ）
A．abc＜0 B．3a+c＝0 C．4a+2b+c＞0 D．2a+b＞0
【分析】根据二次函数图像和性质依次判断即可．
【解答】解：∵抛物线开口向下，与y轴交于正半轴，
∴a＜0，c＞0．
∵抛物线的对称轴为：x＝﹣ ＝﹣1，
∴b＝2a＜0．
∴abc＞0．
∴A不合题意．
∵抛物线过点A（1，0）．
∴a+b+c＝0．
∴a+2a+c＝0，
∴3a+c＝0．
∴B符合题意．
由图知：当x＝2时，y＜0．
∴4a+2b+c＜0．
∴C不合题意．
∵b＝2a，
∴2a﹣b＝0．
∴D不合题意．
故选：B．
【点评】本题考查二次函数的图像和性质，掌握二次函数的图像和性质是求解本题的关键．
第12页（共26页）二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分）
9．（3分）方程x（x+2）＝8化成一般形式是 x 2 + 2 x ﹣ 8 ＝ 0 ．
【分析】一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c＝0（a，b，c是常数且a≠0，因此去括号、合
并同类项把方程右边化为0即可．
【解答】解：x（x+2）＝8，
x2+2x＝8，
x2+2x﹣8＝0，
故答案为：x2+2x﹣8＝0．
【点评】此题主要考查了一元二次方程的一般形式，去括号的过程中要注意符号的变化，
不要漏乘，移项时要注意符号的变化．
10．（3分）如图，在△ABC中，点D，E在边AB，AC上，DE∥BC，△ADE与△ABC的周长比为
2：5，则AD：DB＝ 2 ： 3 ．
【分析】根据已知可知A字模型相似三角形△ADE∽△ABC，然后利用相似三角形的性质
进行计算计算即可解答．
【解答】解：∵DE∥BC，
∴∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C，
∴△ADE∽△ABC，
∵△ADE与△ABC的周长比为2：5，
∴ ＝ ，
∴ ＝ ，
∴AD：DB＝2：3，
故答案为：2：3．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握A字模型相似三角形是解题的关
键．
11．（3分）将抛物线y＝3x2先向右平移2个单位，再向上平移3个单位，所得抛物线对应的函
第13页（共26页）数表达式为 y ＝ 3 （ x ﹣ 2 ） 2 + 3 ．
【分析】按照“左加右减，上加下减”的规律，即可得出平移后抛物线的解析式．
【解答】解：将抛物线y＝3x2先向右平移2个单位，再向上平移3个单位，所得抛物线对应
的函数表达式为：y＝3（x﹣2）2+3．
故答案为：y＝3（x﹣2）2+3．
【点评】此题考查了二次函数图象与几何变换，掌握抛物线解析式的变化规律：左加右减，
上加下减是解题的关键．
12．（3分）若点A（﹣3，y ），B（﹣2，y ），C（1，y ）都在反比例函数y＝﹣ 的图象上，则y ，
1 2 3 1
y ，y 的大小关系是 y ＜ y ＜ y ．
2 3 3 1 2
【分析】先根据函数解析式中的比例系数k确定函数图象所在的象限，再根据各象限内点
的坐标特点及函数的增减性解答．
【解答】解：∵在反比例函数y＝﹣ 中，k＝﹣12＜0，
∴此函数图象在第二、四象限，在每个象限内y随x增大而增大，
∵﹣3＜﹣2＜0，
∴点A（﹣3，y ），B（﹣2，y ）在第二象限，
1 2
∴0＜y ＜y ．
1 2
∵1＞0，
∴C（1，y ）点在第四象限，
3
∴y ＜0，
3
∴y ＜y ＜y ．
3 1 2
故答案为：y ＜y ＜y ．
3 1 2
【点评】此题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点及平面直角坐标系中各象限内点的
坐标特点，比较简单．
13．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝10，BC＝5，若点M、N分别是线段AC、AB上的两个
动点，则BM+MN的最小值为 8 ．
第14页（共26页）【分析】过B点作AC的垂线，使AC两边的线段相等，到E点，过E作EN⊥AB于N点，EN
就是所求的线段．
【解答】解：过B点作AC的垂线，使AC两边的线段相等，到E点，过E作EN⊥AB于N点，
交AC于M，
则BM+MN的最小值＝EN，
∵AB＝10，BC＝5，
∴AC＝ ＝5 ，
∴AC边上的高为 ，所以BE＝4 ，
∵△ABC∽△ENB，
∴ ，
∴EN＝8．
故答案为：8．
【点评】本题考查最短路径问题，关键确定何时路径最短，然后运用勾股定理和相似三角
形的性质求得解．
三、解答题（共13小题，计81分，解答应写出过程）
14．（5分）解方程：3x（x﹣2）＝x﹣2．
【分析】移项后提取公因式x﹣2后利用因式分解法求得一元二次方程的解即可．
【解答】解：3x（x﹣2）＝x﹣2，
移项得：3x（x﹣2）﹣（x﹣2）＝0
整理得：（x﹣2）（3x﹣1）＝0
x﹣2＝0或3x﹣1＝0
解得：x ＝2或x ＝
1 2
第15页（共26页）【点评】本题考查了因式分解法解一元二次方程，解题的关键是先移项，然后提取公因式，
防止两边同除以x﹣2，这样会漏根．
15．（5分）如图，四边形ABCD∽四边形A'B'C'D'．
（1）∠B＝ 6 9 °．
（2）求边x，y的长度．
【分析】直接利用相似多边形的性质即可得到答案．
【解答】解：（1）∵四边形ABCD∽四边形A'B'C'D'，
∴∠C＝∠C'＝135°，
∴∠B＝360°﹣60°﹣96°﹣135°＝69°，
故答案为69°；
（2）∵四边形ABCD∽四边形A'B'C'D'，
，
解得x＝4，y＝18．
【点评】此题主要考查了相似多边形的性质，正确得出对应边关系是解题关键．
16．（5分）如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，若AD＝6．tanC＝ ，BC＝12，求cosB的值．
【分析】根据AD、tanC直角三角形ACD中求出CD，在直角三角形ABD中，利用勾股定理
求出AB，最后根据锐角三角函数关系求出cosB．
【解答】解：∵tanC＝ ＝ ＝ ，
∴CD＝4．
∴BD＝12﹣4＝8．
第16页（共26页）在Rt△ABD中，
AB＝
＝10．
∴cosB＝ ＝ ．
【点评】本题考查了解直角三角形．掌握直角三角形中的边角间关系，是解决本题的关键．
17．（5分）如图，△ABC中，点P在边AB上，请用尺规在边AC上作一点Q，使 ．（保
留作图痕迹，不写作法）．
【分析】利用基本作图（作一个角等于已知角）作∠APQ＝∠C，进而解答即可．
【解答】解：如图所示：
【点评】本题考查了相似三角形的判定：有两组角对应相等的两个三角形相似．
18．（5分）已知关于x的一元二次方程（m﹣2）x2+2mx+m+3＝0有两个不相等的实数根，求m
的取值范围．
【分析】由Δ＞0得到关于m的不等式，解之得到m的范围，根据一元二次方程的定义求得
答案．
【解答】解：由题意得：（2m）2﹣4（m﹣2）（m+3）＞0，
解得：m＜6且m≠2，
∴m的取值范围为m＜6且m≠2．
【点评】本题主要考查一元二次方程的定义及根的判别式，解题的关键是熟练掌握方程的
根的情况与判别式的值之间的关系．
19．（5分）在菱形ABCD中，点E，F分别是边AD，AB的中点．
求证：△ABE≌△ADF．
第17页（共26页）【分析】根据菱形的性质得到AB＝AD，根据线段中点的定义得到AF＝AE，根据全等三角
形的判定定理即可得到结论．
【解答】证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝AD，
∵点E，F分别是边AD，AB的中点，
∴AF＝AE，
在△ABE和△ADF中，
，
∴△ABE≌△ADF（SAS）．
【点评】本题考查了菱形的性质、全等三角形的判定，熟练掌握菱形的性质是解题的关键．
20．（6分）如图，琪琪在一座桥的附近试飞一架小型无人机，为了测量无人机飞行的高度
AD，琪琪通过操控装置测得无人机俯视桥头B，C的俯角分别为∠EAB＝60°和∠EAC＝
30°，且D，B，C在同一水平线上．已知桥BC＝36米，求无人机的飞行高度AD．
【分析】由锐角三角函数定义得CD＝ AD，BD＝ AD，再由BC＝CD﹣BD＝
AD＝36米，即可求出AD的长．
【解答】解：∵∠EAB＝60°，∠EAC＝30°，
∴∠CAD＝90°﹣∠EAC＝60°，∠BAD＝90°﹣∠EAB＝30°，
∴CD＝AD•tan∠CAD＝ AD，BD＝AD•tan∠BAD＝ AD，
第18页（共26页）∴BC＝CD﹣BD＝ AD＝36米，
∴AD＝18 （米）．
答：无人机的飞行高度AD为18 米．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用中的仰角俯角问题，掌握仰角俯角定义和锐角三
角函数定义是解题的关键．
21．（6分）某口罩生产厂生产的口罩1月份平均日产量为18000个，1月底市场对口罩需求量
大增，为满足市场需求，工厂决定从2月份起扩大产量，3月份平均日产量达到21780个．
（1）求口罩日产量的月平均增长率；
（2）按照这个增长率，预计4月份平均日产量为多少？
【分析】（1）根据题意设口罩日产量的月平均增长率为x，根据题意列出方程即可求解；
（2）结合（1）按照这个增长率，根据3月份平均日产量为24200个，即可预计4月份平均日
产量．
【解答】解：（1）设口罩日产量的月平均增长率为x，根据题意，得
18000（1+x）2＝21780．
解得x ＝﹣2.1（舍去），x ＝0.1＝10%，
1 2
答：口罩日产量的月平均增长率为10%．
（2）21780×（1+0.1）＝23958（个）．
答：预计4月份平均日产量为23958个．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，解决本题的关键是掌握增长率问题应用题的等
量关系．
22．（6分）“一方有难，八方支援”是中华民族的传统美德，在抗击新冠病毒战役中，某省为
支援西安，派出了由460人组成的医疗队．其中小张、小明和两个同事共四人直接派往一
线的同一家医院，根据该医院人事安排需要先抽出一人去急诊科，再派两人到该医院的发
热门诊，若正好抽出她们的一位同事去往急诊科，请你利用画树状图或列表的方法，求出
小张和小明同时被派往发热门诊的概率．
【分析】根据题意画出树状图得出所有等情况数，找出小张和小明同时被派往发热门诊的
情况数，然后根据概率公式即可得出答案．
【解答】解：小张、小明和一个同事分别用A、B、C表示，
根据题意画图如下：
第19页（共26页）共有6种等可能的情况数，其中小张和小明同时被派往发热门诊的有2种，
则小张和小明同时被派往发热门诊的概率是 ＝ ．
【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有
可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的
知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
23．（7分）如图，直线y ＝ x+2与x轴交于点A，与y轴交于点C，与反比例函数y ＝ （x＞
1 2
0）的图象交于点P，过点P作PB⊥x轴于点B，且AC＝BC．求点P的坐标和反比例函数y
2
的表达式．
【分析】首先求得直线与x轴和y轴的交点，根据AC＝BC可得OA＝OB，则B的坐标即可
求得，BP＝2OC，则P的坐标可求出，然后利用待定系数法即可求得函数的解析式．
【解答】解：∵直线y ＝ x+2与x轴交于点A，与y轴交于点C，
1
∴A（﹣8，0），C（0，2），
又∵AC＝BC，CO⊥AB，
∴O是AB的中点，即OA＝OB＝8，且BP＝2OC＝4，
∴P的坐标是（8，4），
将P（8，4）代入y ＝ （x＞0）得m＝32，
2
第20页（共26页）∴反比例函数的解析式为y ＝ ．
2
【点评】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了一次函数图象上点的坐标特征，
三角形中位线定理，待定系数法求反比函数的解析式，求得P点的坐标是解题的关键．
24．（8分）如图，在四边形ABCD中，AC平分∠BAD，∠ADC＝∠ACB＝90°，E为AB的中点，
AC与DE交于点F．
（1）求证：AC2＝AB•AD；
（2）若AC＝ ，AB＝2，求 的值．
【分析】（1）由AC平分∠BAD，得出∠DAC＝∠CAB，再由∠ADC＝∠ACB＝90°，得出
△ADC∽△ACB，进而得出 ，即可证明AC2＝AB•AD；
（2）由（1）可知AC2＝AB•AD结合已知条件AC＝ ，AB＝2，可求出AD＝ ，EA＝EC＝
EB＝ AB＝ ×2＝1，∠EAC＝∠ECA，再根据AC平分∠DAB，得出∠DAC＝∠CAE，得
出∠DAC＝∠ECA，由∠AFD＝∠CFE，得出△AFD∽△CFE，即可得出 ＝ ．
【解答】（1）证明：∵AC平分∠BAD，
∴∠DAC＝∠CAB，
∵∠ADC＝∠ACB＝90°，
∴△ADC∽△ACB，
∴ ，
∴AC2＝AB•AD；
（2）解：∵AC2＝AB•AD，AC＝ ，AB＝2，
第21页（共26页）∴AD＝ ＝ ＝ ，
∵∠ACB＝90°，E为AB的中点，
∴EA＝EC＝EB＝ AB＝ ×2＝1，
∴∠EAC＝∠ECA，
∵AC平分∠DAB，
∴∠DAC＝∠CAE，
∴∠DAC＝∠ECA，
∵∠AFD＝∠CFE，
∴△AFD∽△CFE，
∴ ＝ ＝ ．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质及直角三角形斜边上直线的性质，掌握相似
三角形的判定与性质是解决问题的关键．
25．（8分）一座古老的石拱桥的侧面形状可以用如图抛物线来表示，OB为水平面，距O点水
平距离1米的AC处立着一个水泥柱加固桥梁，拱桥在距O点水平距离3米处达到最大高
度9米．
（1）求此抛物线的表达式；
（2）一只蜻蜓落在水泥柱左侧的拱桥内壁D处，且它飞到C点和A点的距离相同，求点D
的坐标．
【分析】（1）根据题意设出函数解析式，用待定系数法求解即可；
（2）根据已知，先求出点A，C坐标，再根据DA＝DB，求出AC中点Q的坐标，从而得出点
D的纵坐标，然后代入函数解析式求出点D的横坐标即可．
第22页（共26页）【解答】解：（1）由图象题意知，抛物线顶点为（﹣3，9），
∴设二次函数的解析式为y＝a（x+3）2+9，
∵抛物线过原点，
∴0＝a（0+3）2+9，
解得：a＝﹣1，
∴抛物线解析式为y＝﹣（x+3）2+9＝﹣x2﹣6x；
（2）由题意得：A点坐标为（﹣1，0），
将x＝﹣1代入抛物线解析式得：y＝5，
∴C（﹣1，5），
∵D到A，C距离相等，
∴DA＝DC，记AC中点为Q，连接PQ，
∴DQ为等腰△DAC的中线，
∴Q（﹣1， ），
则D纵坐标为 ，
设D（x ， ），代入y＝﹣x2﹣6x中，
0
解得：x ＝﹣3﹣ 或x ＝﹣3+ （舍去），
0 0
∴D（﹣3﹣ ， ）．
【点评】本题考查二次函数的应用和待定系数法求函数解析式，关键是根据题意设出适当
的函数解析式．
26．（10分）在平面直角坐标系中，过原点O及点A（8，0），C（0，6）作矩形OABC，连接OB，
点D为OB的中点，点E是线段AB上的动点，连接DE，作DF⊥DE，交OA于点F，连接
第23页（共26页）EF．已知点E从A点出发，以每秒1个单位长度的速度在线段AB上移动，设移动时间为t
秒．
（1）如图①，当t＝3时，求DF的长；
（2）如图②，当点E在线段AB上移动的过程中， 的大小是否发生变化？若变化，请说
明理由；若不变，请求出 的值；
（3）连接AD，当AD将△DEF分成的两部分的面积之比为1：2时，求相应的t＜3时的值．
【分析】（1）当t＝3时，可知DE∥OA，DE＝ ，则四边形DFAE是矩形，得DF＝AE
＝3；
（2）作DM⊥OA于点M，DN⊥AB于点N，根据两个角相等，可证明△DMF∽△DNE，得
；
（3）作DM⊥OA于点M，DN⊥AB于点N，则则点G为EF的三等分点，利用（2）同理可得
E、F的坐标，从而得出点G的坐标，代入直线AD的解析式即可解决问题．
【解答】解：（1）当t＝3时，E为AB的中点，
∵A（8，0），C（0，6），
∴OA＝8，OC＝6，
∵点D为OB的中点，
∴DE∥OA，DE＝ ，
∵四边形OABC是矩形，
∴OA⊥AB，
第24页（共26页）∴DE⊥AB，
∴∠OAB＝∠DEA＝90°，
又∵DF⊥DE，
∴∠EDF＝90°，
∴四边形DFAE是矩形，
∴DF＝AE＝3；
（2） 的大小不变，理由如下：
如图，作DM⊥OA于点M，DN⊥AB于点N，
∵四边形OABC是矩形，
∴OA⊥AB，
∴四边形DMAN是矩形，
∴∠MDN＝90°，DM∥AB，DN∥OA，
∴ ，
∵点D是OB的中点，
∴M，N分别是OA，OB的中点，
∴DM＝ ，
∵∠EDF＝90°，
∴∠FDM＝∠EDN，
又∵∠DMF＝∠DNE＝90°，
∴△DMF∽△DNE，
∴ ；
（3）作DM⊥OA于点M，DN⊥AB于点N，
第25页（共26页）若AD将△DEF的面积分成1：2的两部分，
设AD交EF于点G，则点G为EF的三等分点，
如图，NE＝3﹣t，
由△DMF∽△DNE得，MF＝ ，
∴AF＝4+MF＝﹣ ，
∵点G为EF的三等分点，
∴G（ ），
设直线AD的表达式为y＝kx+b，
将A（8，0），D（4，3）代入得 ，
解得 ，
∴直线AD的表达式为y＝﹣ ，
将G（ ）代入得：t＝ ，
∴当t＜3时的值为t＝ ．
【点评】本题是四边形综合题，主要考查了矩形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，
待定系数法求函数解析式，表示出点G的坐标代入直线AD的解析式是解题的关键．
第26页（共26页）
