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2021-2022学年重庆市九龙坡区九年级（上）期末数学试卷
一、选择题：本大题共12小题每小题4分，共48分
1．（4分）二次函数y＝2（x﹣3）2+4的顶点坐标为（ ）
A．（2，4） B．（3，4） C．（﹣3，4） D．（﹣3，﹣4）
2．（4分）中国传统扇文化有着深厚的底蕴，下列扇面图形既是轴对称图形又是中心对称图形
的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（4分）下列各点在反比例函数 的图象上的是（ ）
A．（﹣2，3） B．（2，3） C．（﹣3，﹣2） D．（3，2）
4．（4分）桌上倒扣着背面图案相同的15张扑克牌，其中9张黑桃、6张红桃，则（ ）
A．从中随机抽取1张，抽到黑桃的可能性更大
B．从中随机抽取1张，抽到黑桃和红桃的可能性一样大
C．从中随机抽取5张，必有2张红桃
D．从中随机抽取7张，可能都是红桃
5．（4分）如图，在 O中，直径CD垂直于弦AB，若∠C＝25°，则∠BOD的度数是（ ）
⊙
A．25° B．30° C．40° D．50°
6．（4分）已知A（ ，y ），B（ ，y ），C（ ，y ）是二次函数y＝x2﹣4x﹣k的图象上的三点，
1 2 3
第1页（共33页）则y 、y 、y 的大小关系是（ ）
1 2 3
A．y ＞y ＞y B．y ＞y ＞y C．y ＞y ＞y D．y ＞y ＞y
1 2 3 2 1 3 2 3 1 1 3 2
7．（4分）如图，有一张矩形纸片，长10cm，宽6cm，在它的四角各剪去一个同样的小正方形，
然后折叠成一个无盖的长方体纸盒．若纸盒的底面（图中阴影部分）面积是32cm2，求剪去
的小正方形的边长．设剪去的小正方形边长是xcm，根据题意可列方程为（ ）
A．10×6﹣4×6x＝32 B．（10﹣2x）（6﹣2x）＝32
C．（10﹣x）（6﹣x）＝32 D．10×6﹣4x2＝32
8．（4分）有4张正面分别标有数字﹣2、﹣3、0、3的卡片，它们除数字不同外其余全部相同．
先将它们背面朝上，洗匀后从中随机抽取一张，得到的数记为m，不放回，再从剩余卡片中
随机抽取一张，得到的数记为n，则使m+n＜0的概率为（ ）
A． B． C． D．
9．（4分）函数y＝ 与y＝﹣kx2+k（k≠0）在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是
（ ）
A． B．
C． D．
10．（4分）若关于x的不等式组 有且只有4个整数解，且关于y的一元二次方
程（m﹣6）y2+2y﹣1＝0有两个不相等的实数根，则符合条件的所有整数m的和为（ ）
A．26 B．24 C．21 D．15
第2页（共33页）11．（4分）如图，点A的坐标是（1，0），点B的坐标是（0，3），C为OB的中点，将△ABC绕点
B顺时针旋转90°后得到△BDE，若反比例函数y＝ （k≠0）的图象恰好经过BE的中点
F，则k的值是（ ）
A．﹣6 B．﹣3 C． D．
12．（4分）如图，已知∠BAC＝60°，AB＝4，AC＝6，点D为△ABC内一动点，连接AD、BD、
CD，将△ADC绕着点A逆时针方向旋转 60°得到△AEF，则AE+DB+EF的最小值为
（ ）
A． B． C． D．
二、填空题：本大题6个小题，每小题4分，共24分
13．（4分）二次函数y＝x2﹣4x+2的最小值为 ．
14．（4分）若x＝2是关于x的方程ax2﹣bx＝2的解，则2022﹣2a+b的值为 ．
15．（4分）在一个不透明的盒子中装有红、白两种除颜色外完全相同的球，其中有5个红球，
每次将球充分搅匀后，任意摸出1个球记下颜色再放回盒子．通过大量重复试验后，发现
摸到红球的频率稳定在0.2左右，则白球的个数约为 ．
16．（4分）如图，在半径AC为2，圆心角为90°的扇形内，以BC为直径作半圆，交弦AB于点
D，连接CD，则图中阴影部分的面积是 ．
第3页（共33页）17．（4分）如图，正方形ABCD内有一点O使得△OBC是等边三角形，连接OA并延长，交以
O为圆心OB长为半径的 O于点E，连接BD并延长交 O于点F，连接EF，则∠EFB的
度数为 度． ⊙ ⊙
18．（4分）某初级中学在落实“双减”的背景下，决定在课后延时服务中组织学生开展社团
活动，为了了解学生参与的意向，该校初一年级主任进行了随机抽样调查（被抽到的学生
都填了意向表，且只选择了一个意向社团），统计后发现共A、B、C、D四个社团都有学生
选择，其中选择C的人数比选择D的人数多1人；选择A的人数是选择D的人数的整数
倍；选择A与选择D的人数之和是选择B与选择C的人数之和的4倍；选择A与选择B
的人数之和比选择C与选择D的人数之和多26人．则这次参加抽样调查的学生有
人．
三、解答题：本大题7个小题，每小题10分，共70分
19．（10分）解下列一元二次方程：
（1）（x﹣4）（x﹣5）＝20；
（2）x2﹣6x﹣1＝0．
20．（10分）如图，AB是 O的切线，A为切点，AC是 O的弦，过O作OH⊥AC于点H．若
OH＝3，AB＝8，BO＝⊙10．求： ⊙
（1） O的半径；
（2）⊙弦AC的长（结果保留根号）．
第4页（共33页）21．（10分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝ x﹣2的图象与y轴相交于点A，与反
比例函数y＝ 在第一象限内的图象相交于点B（m，2），过点B作BC⊥y轴于点C．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）求△ABC的面积．
22．（10分）某商城在2022年元旦节期间举行促销活动，一种热销商品进货价为每个14元，
标价为每个20元．
（1）商城举行了“感恩老客户”活动，对于老客户，商城连续两次降价，每次降价的百分
率相同，最后以每个16.2元的价格售出，求商城每次降价的百分率；
（2）市场调研表明：当每个售价20元时，平均每天能够售出40个，当每个售价每降1元时，
平均每天就能多售出10个，在保证每个商品的售价不低于进价的前提下，商城要想销售
这种商品平均每天的销售额为1280元，求每个商品应降价多少元？
23．（10分）在初中阶段的函数学习中，我们经历了“确定函数的表达式﹣﹣利用函数图象研
究其性质﹣﹣运用函数解决问题”的学习过程．在画函数图象时，我们通过描点或平移的
方法画出了所学的函数图象．同时，我们也学习了绝对值的意义|a|＝ ．
结合上面经历的学习过程，现在来解决下面的问题：
第5页（共33页）（1）下表中m＝ ，n＝ ；请在公出的平面直角坐标系中，根据下表画出的函
数图象；
x … ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 …
y ＝|x2﹣1| … 8 3 m 1 n 3 8 …
1
（2）结合所画的y 的函数图象，将向右平移1个单位得到新函数y ，则下列结论正确的是
1 2
．（填序号）
①y 的函数图象的对称轴是直线x＝1；
2
②y 的最大值为0；
2
③在y 的函数图象中，当1＜x＜2时，y随x的增大而减小；
2
④平行于x轴的直线y＝k与y 的图象有4个交点，则k的取值范围是0＜k＜1．
2
（3）已知y ＝x+1的函数图象如图所示，请直接写出当y ≥y 时，x的取值范围是 ．
3 1 3
24．（10分）阅读材料后，回答下列问题：
材料一：若一个数能表示成某个数的平方的形式．则称这个数为完全平方数．
材料二：一个两位数恰等于它的各个数位数字之和的4倍，则称这个两位数为“四方数”．
（1）若一个两位数既是“四方数”又是完全平方数，请求出这个两位数；
（2）设 为一个“四方数”，c为一个正整数（1≤c≤9），若将c放在 的左边构成一个
三位数，若用c替换 的十位数得到一个两位数，当这个三位数与这个两位数的差为一
第6页（共33页）个完全平方数时，求构成的这个三位数．（注： 表示十位数字是a，个位数字是b的两位
数）
25．（10分）如图，抛物线y＝ax2+bx过点A（4，0）、B（1，3）两点，点C、B关于抛物线的对称轴
对称，过点B作直线BH⊥x轴，交x轴于点H．
（1）求抛物线的表达式；
（2）直接写出点C的坐标，并求出△ABC的面积；
（3）点P是抛物线上一动点，且位于第四象限，当△ABP的面积为6时，求出点P的坐标；
（4）已知点M在直线BH上运动，点N在x轴上运动，若△CMN是以点M为直角顶点的
等腰直角三角形，请直接写出此时△CMN的面积．
四、解答题：本大题共1个小题，共8分
26．（8分）如图，四边形ABCD是菱形，∠A＝120°．
（1）如图1，以点C为顶点作顶角为120°的等腰△CEF，CE＝CF，且B、E、F在同一条直线
上，连接BE、DF，求证：△BCE≌△DCF；
（2）如图2，点N是边CD上一点，点M是菱形外一点，且CM＝CN，∠MCD＝120°，连接
DM，延长BN交DM于点F，连接FC．
①求∠BFC的度数；
②如图3，把FC绕点F顺时针旋转120°得到FP，连接CP，求证：BF＝CP+DF．
第7页（共33页）2021-2022学年重庆市九龙坡区九年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12小题每小题4分，共48分
1．（4分）二次函数y＝2（x﹣3）2+4的顶点坐标为（ ）
A．（2，4） B．（3，4） C．（﹣3，4） D．（﹣3，﹣4）
【分析】由抛物线顶点式直接求解．
【解答】解：∵y＝2（x﹣3）2+4，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线x＝3，顶点坐标为（3，4），
故选：B．
【点评】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系．
2．（4分）中国传统扇文化有着深厚的底蕴，下列扇面图形既是轴对称图形又是中心对称图形
的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；
C、是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项正确；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；
故选：C．
【点评】此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对
称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分
重合．
第8页（共33页）3．（4分）下列各点在反比例函数 的图象上的是（ ）
A．（﹣2，3） B．（2，3） C．（﹣3，﹣2） D．（3，2）
【分析】根据 得k＝xy＝﹣6，所以只要点的横坐标与纵坐标的积等于﹣6，就在函数
图象上．
【解答】解：∵ ，
∴k＝xy＝﹣6，
A．xy＝﹣2×3＝﹣6＝k，符合题意；
B．xy＝2×3＝6≠k，不合题意；
C．xy＝﹣3×（﹣2）＝6≠k，不合题意；
D．xy＝3×2＝6≠k，不合题意．
故选：A．
【点评】本题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征，所有在反比例函数上的点的横纵
坐标的积应等于比例系数．
4．（4分）桌上倒扣着背面图案相同的15张扑克牌，其中9张黑桃、6张红桃，则（ ）
A．从中随机抽取1张，抽到黑桃的可能性更大
B．从中随机抽取1张，抽到黑桃和红桃的可能性一样大
C．从中随机抽取5张，必有2张红桃
D．从中随机抽取7张，可能都是红桃
【分析】要求可能性的大小，只需求出各自所占的比例大小即可．求比例时，应注意记清各
自的数目．
【解答】解：A、黑桃数量多，故抽到黑桃的可能性更大，故正确；
B、黑桃张数多于红桃，故抽到两种花色的可能性不相同，故错误；
C、从中抽取5张可能会有2张红桃，也可能不是，故错误；
D、从中抽取7张，不可能全是红桃，故错误，
故选：A．
【点评】本题考查的是可能性的大小，熟知随机事件发生的可能性（概率）的计算方法是解
答此题的关键．
5．（4分）如图，在 O中，直径CD垂直于弦AB，若∠C＝25°，则∠BOD的度数是（ ）
⊙
第9页（共33页）A．25° B．30° C．40° D．50°
【分析】由“等弧所对的圆周角是所对的圆心角的一半”推知∠DOB＝2∠C，得到答案．
【解答】解：∵在 O中，直径CD垂直于弦AB，
∴ ＝ ， ⊙
∴∠DOB＝2∠C＝50°．
故选：D．
【点评】本题考查了圆周角定理、垂径定理．圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所
对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
6．（4分）已知A（ ，y ），B（ ，y ），C（ ，y ）是二次函数y＝x2﹣4x﹣k的图象上的三点，
1 2 3
则y 、y 、y 的大小关系是（ ）
1 2 3
A．y ＞y ＞y B．y ＞y ＞y C．y ＞y ＞y D．y ＞y ＞y
1 2 3 2 1 3 2 3 1 1 3 2
【分析】由抛物线解析式可得抛物线对称轴及开口方向，再根据二次函数的增减性求解．
【解答】解：∵y＝x2﹣4x﹣k，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线x＝﹣ ＝2，
∴x＜2时，y随x增大而减小，
∵﹣ ＜﹣ ＜ ＜2，
∴y ＞y ＞y ，
1 3 2
故选：D．
【点评】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二
次函数与方程的关系．
7．（4分）如图，有一张矩形纸片，长10cm，宽6cm，在它的四角各剪去一个同样的小正方形，
然后折叠成一个无盖的长方体纸盒．若纸盒的底面（图中阴影部分）面积是32cm2，求剪去
的小正方形的边长．设剪去的小正方形边长是xcm，根据题意可列方程为（ ）
第10页（共33页）A．10×6﹣4×6x＝32 B．（10﹣2x）（6﹣2x）＝32
C．（10﹣x）（6﹣x）＝32 D．10×6﹣4x2＝32
【分析】设剪去的小正方形边长是xcm，则纸盒底面的长为（10﹣2x）cm，宽为（6﹣2x）cm，
根据长方形的面积公式结合纸盒的底面（图中阴影部分）面积是32cm2，即可得出关于x
的一元二次方程，此题得解．
【解答】解：设剪去的小正方形边长是xcm，则纸盒底面的长为（10﹣2x）cm，宽为（6﹣2x）
cm，
根据题意得：（10﹣2x）（6﹣2x）＝32．
故选：B．
【点评】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方
程是解题的关键．
8．（4分）有4张正面分别标有数字﹣2、﹣3、0、3的卡片，它们除数字不同外其余全部相同．
先将它们背面朝上，洗匀后从中随机抽取一张，得到的数记为m，不放回，再从剩余卡片中
随机抽取一张，得到的数记为n，则使m+n＜0的概率为（ ）
A． B． C． D．
【分析】画树状图，共有12种等可能的结果，其中使m+n＜0的结果有6种，再由概率公式
求解即可．
【解答】解：画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中使m+n＜0的结果有6种，
∴使m+n＜0的概率为 ＝ ，
故选：C．
第11页（共33页）【点评】此题考查了列表法或树状图法求概率．正确画出树状图是解题的关键，用到的知
识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
9．（4分）函数y＝ 与y＝﹣kx2+k（k≠0）在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是
（ ）
A． B．
C． D．
【分析】本题可先由反比例函数的图象得到字母系数的正负，再与二次函数的图象相比较
看是否一致．
【解答】解：由解析式y＝﹣kx2+k可得：抛物线对称轴x＝0；
A、由双曲线的两支分别位于二、四象限，可得k＜0，则﹣k＞0，抛物线开口方向向上、抛物
线与y轴的交点为y轴的负半轴上；本图象与k的取值相矛盾，故A错误；
B、由双曲线的两支分别位于一、三象限，可得k＞0，则﹣k＜0，抛物线开口方向向下、抛物
线与y轴的交点在y轴的正半轴上，本图象符合题意，故B正确；
C、由双曲线的两支分别位于一、三象限，可得k＞0，则﹣k＜0，抛物线开口方向向下、抛物
线与y轴的交点在y轴的正半轴上，本图象与k的取值相矛盾，故C错误；
D、由双曲线的两支分别位于一、三象限，可得k＞0，则﹣k＜0，抛物线开口方向向下、抛
物线与y轴的交点在y轴的正半轴上，本图象与k的取值相矛盾，故D错误．
故选：B．
【点评】本题主要考查了二次函数及反比例函数和图象，解决此类问题步骤一般为：（1）先
根据图象的特点判断k取值是否矛盾；（2）根据二次函数图象判断抛物线与y轴的交点是
否符合要求．
10．（4分）若关于x的不等式组 有且只有4个整数解，且关于y的一元二次方
第12页（共33页）程（m﹣6）y2+2y﹣1＝0有两个不相等的实数根，则符合条件的所有整数m的和为（ ）
A．26 B．24 C．21 D．15
【分析】表示出不等式组的解集，由不等式有且只有4个整数解确定出m的取值，再由关
于y的方程（m﹣6）y2+2y﹣1＝0有两个不相等的实数根，求出满足题意整数m的值，进而
求出和．
【解答】解： ，
由①得x≤5，
由②得x＞ ．
∵不等式组有且只有4个整数解，
∴ ＜x≤5，
即x可取5、4、3、2．
∴1≤ ＜2，
∴5≤m＜9．
∵关于y的方程（m﹣6）y2+2y﹣1＝0有两个不相等的实数根，
∴Δ＝22﹣4（m﹣6）×（﹣1）＞0且m﹣6≠0，
解得m＞5且m≠6，
∴5＜m＜9且m≠6，
∴整数m的取值为7，8，
∴所有整数m的和为7+8＝15．
故选：D．
【点评】此题考查了解一元一次不等式组以及一元二次方程的根的情况，熟练掌握各自运
算方法是解本题的关键．
11．（4分）如图，点A的坐标是（1，0），点B的坐标是（0，3），C为OB的中点，将△ABC绕点
B顺时针旋转90°后得到△BDE，若反比例函数y＝ （k≠0）的图象恰好经过BE的中点
F，则k的值是（ ）
第13页（共33页）A．﹣6 B．﹣3 C． D．
【分析】作EH⊥y轴于H．证明△AOB≌△BHE（AAS），推出OA＝BH，OB＝EH，求出点E
坐标，再利用中点坐标公式求出点F坐标即可解决问题．
【解答】解：作EH⊥y轴于H．
∵∠AOB＝∠EHB＝∠ABE＝90°，
∴∠ABO+∠EBH＝90°，∠ABO+∠BAO＝90°，
∴∠BAO＝∠EBH，
∵BA＝BE，
∴△AOB≌△BHE（AAS），
∴OA＝BH，OB＝EH，
∵点A的坐标是（1，0），点B的坐标是（0，3），
∴OA＝1，OB＝3，
∴BH＝OA＝1，EH＝OB＝3，
∴OH＝2，
∴E（﹣3，2），
∵F是BE的中点，
∴F（﹣ ， ），
第14页（共33页）∵反比例函数y＝ （k≠0）的图象经过点F，
∴k＝﹣ × ＝﹣ ．
故选：D．
【点评】本题考查反比例函数图形上的点的坐标特征，坐标与图形的变化﹣旋转等知识，
解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考选择题中的压轴
题．
12．（4分）如图，已知∠BAC＝60°，AB＝4，AC＝6，点D为△ABC内一动点，连接AD、BD、
CD，将△ADC绕着点A逆时针方向旋转 60°得到△AEF，则AE+DB+EF的最小值为
（ ）
A． B． C． D．
【分析】连接DE，BF，过点F作FH⊥BA，交BA的延长线于点H，由旋转的性质可得
△ADE是等边三角形，得AE＝DE，则AE+DB+EF的最小值为BF的长，在Rt△BHF中求
出BF即可解答．
【解答】解：连接DE，BF，过点F作FH⊥BA，交BA的延长线于点H，
由旋转可得：
第15页（共33页）AD＝AE，AC＝AF＝6，∠DAE＝∠CAF＝60°，
∴△ADE是等边三角形，
∴AE＝DE，
∴AE+DB+AC＝DE+DB+EF≥BF，
∵∠BAC＝60°，
∴∠HAF＝180°﹣∠BAC﹣∠CAF＝60°，
在Rt△AHF中，AH＝AFcos60°＝6× ＝3，FH＝AFsin60°＝6× ＝3 ，
∴BH＝AB+AH＝4+3＝7，
在Rt△BHF中，BF＝ ＝ ＝2 ，
∴AE+DB+EF的最小值为：2 ，
故选：C．
【点评】本题考查了旋转的性质，熟练掌握等边三角形的判定与性质，勾股定理以及将
AE+DB+EF的最小值转化为BF的长是解题的关键．
二、填空题：本大题6个小题，每小题4分，共24分
13．（4分）二次函数y＝x2﹣4x+2的最小值为 ﹣ 2 ．
【分析】直接利用配方法求出二次函数的顶点式，进而得出答案．
【解答】解：y＝x2﹣4x+2
＝（x﹣2）2﹣2，
故二次函数y＝x2﹣4x+2的最小值为：﹣2．
故答案为：﹣2．
【点评】本题考查的是二次函数的性质，y＝a（x﹣h）2+k，当a＞0时，x＝h时，y有最小值
k，当a＜0时，x＝h时，y有最大值k．
14．（4分）若x＝2是关于x的方程ax2﹣bx＝2的解，则2022﹣2a+b的值为 202 1 ．
【分析】把x＝2代入方程求出2a﹣b的值，代入原式计算即可求出值．
【解答】解：把x＝2代入方程得：4a﹣2b＝2，即2a﹣b＝1，
则原式＝2022﹣（2a﹣b）＝2022﹣1＝2021，
故答案为：2021．
【点评】此题考查了一元二次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的
值．
第16页（共33页）15．（4分）在一个不透明的盒子中装有红、白两种除颜色外完全相同的球，其中有5个红球，
每次将球充分搅匀后，任意摸出1个球记下颜色再放回盒子．通过大量重复试验后，发现
摸到红球的频率稳定在0.2左右，则白球的个数约为 2 0 个 ．
【分析】先根据红球的个数及其对应频率求出球的总个数，继而可得答案．
【解答】解：∵通过大量重复试验后，发现摸到红球的频率稳定在0.25左右，
∴袋中球的总个数约为5÷0.2＝25（个），
∴白球的个数为25﹣5＝20（个），
故答案为：20个．
【点评】本题主要考查利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定
位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中
趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．
16．（4分）如图，在半径AC为2，圆心角为90°的扇形内，以BC为直径作半圆，交弦AB于点
D，连接CD，则图中阴影部分的面积是 ﹣ 1 ．
π
【分析】已知BC为直径，则∠CDB＝90°，在等腰直角三角形ABC中，CD垂直平分AB，CD
＝DB，D为半圆的中点，阴影部分的面积可以看作是扇形ACB的面积与△ADC的面积之
差．
【解答】解：在Rt△ACB中，AB＝ ＝2 ，
∵BC是半圆的直径，
∴∠CDB＝90°，
在等腰Rt△ACB中，CD垂直平分AB，CD＝BD＝ ，
∴D为半圆的中点，
S阴影部分 ＝S扇形ACB ﹣S△ADC ＝ ×22﹣ ×（ ）2＝ ﹣1．
π π
故答案为 ﹣1．
【点评】本π题考查扇形面积的计算公式及不规则图形面积的求法，掌握面积公式是解题的
关键．
第17页（共33页）17．（4分）如图，正方形ABCD内有一点O使得△OBC是等边三角形，连接OA并延长，交以
O为圆心OB长为半径的 O于点E，连接BD并延长交 O于点F，连接EF，则∠EFB的
度数为 37. 5 度． ⊙ ⊙
【分析】根据正方形的性质得到∠ABC＝90°，由△OBC是等边三角形，得到∠OBC＝60°，
根据等腰三角形的性质得到∠AOB＝ （180°﹣30°）＝75°，由圆周角定理即可得到结论．
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC＝90°，
∵△OBC是等边三角形，
∴∠OBC＝60°，
∴∠ABO＝30°，
∵AB＝BO，
∴∠AOB＝ （180°﹣30°）＝75°，
∴ AOB＝37.5°，
故答案为：37.5．
【点评】本题考查了圆周角定理，正方形的性质等边三角形的性质，正确的识别图形是解
题的关键．
18．（4分）某初级中学在落实“双减”的背景下，决定在课后延时服务中组织学生开展社团
活动，为了了解学生参与的意向，该校初一年级主任进行了随机抽样调查（被抽到的学生
都填了意向表，且只选择了一个意向社团），统计后发现共A、B、C、D四个社团都有学生
选择，其中选择C的人数比选择D的人数多1人；选择A的人数是选择D的人数的整数
倍；选择A与选择D的人数之和是选择B与选择C的人数之和的4倍；选择A与选择B
的人数之和比选择C与选择D的人数之和多26人．则这次参加抽样调查的学生有 6 0
人．
第18页（共33页）【分析】根据题意设出未知数，列出方程组，再根据实际问题中人数为整数，进行适当的取
舍即可解答．
【解答】解：设选择D的人数为x人，则选择C的人数为（x+1）人，设选择A的人数为ax人，
选择B的人数为y人，
，
②﹣①得：5y+x＝23，
则 或 或 或 ，
把 代入②中得：
18a+1﹣（18+1+18）＝26，
∴a＝ （舍去），
把 代入②中得：
13a+2﹣（13+1+13）＝26，
∴a＝ （舍去），
把 代入②中得：
8a+3﹣（8+1+8）＝26，
∴a＝5，
把 代入②中得：
3a+4﹣（3+1+3）＝26，
∴a＝ （舍去），
∴x＝8，y＝3，a＝5，
∴选择A的人数为40人，选择B的人数为3人，选择C的人数为9人，选择D的人数为8
人，
∴40+3+9+8＝60（人），
∴这次参加抽样调查的学生有60人，
故答案为：60．
第19页（共33页）【点评】本题考查了多元一次方程组，根据已知条件寻找等量关系列出方程组，并进行准
确计算是解题的关键．
三、解答题：本大题7个小题，每小题10分，共70分
19．（10分）解下列一元二次方程：
（1）（x﹣4）（x﹣5）＝20；
（2）x2﹣6x﹣1＝0．
【分析】（1）方程整理后，利用因式分解法求出解即可；
（2）方程利用配方法求出解即可．
【解答】解：（1）方程整理得：x2﹣5x﹣4x+20＝20，
即x2﹣9x＝0，
分解因式得：x（x﹣9）＝0，
所以x＝0或x﹣9＝0，
解得：x ＝0，x ＝9；
1 2
（2）方程移项得：x2﹣6x＝1，
配方得：x2﹣6x+9＝10，即（x﹣3）2＝10，
开方得：x﹣3＝± ，
解得：x ＝3+ ，x ＝3﹣ ．
1 2
【点评】此题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，配方法，熟练掌握各自的解法是解本
题的关键．
20．（10分）如图，AB是 O的切线，A为切点，AC是 O的弦，过O作OH⊥AC于点H．若
OH＝3，AB＝8，BO＝⊙10．求： ⊙
（1） O的半径；
（2）⊙弦AC的长（结果保留根号）．
【分析】（1）在Rt△OAB中，利用勾股定理，即可求解；
（2）在Rt△OAH中，利用勾股定理求AH的长度，即可求解．
【解答】解：（1）∵AB是 O的切线，
∴OA⊥AB， ⊙
第20页（共33页）∴∠OAB＝90°，
OA＝ ＝ ＝6，
即圆的半径为6；
（2）∵OH⊥AC，
∴CH＝AH，
∴AC＝2AH，
∵AH＝ ＝ ＝3 ，
则：AC＝6 ．
【点评】本题利用了切线的性质和勾股定理解决问题，解题的关键是灵活运用所学知识解
决问题，属于中考常考题型．
21．（10分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝ x﹣2的图象与y轴相交于点A，与反
比例函数y＝ 在第一象限内的图象相交于点B（m，2），过点B作BC⊥y轴于点C．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）求△ABC的面积．
【分析】（1）因为一次函数与反比例函数交于B点，将B代入到一次函数解析式中，可以
求得B点坐标，从而求得k，得到反比例函数解析式；
（2）因为BC⊥y轴，所以C（0，2），利用一次函数解析式可以求得它与y轴交点A的坐标
（0，﹣2），由A，B，C三点坐标，可以求得AC和BC的长度，并且BC∥x轴，所以
第21页（共33页），即可求解．
【解答】解：（1）∵B点是直线与反比例函数交点，
∴B点坐标满足一次函数解析式，
∴ ，
∴m＝3，
∴B（3，2），
∴k＝6，
∴反比例函数的解析式为 ；
（2）∵BC⊥y轴，
∴C（0，2），BC∥x轴，
∴BC＝3，
令x＝0，则y＝ ，
∴A（0，﹣2），
∴AC＝4，
∴ ，
∴△ABC的面积为6．
【点评】本题考查了反比例函数与一次函数交点问题，会用坐标求解析式，会用解析式求
坐标是解决此题的基本要求，同时要注意在平面直角坐标系中如何利用坐标表示水平线
段和竖直线段．
22．（10分）某商城在2022年元旦节期间举行促销活动，一种热销商品进货价为每个14元，
标价为每个20元．
（1）商城举行了“感恩老客户”活动，对于老客户，商城连续两次降价，每次降价的百分
率相同，最后以每个16.2元的价格售出，求商城每次降价的百分率；
（2）市场调研表明：当每个售价20元时，平均每天能够售出40个，当每个售价每降1元时，
平均每天就能多售出10个，在保证每个商品的售价不低于进价的前提下，商城要想销售
这种商品平均每天的销售额为1280元，求每个商品应降价多少元？
【分析】（1）设商城每次降价的百分率为x，利用经过两次降价后的价格＝原价×（1﹣每次
第22页（共33页）降价的百分率）2，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论；
（2）设每个商品应降价y元，则平均每天可售出（40+10y）个，利用销售总额＝销售单价×
销售数量，即可得出关于y的一元二次方程，解之即可得出y值，再结合要保证每个商品
的售价不低于进价，即可得出每个商品应降价4元．
【解答】解：（1）设商城每次降价的百分率为x，
依题意得：20（1﹣x）2＝16.2，
解得：x ＝0.1＝10%，x ＝1.9（不合题意，舍去）．
1 2
答：商城每次降价的百分率为10%．
（2）设每个商品应降价y元，则平均每天可售出（40+10y）个，
依题意得：（20﹣y）（40+10y）＝1280，
整理得：y2﹣16y+48＝0，
解得：y ＝4，y ＝12．
1 2
当y＝4时，20﹣y＝20﹣4＝16＞14，符合题意；
当y＝12时，20﹣y＝20﹣12＝8＜14，不符合题意，舍去．
答：每个商品应降价4元．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题
的关键．
23．（10分）在初中阶段的函数学习中，我们经历了“确定函数的表达式﹣﹣利用函数图象研
究其性质﹣﹣运用函数解决问题”的学习过程．在画函数图象时，我们通过描点或平移的
方法画出了所学的函数图象．同时，我们也学习了绝对值的意义|a|＝ ．
结合上面经历的学习过程，现在来解决下面的问题：
（1）下表中m＝ 0 ，n＝ 0 ；请在公出的平面直角坐标系中，根据下表画出的函数图
象；
x … ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 …
y ＝|x2﹣1| … 8 3 m 1 n 3 8 …
1
（2）结合所画的y 的函数图象，将向右平移1个单位得到新函数y ，则下列结论正确的是
1 2
①③④ ．（填序号）
①y 的函数图象的对称轴是直线x＝1；
2
②y 的最大值为0；
2
第23页（共33页）③在y 的函数图象中，当1＜x＜2时，y随x的增大而减小；
2
④平行于x轴的直线y＝k与y 的图象有4个交点，则k的取值范围是0＜k＜1．
2
（3）已知y ＝x+1的函数图象如图所示，请直接写出当y ≥y 时，x的取值范围是 x ≤ 0
3 1 3
或 x ≥ 2 ．
【分析】（1）将（﹣1，m），（1，n）代入函数解析式求解．
（2）图象向右平移1个单位后，函数的对称轴向右平移1个单位，函数的取值范围不发生
变化，进而求解．
（3）求出直线与函数图象交点横坐标，根据图象求解．
【解答】解：（1）把（﹣1，m）代入y ＝|x2﹣1|得m＝0，
1
把（1，n）代入y ＝|x2﹣1|得n＝0，
1
故答案为：0，0．
图象如下，
第24页（共33页）（2）函数y ＝|x2﹣1|的对称轴为y轴，图象向右平移1个单位后，对称轴为直线x＝1，①
1
正确．
函数y ＝|x2﹣1|的最小值为y＝0，图象向右平移1个单位后，函数最小值为y＝0，②错误．
1
函数y ＝|x2﹣1|在0＜x＜1时，y随x增大而减小，图象向右平移1个单位后，当1＜x＜2
1
时，y随x的增大而减小，③正确．
函数y ＝|x2﹣1|在0＜k＜1时，直线y＝k与图象有4个交点，图象向右平移1个单位后k
1
的取值范围不变，④正确．
故答案为：①③④．
（3）y ＝|x2﹣1|＝ ，
1
令x+1＝x2﹣1，
解得x ＝﹣1，x ＝2，
1 2
令x+1＝﹣x2+1，
解得x ＝0，x ＝﹣1，
3 4
∴直线y ＝x+1与y ＝|x2﹣1|交点横坐标为x＝﹣1，0，2，
3 1
如图，
第25页（共33页）由图象可得当x≤0或x≥2时，y ≥y ，
1 3
故答案为：x≤0或x≥2．
【点评】本题考查二次函数的综合应用，解题关键是掌握二次函数的性质，掌握函数与方
程及不等式的关系．
24．（10分）阅读材料后，回答下列问题：
材料一：若一个数能表示成某个数的平方的形式．则称这个数为完全平方数．
材料二：一个两位数恰等于它的各个数位数字之和的4倍，则称这个两位数为“四方数”．
（1）若一个两位数既是“四方数”又是完全平方数，请求出这个两位数；
（2）设 为一个“四方数”，c为一个正整数（1≤c≤9），若将c放在 的左边构成一个
三位数，若用c替换 的十位数得到一个两位数，当这个三位数与这个两位数的差为一
个完全平方数时，求构成的这个三位数．（注： 表示十位数字是a，个位数字是b的两位
数）
【分析】（1）设出两位数，根据这个两位数是“四方数”得出m＝2n，最后根据这个两位数
是完全平方数，即可得出结论；
（2）先根据这个两位数是“四方数”得出b＝2a，进而表示出新的两位数和三位数，再根
据这个三位数与这个两位数的差为一个完全平方数得出10（9c+a）是完全平方数，即可得
出结论．
【解答】解：（1）设两位数的个位数字为m，十位数字为n，（1≤m≤9，1≤n≤9）
第26页（共33页）则这个两位数为（10n+m），
∵这个两位数是“四方数”，
∴4（m+n）＝10n+m，
∴m＝2n，
即这个两位数为10n+m＝10n+2n＝12n＝4×3n，
∵这个两位数是完全平方数，
∴4×3n是完全平方数，
∴3n是完全平方数，
∵1≤n≤9，
∴n＝3×1＝3，
∴m＝6，
即这个两位数为36；
（2）∵ 为一个“四方数”，由（1）的结论得，b＝2a，
∴“四方数” 为10a+b＝12a，
∵将c放在ab的左边构成一个三位数，
则这个三位数为100c+10a+b＝100c+12a，
∵用c替换 的十位数字a，
则得到一个两位数为10c+b＝10c+2a，
∵当这个三位数与这个两位数的差为一个完全平方数时，
∴100c+12a﹣（10c+2a）＝90c+10a＝10（9c+a）是完全平方数，
∵1≤c≤9，1≤a≤9，
∴10≤9c+a≤90，
∴9c+a＝10×1或10×4或10×9，
当9c+a＝10×1＝10时，a＝1，c＝1，则b＝2，即：三位数为112，
当9c+a＝10×4＝40时，a＝4，c＝4，则b＝8，即：三位数为448，
当9c+a＝10×9＝90时，a＝9，c＝9，则b＝18（不符合题意，舍去），
即满足条件的三位数为112或448．
【点评】此题主要考查了完全平方数的数字问题，两位数和三位数的表示，完全平方数，新
定义，掌握新定义“四方数”得出b＝2a是解本题的关键．
25．（10分）如图，抛物线y＝ax2+bx过点A（4，0）、B（1，3）两点，点C、B关于抛物线的对称轴
第27页（共33页）对称，过点B作直线BH⊥x轴，交x轴于点H．
（1）求抛物线的表达式；
（2）直接写出点C的坐标，并求出△ABC的面积；
（3）点P是抛物线上一动点，且位于第四象限，当△ABP的面积为6时，求出点P的坐标；
（4）已知点M在直线BH上运动，点N在x轴上运动，若△CMN是以点M为直角顶点的
等腰直角三角形，请直接写出此时△CMN的面积．
【分析】（1）利用待定系数法解决问题即可；
（2）求出抛物线的对称轴，再根据对称性求出点C的坐标即可解决问题；
（3）设点P（m，﹣m2+4m），根据S△ABP ＝S△ABH +S梯形AHDP ﹣S△PBD ，建立方程求解即可；
（4）以点M为直角顶点，利用全等三角形和勾股定理ON的长，求出点M的坐标进而求出
CM的长，求出△CMN的面积即可．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx过A（4，0），B（1，3）两点，
∴ ，
解得： ，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+4x．
（2）如图1，
∵y＝﹣x2+4x＝﹣（x﹣2）2+4，
∴对称轴为直线x＝2，
∵B，C关于对称轴对称，B（1，3），
∴C（3，3），
∴BC＝2，
第28页（共33页）∴S△ABC ＝ ×2×3＝3．
（3）如图1，设点P（m，﹣m2+4m），
根据题意，得：BH＝AH＝3，HD＝m2﹣4m，PD＝m﹣1，
∴S△ABP ＝S△ABH +S梯形AHDP ﹣S△PBD ，
∴6＝ ×3×3+ ×（3+m﹣1）×（m2﹣4m）﹣ ×（m﹣1）×（3+m2﹣4m），
解得：m ＝0，m ＝5，
1 2
∵点P是抛物线上一动点，且位于第四象限，
∴m＞0，
∴m＝5，﹣m2+4m＝﹣52+4×5＝﹣5，
∴P（5，﹣5）；
（4）点M在直线BH上，点N在x轴上，△CMN为等腰直角三角形时，分两种情况讨论：
①以点M为直角顶点且M在x轴上方时，如图2，CM＝MN，∠CMN＝90°，
∵∠CBM＝∠MHN＝90°，
∴∠CMB+∠NMH＝∠NMH+∠MNH＝90°，
∴∠CMB＝∠MNH，
∴△CBM≌△MHN（AAS），
∴BC＝MH＝2，BM＝HN＝3﹣2＝1，
∴M（1，2），
∵C（3，3），
∴CM＝ ＝ ，
∴△CMN的面积为： CM2＝ ；
②以点M为直角顶点且M在x轴下方时，如图3，
过点C作CD∥y轴，过点N作NE∥y轴，过点M作DE∥x轴交CD于点D，交NE于E，
∵∠CMN＝∠CDM＝∠MEN＝90°，CM＝MN，
∴∠CMD+∠NME＝∠NME+∠MNE＝90°，
∴∠CMD＝∠MNE
∴△NEM≌△MDC（AAS），
∴NE＝MD＝BC＝2，EM＝CD＝5，
第29页（共33页）∵∠ENH＝∠NEM＝∠NHM＝90°，
∴四边形EMHN是矩形，
∴HM＝NE＝2，
∴M（1，﹣2），
∵C（3，3），
∴CM＝ ＝ ，
∴△CMN的面积为： CM2＝ ；
综上所述，当△CMN是以点M为直角顶点的等腰直角三角形，△CMN的面积为 或 ．
第30页（共33页）【点评】本题属于二次函数综合题，考查了待定系数法、三角形的面积、等腰直角三角形的
性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理、方程思想及分类讨论思想等知识点，解题的
关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．
四、解答题：本大题共1个小题，共8分
26．（8分）如图，四边形ABCD是菱形，∠A＝120°．
（1）如图1，以点C为顶点作顶角为120°的等腰△CEF，CE＝CF，且B、E、F在同一条直线
上，连接BE、DF，求证：△BCE≌△DCF；
（2）如图2，点N是边CD上一点，点M是菱形外一点，且CM＝CN，∠MCD＝120°，连接
DM，延长BN交DM于点F，连接FC．
①求∠BFC的度数；
②如图3，把FC绕点F顺时针旋转120°得到FP，连接CP，求证：BF＝CP+DF．
【分析】（1）由SAS证明△BCE≌△DCF即可；
（2）①以点C为顶点作∠ECF＝120°交BF于E，证△BCN≌△DCM（SAS），得∠CBE＝
∠CDF，再证△BCE≌△DCF（ASA），得CE＝CF，然后由等腰三角形的性质和三角形内
角和定理求解即可；
第31页（共33页）②以点C为顶点作∠ECF＝120°交BF于E，同①得△BCE≌△DCF（ASA），则BE＝DF，
CE＝CF，再由旋转的性质得∠CFP＝120°，CF＝PF，然后证四边形CEFP是平行四边形，
得EF＝CP，即可得出结论．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，∠A＝120°，
∴BC＝DC，∠BCD＝∠A＝120°，
∵△CEF是顶角为120°的等腰三角形，CE＝CF，
∴∠ECF＝120°，
∴∠BCD＝∠ECF，
∴∠BCD﹣∠DCE＝∠ECF﹣∠DCE，
即∠BCE＝∠DCF，
在△BCE和△DCF中，
，
∴△BCE≌△DCF（SAS）；
（2）①解：以点C为顶点作∠ECF＝120°交BF于E，
在△BCN和△DCM中，
，
∴△BCN≌△DCM（SAS），
∴∠CBE＝∠CDF，
∵∠BCD＝∠ECF＝120°，
∴∠BCD﹣∠DCE＝∠ECF﹣∠DCE，
即∠BCE＝∠DCF，
在△BCE和△DCF中，
，
∴△BCE≌△DCF（ASA），
∴CE＝CF，
∴∠CFB＝∠CEF＝ ×（180°﹣120°）＝30°；
第32页（共33页）②证明：以点C为顶点作∠ECF＝120°交BF于E，
同①得：△BCE≌△DCF（ASA），
∴BE＝DF，CE＝CF，
∵把FC绕点F顺时针旋转120°得到FP，
∴∠CFP＝120°，CF＝PF，
∴∠ECF＝CFP，CE＝FP，
∴CE∥FP，
∴四边形CEFP是平行四边形，
∴EF＝CP，
∴BF＝EF+BE＝CP+DF．
【点评】本题是四边形综合题目，考查了菱形的性质、平行四边形的判定与性质、全等三角
形的判定与性质、等腰三角形的性质、旋转的性质、平行线的判定等知识，本题综合性强，
解题的关键是正确作出辅助线构造全等三角形，属于中考常考题型．
第33页（共33页）
