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2021-2022学年辽宁省锦州市七年级（上）期末数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有且只有
一个选项是正确的）
1．（2分）﹣ 的倒数是（ ）
A．﹣ B．﹣ C． D．
2．（2分）2021年7月24日，中共中央办公厅、国务院办公厅印发了《关于进一步减轻义务教
育阶段学生作业负担和校外培训负担的意见》9月23日，教育部基础教育司司长吕玉刚
在教育部新闻通气会上介绍，截至9月22日，全国有7743.1万名学生参加了课后服务．将
数据7743.1万用科学记数法可表示为（ ）
A．77431×103 B．77.431×106
C．7.7431×107 D．0.77431×108
3．（2分）质检员在一批足球中抽出四个进行质量检测，超过标准质量的克数记为正数，不足
标准质量的克数记为负数，下列四个球中，最接近标准质量的足球是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2分）如图，是由五个相同的小立方体搭成的几何体，则从左面看到这个几何体的形状图
是（ ）
第1页（共25页）A． B．
C． D．
5．（2分）下面的调查，适合抽样调查的是（ ）
A．了解某班学生每周课外阅读的情况
B．了解某鞋厂生产的鞋底能承受的弯折次数
C．了解某班同学每周体育锻炼的时间
D．了解某校师生新冠疫情期间每日的体温
6．（2分）若关于x的方程3x+2k﹣4＝0的解是x＝﹣2，则k的值是（ ）
A．5 B．2 C．﹣2 D．﹣5
7．（2分）下列运算正确的是（ ）
A．| ﹣4|＝ ﹣4 B．（﹣ ）÷2＝﹣1
π π
C．5a+3a2＝8a3 D．a2b﹣5ba2＝﹣4a2b
8．（2分）按一定规律排列的单项式：﹣a，4a3，﹣9a5，16a7，﹣25a9，⋯，则第n个单项式是（
）
A．（﹣1）nn2a2n﹣1 B．（﹣1）nn2a2n+1
C．（﹣n）2a2n﹣1 D．（﹣n）2a2n+1
9．（2分）下列说法正确的是（ ）
A．连接两点的线段叫做这两点之间的距离
B．若AP＝BP，则P为线段AB的中点
C．若C，D是线段AB上两点，AC＝BD，则AD＝BC
D．若∠AOB＝ ∠AOC，则OB是∠AOC的平分线
10．（2分）中国古代问题：有甲、乙两个牧童，甲对乙说：“把你的羊给我1只，我的羊数就是
你的羊数的两倍”．乙回答说：“最好还是把你的羊给我1只，我们的羊数就一样了”．若
设甲有x只羊，则所列方程正确的是（ ）
第2页（共25页）A．x+1＝2x﹣1 B． C． D．
二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）
11．（2分）单项式 的次数是 ．
12．（2分）下列是根据我国历次人口普查数据，绘制的全国人口年平均增长率的折线图，根
据图中提供的信息，可以判断我国人口年平均增长率的变化趋势是逐渐 .（填
“下降”或“上升”）
13．（2分）如图，将一个三角板60°角的顶点与另一个三角板的直角顶点重合，若∠1＝
25°40'，则∠2＝ ．
14．（2分）如图，A为数轴上表示2的点，点B到点A的距离是5，则点B在数轴上所表示的
有理数为 ．
15．（2分）如图，C，D是线段AB上的点，若AB＝8，CD＝2，则图中以C为端点的所有线段的
长度之和为 ．
第3页（共25页）16．（2分）如图，从一个四边形的同一个顶点出发可以引出1条对角线，从五边形的同一个顶
点出发，可以引出2条对角线，从六边形的同一个顶点出发，可以引出3条对角线，…，依
此规律，从2022边形的同一个顶点出发，可以引出的对角线数量为 条．
17．（2分）某品牌电饭煲按进价提高40%后标价．2021年“双十一”期间，商家为了提高该
品牌电饭煲的销售量，在九折的基础上，满1000元赠送一张118元的代金券．某顾客购买
该品牌电饭煲时，使用一张代金券后，又付现金1016元，则该品牌电饭煲的进价是
元．
18．（2分）用“#”定义一种新运算，根据定义的这种新运算得到下列各式：1#3＝5×1+3＝8；
3#（﹣1）＝5×3﹣1＝14；5#6＝5×5+6＝31；（﹣6）#（﹣3）＝5×（﹣6）﹣3＝﹣33，若a，b是
有理，则这个定义的新运算是a#b＝ ．（用含a，b的代数式表示）
三、计算题（本大题共2题，19题14分，20题8分，共22分）
19．（14分）计算下列各题
（1） ×（﹣2）；
（2）53 ﹣14+21；（要求用箱便方法计算）
（3）先化简，再求值： ，其中a＝2，b＝﹣1．
20．（8分）解下列方程：
（1） ；
（2） ．
四、解答题（本大题共2题，21题5分，22题6分，共11分）
21．（5分）如图，已知直线l和直线l外三点A，B，C，请按下列要求作图：
（1）作射线AB；
（2）连接BC；
（3）在射线AB上取一点D，使AD＝AB+2BC；（请用尺规作图，不写作法和结论）
第4页（共25页）（4）在直线l上确定一点E，使得AE+CE最短．（请保留作图痕迹）
22．（6分）某初中开展“阳光体育一小时”活动，根据学校实际情况，决定开设踢键子、篮球、
跳绳、健美操四种运动项目（分别用A，B，C，D表示），为了解学生最喜欢哪一种运动项目，
随机抽取了部分学生进行调查（每个被调查的学生必须选择一种且只能选择一种）．并将
调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图．请结合图中的信息解答下列问题：
（1）本次共调查学生 名；
（2）请补全条形统计图，并求扇形统计图中C部分所对应的扇形圆心角的度数；
（3）若该校有1500名学生，喜欢篮球运动的学生约有多少名？
五、解答题（本大题共2题，23题6分，24题8分，共14分）
23．（6分）如图，在一条道路的同侧有A，B，C，D四个小区，其中A与B相距xm，B与C相距
150m，C与D相距xm，某公司的员工住在A小区的有20人，B小区的有6人，C小区的有
15人，D小区的有8人．
（1）该公司计划在B，C小区的位置任选一个作为班车停靠点，设所有员工步行到B，C小
区的路程总和分别为s ，s ，试求s ，s ；（用含x的代数式表示）
1 2 1 2
（2）为了使所有员工步行到班车停靠点的路程总和最小，那么停靠点的位置应该选在B
小区还是C小区？请说明理由．
第5页（共25页）24．（8分）某口罩厂从相距365km的A地采购了一批生产设备，用一辆货车以60km/h的平均
速度将设备从A地运回该厂所在的B地．为了尽快投入生产，在货车出发前1h，该口罩厂
派一辆轿车前往A地接技术人员来厂调试设备．已知轿车以110km/h的平均速度沿同一
条公路从B地前往A地，到达A地后（在A地停留时间忽略不计）立即按原路原速返回．
问货车与轿车在途中相遇几次？相遇时货车出发的时间是多少？（要求用方程解决问题）
六、解答题（本大题共2题，25题8分，26题9分，共17分）
25．（8分）小明在学习了比较线段的长短时对下面一道问题产生了探究的兴趣：
如图1，点C在线段AB上，M，N分别是AC，BC的中点．若AB＝12，AC＝8，求MN的长．
（1）根据题意，小明求得MN＝ ；
（2）小明在求解（1）的过程中，发现MN的长度具有一个特殊性质，于是他先将题中的条
件一般化，并开始深入探究．
设AB＝a，C是线段AB上任意一点（不与点A，B重合），小明提出了如下三个问题，请你
帮助小明解答．
①如图1，M，N分别是AC，BC的中点，则MN＝ ；
②如图2，M，N分别是AC，BC的三等分点，即AM＝ AC，BN＝ BC，求MN的长；
③若M，N分别是AC，BC的n等分点，即AM＝ AC，BN＝ BC，则MN＝ ．
26．（9分）如图，已知∠AOB（45°＜∠AOB＜90°），
（1）以OB为边作∠BOC，使∠BOC＝90°﹣∠AOB，在给出的图形中画出满足条件的所有
∠BOC；（请利用具角器和直尺画图）
（2）在（1）的条件下，作∠AOC的平分线OD，
①若∠AOB＝70°，求∠AOD的度数；
②若∠AOB＝58°，则∠AOD的度数是 ；
③若∠AOB＝ ，则∠AOD的度数是 ．
α
第6页（共25页）第7页（共25页）2021-2022学年辽宁省锦州市七年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有且只有
一个选项是正确的）
1．（2分）﹣ 的倒数是（ ）
A．﹣ B．﹣ C． D．
【分析】根据倒数的定义写出即可．
【解答】解：﹣ 的倒数是﹣ ，
故选：B．
【点评】考查了实数的性质及倒数的定义，属于基础题，比较简单．
2．（2分）2021年7月24日，中共中央办公厅、国务院办公厅印发了《关于进一步减轻义务教
育阶段学生作业负担和校外培训负担的意见》9月23日，教育部基础教育司司长吕玉刚
在教育部新闻通气会上介绍，截至9月22日，全国有7743.1万名学生参加了课后服务．将
数据7743.1万用科学记数法可表示为（ ）
A．77431×103 B．77.431×106
C．7.7431×107 D．0.77431×108
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，
要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原
数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：7743.1万＝774310000＝7.7431×107．
故选：C．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中
1≤|a|＜10，n为整数，正确确定a的值以及n的值是解决问题的关键．
3．（2分）质检员在一批足球中抽出四个进行质量检测，超过标准质量的克数记为正数，不足
标准质量的克数记为负数，下列四个球中，最接近标准质量的足球是（ ）
第8页（共25页）A． B．
C． D．
【分析】求出这些正数和负数的绝对值，然后进行比较即可．
【解答】解：∵|+0.7|＝0.7，|﹣0.8|＝0.8，|+0.6|＝0.6，|﹣1.3|＝1.3，
∴0.6＜0.7＜0.8＜1.3，
∴上列四个球中，C是最接近标准质量的足球，
故选：C．
【点评】本题考查了正数和负数，比较这些数的绝对值是解题的关键．
4．（2分）如图，是由五个相同的小立方体搭成的几何体，则从左面看到这个几何体的形状图
是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】左视图是从左边看得出的图形，结合所给图形及选项即可得出答案．
【解答】解：从左边看，底层是两个正方形，上层的左边是一个正方形．
故选：D．
第9页（共25页）【点评】本题考查了简单组合体的三视图，从上边看得到的图形是俯视图是解题关键．
5．（2分）下面的调查，适合抽样调查的是（ ）
A．了解某班学生每周课外阅读的情况
B．了解某鞋厂生产的鞋底能承受的弯折次数
C．了解某班同学每周体育锻炼的时间
D．了解某校师生新冠疫情期间每日的体温
【分析】根据普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得
到的调查结果比较近似解答
【解答】解：A．了解某班学生每周课外阅读的情况，适合全面调查，故本选项不符合题意；
B．了解某鞋厂生产的鞋底能承受的弯折次数，适宜采用抽样调查，故本选项符合题意；
C．了解某班同学每周体育锻炼的时间，适合全面调查，故本选项不符合题意；
D．了解某校师生新冠疫情期间每日的体温，适合全面调查，故本选项不符合题意．
故选：B．
【点评】本题考查的是抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考
查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意
义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普
查．
6．（2分）若关于x的方程3x+2k﹣4＝0的解是x＝﹣2，则k的值是（ ）
A．5 B．2 C．﹣2 D．﹣5
【分析】根据一元一次方程的解的定义计算即可．
【解答】解：∵关于x的方程3x+2k﹣4＝0的解是x＝﹣2，
∴﹣6+2k﹣4＝0，
解得，k＝5，
故选：A．
【点评】本题考查的是一元一次方程的解，使一元一次方程左右两边相等的未知数的值叫
做一元一次方程的解．
7．（2分）下列运算正确的是（ ）
A．| ﹣4|＝ ﹣4 B．（﹣ ）÷2＝﹣1
π π
C．5a+3a2＝8a3 D．a2b﹣5ba2＝﹣4a2b
【分析】根据绝对值的意义判断A，根据有理数除法运算法则进行计算判断B，根据合并同
第10页（共25页）类项运算法则判断C和D．
【解答】解：A、原式＝4﹣ ，故此选项不符合题意；
π
B、原式＝﹣ ＝﹣ ，故此选项不符合题意；
C、5a与3a2不是同类项，不能合并计算，故此选项不符合题意；
D、原式＝﹣4a2b，故此选项符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查合并同类项，理解绝对值的意义，掌握合并同类项（系数相加，字母及其
指数不变）的运算法则是解题关键．
8．（2分）按一定规律排列的单项式：﹣a，4a3，﹣9a5，16a7，﹣25a9，⋯，则第n个单项式是（
）
A．（﹣1）nn2a2n﹣1 B．（﹣1）nn2a2n+1
C．（﹣n）2a2n﹣1 D．（﹣n）2a2n+1
【分析】由所给的单项式可得，系数是（﹣1）nn2，次数为奇数2n﹣1，则可求第n个单项式
为：（﹣1）nn2a2n﹣1．
【解答】解：第n个单项式为：（﹣1）nn2a2n﹣1，
故选：A．
【点评】本题考查数字的变化规律，根据所给单项式的系数与次数的特点，确定单项式的
规律是解题的关键．
9．（2分）下列说法正确的是（ ）
A．连接两点的线段叫做这两点之间的距离
B．若AP＝BP，则P为线段AB的中点
C．若C，D是线段AB上两点，AC＝BD，则AD＝BC
D．若∠AOB＝ ∠AOC，则OB是∠AOC的平分线
【分析】A、依据两点之间的距离的定义可判断A；B、C、由线段中点的定义可判断，D、由角
平分线的性质可判断D．
【解答】解：A、连接两点的线段的长度叫做这两点之间的距离，故A错误；
B、若AP＝BP，当P点在线段AB上时，点P在AB的中点上，故B错误；
C、若C，D是线段AB上两点，AC＝BD，则AD＝BC，故C正确；
D、若∠AOB＝ ∠AOC，射线OB在∠AOC内部，则OB是∠AOC的平分线，故D错误．
第11页（共25页）故选：C．
【点评】本题主要考查的是线段的性质、角平分线的性质、两点之间的距离的定义，掌握相
关概念和性质是解题的关键．
10．（2分）中国古代问题：有甲、乙两个牧童，甲对乙说：“把你的羊给我1只，我的羊数就是
你的羊数的两倍”．乙回答说：“最好还是把你的羊给我1只，我们的羊数就一样了”．若
设甲有x只羊，则所列方程正确的是（ ）
A．x+1＝2x﹣1 B． C． D．
【分析】设甲有x只羊，根据乙的话可得乙的羊数的关系式，根据甲的话得到等量关系列方
程即可．
【解答】解：设甲有x只羊，乙的羊只数为：x﹣1﹣1或 +1，
根据题意可得： +1＝x﹣1﹣1，则 +1＝x﹣1．
故选：D．
【点评】本题考查由实际问题列一元一次方程，设出甲有x只羊，得到乙的羊数的关系式是
解决本题的难点．
二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）
11．（2分）单项式 的次数是 3 ．
【分析】利用单项式中所有字母的指数的和叫做单项式的次数，进而分析即可．
【解答】解：单项式﹣ x2y的次数是3．
故答案为：3．
【点评】此题主要考查了单项式，正确把握单项式的次数的确定方法是解题的关键．
12．（2分）下列是根据我国历次人口普查数据，绘制的全国人口年平均增长率的折线图，根
据图中提供的信息，可以判断我国人口年平均增长率的变化趋势是逐渐 下降 .（填
“下降”或“上升”）
第12页（共25页）【分析】折线图是用一个单位表示一定的数量，根据数量的多少描出各点，然后把各点用
线段依次连接起来．以折线的上升或下降来表示统计数量增减变化．
【解答】解：根据折线统计图可知，我国人口年平均增长率的变化趋势是逐渐下降．
故答案为：下降．
【点评】本题考查的是折线统计图．读懂统计图并从统计图中得到必要的信息是解决问题
的关键．
13．（2分）如图，将一个三角板60°角的顶点与另一个三角板的直角顶点重合，若∠1＝
25°40'，则∠2＝ 55°4 0 ′ ．
【分析】根据题目的已知可求出∠EAC的度数，再利用90°减去∠EAC的度数即可解答．
【解答】解：∵∠BAC＝60°，∠1＝25°40'，
∴∠EAC＝∠BAC﹣∠1
＝60°﹣25°40′
＝59°60′﹣25°40′
＝34°20′，
∵∠EAD＝90°，
∴∠2＝∠EAD﹣∠EAC
＝90°﹣34°20′
第13页（共25页）＝89°60′﹣34°20′
＝55°40′，
故答案为：55°40′．
【点评】本题考查了度分秒的换算，熟练掌握度分秒的进制是解题的关键．
14．（2分）如图，A为数轴上表示2的点，点B到点A的距离是5，则点B在数轴上所表示的
有理数为 ﹣ 3 或 7 ．
【分析】由题意可知点B可在A的左侧，也可在A的右侧，然后根据两点间距离即可求出
答案．
【解答】解：设点B所表示的数为b，
当B在A左侧时，
∴2﹣b＝5，
∴b＝﹣3，
设点B所表示的数为b，
当B在A右侧时，
∴b﹣2＝5，
∴b＝7，
故答案为：﹣3或7．
【点评】本题考查数轴，解题的关键是正确讨论点B的位置，本题属于基础题型．
15．（2分）如图，C，D是线段AB上的点，若AB＝8，CD＝2，则图中以C为端点的所有线段的
长度之和为 1 0 ．
【分析】先根据线段的定义表示出以C为端点的所有线段，再代入数据进行计算即可得解．
【解答】解：以C为端点的所有线段分别是AC、CD、CB共3条，
∵AB＝8，CD＝2，
∴AC+CD+CB
＝（AC+CB）+CD
＝AB+CD
＝8+2
＝10．
第14页（共25页）故答案为：10．
【点评】本题考查了两点间的距离，找线段时要按照一定的顺序做的不重不漏，求和时把
相加等于AB的长度的两条线段结合成一组可以使运算更简便．
16．（2分）如图，从一个四边形的同一个顶点出发可以引出1条对角线，从五边形的同一个顶
点出发，可以引出2条对角线，从六边形的同一个顶点出发，可以引出3条对角线，…，依
此规律，从2022边形的同一个顶点出发，可以引出的对角线数量为 201 9 条．
【分析】n边形从一个顶点出发可引出（n﹣3）条对角线，据此作答．
【解答】解：从2022边形的同一个顶点出发，可以引出的对角线数量为：2022﹣3＝2019
（条），
故答案为：2019．
【点评】本题考查了多边形的对角线，n边形从一个顶点出发可引出（n﹣3）条对角线．
17．（2分）某品牌电饭煲按进价提高40%后标价．2021年“双十一”期间，商家为了提高该
品牌电饭煲的销售量，在九折的基础上，满1000元赠送一张118元的代金券．某顾客购买
该品牌电饭煲时，使用一张代金券后，又付现金1016元，则该品牌电饭煲的进价是 90 0
元．
【分析】首先根据题意，设该电饭煲的进价为x元；然后根据：该电饭煲的进价×（1+40%）
×90%＝1016+118，列出方程，求出x的值是多少即可．
【解答】解：设该电饭煲的进价为x元，
则（1+40%）x×90%＝1016+118，
∴1.2x＝696，
解得：x＝900．
答：该电饭煲的进价为580元．
故答案为：900．
【点评】此题主要考查了一元一次方程的应用，弄清题意，找出合适的等量关系，进而列出
方程是解答此类问题的关键．
18．（2分）用“#”定义一种新运算，根据定义的这种新运算得到下列各式：1#3＝5×1+3＝8；
第15页（共25页）3#（﹣1）＝5×3﹣1＝14；5#6＝5×5+6＝31；（﹣6）#（﹣3）＝5×（﹣6）﹣3＝﹣33，若a，b是
有理，则这个定义的新运算是a#b＝ 5 a + b ．（用含a，b的代数式表示）
【分析】根据已知等式得出其运算规律为：5乘以第一个数，再加上第二个数，据此可得答
案．
【解答】解：∵1#3＝5×1+3＝8；
3#（﹣1）＝5×3﹣1＝14；
5#6＝5×5+6＝31；
（﹣6）#（﹣3）＝5×（﹣6）﹣3＝﹣33，
∴a#b＝5a+b，
故答案为：5a+b．
【点评】本题主要考查列代数式，解题的关键是掌握列代数式时，要先认真审题，抓住关键
词语，仔细辩析词义．如“除”与“除以”，“平方的差（或平方差）”与“差的平方”的
词义区分．
三、计算题（本大题共2题，19题14分，20题8分，共22分）
19．（14分）计算下列各题
（1） ×（﹣2）；
（2）53 ﹣14+21；（要求用箱便方法计算）
（3）先化简，再求值： ，其中a＝2，b＝﹣1．
【分析】（1）先算乘方，然后算乘除，最后算减法；
（2）将减法统一成加法，然后利用加法交换律和加法结合律进行简便计算；
（3）原式去括号，合并同类项进行化简，然后代入求值．
【解答】解：（1）原式＝27÷9﹣（﹣ ）×（﹣2）
＝3﹣
＝ ；
（2）原式＝53 +19+（﹣21）+46 +（﹣14）+21
第16页（共25页）＝（53 +46 ）+[19+（﹣14）]+[（﹣21）+21]
＝100+5+0
＝105；
（3）原式＝3b3﹣a2﹣4a2+6ab2+6a2﹣3b3
＝6ab2+a2，
当a＝2，b＝﹣1时，
原式＝6×2×（﹣1）2+22
＝6×2×1+4
＝12+4
＝16．
【点评】本题考查有理数的混合运算，整式的加减—化简求值，注意明确有理数混合运算
顺序（先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果
有括号，要先做括号内的运算），掌握合并同类项（系数相加，字母及其指数不变）和去括
号的运算法则（括号前面是“+”号，去掉“+”号和括号，括号里的各项不变号；括号前
面是“﹣”号，去掉“﹣”号和括号，括号里的各项都变号）是解题关键．
20．（8分）解下列方程：
（1） ；
（2） ．
【分析】（1）方程去括号、移项、合并同类项、系数化为1即可；
（2）方程去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1即可．
【解答】解：（1） ，
去括号，得4x+2＝23﹣3x，
移项，得4x+3x＝23﹣2，
合并同类项，得7x＝21，
系数化为1，得x＝3；
（2） ，
去分母，得3（x+5）﹣12＝4（2x+1），
第17页（共25页）去括号，得3x+15﹣12＝8x+4，
移项，得3x﹣8x＝4﹣15+12，
合并同类项，得﹣5x＝1，
系数化为1，得x＝﹣ ．
【点评】本题考查了解一元一次方程，掌握解一元一次方程的基本步骤是解答本题的关键．
四、解答题（本大题共2题，21题5分，22题6分，共11分）
21．（5分）如图，已知直线l和直线l外三点A，B，C，请按下列要求作图：
（1）作射线AB；
（2）连接BC；
（3）在射线AB上取一点D，使AD＝AB+2BC；（请用尺规作图，不写作法和结论）
（4）在直线l上确定一点E，使得AE+CE最短．（请保留作图痕迹）
【分析】（1）（2）（3）根据几何语言画出对应的几何图形；
（4）连接AC交直线l于E，根据两点之间线段最短可判断E点满足条件．
【解答】解：（1）（1）如图，射线AB为所作；
（2）如图，线段BC为所作；
（3）如图，点D为所作；
（4）如图，点E为所作．
【点评】本题考查了作图﹣复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，
结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了直线、射线、
第18页（共25页）线段和两点之间线段最短．
22．（6分）某初中开展“阳光体育一小时”活动，根据学校实际情况，决定开设踢键子、篮球、
跳绳、健美操四种运动项目（分别用A，B，C，D表示），为了解学生最喜欢哪一种运动项目，
随机抽取了部分学生进行调查（每个被调查的学生必须选择一种且只能选择一种）．并将
调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图．请结合图中的信息解答下列问题：
（1）本次共调查学生 20 0 名；
（2）请补全条形统计图，并求扇形统计图中C部分所对应的扇形圆心角的度数；
（3）若该校有1500名学生，喜欢篮球运动的学生约有多少名？
【分析】（1）由A项目人数及其所占百分比可得总人数；
（2）总人数乘以B项目对应百分比求出其人数，从而补全条形图，用360°乘以C项目人数
所占比例即可；
（3）总人数乘以样本中B项目对应的百分比即可．
【解答】解：（1）本次共调查学生30÷15%＝200（名），
故答案为：200；
（2）B项目对应的人数为200×30%＝60（名），
补全图形如下：
第19页（共25页）扇形统计图中C部分所对应的扇形圆心角的度数为360°× ＝126°；
（3）喜欢篮球运动的学生约有1500×30%＝450（名）．
【点评】本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，
利用数形结合的思想解答．
五、解答题（本大题共2题，23题6分，24题8分，共14分）
23．（6分）如图，在一条道路的同侧有A，B，C，D四个小区，其中A与B相距xm，B与C相距
150m，C与D相距xm，某公司的员工住在A小区的有20人，B小区的有6人，C小区的有
15人，D小区的有8人．
（1）该公司计划在B，C小区的位置任选一个作为班车停靠点，设所有员工步行到B，C小
区的路程总和分别为s ，s ，试求s ，s ；（用含x的代数式表示）
1 2 1 2
（2）为了使所有员工步行到班车停靠点的路程总和最小，那么停靠点的位置应该选在B
小区还是C小区？请说明理由．
【分析】（1）当停靠点的位置选在B小区时，当停靠点的位置选在B小区时，根据题意列
代数式即可得到结论；
（2）根据题意分别计算停靠点分别在A、B、D、C各点时员工步行的路程和，选择最小的即
可求解．
【解答】解：（1）当停靠点的位置选在B小区时，s ＝20x+15×150+8（x+150）＝（28x+3450）
1
m，
当停靠点的位置选在B小区时，s ＝20（x+150）+6×150+8x＝（28x+3900）m；
2
第20页（共25页）（2）选B小区，
理由：∵x＞0，
∴28x+3450＜28x+3900，
∴当停靠点的位置选在B小区时，使所有员工步行到班车停靠点的路程总和最小．
【点评】本题主要考查了两点间的距离，理清题意，正确列出算式是解答本题的关键．
24．（8分）某口罩厂从相距365km的A地采购了一批生产设备，用一辆货车以60km/h的平均
速度将设备从A地运回该厂所在的B地．为了尽快投入生产，在货车出发前1h，该口罩厂
派一辆轿车前往A地接技术人员来厂调试设备．已知轿车以110km/h的平均速度沿同一
条公路从B地前往A地，到达A地后（在A地停留时间忽略不计）立即按原路原速返回．
问货车与轿车在途中相遇几次？相遇时货车出发的时间是多少？（要求用方程解决问题）
【分析】设相遇时货车出发的时间是xh，当轿车从B地前往A地时，货车与轿车相遇（两车
相向而行），可列方程，得60x+110 （1+x）＝365；当轿车从A地返回B地肘，轿车追上货
车（两车同向而行），可列方程，得110 （l+x）＝365+60x，解方程即可．
【解答】解：相遇2次．设相遇时货车出发的时间是xh，
当轿车从B地前往A地时，货车与轿车相遇（两车相向而行），可列方程，得60x+110
（1+x）＝365．
解方程，得x＝1.5，
当轿车从A地返回B地肘，轿车追上货车（两车同向而行），可列方程，得110 （l+x）＝
365+60x，
解方程，得x＝5.1，
因为365÷60＝ ＞5.1，所以1.5h和5.1h都符合題意，
答：货车与轿车在途中相遇2次，相遇时货车出发的时间是1.5h和5.1h．
【点评】本题考查一元一次方程的实际应用，行程问题为很常见的一元一次方程应用题型，
关键在于理解清楚题目中路程的等量关系，才能列出方程求解．
六、解答题（本大题共2题，25题8分，26题9分，共17分）
25．（8分）小明在学习了比较线段的长短时对下面一道问题产生了探究的兴趣：
如图1，点C在线段AB上，M，N分别是AC，BC的中点．若AB＝12，AC＝8，求MN的长．
（1）根据题意，小明求得MN＝ 6 ；
（2）小明在求解（1）的过程中，发现MN的长度具有一个特殊性质，于是他先将题中的条
第21页（共25页）件一般化，并开始深入探究．
设AB＝a，C是线段AB上任意一点（不与点A，B重合），小明提出了如下三个问题，请你
帮助小明解答．
①如图1，M，N分别是AC，BC的中点，则MN＝ a ；
②如图2，M，N分别是AC，BC的三等分点，即AM＝ AC，BN＝ BC，求MN的长；
③若M，N分别是AC，BC的n等分点，即AM＝ AC，BN＝ BC，则MN＝ a ．
【分析】（1）由AB＝12，AC＝8，得BC＝AB﹣AC＝4，根据M，N分别是AC，BC的中点，即
得CM＝ AC＝4，CN＝ BC＝2，故MN＝CM+CN＝6；
（2）①由M，N分别是AC，BC的中点，知CM＝ AC，CN＝ BC，即得MN＝ AC+ BC
＝ AB，故MN＝ a；
②由AM＝ AC，BN＝ BC，知CM＝ AC，CN＝ BC，即得MN＝CM+CN＝ AC+
BC＝ AB，故MN＝ a；
③由AM＝ AC，BN＝ BC，知CM＝ AC，CN＝ BC，即得MN＝CM+CN＝
AC+ BC＝ AB，故MN＝ a．
【解答】解：（1）∵AB＝12，AC＝8，
∴BC＝AB﹣AC＝4，
∵M，N分别是AC，BC的中点，
∴CM＝ AC＝4，CN＝ BC＝2，
∴MN＝CM+CN＝6；
故答案为：6；
第22页（共25页）（2）①∵M，N分别是AC，BC的中点，
∴CM＝ AC，CN＝ BC，
∴MN＝ AC+ BC＝ AB，
∵AB＝a，
∴MN＝ a；
故答案为： a；
②∵AM＝ AC，BN＝ BC，
∴CM＝ AC，CN＝ BC，
∴MN＝CM+CN＝ AC+ BC＝ AB，
∵AB＝a，
∴MN＝ a；
③∵AM＝ AC，BN＝ BC，
∴CM＝ AC，CN＝ BC，
∴MN＝CM+CN＝ AC+ BC＝ AB，
∵AB＝a，
∴MN＝ a，
故答案为： a．
【点评】本题考查线段的中点、线段的和差，解题的关键是掌握线段中点的定义及线段和
差运算．
26．（9分）如图，已知∠AOB（45°＜∠AOB＜90°），
（1）以OB为边作∠BOC，使∠BOC＝90°﹣∠AOB，在给出的图形中画出满足条件的所有
∠BOC；（请利用具角器和直尺画图）
第23页（共25页）（2）在（1）的条件下，作∠AOC的平分线OD，
①若∠AOB＝70°，求∠AOD的度数；
②若∠AOB＝58°，则∠AOD的度数是 45 ° 或 13 ° ；
③若∠AOB＝ ，则∠AOD的度数是 45 ° 或 ﹣ 45 ° ．
α α
【分析】（1）分射线OC在∠AOB的外部和内部分别画出图形；
（2）①当射线OC在∠AOB的外部，如图1，易得∠AOC＝90°，则利用角平分线的性质得
到∠AOD＝45°；当射线OC在∠AOB的内部，如图2，先计算出∠BOC＝20°，则∠AOC＝
50°，则利用角平分线的性质得到∠AOD＝25°；
②③利用同样方法分类讨论求∠AOD的度数．
【解答】解：（1）如图1，∠BOC为所作；
如图2，∠BOC为所作；
（2）①当射线OC在∠AOB的外部，如图1，
∵∠BOC＝90°﹣∠AOB，
∴∠BOC+∠AOB＝90°，
即∠AOC＝90°，
第24页（共25页）∵OD平分∠AOC，
∴∠AOD＝ ∠AOC＝45°；
当射线OC在∠AOB的内部，如图2，
∵∠BOC＝90°﹣∠AOB＝90°﹣70°＝20°，
∴∠AOC＝∠AOB﹣∠BOC＝70°﹣20°＝50°，
∵OD平分∠AOC，
∴∠AOD＝ ∠AOC＝25°；
综上所述，∠AOD的度数为45°或25°；
②当∠AOB＝58°，
当射线OC在∠AOB的外部时，∠AOD＝45°；
当射线OC在∠AOB的内部时，∠AOD＝13°；
故答案为：45°或13°；
③当∠AOB＝ ，
当射线OC在∠αAOB的外部时，∠AOD＝45°；
当射线OC在∠AOB的内部时，∠AOD＝ ﹣45°．
故答案为：45°或 ﹣45°． α
【点评】本题考查α了作图﹣复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，
结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了角平分线的定
义．
第25页（共25页）
