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高一数学
一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的）
1. 下列关系中：① ，② ，③ ，④ 正确的个数为（
）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】根据元素和集合之间的关系、集合与集合的关系判断即可.
【详解】对于①：因为0是 的元素，所以 ，故①正确；
对于②：因为空集是任何集合的子集，所以 ，故②正确；
对于③：因为集合 的元素为0，1，集合 的元素为 ，
两个集合的元素全不相同，所以 之间不存在包含关系，故③错误；
对于④：因为集合 的元素为 ，集合 的元素为 ，
两个集合的元素不一定相同，所以 不一定相等，故④错误；
综上所述：正确的个数为2.
故选：B.
2. 若 ，则“ ”是“ ”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】
【分析】解法一：由 化简得到 即可判断；解法二：证明充分性可由 得到
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学科网（北京）股份有限公司，代入 化简即可，证明必要性可由 去分母，再用完全平方公式即可；解法三：
证明充分性可由 通分后用配凑法得到完全平方公式，再把 代入即可，证明必要性可由
通分后用配凑法得到完全平方公式，再把 代入，解方程即可.
【详解】解法一：
因为 ，且 ，
所以 ，即 ，即 ，所以 .
所以“ ”是“ ”的充要条件.
解法二：
充分性：因为 ，且 ，所以 ，
所以 ，
所以充分性成立；
必要性：因为 ，且 ，
所以 ，即 ，即 ，所以 .
所以必要性成立.
所以“ ”是“ ”的充要条件.
解法三：
充分性：因为 ，且 ，
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学科网（北京）股份有限公司所以 ，
所以充分性成立；
必要性：因为 ，且 ，
所以 ，
所以 ，所以 ，所以 ，
所以必要性成立.
所以“ ”是“ ”的充要条件.
故选：C
3. 若不等式 对于一切 恒成立，则 的最小值是（ ）
A. 0 B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
采用分离参数将问题转化为“ 对一切 恒成立”，再利用基本不等式求解出
的最小值，由此求解出 的取值范围.
【详解】因为不等式 对于一切 恒成立，
所以 对一切 恒成立，
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学科网（北京）股份有限公司所以 ，
又因为 在 上单调递减，所以 ，
所以 ，所以 的最小值为 ，
故选：C.
【点睛】本题考查利用基本不等式求解最值，涉及不等式在给定区间上的恒成立问题，难度一般.不等式在
给定区间上恒成立求解参数范围的两种方法：参变分离法、分类讨论法.
4. 集合 ， ， 的关系是（
）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据结合的包含的定义和集合相等的定义判断 的关系可得结论.
【详解】任取 ，则 ， ，
所以 ，所以 ，
任取 ，则 ， ，
所以 ，所以 ，
所以 ，
任取 ，则 ， ，
所以 ，所以 ，
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学科网（北京）股份有限公司又 ， ，
所以 ，
所以 ，
故选：C.
5. 已知 ，则 的最小值为（ ）
A. B. 0 C. 1 D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据“1”技巧，利用均值不等式求解.
【详解】 ， ，
，
，
，
，
当且仅当 ，即 ， 时等号成立，
故选：A
6. 如图中阴影部分所表示的集合是（ ）
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学科网（北京）股份有限公司A. B. （A∪B）∪（B∪C）
C. （A∪C）∩（∁U B） D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据韦恩图的意义，结合集合交并补运算的表示，即可容易求得结果.
【详解】根据韦恩图的意义，阴影部分表示的集合为：
集合 与 在集合 中的补集的交集.
故可表示为： .
故选：A.
7. 命题 为真命题的一个充分不必要条件是（ ）
A. B.
.
C D.
【答案】B
【解析】
【分析】求出命题 为真命题时a的值，再结合充分不必要条件的定义即可得
解.
【详解】若命题“ ”为真命题，
则 ， 恒成立.
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学科网（北京）股份有限公司令 ，则函数 在 上单调递增，所以在当 时， 取得最大值4，
可得 ，
所以各选项中只有 是 的真子集，
即 是“ ”为真命题的一个充分不必要条件.
故选：B
8. 已知非空数集 满足：任意 的，则 ，若集合 中含有4个元素，则这四个元素之积为（
）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意，利用数量关系研究其周期性，可得答案.
【详解】由题意可得 ， ， ，
，则 ，
.
故选：C.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知集合A中元素满足 ， ，则下列表示正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】ABC
【解析】
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学科网（北京）股份有限公司【分析】逐一代入检验，验证是否存在 即可.
【详解】令 ，解得 ， ， ，A正确；
令 ，解得 ， ， ，B正确；
， ，故C正确；
令 ，解得 ， ， ，D错误.
故选：ABC.
10. 下面命题正确的是（ ）
A. “ ”的必要不充分条件是“ ”
B. 命题“若 ，则 ”的是真命题
C. 设 ，则“ 且 ”是“ ”的必要不充分条件
D. 设 ，则“ ”是“ ”的必要不充分条件
【答案】AD
【解析】
【分析】根据充分、必要条件和命题的真假依次判断即可.
【详解】对A：因为 ，但 或 ，所以“ ”是“ ”的必要
不充分条件，故A正确；
对B：当 时，满足 ，但此时 不成立，所以命题“若 ，则 ”的是假命题，故B
错误；
对C：当“ 且 ”时，“ ”成立；但当“ ”时，比如“ ， ”，
此时“ 且 ”不成立.所以“ 且 ”是“ ”的充分不必要条件，故C错误；
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学科网（北京）股份有限公司对D：当“ 但 ”时，可得“ ”；当“ ”时，可得“ 且 ”.所以“
”是“ ”的必要不充分条件.故D正确.
故选：AD
11. 设S为实数集 的非空子集.若对任意 ，都有 ， ， ，则称S为封闭
集.下列命题是真命题的是（ ）
A. 集合 为封闭集
B. 若S为封闭集，则一定有
C. 封闭集一定是无限集
D. 若S为封闭集，则满足 的任意集合T也是封闭集
【答案】AB
【解析】
【分析】
根据集合定义依次判断AB正确，取 满足条件为封闭集，排除C，取 ， ，排除D，
得到答案.
【详解】设 ， ， 均为整数，
则 ， ，
，故集合 为封闭集，A正确；
S为封闭集，取 ，则 ，B正确；
取 满足条件为封闭集，C错误；
取 ， ，满足 ， ，故 不是封闭集，D错误.
故选：AB.
【点睛】本题考查了集合的新定义问题，意在考查学生的理解能力和应用能力，取特殊值排除是解题的关
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学科网（北京）股份有限公司键.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知集合 ， ，若满足 ，则实数a的值为______．
【答案】－3
【解析】
【分析】根据交集定义，若 ，则 且 ，从而讨论集合 的情况，确定实数a的
值.
【详解】由题意可得， 且 ，
当 时，解得 ，
此时 ， ， ，不符合题意，舍去；
当 时，解得 ，
当 时， ， ， 中元素不满足互异性，不符合题意，舍去，
当 时， ， ， ，符合题意，
综上所述， ，
故答案为：－3.
13. 已知 ，求 的取值范围______________.
【答案】
【解析】
【分析】先将 表示成关于 与 的表达式，再利用不等式的性质即可求得答案.
【详解】设 ，则 ，
解得 ，则 ，
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学科网（北京）股份有限公司因 ，
则 ，
故 ，
即 的取值范围为 .
故答案为： .
14. 设已知集合 ， ，若 ，则实数 的取值范
围为______.
【答案】{ 或 }
【解析】
【分析】方法一，分类讨论化简集合A，由 确定实数 的取值范围；方法二，考虑
的反面 ，利用补集思想求解.
【详解】因为 ，
所以当 时， ；当 时， .
因为 ，所以 .
方法一 ， 因为 ，所以当 时，显然不满足；
当 时， 或 ，解得 或 .
即实数 的取值范围为 或 .
方法二 ，考虑 的反面 ，
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学科网（北京）股份有限公司显然 时符合；
当 时，需满足 且 ，即 且 .综上得 .
由补集思想得当 时， 或 ，即实数 的取值范围为 或 .
故答案为： 或 .
四、解答题：本题共5小题，共77分、解答应写出文字说明、证明过程或演算步聚.
15. 已知集合 ．
（1）若 ，求集合 ；
的
（2）设 ，若 ，求实数a 值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据题意，得到 且 ，列出方程组，求得 的值，得到集合 ，结合集合交集
和并集的运算，即可求解；
（2）根据题意，得到 ，求得 的值，验证集合的互异性，进而得到答案.
【小问1详解】
解：由集合 ，
若 ，可得 且 ，则 ，解得 ，
所以 ，可得故 ．
【小问2详解】
解：由集合 ，
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学科网（北京）股份有限公司若 ，则 ，解得 或 ，
当 时， ，满足 ；
当 时， ，不满足集合中元素的互异性，舍去，
综上所述，实数 的值为 ．
16. 已知集合 ．
（1）若 ，求实数 的值；
（2）若 ，且 ，求m的值；
（3）求实数 的值使得 ．
【答案】（1）
（2） 或
（3） 或
【解析】
【分析】（1） 是方程 的根，代入即可求a；
（2）分 和 两种情况进行讨论即可；
（3）由 可得 ，即 ，分 ， ， ， 四种情况
讨论即可．
【
小问1详解】
∵ ，∴ ，解得 ．
【小问2详解】
．
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学科网（北京）股份有限公司由 ，
若 ，即 ，满足题设，
若 ，即 ，则 或 ，
将 代入 可得 （不成立，舍去），或 ，
综上， 或 ．
【小问3详解】
由 ，且 ，则 ，即 ，
当 时， 无实数根，即 ，解得 ；
当 时， 有两相等实数根 ， ，则 ，
符合题意；
当 时， 有两相等实数根， ，则 ，
此时 为 ，则 ，不合题意；
当 时， 有两实数根0和4，
此时 且 ，解得 且 ，则 ；
故综合上述， 的取值范围为 或 ．
17. 某学生社团设计一张招新海报，要求纸张为长 、宽 的矩形，面积为 ．版面设计如图所
示：海报上下左右边距均为 ，文字宣传区域分大小相等的三个矩形栏目，栏目间中缝空白的宽度为
．三个栏目的文字宣传区域面积和为 ，
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学科网（北京）股份有限公司（1）用 、 表示文字宣传区域面积和 ；
（2）如何设计纸张的长和宽，使得文字宣传区域面积和 最大？最大面积是多少？
【答案】（1）
（2）长和宽分别为 时，面积 取得最大值 .
【解析】
【分析】（1）利用矩形的面积公式列式即得.
（2）由（1）的结论，利用基本不等式求出最大值.
【小问1详解】
依题意，三个栏目的文字宣传区域拼在一起，相当于长宽分别为 的矩形，
所以 .
【小问2详解】
依题意， ，由（1）知 ，
当且仅当 时取等号，由 ，解得 ，
所以纸张的长和宽分别为 时，面积 取得最大值 .
18. 已知实数a，b，c满足 ．
（1）证明：“ ”是“ ”的充要条件；
（2）若 且 ，证明： ．
【答案】（1）证明见解析
（2）证明见解析
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学科网（北京）股份有限公司【解析】
【分析】（1）根据充分性、必要性的定义进行证明即可；
（2）根据不等式的性质，结合基本不等式进行证明即可.
【小问1详解】
充分性：因为 ，所以 ，即“ ”是“ ”的充分条件；
必要性：因为 ，且 ，所以有
，
即“ ”是“ ”的必要条件；
【小问2详解】
由 且 ， ，得 ，
所以有 ，
当且仅当 时取等号，即当且仅当 时取等号，
由 .
19. 已知集合 及非空集合 ．
（1）若 ，求a，b的值；
（2）是否存在实数a，b，使得 ，若存在，求出a，b之间的关系，若不存在，说明理由．
【答案】（1）
（2）存在， ， 时满足题意； ， 时满足题意； ，
满足题意
【解析】
【分析】（1）由 ，且C为非空集合可得 只有一个根为 ，列方程组即可求得答案；
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学科网（北京）股份有限公司（2）由于 ，所以 且 ，分 和 两种情况进行讨论即可求得答案.
【小问1详解】
因为 ，且C为非空集合，所以 ，
即 ，则 只有一个根为 ，
所以 ，解得 ；
【小问2详解】
由题意得 ，
由于 ，所以 且 ，
1）当 时， ，所以只需要满足集合C非空且 即可，
则满足 恒成立即 ，且 即 的值不等于0，
；
2）当 时， ，若 ，则 ，
此时只需要满足集合C只有一个根为1或一个根为1，另一个根不为-3，
将 代入 得 ，即 满足题意；
若 ，则 ，
此时只需要满足集合C只有一个根为 或一个根为 ，另一个根不为1，
将 代入 得 ，
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学科网（北京）股份有限公司令 ，解得 或 ，
即 满足题意；
综上： ， 时满足题意； ， 时满足题意； ， 满足题意.
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学科网（北京）股份有限公司
