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2025-2026 学年第一学期高一年级第一次学业诊断检测
数学试题
考试时间：120分钟；考试分值：150 分；命题教师：王海龙
注意事项：
1.答题前，考生务必将本人的姓名、准考证号等考生信息填写在答题卡上，并将条形码准确
粘贴在条形码区域内.
2.选择题答案使用 2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；非选
择题答案使用0.5毫米的黑色显水签字笔书写，字体工整、笔迹清楚.
3.请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答，超出答题区域书写的答案无效.
4.保持卡面清洁，不折叠，不破损.
5.考试结束，将答题卡交回.
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的.
1. 下列说法正确的是（ ）
A. 我校高个子的同学能组成一个集合
B. 联合国安理会常任理事国能组成一个集合
C. 数 组成的集合中有7个元素
D. 由不大于4的自然数组成的集合的所有元素为1，2，3，4
【答案】B
【解析】
【分析】根据集合概念逐一判断即可.
【详解】对于A，高个子缺少判断的明确标准，不能构成集合，错误；
对于B，联合国安理会常任理事国指的是中、法、俄、英、美五国，能构成集合，正确；
对于C，因为 ，故数 组成的集合中只有5个元素，错误；
对于D，由不大于4的自然数组成的集合的元素有0，1，2，3，4，错误.
故选：B
2. 集合 ， ，则 （ ）
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学科网（北京）股份有限公司A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据交集的定义判断.
【详解】因为 ， ，
所以 .
故选：C
3. 若 ，则下列不等式一定成立的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】取特殊值判断ABC，利用作差法判断D.
【详解】当 时， ，即 ，故A错误；
当 时， ，故B错误；
当 时， ，故C错误；
因为 ，所以 ，故D正确.
故选：D
4. 已知集合 若 ，则实数 的值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
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学科网（北京）股份有限公司计算 ，考虑 ， ， 三种情况，计算得到答案.
【详解】 ， ，
当 时， ， ；当 时， ， ；当 时， .
即 或 或 .
故选：D.
【点睛】本题考查了根据集合的包含关系求参数，意在考查学生的计算能力，忽略掉空集是容易发生的错
误.
5. 不等式 的解集是（ ）
A. 或 B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】整理可得 ，根据一元二次不等式的解法，即可得答案.
【详解】由 ，可得： ，
解得 或 ，即 或 .
故选：A
6. 已知命题 ；命题 ，则（ ）
A. 和 都是真命题 B. 和 都是真命题
C. 和 都是真命题 D. 和 都是真命题
【答案】B
【解析】
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学科网（北京）股份有限公司【分析】先确定原命题的真假，再得到否命题的真假，判断选项即可.
【详解】注意到当 时， ，则 是假命题， 是真命题；
又注意到 时， ，则 为真命题， 是假命题；
所以 和 都是真命题．
故选：B.
7. 已知正数 满足 .若不等式 恒成立，则实数 的取值范围是（
）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由基本不等式乘“1”法，求得 的最小值，进而可求解.
【详解】由题意知：不等式 恒成立，
即 ，
，
即： ，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
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学科网（北京）股份有限公司∴ ，当且仅当 即 时等号成立.
∴当 时， 取得最小值为8.
∴ 解得：
故选：C.
8. 当 时，关于x的不等式 有解的一个充分不必要条件是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先求出当 时，关于x的不等式 有解的充要条件，再根据充分不必
要条件与充要条件的关系得出答案.
【详解】当 时，关于x的不等式 有解，
即 在 上有解.令 ， ，
所以 ，则 ，
代入 得 ，
当且仅当 时取等号，此时 ， 的最小值为6.
故当 时，关于x的不等式 有解的充要条件是 ，
所以满足题意的充分不必要条件是 的真子集，选项中只有C符合
故选：C
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学科网（北京）股份有限公司二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符
合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 下列四个关系中错误的是（ ）
A. B. C. D. 空集
【答案】AB
【解析】
【分析】利用元素与集合的关系，集合与集合的关系判断即可.
【详解】对于A，应该为 ，对于B，应该为 ，故A、B错误．
对于C， ，故C正确．对于D，空集 ，故D正确．
故选：AB.
10. 若 ，则下列命题正确的是（ ）
A. 若 且 ，则 B. 若 ，则
C. 若 ，则 D. 若 且 ，则
【答案】BC
【解析】
【分析】举反例判断AD；作差法判断B；对于C，结合不等式的性质利用作差法判断即可.
【详解】对于A，取 ，满足 且 ，但 ，不满足 ，错误；
对于B，因为 ， ，
所以 ，即 ，正确；
对于C， ，
因为 ，所以 ，所以 ，所以 成立，正确；
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学科网（北京）股份有限公司对于D，取 ，满足 且 ，但 ，不满足 ，错误.
故选：BC
11. 下列说法中，正确的有（ ）
A. 命题 ，则命题 的否定为
B. “ ”是“ ”的充要条件
C. 命题“对任意实数 ，二次函数 的图象关于 轴对称”是真命题
D. 命题“若 ，则 ”是假命题
【答案】CD
【解析】
【分析】根据否定的定义判断A，应用特殊值法判断B，D，根据二次函数对称轴判断C.
【详解】命题 ，则命题 的否定为 ，A选项错误；
当 时，满足 不满足 ，所以“ ”不是“ ”的充要条件，B选
项错误；
对任意实数 ，二次函数 的图象关于 轴对称，C选项正确；
当 时，得 ，则命题“若 ，则 ”是假命题，D选项正确.
故选：CD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分
12. 命题“ ” 的否定是___________．
【答案】
【解析】
【分析】根据存在量词命题的否定概念即可.
【详解】由存在量词命题的否定概念可得，
故答案为：
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学科网（北京）股份有限公司13. 已知集合 满足 ，则不同的集合 的个数为______．
【答案】4
【解析】
【分析】根据集合的包含关系列举出集合 ，即可得解.
【详解】由题知 中必然含有元素 ，1，可能含有元素 ，2，
所以 可能为 ，共4个．
故答案为：4
14. 已知关于 的一元二次不等式 的解集为 ，则不等式 的解
集为___________．
【答案】
【解析】
【分析】根据一元二次不等式的解集确定对应方程的根和二次项系数的正负,利用韦达定理将 用 表示,
再化简所求的不等式并求解.
【详解】已知不等式 的解集为 ,所以 ，且方程 的两根
为 ，
根据韦达定理 ， ，所以 ， .
不等式 可化为 ，两边同时除以 ，
得 ，即 ，解得 ，
所以不等式 的解集为 .
故答案为： .
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学科网（北京）股份有限公司四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步
15. 已知全集 ，集合 ．求：
（1） 及 ；
（2） 及
【答案】（1） ，
（2） 或 ，
【解析】
【分析】（1）由集合的交集、补集运算即可求解；
（2）由交集、并集、补集运算即可求解；
【小问1详解】
因为 ，
所以 ，
【小问2详解】
由（1）可得： 或 ，
由 ，可得： 或 ，
所以
的
16. 利用基本不等式求下列式子 最值：
（1）若 ，求 的最小值；
（2）已知 ，且 ，求 的最大值；
（3）若 ，求 的最大值.
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学科网（北京）股份有限公司【答案】（1）4 （2）
（3）
【解析】
【分析】（1）利用基本不等式即可求解.
（2）利用基本不等式即可求解.
（3）利用基本不等式即可求解.
【小问1详解】
因为 ，所以 ，当且仅当 时取等号，
故最小值为4，此时 .
【小问2详解】
因为 ，
所以 ，当且仅当 时取等，
故 最大值为 .
【小问3详解】
因为 ，
所以 ，当且仅当 时取等号，
故所求最大值为 .
17. 已知集合 ， .
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学科网（北京）股份有限公司（1）若 ，求实数 的取值范围；
（2）若 ，求实数 的取值范围.
【答案】（1）
（2） .
【解析】
【分析】（1）依题意可得 ，即可得到不等式组，解得即可；
（2）依题意可得 或 ，即可求出参数的取值范围.
【小问1详解】
为
解：因 ，所以 ，
所以 ，即 ；
【小问2详解】
解：因为 ，
所以 或 ，
所以 .
18. 已知函数 ．
（1）若关于 的不等式 的解集是 ，求 的值．
（2）若 ，求关于 的不等式 的解集．
【答案】（1） ；
（2）答案见详解.
【解析】
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学科网（北京）股份有限公司【分析】（1）根据二次函数解集的区间端点值为二次方程的根可得 的值，再求解二次不等式可得 的值；
（2）将二次不等式因式分解，对 的情况分类讨论解不等式即可.
【小问1详解】
因为不等式 的解集是 ，
所以 是方程 的两个实数根，且 ，
将 代入方程中得： ，
则原不等式为： ，
即 ，
所以不等式的解集为 ，
从而得出 ，
所以 .
【小问2详解】
由不等式 得： ，
因为 ，所以不等式变形得到： ，
所以对应方程的根为： 或 ，
①当 时，即 ，不等式为 ，
此时不等式解集为： ；
②当 时，即 ，
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学科网（北京）股份有限公司此时不等式解集为： 或 ；
③当 时，即 ，
此时不等式解集为： 或 ；
综上所述：
当 时，不等式解集为： ；
当 时，不等式解集为： 或 ；
当 时，不等式解集为： 或 .
19. 已知集合 ，
（1）若 ，实数 的取值范围；
（2）若 ， 是假命题，求实数 的取值集合 ；
（3）设不等式 的解集为D，若 是 的必要不充分条件，求实数 的取值
范围.
【答案】（1） ．
（2）
（3） ．
【解析】
【分析】（1）求出集合 ，又 ，根据集合的包含关系分类讨论求解；
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学科网（北京）股份有限公司（2）原命题的否定： ， 是真命题，转化为求 的最大值即得；
（3）由题意得出 ，再分 和 进行讨论．
【小问1详解】
， ，
若 ，即 ，则 满足题意，
若 ，即 ，则 ，又 ，故无实解，
综上 ．
【小问2详解】
是
， 假命题，则 ， 是真命题，即 ，
时， （ 时取等号），所以 ，即 ；
【小问3详解】
若 是 的必要不充分条件，则 ，
的解是 或 ，
，即 时， 满足题意，
时， ，
因此 ，解得 且 ．
综上， ．
【点睛】方法点睛：本题考查由集合的运算结果，命题的真假，充分必要条件求参数，解题方法是根据问
题进行转化，如（1）（3）转化为集合的包含关系，再根据子集的概念分类讨论求解，如（2）转化为不
等式恒成立，再转化为求函数的最值，得出参数范围．
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学科网（北京）股份有限公司第15页/共15页
学科网（北京）股份有限公司
