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白城实验高中 2025～2026 学年度高一上学期第一次月考
数学试卷
一、单项选择题（本大题共8小题，每题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的．）
1. 下列命题为真命题的是（ ）
A. 若 ，则 B. 若 ， ，则
C. 若 ，则 D. 若 ，则
【答案】B
【解析】
【分析】由不等式的基本性质，赋值法逐项判断即可.
【详解】对于A，可以取 ， ， ，此时 ，所以A错误.
对于B：∵ ，∴ ，因为 ，所以 ，故B正确；
对于C：取 ， 时，则 ， ， ，则 ，故C错误；
对于D：当 ， 时， ， ，则 ，故D错误；
.
故选：B
2. 已知集合 ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】理解 含义后运算
【详解】由题意得， 是所有奇数的集合， 是所有被4除余 的整数集
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学科网（北京）股份有限公司故 ，
故选：C
3. 已知集合 ，集合 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由并集定义计算．
【详解】由题意 ，
故选：C．
4. 已知集合 ， ， ，且 ，则 的值为（ ）
A. 1或 B. 1或3 C. 或3 D. 1， 或3
【答案】B
【解析】
【分析】根据元素与集合的关系，得到 或 ，从而求得m值，并验证是否符合集合互
异性即可.
【详解】解： ， ， ，
或 ，即 或 .
当 时， ，5， ；
当 时， ，3， ；
当 时， ，1， 不满足互异性，
的取值集合为 ， .
故选： .
5. 已知二次函数 ，且 ， ，则一定有（ ）．
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学科网（北京）股份有限公司A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
的
【分析】由二次函数 性质即可求解.
【详解】∵二次函数 中， ，
∴当 时， ．
又∵ ，∴抛物线开口向下且穿过x轴，
∴抛物线与x轴肯定有两个交点，即判别式 ．
故选：A.
6. 已知 是幂函数，则 （ ）
A. B. C. 1 D. 2
【答案】B
【解析】
【分析】根据幂函数的定义求解.
【详解】由题意得 ，得 ．
故选：B.
7. 已知集合P= ， ，则P Q=（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据集合交集定义求解.
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学科网（北京）股份有限公司【详解】
故选：B
【点睛】本题考查交集概念，考查基本分析求解能力，属基础题.
8. 已知集合 ， ，则 （ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用交集的定义可求得集合 .
【详解】因为集合 ， ，则 .
故选：C.
二、多项选择题（本大题共3小题，每题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多
项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得部分分．）
9. 下列各组对象能构成集合的有（ ）．
A. 某一天到商场买过商品的顾客 B. 小于0的实数
C. 与 D. 未来世界的高科技产品
【答案】ABC
【解析】
【分析】根据集合中元素的确定性即可得解.
【详解】A中“某一天到商场买过商品的顾客”的标准确定，能构成集合；
B中小于0是一个明确的标准，能构成集合；
C中 与 是两个不同的点，是确定的，能构成集合；
D中未来世界的高科技产品，该对象不具备确定性，不能构成一个集合．
故选：ABC
10. （多选）设集合 ，则下列结论中正确的有
A. B.
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学科网（北京）股份有限公司C. D.
【答案】CD
【解析】
【分析】对A， ；对B， ；对C，D，通过集合运算，可知都是正确；
【详解】对A，集合 中 ，故 错误；
对B， ，故B错误；
对C，因为 ， ，显然 ，故C正确；
对D， 或 ， ，故D正确
故选CD.
【点睛】本题集合间的基本关系、集合间的交、并、补运算，考查基本运算求解能力.
11. 已知 ，则下列说法正确的有（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】对于AB，利用不等式的性质进行判断即可；对于CD，结合不等式的性质利用作差法判断即可.
【详解】对于A，因为 ，所以 ，所以 ，正确
对于B，因为 ，所以 ，两边同乘 得 ，错误；
对于C，因为 ，所以 ，正确；
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学科网（北京）股份有限公司对于D， ，
因为 ，所以 ，所以 成立，正确.
故选：ACD
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分．）
12. 已知 ，幂函数 在 上单调递增，其图像不过坐标原点，
则 __________.
【答案】
【解析】
【分析】根据幂函数的性质分析求解.
【详解】因为幂函数图像不过坐标原点，则 ，
当 ， 的定义域为 ，不合题意；
当 ， 在区间 上单调递减，不合题意；
当 ， 在区间 上单调递减，不合题意；
当 ， 在区间 上单调递增，符合题意；
综上所述： .
故答案为： .
13. 设 、 为实数，比较两式的值的大小： _______ （用符号 或=填入划线
部分）．
【答案】
【解析】
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学科网（北京）股份有限公司【分析】利用作差比较法求得正确答案.
【详解】因为 ， 时等号成立，
所以 ．
为
故答案 ：
14. 已知命题“ ，使得等式 成立”是假命题，则实数 的取值范围是
__________.
【答案】 或
【解析】
【分析】存在量词命题的否定为真命题，从而得到 ，得到 的取值范围.
【详解】由题意得“ ，使得等式 成立”是真命题，
故 ，
所以实数 的取值范围是 或 .
故答案为： 或
四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
15. 已知函数
（1）求定义域；
（2）判断奇偶性；
（3）已知该函数在第一象限的图象如图所示，试补全图象，并由图象确定单调区间.
【答案】（1）定义域为 ；（2）偶函数；（3）图像见解析， 的单调增区间是
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学科网（北京）股份有限公司，单调减区间是
【解析】
【分析】（1）将函数 改写成 ，即可判断定义域;
（2）令 ，计算 并判断与 的关系即可确定函数的奇偶性；
（3）根据 的奇偶性补全图像，根据补全后的图像确定函数的单调区间；
【详解】（1） ，定义域为实数集R;
（2）令
，且定义域关于坐标原点对称， 函数 为偶函数.
（3）因为函数 为偶函数,所以函数 的图像关于 轴对称，
根据 第一象限的图像补全图像如图所示:
根据图像可知，函数 单调增区间是 ，单调减区间是 .
16. 已知 ， ，判断函数的单调性，并证明
【答案】 在 递增，见解析
【解析】
【分析】运用单调性的定义证明，注意取值、作差、变形、定符号、下结论几个步骤．
【详解】在 上任取 ，且 ，
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学科网（北京）股份有限公司有
， ， ，所以 .
所以 在 递增.
【点睛】本题考查函数单调性的判断和证明，注意运用定义法，属于基础题．
17. 某商场要经营一种新上市的文具，进价为20元/件．试销阶段发现：当销售单价是25元时，每天的销
售量为250件；销售单价每上涨1元，每天的销售数量就减少10件．
（1）写出商场销售这种文具，每天所得的销售利润w（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式；
（2）求销售单价为多少元时，该文具每天的销售利润最大．
【答案】（1）
（2）35元
【解析】
【分析】（1）根据题意列出函数关系式即可；
（2）由二次函数的性质即可求解.
【小问1详解】
由题意得，销售量 ，
则 ．
【小问2详解】
．
∵ ，∴函数图象为开口向下的抛物线，w有最大值，
又∵对称轴为直线 ，∴当 时， ，
故当单价为35元时，该文具每天的利润最大．
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学科网（北京）股份有限公司18. 现有 ， ， ， 四个长方体容器， ， 的底面积均为 ，高分别为 ， ； ， 的底面积
均为 ，高分别为 ， （其中 ．现规定一种两人的游戏规则：每人从四种容器中取两个盛水，盛
水多者为胜．问先取者在未能确定 与 大小的情况下有没有必胜的方案？若有的话，有几种？
【答案】在不知道 ， 的大小的情况下，取 ， 能够稳操胜券，其他的都没有必胜的把握．故可能有
种，即取 ， ．
【解析】
【分析】当 时可得 ；当 时可得 ，分情况讨论，最终有
，故可得到答案.
的
【详解】设 ， ， ， 体积分别为 ， ， ， ，
①当 时，则 ，即 ，
在此种条件下取 ， 能够稳操胜券．
②当 时，则 ，即 ，
在此种条件下取 ， 能够稳操胜券．
若甲先取 、 ， .
若甲先取 、 ，
因为 ， 的大小关系不确定，故最终不能确定能否取胜；
若甲先取 、 ， ，
因为 ， 的大小关系不确定，故最终不能确定能否取胜；
在不知道 ， 的大小的情况下，取 ， 能够稳操胜券，其他的都没有必胜的把握．
故可能有 种，就是取 ， ．
.
19 （1）已知 ， ，求证： .
（2）A、B地相距2公里，甲、乙两人同时从A地出发，沿同一条线路步行到B地.甲在前一半时间的行走
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学科网（北京）股份有限公司速度为 ，后一半时间的行走速度为 ；乙用速度 走完1公里，用速度 走完剩下的1公里.若 ，
问甲、乙两人谁先到达B地？并说明理由.
【答案】（1）证明见解析；（2）甲先到达B地，理由见解析.
【解析】
【分析】（1）根据不等式的性质即得；
（2）由题可表示出两人所用的时间，然后利用作差法即得.
【详解】（1）因为 ，所以 ，
将 的两边同乘 ，则 ，即 ，
所以 ；
（2）甲先到达B地.
因为A、B地相距2公里，设甲从A地出发到达B地所用的时间为 ，乙从A地出发到达B地所用的时间
为 ，
则 ， ，
因为 ，且 ， ，
所以 ，
即 ，
故甲先到达B地.
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