文档内容
2021-2022学年辽宁省锦州市九年级（上）期末数学试卷
一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分。在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的）
1．（2分）如图所示的几何体的左视图是（ ）
A． B． C． D．
2．（2分）如图，a∥b∥c， ，DF＝12，则BD的长为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
3．（2分）育种小组对某品种小麦发芽情况进行测试，在测试条件相同的情况下，得到如下数
据：
抽查小麦粒数 100 300 800 1000 2000 3000
发芽粒数 96 287 770 958 1923 a
则a的值最有可能是（ ）
A．2700 B．2780 C．2880 D．2940
4．（2分）若关于x的一元二次方程ax2﹣4x+2＝0有两个实数根，则a的取值范围是（ ）
A．a≤2 B．a≤2且a≠0 C．a＜2 D．a＜2且a≠0
5．（2分）如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝4，对角线AC，BD相交于点O，OE⊥AC交BC
于点E，EF⊥BD于点F，则OE+EF的值为（ ）
第1页（共31页）A． B．2 C． D．2
6．（2分）对于反比例函数y＝ ，下列结论错误的是（ ）
A．函数图象分布在第一、三象限
B．函数图象经过点（﹣3，﹣2）
C．函数图象在每一象限内，y的值随x值的增大而减小
D．若点A（x ，y ），B（x ，y ）都在函数图象上，且x ＜x ，则y ＞y
1 1 2 2 1 2 1 2
7．（2分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，分别以点A和B为圆心，以大于 AB的长为半径
作弧，两弧相交于点M和N，作直线MN交AB于点D，交BC于点E，连接CD，若∠CDE
＝ ∠B，则∠A等于（ ）
A．36° B．40° C．48° D．54°
8．（2分）如图，在正方形ABCD中，E为BC的中点，F为CD的中点，AE和BF相交于点G，
延长CG交AB于点H，下列结论：
①AE＝BF；
②∠CBF＝∠DGF；
③ ＝ ；
④ ．
第2页（共31页）其中结论正确的是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
9．（3分）若m是方程3x2+2x﹣3＝0的一个根，则代数式6m2+4m的值为 ．
10．（3分）在一个暗箱里放有x个大小相同、质地均匀的白球，为了估计白球的个数，再放入
5个和白球大小、质地均相同，只有颜色不同的黄球，将球搅拌均匀，从中随机摸出一个球，
记下它的颜色后再放回暗箱中，通过大量重复试验，发现摸到黄球的频率稳定在0.2，推算
x的值大约是 ．
11．（3分）为了响应全民阅读的号召，某校图书馆利用节假日面向社会开放．据统计，第一个
月进馆560人次，进馆人次逐月增加，第三个月进馆830人次．设该校图书馆第二个月、第
三个月进馆人次的平均增长率为x，则可列方程为 ．
12．（3分）某天上午的大课间，小明和小刚站在操场上，同一时刻测得他们的影子长分别是
2m和2.2m，已知小明的身高是1.6m，则小刚的身高是 m．
13．（3分）如图，在△ABC中，AB＝12，BC＝15，D为BC上一点，且BD＝ BC，在AB边上取
一点E，使以B，D，E为顶点的三角形与△ABC相似，则BE＝ ．
14．（3分）如图，在平面直角坐标系xOy中，菱形ABCD的顶点A，D分别在y轴的正半轴和
负半轴
上，顶点B在x轴的负半轴上，若OA＝3OD，S菱形ABCD ＝16 ，则点C的坐标为 ．
第3页（共31页）15．（3分）如图，点A在反比例函数y＝ （x＜0）的图象上，点B在y轴负半轴上，AB交x轴
于点C，若AC：BC＝3：2，S△AOC ＝6，则k的值为 ．
16．（3分）如图，已知正方形ABCD的边长为2，在BC的延长线上取点B ，使∠CB D＝60°，
1 1
分别过点D，B 作DB ，BC的垂线，两垂线交于点A ，再以A B 为边向右侧作正方形
1 1 1 1 1
A B C D ；在BC 的延长线上取点B ，使∠C B D ＝60°，分别过点D ，B 作D B ，BC 的
1 1 1 1 1 2 1 2 1 1 2 1 2 1
垂线，两垂线交于点A ，再以A B 为边向右侧作正方形A B C D ；……，按此规律继续作
2 2 2 2 2 2 2
下去，则正方形A B C D 的面积为 ．
2022 2022 2022 2022
三、解答题（本大题共3题，17题8分，18，19题各6分，共20分）
17．（8分）用适当方法解下列一元二次方程：
（1）x2﹣6x＝1；
（2）x2﹣4＝3（x﹣2）．
第4页（共31页）18．（6分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为A（﹣1，﹣2），B（2，﹣1），C
（4，﹣4）．
（1）画出△ABC绕点A顺时针旋转90°得到的△AB C ；
1 1
（2）以原点O为位似中心，在x轴的上方画出△A B C ，使△A B C 与△ABC位似，且相
2 2 2 2 2 2
似比为2：1；
（3）若P（a，b）是△ABC边AB上任意一点，通过（2）的位似变换后，点P的对应点为P ，
2
请写出点P 的坐标．
2
19．（6分）如图，一盏路灯（点O）距地面6.4m，身高1.6m的小明从距离路灯的底部（点P）9m
的A处，沿AP所在的直线行走到点D处时，小明在路灯下的影子长度缩短了1.8m，求小
明行走的距离．
四、解答题（本大题共2题，每题7分，共14分）
20．（7分）李老师参加“新星杯”教学大赛，在课堂教学的练习环节中，设计了一个学生选
第5页（共31页）题活动，即从4道题目中任选两道作答．李老师用课件在同一页面展示了A，B，C，D四张
美丽的图片，其中每张图片链接一道练习题目，李老师找甲、乙两名同学随机各选取一张
图片，并要求全班同学作答选取图片所链接的题目．
（1）甲同学选取A图片链接题目的概率是 ；
（2）求全班同学作答图片A和B所链接题目的概率．（请用列表法或画树状图法求解）
21．（7分）某电商销售一种商品，售价为85元时，每天能销售100件，获得销售利润为1000
元，根据销售经验可知，当售价每上涨1元时，销售量减少5件．
（1）该商品的成本价为 元/件；
（2）该电商销售这种商品，每天想获得1080元的利润，问该商品的售价应定为多少元．
五、解答题（本大题共3题，22，23题各8分，24题10分，共26分）
22．（8分）如图，在 ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E为AO上一点，BF⊥BD交DE
的延长线于点F，▱且EF＝DE．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）DF交AB于点G，若OD2＝OE•OA，求证：DF•AG＝AE•BD．
23．（8分）初中阶段关于函数性质的研究都是建立在图象基础之上的．学习了反比例函数的
图象与性质后，小强带领数学兴趣小组进步研究形如y＝ （k是常数，k≠0）的函数图
象与性质．
（1）k取某一个有理数时，如表列举出满足函数y＝ 的多组x，y的对应值：
x …… ﹣2 ﹣1 0 2 3 4 ……
﹣
y＝ …… ﹣1 ﹣2 ﹣4 4 2 1 ……
﹣ ﹣ ﹣
①有理数k＝ ；
②描点：根据表中各组对应值（x，y），在平面直角坐标系中描出了各点；
连线：用平滑的曲线顺次连接各点，画出了部分图象（如图所示）．
第6页（共31页）请你把没画完的图象补充完整；
（2）在（1）的条件下，请结合图象，总结函数y＝ 的相关性质；
①该函数图象的对称中心是点 （填点的坐标）；
②具体描述y的值随x值的变化情况： ；
③该函数的图象可以看作反比例函数y＝ 的图象向 平移 个单位长度
得到的．
24．（10分）在△ABC中，∠BAC＝90°，P是线段AC上一动点，CQ⊥BP于点Q，D是线段BQ
上一点，E是射线CQ上一点，且满足 ，连接AE，DE．
（1）如图1，当AB＝AC时，用等式表示线段DE与AE之间的数量关系，并证明；
（2）如图2，当AC＝2AB＝6时，用等式表示线段DE与AE之间的数量关系，并证明；
（3）在（2）的条件下，若 ，AE⊥CQ，直接写出A，D两点之间的距离．
第7页（共31页）2021-2022学年辽宁省锦州市九年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分。在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的）
1．（2分）如图所示的几何体的左视图是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据左视图是从左边看得到的图形，可得答案．
【解答】解：从左边看一个正方形被分成两部分，正方形中间有一条横向的虚线．
故选：D．
【点评】本题考查了三视图的知识，左视图是从物体的左面看得到的视图；注意看到的用
实线表示，看不到的用虚线表示．
2．（2分）如图，a∥b∥c， ，DF＝12，则BD的长为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
【分析】利用平行线分线段成比例定理解决问题即可．
【解答】解：∵a∥b∥c，
∴ ＝ ＝ ，
∵DF＝12，
第8页（共31页）∴BD＝6，
故选：D．
【点评】本题考查平行线分线段成比例定理，解题的关键是掌握平行线分线段成比例定理，
属于中考常考题型．
3．（2分）育种小组对某品种小麦发芽情况进行测试，在测试条件相同的情况下，得到如下数
据：
抽查小麦粒数 100 300 800 1000 2000 3000
发芽粒数 96 287 770 958 1923 a
则a的值最有可能是（ ）
A．2700 B．2780 C．2880 D．2940
【分析】根据5次测试从100粒增加到3000粒时，测试某品种小麦发芽情况的频率趋近于
0.96，从而求得答案．
【解答】解：∵96÷100＝0.96，
287÷300≈0.9567，
770÷800＝0.9625，
958÷1000＝0.958，
1923÷2000＝0.9615，
∴可估计某品种小麦发芽情况的概率为0.96，
则a＝3000×0.96＝2880．
故选：C．
【点评】本题考查了利用频率估计概率的知识，解题的关键是了解：大量反复试验下频率
稳定值即概率．用到的知识点为：频率＝所求情况数与总情况数之比．
4．（2分）若关于x的一元二次方程ax2﹣4x+2＝0有两个实数根，则a的取值范围是（ ）
A．a≤2 B．a≤2且a≠0 C．a＜2 D．a＜2且a≠0
【分析】利用二次项系数非零及根的判别式Δ≥0，即可得出关于a的一元一次不等式组，
解之即可得出a的取值范围．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程ax2﹣4x+2＝0有两个实数根，
∴ ，
解得：a≤2且a≠0．
第9页（共31页）故选：B．
【点评】本题考查了根的判别式以及一元二次方程的定义，牢记“当Δ≥0时，方程有两个
实数根”是解题的关键．
5．（2分）如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝4，对角线AC，BD相交于点O，OE⊥AC交BC
于点E，EF⊥BD于点F，则OE+EF的值为（ ）
A． B．2 C． D．2
【分析】依据矩形的性质即可得到△BOC的面积为2，再根据S△BOC ＝S△BOE +S△COE ，即可
得到OE+EF的值．
【解答】解：∵AB＝2，BC＝4，
∴矩形ABCD的面积为8，AC＝ ＝ ＝2 ，
∴BO＝CO＝ AC＝ ，
∵对角线AC，BD交于点O，
∴△BOC的面积为2，
∵EO⊥AO，EF⊥DO，
∴S△BOC ＝S△BOE +S△COE ，
2＝ CO×EO+ BO×EF，
∴2＝ × ×EO+ ×EF，
∴ （EO+EF）＝4，
∴EO+EF＝ ，
故选：A．
【点评】本题主要考查了矩形的性质，解决本题的关键是：矩形的四个角都是直角；矩形的
对角线相等且互相平分．
第10页（共31页）6．（2分）对于反比例函数y＝ ，下列结论错误的是（ ）
A．函数图象分布在第一、三象限
B．函数图象经过点（﹣3，﹣2）
C．函数图象在每一象限内，y的值随x值的增大而减小
D．若点A（x ，y ），B（x ，y ）都在函数图象上，且x ＜x ，则y ＞y
1 1 2 2 1 2 1 2
【分析】根据反比例函数的性质和相应的取值得到正确选项即可．
【解答】解：A、k＝6＞0，图象分布在第一，三象限，此选项不符合题意；
B、∵（﹣3）×（﹣2）＝6，
∴函数图象经过点（﹣3，﹣2），此选项不符合题意；
C、∵k＝6＞0，
∴函数图象在每一象限内，y的值随x值的增大而减小，此选项不符合题意；
D、虽然点A（x ，y ），B（x ，y ）都在函数图象上，且x ＜x ，
1 1 2 2 1 2
但不知道A，B所在的象限，故y ，y 不能判断大小，此选项符合题意；
1 2
故选：D．
【点评】本题考查了反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．
7．（2分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，分别以点A和B为圆心，以大于 AB的长为半径
作弧，两弧相交于点M和N，作直线MN交AB于点D，交BC于点E，连接CD，若∠CDE
＝ ∠B，则∠A等于（ ）
A．36° B．40° C．48° D．54°
【分析】利用基本作图得到AD＝BD，DE⊥AB，设∠CDE＝ ，则∠B＝2 ，利用CD为斜边
AB上的中线得到CD＝BD，则∠DCB＝∠B＝2 ，利用三角α形外角性质α得到∠DEB＝3 ，
则利用∠B+∠DEB＝90°可求出 ＝18°，从而得α到∠B的度数，然后利用互余求出∠Aα的
度数． α
第11页（共31页）【解答】解：由作法得DE垂直平分AB，
∴AD＝BD，DE⊥AB，
∴∠BDE＝90°，
设∠CDE＝ ，则∠B＝2 ，
∵∠ACB＝9α0°，CD为斜α边AB上的中线，
∴CD＝BD，
∴∠DCB＝∠B＝2 ，
∴∠DEB＝∠DCE+α∠CDE＝2 + ＝3 ，
∵∠B+∠DEB＝90°， α α α
∴2 +3 ＝90°，
解得α ＝α18°，
∴∠Bα＝2 ＝36°，
∴∠A＝9α0°﹣∠B＝90°﹣36°＝54°．
故选：D．
【点评】本题考查了作图﹣复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，
结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了线段垂直平分
线的性质．
8．（2分）如图，在正方形ABCD中，E为BC的中点，F为CD的中点，AE和BF相交于点G，
延长CG交AB于点H，下列结论：
①AE＝BF；
②∠CBF＝∠DGF；
③ ＝ ；
④ ．
其中结论正确的是（ ）
第12页（共31页）A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
【分析】利用正方形中的十字架型可判断①AE＝BF，AE⊥BF，然后利用中点+平行线构
造8字型全等，所以延长BF交AD的延长线于点M，从而可得D是AM的中点，可判断
②∠CBF＝∠DGF，再利用8字模型相似三角形证明△BHG∽△FCG，从而可判断③
＝ ，最后求出AH与CF的比值，即可判断④ ．
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC＝CD＝AD，∠ABC＝∠BCD＝∠ADC＝90°，AB∥CD，
∵E为BC的中点，F为CD的中点，
∴BE＝ BC，CF＝ CD，
∴BE＝CF，
∴△ABE≌△BCF（SAS），
∴BF＝AE，∠BAE＝∠CBF，
故①正确，
∵∠CBF+∠ABF＝90°，
∴∠ABF+∠BAE＝90°，
∴∠AGB＝180°﹣（∠BAE+∠ABF）＝90°，
∴AE⊥BF，
∴∠AGF＝90°，
延长BF交AD的延长线于点M，
∵∠MDF＝∠BCF＝90°，DF＝CF，∠DFM＝∠BFC，
∴△BFC≌△MFD（ASA），
∴DM＝BC，∠M＝∠MBC，
第13页（共31页）∴AD＝DM，
∴DG＝DM＝ AM，
∴∠DGM＝∠M，
∴∠CBF＝∠DGF，
故②正确；
设BE＝CF＝a，则AB＝BC＝2a，
∴AE＝ ＝ a，
∴BF＝AE＝ a，
∵△ABE的面积＝ AB•BE＝ AE•BG，
∴BG＝ a，
∴FG＝BF﹣BG＝ a，
∵AB∥CD，
∴∠ABG＝∠BFC，∠BHG＝∠HCF，
∴△BHG∽△FCG，
∴ ＝ ，
∴ ＝ ，
故③正确；
∵ ＝ ，CF＝3a，
∴BH＝2a，
∴AH＝AB﹣BH＝4a，
∴ ＝ ，
∵△AHG中AH边上的高与△GCF中CF边上的高不相等，
∴ ≠ ，
第14页（共31页）故④不正确；
综上所述：正确的结论是：①②③，
故选：A．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，正方形的性质，
平行线分线段成比例，熟练掌握正方形中的十字架型，中点+平行线构造8字型全等，8字
模型相似三角形这些数学模型是解题的关键．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
9．（3分）若m是方程3x2+2x﹣3＝0的一个根，则代数式6m2+4m的值为 6 ．
【分析】利用一元二次方程解的定义得到3m2+2m＝3，再把6m2+4m变形为2（3m2+2m），
然后利用整体代入的方法计算．
【解答】解：∵m是方程3x2+2x﹣3＝0的一个根，
∴3m2+2m﹣3＝0，
∴3m2+2m＝3，
∴6m2+4m＝2（3m2+2m）＝2×3＝6．
故答案为：6．
【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是
一元二次方程的解．
10．（3分）在一个暗箱里放有x个大小相同、质地均匀的白球，为了估计白球的个数，再放入
5个和白球大小、质地均相同，只有颜色不同的黄球，将球搅拌均匀，从中随机摸出一个球，
记下它的颜色后再放回暗箱中，通过大量重复试验，发现摸到黄球的频率稳定在0.2，推算
x的值大约是 2 0 ．
【分析】黄球的个数除以它占总数的比例即为球的总数x．
【解答】解：x＝5÷0.2﹣5＝20，
故答案为：20．
【点评】考查了利用频率估计概率的知识，总体＝部分的个数除以它占的比例．
11．（3分）为了响应全民阅读的号召，某校图书馆利用节假日面向社会开放．据统计，第一个
月进馆560人次，进馆人次逐月增加，第三个月进馆830人次．设该校图书馆第二个月、第
三个月进馆人次的平均增长率为x，则可列方程为 56 0 （ 1+ x ） 2 ＝ 83 0 ．
【分析】利用第三个月进馆人次＝第一个月进馆人次×（1+平均增长率）2，即可得出关于x
的一元二次方程，此题得解．
第15页（共31页）【解答】解：依题意得：560（1+x）2＝830．
故答案为：560（1+x）2＝830．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次
方程是解题的关键．
12．（3分）某天上午的大课间，小明和小刚站在操场上，同一时刻测得他们的影子长分别是
2m和2.2m，已知小明的身高是1.6m，则小刚的身高是 1.7 6 m．
【分析】同一时间，同一地点测得物体与影子的比值相等，也就是两人的身高比等于影长
比，据此解答．
【解答】解：设小刚的身高是x米．
2：2.2＝1.6：x，
解得：x＝1.76，
故小刚的身高是1.76米，
故答案为：1.76．
【点评】本题考查了相似三角形的应用，解答此题的关键是，判断实际高度之比与影子之
比相等，由此列出比例解决问题．
13．（3分）如图，在△ABC中，AB＝12，BC＝15，D为BC上一点，且BD＝ BC，在AB边上取
一点E，使以B，D，E为顶点的三角形与△ABC相似，则BE＝ 4 或 ．
【分析】根据相似三角形对应边成比例得出 或 ，再代值计算即可．
【解答】解：∵△BDE∽△BCA或△BDE∽△BAC，
∴ 或 ，
∵BD＝ BC，BC＝15，
∴BD＝5，
第16页（共31页）∵AB＝12，
∴ 或 ，
解得：BE＝4或 ．
故答案为：4或 ．
【点评】此题考查了相似三角形的判定，根据相似得到相应的线段的关系是解决本题的关
键．
14．（3分）如图，在平面直角坐标系xOy中，菱形ABCD的顶点A，D分别在y轴的正半轴和
负半轴
上，顶点B在x轴的负半轴上，若OA＝3OD，S菱形ABCD ＝16 ，则点C的坐标为 （﹣ 2
，﹣ 8 ） ．
【分析】设OD＝x，AO＝3x，求得AD＝4x，根据菱形的性质得到AB＝AD＝4x，根据勾股定
理得到OB＝ ＝ x，根据菱形的面积即可得到结论．
【解答】解：∵OA＝3OD，
∴设OD＝x，AO＝3x，
∴AD＝4x，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝AD＝4x，
∵OB⊥AD，
∴OB＝ ＝ x，
∵S菱形ABCD ＝AD•BO＝4x• x＝16 ，
∴x＝2（负值舍去），
第17页（共31页）∴BC＝AD＝4x＝8，OB＝2 ，
∴C（﹣2 ，﹣8），
故答案为：（﹣2 ，﹣8）．
【点评】本题考查了菱形的性质，勾股定理，熟练掌握菱形的性质是解题的关键．
15．（3分）如图，点A在反比例函数y＝ （x＜0）的图象上，点B在y轴负半轴上，AB交x轴
于点C，若AC：BC＝3：2，S△AOC ＝6，则k的值为 ﹣ 3 0 ．
【分析】过点A作AD⊥x轴于D，则△ADC∽△BOC，由线段的比例关系求得△BOC和
△ACD的面积，再根据反比例函数的k的几何意义得结果．
【解答】解：如图，过点A作AD⊥x轴于D，则△ADC∽△BOC，
∴DC：OC＝AC：BC＝3：2，
∴ ＝（ ）2＝ ，
∵AC：BC＝3：2，△AOC的面积为6，
∴S△AOC ：S△BOC ＝AC：BC＝3：2，
∴S△BOC ＝4，
∴S△ACD ＝9，
第18页（共31页）∴S△AOD ＝S△ACD +S△AOC ＝15，
根据反例函数k的几何意义得， |k|＝15，
∴|k|＝30，
∵k＜0，
∴k＝﹣30．
故答案为：﹣30．
【点评】本题主要考查了反比例函数的k的几何意义的应用，三角形的面积，相似三角形的
性质与判定，关键是构造相似三角形．
16．（3分）如图，已知正方形ABCD的边长为2，在BC的延长线上取点B ，使∠CB D＝60°，
1 1
分别过点D，B 作DB ，BC的垂线，两垂线交于点A ，再以A B 为边向右侧作正方形
1 1 1 1 1
A B C D ；在BC 的延长线上取点B ，使∠C B D ＝60°，分别过点D ，B 作D B ，BC 的
1 1 1 1 1 2 1 2 1 1 2 1 2 1
垂线，两垂线交于点A ，再以A B 为边向右侧作正方形A B C D ；……，按此规律继续作
2 2 2 2 2 2 2
下去，则正方形A B C D 的面积为 4× （ ） 202 2 ．
2022 2022 2022 2022
【分析】先利用勾股定理和含 30 度角的直角三角形的性质求出 A B ＝2× ，则 S
1 1
＝A B ＝（2× ）2＝4× ，同理可得 A B ＝2×（ ）2，则 S
1 12 2 2
＝A B 2＝[2×（ ）2]2＝4×（ ）2，以次类推可得出，A B ＝2×（ ）n，则S
2 2 n n
＝A B 2[2×（ ）n]2＝4×（ ）n，由此可得解．
n n
【解答】解：由题意得，∠A DB ＝∠A B C＝90°，∠CB D＝60°，
1 1 1 1 1
第19页（共31页）∴∠A B D＝30°，B C＝ B D，
1 1 1 1
∴A B ＝2A D，
1 1 1
∵CD2+B C2＝B D2，
1 1
∴22+ B D2＝B D2，
1 1
∴B D＝ ，
1
∵A D2+B D2＝A B 2，
1 1 1 1
∴A B ＝2× ，
1 1
∴S ＝A B 2＝（2× ）2＝4× ，
1 1
同理可得，A B ＝2×（ ）2，
2 2
∴S ＝A B 2＝[2×（ ）2]2＝4×（ ）2，
2 2
同理可得，A B ＝2×（ ）3，
3 3
∴S ＝A B 2＝[2×（ ）3]2＝4×（ ）3，
3 3
由此可以推出，A B ＝2×（ ）n，
n n
∴S ＝A B 2＝[2×（ ）n]2＝4×（ ）n，
n n
∴S ＝A B ＝[2×（ ）2022]2＝4×（ ）2022，
2022 20222
故答案为：4×（ ）2022．
【点评】本题主要考查了勾股定理，含30°的直角三角形的性质，图形类的探索规律，解题
的关键在于能够根据题意找到规律并求解．
三、解答题（本大题共3题，17题8分，18，19题各6分，共20分）
17．（8分）用适当方法解下列一元二次方程：
（1）x2﹣6x＝1；
第20页（共31页）（2）x2﹣4＝3（x﹣2）．
【分析】（1）利用配方法解一元二次方程；
（2）将方程整理成一元二次方程的一般形式，然后利用因式分解法解一元二次方程．
【解答】解：（1）x2﹣6x＝1，
x2﹣6x+9＝1+9，
（x﹣3）2＝10，
x﹣3＝± ，
∴x ＝3+ ，x ＝3﹣ ；
1 2
（2）x2﹣4＝3（x﹣2），
整理，得：x2﹣3x+2＝0，
（x﹣1）（x﹣2）＝0，
x﹣1＝0或x﹣2＝0，
∴x ＝1，x ＝2．
1 2
【点评】本题考查了解一元二次方程，能选择适当的方法解一元二次方程是解此题的关键，
注意：解一元二次方程的方法有：直接开平方法、公式法、配方法、因式分解法．
18．（6分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为A（﹣1，﹣2），B（2，﹣1），C
（4，﹣4）．
（1）画出△ABC绕点A顺时针旋转90°得到的△AB C ；
1 1
（2）以原点O为位似中心，在x轴的上方画出△A B C ，使△A B C 与△ABC位似，且相
2 2 2 2 2 2
似比为2：1；
（3）若P（a，b）是△ABC边AB上任意一点，通过（2）的位似变换后，点P的对应点为P ，
2
请写出点P 的坐标．
2
第21页（共31页）【分析】（1）根据旋转的性质即可画出图形；
（2）根据位似图形的性质，分别画出点A 、B 、C 即可；
2 2 2
（3）根据位似图形的性质，即可得出答案．
【解答】解：（1）如图所示，△AB C 即为所求；
1 1
（2）如图，△A B C 即为所求；
2 2 2
（3）∵P（a，b）是△ABC边AB上任意一点，△A B C 与△ABC的相似比为2：1，
2 2 2
∴对应点P 的坐标为（﹣2a，﹣2b）．
2
第22页（共31页）【点评】本题主要考查了作图﹣轴对称，位似变换，熟练掌握位似变换的性质是解题的关
键．
19．（6分）如图，一盏路灯（点O）距地面6.4m，身高1.6m的小明从距离路灯的底部（点P）9m
的A处，沿AP所在的直线行走到点D处时，小明在路灯下的影子长度缩短了1.8m，求小
明行走的距离．
【分析】设DF＝xm，则AC＝（x+1.8）m，根据平行线的判定定理得到OP∥DE∥AB，根据
相似三角形的性质得到 ＝ ， ＝ ，求得PD＝3.6，于是得到结论．
【解答】解：设DF＝xm，则AC＝（x+1.8）m，
∵DE⊥PC，OP⊥PC，AB⊥PC，
∴OP∥DE∥AB，
∴△DEF∽△POF，△ABC∽△POC，
∴ ＝ ， ＝ ，
第23页（共31页）解得PD＝3.6，
∴AD＝AP﹣PD＝9﹣3.6＝5.4（m），
答：小明行走的距离是5.4m．
【点评】本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键．
四、解答题（本大题共2题，每题7分，共14分）
20．（7分）李老师参加“新星杯”教学大赛，在课堂教学的练习环节中，设计了一个学生选
题活动，即从4道题目中任选两道作答．李老师用课件在同一页面展示了A，B，C，D四张
美丽的图片，其中每张图片链接一道练习题目，李老师找甲、乙两名同学随机各选取一张
图片，并要求全班同学作答选取图片所链接的题目．
（1）甲同学选取A图片链接题目的概率是 ；
（2）求全班同学作答图片A和B所链接题目的概率．（请用列表法或画树状图法求解）
【分析】（1）直接由概率公式求解即可；
（2）画树状图，共有16种等可能的结果，其中全班同学作答图片A和B所链接题目的结果
有2种，再由概率公式求解即可．
【解答】解：（1）甲同学选取A图片链接题目的概率是 ，
故答案为： ；
（2）画树状图如下：
共有16种等可能的结果，其中全班同学作答图片A和B所链接题目的结果有2种，
∴全班同学作答图片A和B所链接题目的概率为 ＝ ．
【点评】此题考查的是用树状图法求概率，画出树状图是解题的关键；用到的知识点为：概
率＝所求情况数与总情况数之比．
21．（7分）某电商销售一种商品，售价为85元时，每天能销售100件，获得销售利润为1000
元，根据销售经验可知，当售价每上涨1元时，销售量减少5件．
（1）该商品的成本价为 7 5 元/件；
第24页（共31页）（2）该电商销售这种商品，每天想获得1080元的利润，问该商品的售价应定为多少元．
【分析】（1）根据售价﹣利润＝成本价即可；
（2）设商品的定价为x元，根据总利润＝单件利润×销售量，列出关于x的一元二次方程求
解可得．
【解答】解：（1）85﹣1000÷100＝75（元/件），
故答案为：75；
（2）设商品的售价为（85+x）元，由题意，得
（85+x﹣75）（100﹣5x）＝1080，
整理得x2﹣10x+16＝0，
解得：x＝8或x＝2，
∴85+x＝93或87，
答：该商品售价应定为93元或87元．
【点评】本题主要考查二次函数的应用，理解题意找到题目蕴含的相等关系，并据此列出
方程或函数解析式是解题的关键．
五、解答题（本大题共3题，22，23题各8分，24题10分，共26分）
22．（8分）如图，在 ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E为AO上一点，BF⊥BD交DE
的延长线于点F，▱且EF＝DE．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）DF交AB于点G，若OD2＝OE•OA，求证：DF•AG＝AE•BD．
【分析】（1）已知四边形ABCD是平行四边形，只需要证明AC⊥BD即可；由题意可得OE
是△BDF的中位线，所以OE∥BF，由此可得AC⊥BD．
（2）由题干条件可得△AOD∽△Doe，所以∠OAD＝∠ODE，由四边形ABCD是菱形，所以
∠OAD＝∠OAB，则∠OAB＝∠ODE，易证△AGE∽△DBF，所以AG：DB＝AE：DF，即
DF•AG＝AE•BD．
【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴点O是BD的中点，
第25页（共31页）∵EF＝DE，
∴点E是DF的中点，
∴OE是△BDF的中位线，
∴OE∥BF，
∵BF⊥BD，
∴OE⊥BD，
∴平行四边形ABCD是菱形，
（2）∵OD2＝OE•OA，
∴OD：OE＝OA：OD，
∵∠AOD＝∠DOE，
∴△AOD∽△DOE，
∴∠OAD＝∠ODE，
∵四边形ABCD是菱形，
∴∠OAD＝∠OAB，
∴∠OAB＝∠ODE，
∵∠AEG＝∠OED，
∴∠AGE＝∠DOE＝90°，
∴∠AGE＝∠DBF，
∴△AGE∽△DBF，
∴AG：DB＝AE：DF，即DF•AG＝AE•BD．
【点评】本题主要考查相似三角形的性质与判定，菱形的性质与判定等知识，熟知菱形的
判定是（1）解题关键；（2）的关键是得出△AGE∽△DBF．
23．（8分）初中阶段关于函数性质的研究都是建立在图象基础之上的．学习了反比例函数的
图象与性质后，小强带领数学兴趣小组进步研究形如y＝ （k是常数，k≠0）的函数图
象与性质．
（1）k取某一个有理数时，如表列举出满足函数y＝ 的多组x，y的对应值：
x …… ﹣2 ﹣1 0 2 3 4 ……
﹣
y＝ …… ﹣1 ﹣2 ﹣4 4 2 1 ……
﹣ ﹣ ﹣
第26页（共31页）①有理数k＝ 1 ；
②描点：根据表中各组对应值（x，y），在平面直角坐标系中描出了各点；
连线：用平滑的曲线顺次连接各点，画出了部分图象（如图所示）．
请你把没画完的图象补充完整；
（2）在（1）的条件下，请结合图象，总结函数y＝ 的相关性质；
①该函数图象的对称中心是点 （ 1 ， 0 ） （填点的坐标）；
②具体描述y的值随x值的变化情况： 当 x ＜ 1 时， y 随 x 的增大而增大；当 x ＞ 1 时， y 随
x 的增大而增大 ；
③该函数的图象可以看作反比例函数 y＝ 的图象向 右 平移 1 个单位长度得
到的．
【分析】（1）将x＝2，y＝1代入y＝ 即可；
（2）观察图象直接可得答案．
【解答】解：（1）将x＝2，y＝1代入y＝ 得，1＝ ，
∴k＝1，
故答案为：1；
图象补充完整，
第27页（共31页）（2）①该函数图象的对称中心是点（1，0）；
②y的值随x值的变化情况：当x＞1时，y随x的增大而减小，当x＜1时，y随x的增大而
减小；
③该函数的图象可以看作反比例函数y＝ 的图象向右平移1个单位长度得到的；
故答案为：（1，0）；当x＜1时，y随x的增大而增大；当x＞1时，y随x的增大而增大；右，
1．
【点评】本题主要考查了函数的图象与性质，函数图象的画法等知识，利用数形结合思想
是解题的关键．
24．（10分）在△ABC中，∠BAC＝90°，P是线段AC上一动点，CQ⊥BP于点Q，D是线段BQ
上一点，E是射线CQ上一点，且满足 ，连接AE，DE．
（1）如图1，当AB＝AC时，用等式表示线段DE与AE之间的数量关系，并证明；
（2）如图2，当AC＝2AB＝6时，用等式表示线段DE与AE之间的数量关系，并证明；
（3）在（2）的条件下，若 ，AE⊥CQ，直接写出A，D两点之间的距离．
第28页（共31页）【分析】（1）连接AD．证出BD＝CE，证明△ABD≌△ACE（SAS），由全等三角形的性质得
出AD＝AE，∠BAD＝∠CAE，证出∠DAE＝90°，由勾股定理得出结论；
（2）连接AD．证明△ABD∽△ACE，由相似三角形的性质得出 ，∠BAD＝
∠CAE，证出∠BAC＝∠DAE＝90°，由勾股定理得出结论；
（3）求出AP的长，由勾股定理求出BP＝5，根据三角形ABP的面积可得出答案．
【解答】解：（1）DE＝ AE．
理由：如图，连接AD．
∵CQ⊥BP，∠BAC＝90°，
∴∠BAC＝∠CQP＝90°，
∵∠APB＝∠CPQ，
∴180°﹣∠BAC﹣∠APB＝180°﹣∠CQP﹣∠CPQ，
∴∠ABD＝∠ACE，
∵ ，AC＝AB，
∴BD＝CE，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴AD＝AE，∠BAD＝∠CAE，
第29页（共31页）∴∠BAD+∠CAD＝∠CAE+∠CAD，即∠BAC＝∠DAE，
∴∠DAE＝90°，
在Rt△DAE中，AD＝AE，
∴DE＝ ＝ AE；
（2）DE＝ AE，
理由：如图，连接AD．
∵CQ⊥BP，∠BAC＝90°，
∴∠BAC＝∠CQP＝90°，
∵∠APB＝∠CPQ，
∴180°﹣∠BAC﹣∠APB＝180°﹣∠CQP﹣∠CPQ，
∴∠ABD＝∠ACE，
∵ ，
∴△ABD∽△ACE，
∴ ＝2，∠BAD＝∠CAE，
∴∠BAD+∠CAD＝∠CAE+∠CAD，
即∠BAC＝∠DAE＝90°，
在Rt△DAE中，AD＝ AE，
∴DE＝ ＝ AE；
（3）由（2）得：∠DAE＝90°，
∵AE⊥CQ，BP⊥CQ，
第30页（共31页）∴∠DQE＝∠AEQ＝90°，PQ∥AE，
∴四边形ADQE是矩形，
∴∠ADP＝90°，即AD⊥BP，
∵ ，AC＝6，
∴AP＝4，
∵AC＝2AB＝6，
∴AB＝3，
∵∠BAC＝90°，
∴BP＝ ＝5，
∵S△ABP ＝ ×AB•AP，
∴AD＝ ＝ ．
【点评】本题是相似形综合题，主要考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定
与性质、矩形的判定和性质，勾股定理等知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质、全等
三角形的判定与性质、矩形的判定和性质是解题的关键．
第31页（共31页）
