文档内容
2021-2022学年辽宁省阜新市太平区九年级（上）期末数学试卷
一、选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.每小题3分，共30分）
1．（3分）a、b、c、d是成比例线段，其中a＝3cm，b＝2cm，c＝6cm，则线段d的长为（ ）
A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm
2．（3分）如图所示几何体的左视图是（ ）
A． B．
C． D．
3．（3分）已知关于x的方程（a﹣3）x|a﹣1|+x﹣1＝0是一元二次方程，则a的值是（ ）
A．﹣1 B．2 C．﹣1或3 D．3
4．（3分）在一个不透明的盒子中装有8个白球，若干个黄球，它们除颜色不同外，其余均相
同，若从中随机摸出一个球为白球的概率是 ，则黄球的个数为（ ）
A．16 B．12 C．8 D．4
5．（3分）矩形具有而菱形不具有的性质是（ ）
A．两组对边分别平行 B．对角线相等
C．对角线互相平分 D．两组对角分别相等
6．（3分）如图，在8×4的正方形网格中，若△ABC的三个顶点在图中相应的格点上，则
tan∠ACB的值为（ ）
第1页（共25页）A． B． C． D．
7．（3分）在平面直角坐标系中，已知点A（1，0），B（2，1），C（﹣1，2），以原点O为位似中心，
位似比为2，把四边形OABC放大，则点C对应点C′的坐标为（ ）
A．（﹣ ，1） B．（﹣2，4）
C．（﹣ ，1）或（ ，﹣1） D．（﹣2，4）或（2，﹣4）
8．（3分）如图要测量小河两岸相对的两点P、A的距离，可以在小河边取PA的垂线PB上的
一点C，测得PC＝50米，∠PCA＝44°，则小河宽PA为（ ）米．
A．50sin44° B．50cos44° C．50tan44° D．50tan46°
9．（3分）如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，图中有（ ）个等腰直角
三角形．
A．2 B．4 C．8 D．16
10．（3分）为预防新冠病毒，某学校每周末用药熏消毒法对教室进行消毒，已知药物释放过
程中，教室内每立方米空气中含药量y（mg）与时间（t h）成正比例；药物释放完毕后，y与t
成反比例，如图所示．根据图象信息，下列选项错误的是（ ）
第2页（共25页）A．药物释放过程需要 小时
B．药物释放过程中，y与t的函数表达式是y＝ t
C．空气中含药量大于等于0.5mg/m3的时间为 h
D．若当空气中含药量降低到0.25mg/m3以下时对身体无害，那么从消毒开始，至少需要经
过4.5小时学生才能进入教室
二、填空题（每小题3分，共18分）
11．（3分）把一元二次方程x（3x+4）＝（2x+1）2化为一般式为 ．
12．（3分）若△ABC∽△DEF，且AB：DE＝2：3，△DEF的面积为9；则△ABC的面积为
．
13．（3分）用图中两个可以自由转动的转盘做“配紫色”游戏．同时转动两个转盘，若其中
一个转出红色，另一个转出蓝色即可配成紫色，则同时转动两个转盘可配成紫色的概率是
．
14．（3分）如图，点M是反比例函数 图象上任意一点，MN⊥y轴于N，点P在x
轴上，△MNP的面积为2，则k的值为 ．
第3页（共25页）15．（3分）如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的顶点A（4，0），∠AOC＝60°，则顶点B
的坐标是 ．
16．（3分）如图所示是两棵小树在同一时刻的影子，可以断定这是 投影．
三、解答题（共72分）
17．（8分）计算：
（1） ；
（2） ．
18．（6分）解方程：3x2+4x﹣4＝0．
19．（6分）如图，等边△ABC中，边长为8，点D是BC边上的动点，点E、F分别在边AB、AC
上，且始终满足∠EDF＝60°．
（1）求证：△BDE∽△CFD；
（2）当BD＝1，FC＝1.5时，求BE的长．
第4页（共25页）20．（8分）小红想利用阳光下的影长测量学校旗杆AB的高度．如图，他在某一时刻在地面上
竖直立一个2米长的标杆CD，测得其影长DE＝0.4米．
（1）请在图中画出此时旗杆AB在阳光下的投影BF．
（2）如果BF＝1.6，求旗杆AB的高．
21．（10分）2019年某县投入100万元用于农村“扶贫工程”，计划以后每年以相同的增长
率投入，2021年该县计划投入“扶贫工程”144万元．
（1）求该县投入“扶贫工程”的年平均增长率；
（2）若2022年保持从2019年到2021年的年平均增长率不变，求2022年该县将投入“扶
贫工程”多少万元？
22．（10分）北京将于2022年举办冬奥会和冬残奥会，中国将成为一个举办过五次各类奥林
匹克运动会的国家小亮是个集邮爱好者，他收集了如图所示的四张纪念邮票（除正面内容
不同外，其余均相同），现将四张邮票背面朝上，洗匀放好．
（1）小亮从中随机抽取一张邮票是“冬残奥会吉祥物雪容融”的概率是 ；
（2）小亮从中随机抽取一张邮票（不放回），再从余下的邮票中随机抽取一张，请你用列表
或画树状图的方法求抽到的两张邮票恰好是“冬奥会会徽”和“冬奥会吉祥物冰墩墩”
的概率．（这四张邮票依次分别用字母A，B，C，D表示）
第5页（共25页）23．（12分）如图，平面直角坐标系中，直线y ＝kx+b分别与x，y轴交于点A，B，与双曲线y
1 2
＝ 分别交于点C，D（点C在第一象限，点D在第三象限），作CE⊥x轴于点E，OA＝4，
OE＝OB＝2．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）请直接写出使y ＞y 的x取值范围；
1 2
（3）在y轴上是否存在一点P，使S△ABP ＝S△CEP ？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存
在，请说明理由．
24．（12分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，过点C的直线MN∥AB，D为AB边上一点，
过点D作DE⊥BC，垂足为F，交直线MN于E，连接CD，BE．
（1）求证：CE＝AD；
（2）当D为AB中点时，四边形BECD是什么特殊四边形？说明你的理由；
（3）在满足（2）的条件下，当△ABC满足什么条件时，四边形BECD是正方形？（不必说明
理由）
第6页（共25页）第7页（共25页）2021-2022学年辽宁省阜新市太平区九年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.每小题3分，共30分）
1．（3分）a、b、c、d是成比例线段，其中a＝3cm，b＝2cm，c＝6cm，则线段d的长为（ ）
A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm
【分析】利用比例线段的定理得到3：2＝6：d，然后利用比例的性质求d即可．
【解答】解：根据题意得a：b＝c：d，即3：2＝6：d，
所以d＝ ＝4（cm）．
故选：B．
【点评】本题考查了比例线段：对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比（即它们的
长度比）与另两条线段的比相等，如 a：b＝c：d（即ad＝bc），我们就说这四条线段是成比
例线段，简称比例线段．
2．（3分）如图所示几何体的左视图是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据从左边看得到的图形是左视图，可得答案．
【解答】解：从左边看，可得图形：
第8页（共25页）故选：B．
【点评】本题考查了简单组合体的三视图，从左边看得到的图形是左视图．
3．（3分）已知关于x的方程（a﹣3）x|a﹣1|+x﹣1＝0是一元二次方程，则a的值是（ ）
A．﹣1 B．2 C．﹣1或3 D．3
【分析】根据一元二次方程的定义得出a﹣3≠0且|a﹣1|＝2，再求出a即可．
【解答】解：∵关于x的方程（a﹣3）x|a﹣1|+x﹣1＝0是一元二次方程，
∴a﹣3≠0且|a﹣1|＝2，
解得：a＝﹣1，
故选：A．
【点评】本题考查了一元二次方程的定义和绝对值，能熟记一元二次方程的定义是解此题
的关键，注意：只含有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是2的整式方程，叫一
元二次方程．
4．（3分）在一个不透明的盒子中装有8个白球，若干个黄球，它们除颜色不同外，其余均相
同，若从中随机摸出一个球为白球的概率是 ，则黄球的个数为（ ）
A．16 B．12 C．8 D．4
【分析】首先设黄球的个数为x个，根据题意，利用概率公式即可得方程： ＝ ，解此
方程即可求得答案．
【解答】解：设黄球的个数为x个，
根据题意得： ＝ ，
解得：x＝4．
经检验，x＝4是分式方程的解．
故选：D．
【点评】此题考查了概率公式的应用．此题难度不大，注意掌握方程思想的应用，注意概率
＝所求情况数与总情况数之比．
5．（3分）矩形具有而菱形不具有的性质是（ ）
第9页（共25页）A．两组对边分别平行 B．对角线相等
C．对角线互相平分 D．两组对角分别相等
【分析】根据矩形与菱形的性质对各选项分析判断后利用排除法求解．
【解答】解：A、矩形与菱形的两组对边都分别平行，故本选项错误；
B、矩形的对角线相等，菱形的对角线不相等，故本选项正确；
C、矩形与菱形的对角线都互相平分，故本选项错误；
D、矩形与菱形的两组对角都分别相等，故本选项错误．
故选：B．
【点评】本题考查了矩形的性质，菱形的性质，熟记两图形的性质是解题的关键．
6．（3分）如图，在8×4的正方形网格中，若△ABC的三个顶点在图中相应的格点上，则
tan∠ACB的值为（ ）
A． B． C． D．
【分析】作AH⊥CB，交CB延长线于H点，∠ACB的正切值是AH与CH的比值．
【解答】解：如图，作AH⊥CB，交CB延长线于H点，
tan∠ACB＝ ．
故选：A．
【点评】本题主要考查正切值的求法，解题的关键是构造直角三角形．
7．（3分）在平面直角坐标系中，已知点A（1，0），B（2，1），C（﹣1，2），以原点O为位似中心，
位似比为2，把四边形OABC放大，则点C对应点C′的坐标为（ ）
A．（﹣ ，1） B．（﹣2，4）
第10页（共25页）C．（﹣ ，1）或（ ，﹣1） D．（﹣2，4）或（2，﹣4）
【分析】直接利用位似图形的性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似
中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k，进而得出答案．
【解答】解：∵点A（1，0），B（2，1），C（﹣1，2），以原点O为位似中心，位似比为2，把四边
形OABC放大，
∴点C对应点C′的坐标为：（﹣2，4）或（2，﹣4）．
故选：D．
【点评】此题主要考查了位似图形，正确掌握对应点变化规律是解题关键．
8．（3分）如图要测量小河两岸相对的两点P、A的距离，可以在小河边取PA的垂线PB上的
一点C，测得PC＝50米，∠PCA＝44°，则小河宽PA为（ ）米．
A．50sin44° B．50cos44° C．50tan44° D．50tan46°
【分析】在直角三角形APC中根据∠PCA的正切函数可求小河宽PA的长度．
【解答】解：∵PA⊥PB，
∴∠APC＝90°，
∵PC＝50米，∠PCA＝44°，
∴tan44°＝ ，
∴小河宽PA＝PCtan∠PCA＝50•tan44°（米）．
故选：C．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用，解直角三角形的一般过程是：①将实际问题抽
象为数学问题（画出平面图形，构造出直角三角形转化为解直角三角形问题）．②根据题
目已知特点选用适当锐角三角函数或边角关系去解直角三角形，得到数学问题的答案，再
转化得到实际问题的答案．
9．（3分）如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，图中有（ ）个等腰直角
三角形．
第11页（共25页）A．2 B．4 C．8 D．16
【分析】根据正方形的性质和等腰直角三角形的判定解答即可．
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴OA＝OD＝OC＝OB，AC⊥BD，AB＝BC＝CD＝AD，∠ABC＝∠BCD＝∠CDA＝∠DAB
＝90°，
∴△AOB，△BOC，△COD，△AOD，△ABC，△BCD，△ADC，△DAB是等腰直角三角形，
故选：C．
【点评】此题考查正方形的性质，关键是根据正方形的性质和等腰直角三角形的判定解答．
10．（3分）为预防新冠病毒，某学校每周末用药熏消毒法对教室进行消毒，已知药物释放过
程中，教室内每立方米空气中含药量y（mg）与时间（t h）成正比例；药物释放完毕后，y与t
成反比例，如图所示．根据图象信息，下列选项错误的是（ ）
A．药物释放过程需要 小时
B．药物释放过程中，y与t的函数表达式是y＝ t
C．空气中含药量大于等于0.5mg/m3的时间为 h
D．若当空气中含药量降低到0.25mg/m3以下时对身体无害，那么从消毒开始，至少需要经
过4.5小时学生才能进入教室
【分析】首先根据题意，已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y（毫克）与时
间（t 小时）成正比；药物释放完毕后，y与t的函数关系式为y＝ （m常数），将数据代入
第12页（共25页）用待定系数法可得反比例函数的关系式；根据题意等式，进一步求解可得答案．
【解答】解：设正比例函数解析式是y＝kt，
反比例函数解析式是y＝ ，
把点（3， ）代入反比例函数的解析式，得： ＝ ，
解得：m＝ ，
∴反比例函数的解析式是y＝ ．
当y＝1时，代入上式得t＝ ，
把t＝ 时，y＝1代入正比例函数的解析式是y＝kt，得：k＝ ，
∴正比例函数解析式是y＝ t，
A．由图象知，y＝1时，t＝ ，即药物释放过程需要 小时，故A不符合题意；
B．药物释放过程中，y与t成正比例，函数表达式是y＝ t，故B不符合题意；
C．把y＝0.5mg/m3分别代入y＝ t和y＝ 得，0.5＝ t 和0.5＝ ，
1
解得：t ＝ 和t ＝3，
1 2
∴t ﹣t ＝ ，
2 1
∴空气中含药量大于等于0.5mg/m3的时间为 h；故C不符合题意；
D、由题意得 ＜0.25，
解得t＞6，
所以至少需要经过6小时后，学生才能进入教室，故D符合题意，
故选：D．
【点评】本题考查了反比例函数的应用，现实生活中存在大量成反比例函数的两个变量，
第13页（共25页）解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用待定系数法求出它们的
关系式．
二、填空题（每小题3分，共18分）
11．（3分）把一元二次方程x（3x+4）＝（2x+1）2化为一般式为 x 2 + 1 ＝ 0 ．
【分析】分别利用去括号法则以及完全平方公式化简后，再移项，合并同类项即可．
【解答】解：x（3x+4）＝（2x+1）2，
3x2+4x＝4x2+4x+1，
3x2﹣4x2+4x﹣4x﹣1＝0，
﹣x2﹣1＝0，
x2+1＝0．
故答案为：x2+1＝0．
【点评】本题考查了一元二次方程的一般形式，注意：一元二次方程的一般形式是
ax2+bx+c＝0（a、b、c为常数，a≠0）．
12．（3分）若△ABC∽△DEF，且AB：DE＝2：3，△DEF的面积为9；则△ABC的面积为 4
．
【分析】根据相似三角形的性质可直接得出结论．
【解答】解：∵△ABC∽△DEF，AB：DE＝2：3，
∴S△ABC ：S△DEF ＝4：9．
∵△DEF的面积为9，
∴△ABC的面积＝4．
故答案为：4．
【点评】本题考查的是相似三角形的性质，熟知相似三角形面积的比等于相似比的平方是
解答此题的关键．
13．（3分）用图中两个可以自由转动的转盘做“配紫色”游戏．同时转动两个转盘，若其中
一个转出红色，另一个转出蓝色即可配成紫色，则同时转动两个转盘可配成紫色的概率是
．
第14页（共25页）【分析】画树状图，共有12种等可能的结果，同时转动两个转盘可配成紫色的结果有5种，
再由概率公式求解即可．
【解答】解：画树状图如下：
共有12种等可能的结果，同时转动两个转盘可配成紫色的结果有5种，
∴同时转动两个转盘可配成紫色的概率为 ，
故答案为： ．
【点评】本题考查的是树状图法求概率，正确画出树状图是解题的关键，用到的知识点为：
概率＝所求情况数与总情况数之比．
14．（3分）如图，点M是反比例函数 图象上任意一点，MN⊥y轴于N，点P在x
轴上，△MNP的面积为2，则k的值为 4 ．
【分析】连接OA，由于AB⊥y轴，根据三角形面积公式得到S△OMN ＝S△PMN ＝2，再根据反
比例函数y＝ （k≠0）系数k的几何意义得到S△OMN ＝ |k|，所以 |k|＝2，然后解方程即
可．
【解答】解：连接OM，如图，
∵MN⊥y轴，即MN∥x轴，
∴S△OMN ＝S△PMN ＝2，
第15页（共25页）∵S△OMN ＝ |k|，
∴ |k|＝2，
而k＞0，
∴k＝4．
故答案为：4．
【点评】本题考查了反比例函数y＝ （k≠0）系数k的几何意义：从反比例函数y＝kx
（k≠0）图象上任意一点向x轴和y轴作垂线，垂线与坐标轴所围成的矩形面积为|k|．
15．（3分）如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的顶点A（4，0），∠AOC＝60°，则顶点B
的坐标是 （ 6 ， 2 ） ．
【分析】过点B作BD⊥OA于D，由菱形的性质和直角三角形的性质可求AD，BD，即可求
解．
【解答】解：如图，过点B作BD⊥OA于D，
∵四边形OABC是菱形，点O（0，0），A（4，0），
第16页（共25页）∴OA＝AB＝4，AB∥OC，
∴∠BAD＝∠AOC＝60°，
∵BD⊥OA，
∴∠ABD＝30°，
∴AD＝ AB＝2，BD＝ AD＝2 ，
∴DO＝6，
∴点D坐标为（6，2 ），
故答案为：（6，2 ）．
【点评】本题考查了菱形的性质、含30°角的直角三角形的性质、坐标与图形的性质等知识，
求出AD，BD的长是解题的关键．
16．（3分）如图所示是两棵小树在同一时刻的影子，可以断定这是 中心 投影．
【分析】根据光线的平行和相交即可判断是平行投影和中心投影．
【解答】解：因为影子的顶点和大树的顶点的连线不平行，
所以它们的光线应该是灯光的光线．所以是中心投影．
故答案为：中心．
【点评】本题考查了中心投影和平行投影的知识，解题的关键是看光线有没有交点．
三、解答题（共72分）
17．（8分）计算：
（1） ；
（2） ．
【分析】（1）首先计算乘方、特殊角的三角函数值，然后计算乘法，最后从左向右依次计算，
第17页（共25页）求出算式的值即可．
（2）首先计算零指数幂、负整数指数幂、开方和绝对值，然后从左向右依次计算，求出算式
的值即可．
【解答】解：（1）
＝4× + × ﹣2×1
＝4× +1﹣2
＝3+1﹣2
＝2．
（2）
＝|1﹣2× |+2 ﹣（﹣2）﹣1
＝|1﹣ |+2 +2﹣1
＝ ﹣1+2 +2﹣1
＝3 ．
【点评】此题主要考查了二次根式的混合运算，解答此题的关键是要明确：①与有理数的
混合运算一致，运算顺序先乘方再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的．②在运算
中每个根式可以看作是一个“单项式”，多个不同类的二次根式的和可以看作“多项
式”．
18．（6分）解方程：3x2+4x﹣4＝0．
【分析】方程利用因式分解法求出解即可．
【解答】解：方程3x2+4x﹣4＝0，
分解因式得：（3x﹣2）（x+2）＝0，
可得3x﹣2＝0或x+2＝0，
解得：x ＝ ，x ＝﹣2．
1 2
【点评】此题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的
关键．
第18页（共25页）19．（6分）如图，等边△ABC中，边长为8，点D是BC边上的动点，点E、F分别在边AB、AC
上，且始终满足∠EDF＝60°．
（1）求证：△BDE∽△CFD；
（2）当BD＝1，FC＝1.5时，求BE的长．
【分析】（1）根据等边三角形的性质证明∠BED＝∠CDF，进而可得结论；
（2）由（1）△BDE∽△CFD，可得 ＝ ，代入值即可求出BE的长．
【解答】（1）证明：∵△ABC是等边三角形，
∴∠B＝∠C＝60°，
∵∠EDF＝60°．
∴∠BDE+∠CDF＝∠BED+∠BDE＝120°，
∴∠BED＝∠CDF，
∴△BDE∽△CFD；
（2）解：∵BD＝1，AB＝BC＝8，
∴CD＝BC﹣BD＝7，
∵△BDE∽△CFD，
∴ ＝ ，
∴ ＝ ，
解得：BE＝ ．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，等边三角形的性质，解决本题的关键是得
到△BDE∽△CFD．
20．（8分）小红想利用阳光下的影长测量学校旗杆AB的高度．如图，他在某一时刻在地面上
竖直立一个2米长的标杆CD，测得其影长DE＝0.4米．
（1）请在图中画出此时旗杆AB在阳光下的投影BF．
第19页（共25页）（2）如果BF＝1.6，求旗杆AB的高．
【分析】（1）利用太阳光线为平行光线作图：连接CE，过A点作AF∥CE交BD于F，则BF
为所求；
（2）证明△ABF∽△CDE，然后利用相似比计算AB的长．
【解答】解：（1）连接CE，过A点作AF∥CE交BD于F，则BF为所求，如图；
（2）∵AF∥CE，
∴∠AFB＝∠CED，
而∠ABF＝∠CDE＝90°，
∴△ABF∽△CDE，
∴ ＝ ，即 ＝ ，
∴AB＝8（m）．
答：旗杆AB的高为8m．
【点评】本题考查了平行投影：由平行光线形成的投影是平行投影，如物体在太阳光的照
射下形成的影子就是平行投影．平行投影中物体与投影面平行时的投影是全等的．
21．（10分）2019年某县投入100万元用于农村“扶贫工程”，计划以后每年以相同的增长
率投入，2021年该县计划投入“扶贫工程”144万元．
（1）求该县投入“扶贫工程”的年平均增长率；
（2）若2022年保持从2019年到2021年的年平均增长率不变，求2022年该县将投入“扶
贫工程”多少万元？
【分析】（1）设该县投入“扶贫工程”的年平均增长率为x，利用2021年该县计划投入
“扶贫工程”的资金＝2019年该县投入“扶贫工程”的资金×（1+增长率）2，即可得出关
于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出该县投入“扶贫工程”的年平均增长率；
第20页（共25页）（2）利用2022年该县将投入“扶贫工程”的资金＝2021年该县投入“扶贫工程”的资
金×（1+增长率），即可求出2022年该县将投入“扶贫工程”的资金．
【解答】解：（1）设该县投入“扶贫工程”的年平均增长率为x，
依题意得：100（1+x）2＝144，
解得：x ＝0.2＝20%，x ＝﹣2.2（不合题意，舍去）．
1 2
答：该县投入“扶贫工程”的年平均增长率为20%．
（2）144×（1+20%）＝144×1.2＝172.8（万元）．
答：预计2022年该县将投入“扶贫工程”172.8万元．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题
的关键．
22．（10分）北京将于2022年举办冬奥会和冬残奥会，中国将成为一个举办过五次各类奥林
匹克运动会的国家小亮是个集邮爱好者，他收集了如图所示的四张纪念邮票（除正面内容
不同外，其余均相同），现将四张邮票背面朝上，洗匀放好．
（1）小亮从中随机抽取一张邮票是“冬残奥会吉祥物雪容融”的概率是 ；
（2）小亮从中随机抽取一张邮票（不放回），再从余下的邮票中随机抽取一张，请你用列表
或画树状图的方法求抽到的两张邮票恰好是“冬奥会会徽”和“冬奥会吉祥物冰墩墩”
的概率．（这四张邮票依次分别用字母A，B，C，D表示）
【分析】（1）直接由概率公式求解即可；
（2）画树状图，共有12种等可能的结果，抽到的两张邮票恰好是“冬奥会会徽”和“冬奥
会吉祥物冰墩墩”的结果有2种，再由概率公式求解即可．
【解答】解：（1）小亮从中随机抽取一张邮票是“冬残奥会吉祥物雪容融”的概率是 ，
故答案为： ；
第21页（共25页）（2）画树状图如下：
共有12种等可能的结果，抽到的两张邮票恰好是“冬奥会会徽”和“冬奥会吉祥物冰墩
墩”的结果有2种，
∴抽到的两张邮票恰好是“冬奥会会徽”和“冬奥会吉祥物冰墩墩”的概率为 ＝ ．
【点评】此题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的
结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意
此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
23．（12分）如图，平面直角坐标系中，直线y ＝kx+b分别与x，y轴交于点A，B，与双曲线y
1 2
＝ 分别交于点C，D（点C在第一象限，点D在第三象限），作CE⊥x轴于点E，OA＝4，
OE＝OB＝2．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）请直接写出使y ＞y 的x取值范围；
1 2
（3）在y轴上是否存在一点P，使S△ABP ＝S△CEP ？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存
在，请说明理由．
【分析】（1）在Rt△AOB中，OA＝4，OE＝OB＝2，再用待定系数法即可求解；
（2）观察函数图象即可求解；
（3）设点P的坐标为（0，t），则S△CEP ＝ CE×OE＝ ×2×3＝3，而S△ABP ＝ BP×OA＝ |2
第22页（共25页）﹣t|×4＝2|2﹣t|＝3，即可求解．
【解答】解：（1）在Rt△AOB中，OA＝4，OE＝OB＝2，
故点A、B的坐标分别为（﹣4，0）、（0，2），
将点A、B的坐标代入直线的表达式，
得 ，
解得 ，
故直线AB的表达式为y＝ x+2①，
当x＝2时，y＝ x+2＝3，故点C（2，3），
将点C的坐标代入反比例函数表达式得：3＝ ，解得m＝6，
故反比例函数的解析式y ＝ ②；
2
（2）联立①②并整理得：x2+4x﹣12＝0，解得x＝2或﹣6，
故点D（﹣6，﹣1），
观察函数图象知，y ＞y 的x取值范围是x＞2或﹣6＜x＜0；
1 2
（3）设点P的坐标为（0，t），
则S△CEP ＝ CE×OE＝ ×2×3＝3，
而S△ABP ＝ BP×OA＝ |2﹣t|×4＝2|2﹣t|＝3，
解得t＝ 或 ，
故点P的坐标为（0， ）或（0， ）．
【点评】本题是反比例函数的综合题，主要考查反比例函数与一次函数的交点问题，解题
的关键是用绝对值的方法确定PB的长度，属于中考常考题型．
24．（12分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，过点C的直线MN∥AB，D为AB边上一点，
第23页（共25页）过点D作DE⊥BC，垂足为F，交直线MN于E，连接CD，BE．
（1）求证：CE＝AD；
（2）当D为AB中点时，四边形BECD是什么特殊四边形？说明你的理由；
（3）在满足（2）的条件下，当△ABC满足什么条件时，四边形BECD是正方形？（不必说明
理由）
【分析】（1）先求出四边形ADEC是平行四边形，根据平行四边形的性质推出即可；
（2）求出四边形BECD是平行四边形，求出CD＝BD，根据菱形的判定推出即可；
（3）当∠A＝45°，四边形BECD是正方形．
【解答】（1）证明：∵DE⊥BC，
∴∠DFB＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠ACB＝∠DFB，
∴AC∥DE，
∵MN∥AB，即CE∥AD，
∴四边形ADEC是平行四边形，
∴CE＝AD；
（2）解：四边形BECD是菱形，
理由是：∵D为AB中点，
∴AD＝BD，
∵CE＝AD，
∴BD＝CE，
∵BD∥CE，
∴四边形BECD是平行四边形，
∵∠ACB＝90°，D为AB中点，
∴CD＝BD，
∴四边形BECD是菱形；
第24页（共25页）（3）解：当∠A＝45°时，四边形BECD是正方形，
理由：∵∠ACB＝90°，
∴∠ABC＝45°，
由（2）可知，四边形BECD是菱形，
∴∠ABC＝∠CBE＝45°，
∴∠DBE＝90°，
∴四边形BECD是正方形．
【点评】本题考查了平行四边形的性质和判定，菱形的判定，正方形的判定、直角三角形的
性质的应用，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
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