文档内容
2021-2022学年辽宁省阜新市新邱区九年级（上）期末数学试卷
一、选择题：（每题3分，共30分）
1．（3分）方程x（x﹣1）＝2的解是（ ）
A．x＝﹣1 B．x＝﹣2 C．x ＝1，x ＝﹣2 D．x ＝﹣1，x ＝2
1 2 1 2
2．（3分）关于x的方程（a﹣5）x2﹣4x﹣1＝0有实数根，则a满足（ ）
A．a≥1 B．a＞1且a≠5 C．a≥1且a≠5 D．a≠5
3．（3分）下列图形中，你认为既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
4．（3分）从菱形的钝角顶点，向对角的两边条垂线，垂足恰好在该边的中点，则菱形的内角
中钝角的度数是（ ）
A．150° B．135° C．120° D．100°
5．（3分）如图，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形ADE，AC、BE相交于点F，则∠BFC
为（ ）
A．45° B．55° C．60° D．75°
6．（3分）如图，菱形纸片ABCD中，∠A＝60°，折叠菱形纸片ABCD，使点C落在DP（P为AB
中点）所在的直线上，得到经过点D的折痕DE．则∠DEC的大小为（ ）
第1页（共23页）A．78° B．75° C．60° D．45°
7．（3分）如图，路灯距地面8米，身高1.6米的小明从距离灯的底部（点O）20米的点A处，沿
OA所在的直线行走14米到点B时，人影的长度（ ）
A．增大1.5米 B．减小1.5米 C．增大3.5米 D．减小3.5米
8．（3分）在同一平面直角坐标系中，函数y＝kx﹣k与y＝ （k≠0）的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
9．（3分）如图所示，已知点E、F分别是△ABC中AC、AB边的中点，BE、CF相交于点G，FG
＝2，则CF的长为（ ）
A．4 B．4.5 C．5 D．6
第2页（共23页）10．（3分）如图所示，正方形ABCD的面积为12，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD
内，在对角线AC上有一点P，使PD+PE的和最小，则这个最小值为（ ）
A．2 B．2 C．3 D．
二、填空题（每小题3分，共18分.）
11．（3分）已知函数y＝（m+1） 是反比例函数，则m的值为 ．
12．（3分）在﹣1，﹣2，3这三个数中，任选两个数的积作为k的值，使反比例函数y＝ 的图
象在第二、四象限的概率是 ．
13．（3分）若关于x的方程x2﹣mx+m＝0有两个相等实数根，则代数式2m2﹣8m+1的值为
．
14．（3分）如图，矩形ABCD的两条线段交于点O，过点O作AC的垂线EF，分别交AD、BC
于点E、F，连接CE，已知△CDE的周长为24cm，则矩形ABCD的周长是 cm．
15．（3分）如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A（2，2），B（4，2），C（6，4），以原点O为位似
中心，将△ABC缩小，使变换后得到的△DEF与△ABC对应边的比为1：2，则线段AC的
中点P变换后对应的点的坐标为 ．
16．（3分）正方形A B C O、A B C C 、A B C C 、…按如图所示的方式放置，点A 、A 、A 、…
1 1 1 2 2 2 1 3 3 3 2 1 2 3
和点C 、C 、C 、…分别在直线y＝x+1和x轴上，则点B 的坐标是 ．（答案不需
1 2 3 2021
第3页（共23页）要化简）
三、解答题：（17----21每题8分；22题12分，共52分）
17．（8分）某灯具店采购了一批某种型号的节能灯，共用去400元．在搬运过程中不慎打碎了
5盏，该店把余下的灯每盏以超出进价4元全部售出，然后用所得的钱又采购了一批这种
节能灯，且进价与上次相同，但购买的数量比上次多了9盏．求每盏灯的进价．
18．（8分）已知：△ABC在坐标平面内，三个顶点的坐标分别为A（0，3），B（3，4），C（2，2）．
（正方形网格中，每个小正方形的边长是1个单位长度）
（1）画出△ABC向下平移4个单位得到的△A B C ，并直接写出C 点的坐标；
1 1 1 1
（2）以点B为位似中心，在网格中画出△A BC ，使△A BC 与△ABC位似，且位似比为2：
2 2 2 2
1，并直接写出C 点的坐标及△A BC 的面积．
2 2 2
19．（8分）我市某校在推进新课改的过程中，开设的体育选修课有：A：篮球，B：足球，C：排球，
D：羽毛球，E：乒乓球，学生可根据自己的爱好选修一门，学校李老师对某班全班同学的选
课情况进行调查统计，制成了两幅不完整的统计图（如图）．
第4页（共23页）（1）请你求出该班的总人数，并补全频数分布直方图；
（2）该班班委4人中，1人选修篮球，2人选修足球，1人选修排球，李老师要从这4人中人
任选2人了解他们对体育选课的看法，请你用列表或画树状图的方法，求选出的2人恰好
1人选修篮球，1人选修足球的概率．
20．（8分）已知：一次函数y＝3x﹣2的图象与某反比例函数的图象的一个公共点的横坐标为
1．
（1）求该反比例函数的解析式；
（2）将一次函数y＝3x﹣2的图象向上平移4个单位，求平移后的图象与反比例函数图象
的交点坐标．
21．（8分）如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点O关于直线CD的对称点
为E，连接DE，CE．
（1）求证：四边形ODEC为菱形；
（2）连接OE，若BC＝2 ，求OE的长．
22．（12分）如图①，在正方形ABCD中，P是对角线AC上的一点，点E在BC的延长线上，
且PE＝PB．
（1）求证：△BCP≌△DCP；
（2）猜想线段DP与PE的位置关系，并证明你的结论；
（3）把正方形ABCD改为菱形ABCD，其它条件不变（如图②），若∠ABC＝60°，求∠DPE
度数．（直接写出答案即可）
第5页（共23页）第6页（共23页）2021-2022学年辽宁省阜新市新邱区九年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：（每题3分，共30分）
1．（3分）方程x（x﹣1）＝2的解是（ ）
A．x＝﹣1 B．x＝﹣2 C．x ＝1，x ＝﹣2 D．x ＝﹣1，x ＝2
1 2 1 2
【分析】观察方程的特点：应用因式分解法解这个一元二次方程．
【解答】解：整理得：x2﹣x﹣2＝0，
（x+1）（x﹣2）＝0，
∴x+1＝0或x﹣2＝0，
即x ＝﹣1，x ＝2
1 2
故选：D．
【点评】本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，
配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．
2．（3分）关于x的方程（a﹣5）x2﹣4x﹣1＝0有实数根，则a满足（ ）
A．a≥1 B．a＞1且a≠5 C．a≥1且a≠5 D．a≠5
【分析】由于x的方程（a﹣5）x2﹣4x﹣1＝0有实数根，那么分两种情况：（1）当a﹣5＝0时，
方程一定有实数根；（2）当a﹣5≠0时，方程成为一元二次方程，利用判别式即可求出a的
取值范围．
【解答】解：分类讨论：
①当a﹣5＝0即a＝5时，方程变为﹣4x﹣1＝0，此时方程一定有实数根；
②当a﹣5≠0即a≠5时，
∵关于x的方程（a﹣5）x2﹣4x﹣1＝0有实数根
∴16+4（a﹣5）≥0，
∴a≥1．
∴a的取值范围为a≥1且a≠5．
综上，a≥1．
故选：A．
【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判别式Δ＝b2﹣4ac：当Δ＞
0，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0，方程没有实
第7页（共23页）数根；切记不要忽略一元二次方程二次项系数不为零这一隐含条件．
3．（3分）下列图形中，你认为既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【解答】解：既是中心对称图形又是轴对称图形的只有A．故选：A．
【点评】掌握好中心对称与轴对称的概念．
轴对称的关键是寻找对称轴，两边图象沿对称轴折叠后可重合，中心对称是要寻找对称中
心，图形旋转180度后与原图重合．
4．（3分）从菱形的钝角顶点，向对角的两边条垂线，垂足恰好在该边的中点，则菱形的内角
中钝角的度数是（ ）
A．150° B．135° C．120° D．100°
【分析】根据AE⊥BC，且E为BC的中点可以求证△ABC为等腰三角形，即AB＝AC，根据
AB＝BC，即可求证△ABC为等边三角形，则∠B＝60°，即可计算菱形的内角中钝角的度
数．
【解答】解：过A作AE⊥BC，
由题意知AE⊥BC，且E为BC的中点，
则△ABC为等腰三角形
即AB＝AC，即AB＝AC＝BC，
∴∠ABC＝60°，
∴∠BAD＝180°﹣∠ABC＝180°﹣60°＝120°．
故选：C．
第8页（共23页）【点评】本题考查了等腰三角形的判定，等边三角形各内角为 60°的性质，本题中计算
∠ABC＝60°是解题的关键．
5．（3分）如图，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形ADE，AC、BE相交于点F，则∠BFC
为（ ）
A．45° B．55° C．60° D．75°
【分析】根据正方形的性质及等边三角形的性质求出∠ABE＝15°，∠BAC＝45°，再求
∠BFC．
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD，
又∵△ADE是等边三角形，
∴AE＝AD＝DE，∠DAE＝60°，
∴AB＝AE，
∴∠ABE＝∠AEB，∠BAE＝90°+60°＝150°，
∴∠ABE＝（180°﹣150°）÷2＝15°，
又∵∠BAC＝45°，
∴∠BFC＝45°+15°＝60°．
故选：C．
【点评】本题主要是考查正方形的性质和等边三角形的性质，解题的关键是利用正方形和
等边三角形各边相等的性质及等边对等角求出∠ABE＝15°．
6．（3分）如图，菱形纸片ABCD中，∠A＝60°，折叠菱形纸片ABCD，使点C落在DP（P为AB
中点）所在的直线上，得到经过点D的折痕DE．则∠DEC的大小为（ ）
A．78° B．75° C．60° D．45°
第9页（共23页）【分析】连接BD，由菱形的性质及∠A＝60°，得到三角形ABD为等边三角形，P为AB的中
点，利用三线合一得到DP为角平分线，得到∠ADP＝30°，∠ADC＝120°，∠C＝60°，进而
求出∠PDC＝90°，由折叠的性质得到∠CDE＝∠PDE＝45°，利用三角形的内角和定理即
可求出所求角的度数．
【解答】解：连接BD，
∵四边形ABCD为菱形，∠A＝60°，
∴△ABD为等边三角形，∠ADC＝120°，∠C＝60°，
∵P为AB的中点，
∴DP为∠ADB的平分线，即∠ADP＝∠BDP＝30°，
∴∠PDC＝90°，
∴由折叠的性质得到∠CDE＝∠PDE＝45°，
在△DEC中，∠DEC＝180°﹣（∠CDE+∠C）＝75°．
故选：B．
【点评】此题考查了翻折变换（折叠问题），菱形的性质，等边三角形的性质，以及内角和定
理，熟练掌握折叠的性质是解本题的关键．
7．（3分）如图，路灯距地面8米，身高1.6米的小明从距离灯的底部（点O）20米的点A处，沿
OA所在的直线行走14米到点B时，人影的长度（ ）
A．增大1.5米 B．减小1.5米 C．增大3.5米 D．减小3.5米
【分析】小明在不同的位置时，均可构成两个相似三角形，可利用相似比求人影长度的变
化．
【解答】解：设小明在A处时影长为x，B处时影长为y．
∵AC∥OP，BD∥OP，
第10页（共23页）∴△ACM∽△OPM，△BDN∽△OPN，
∴ ， ，
则 ，
∴x＝5，
，
∴y＝1.5，
∴x﹣y＝3.5，
减少了3.5米．
故选：D．
【点评】此题考查相似三角形对应边成比例，应注意题中三角形的变化．
8．（3分）在同一平面直角坐标系中，函数y＝kx﹣k与y＝ （k≠0）的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据k的取值范围，分别讨论k＞0和k＜0时的情况，然后根据一次函数和反比例
函数图象的特点进行选择正确答案．
【解答】解：①当k＞0时，
一次函数y＝kx﹣k经过一、三、四象限，
第11页（共23页）反比例函数的y＝ （k≠0）的图象经过一、三象限，
没有符合条件的选项，
②当k＜0时，
一次函数y＝kx﹣k经过一、二、四象限，
反比例函数的y＝ （k≠0）的图象经过二、四象限，
故D选项的图象符合要求．
故选：D．
【点评】此题考查反比例函数的图象问题；用到的知识点为：反比例函数与一次函数的k值
相同，则两个函数图象必有交点；一次函数与y轴的交点与一次函数的常数项相关．
9．（3分）如图所示，已知点E、F分别是△ABC中AC、AB边的中点，BE、CF相交于点G，FG
＝2，则CF的长为（ ）
A．4 B．4.5 C．5 D．6
【分析】根据已知利用相似三角形的判定可得到△EFG∽△BCG，根据相似比可求得CG
的长，从而不难求得CF的长．
【解答】解：∵点E、F分别是△ABC中AC、AB边的中点
∴EF＝ BC，EF∥BC
∴△EFG∽△BCG，且相似比为1：2
∴CG＝2FG＝4
∴CF＝FG+CG＝2+4＝6．
故选：D．
【点评】此题主要考查三角形的中位线的定理和相似三角形的判定方法的掌握．
10．（3分）如图所示，正方形ABCD的面积为12，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD
内，在对角线AC上有一点P，使PD+PE的和最小，则这个最小值为（ ）
第12页（共23页）A．2 B．2 C．3 D．
【分析】由于点B与D关于AC对称，所以连接BD，BE与AC的交点为P，此时PD+PE＝
BE最小，而BE是等边△ABE的边，BE＝AB，由正方形ABCD的面积为12，可求出AB的
长，从而得出结果．
【解答】解：设BE与AC交于点F（P′），连接BD，
∵点B与D关于AC对称，
∴P′D＝P′B，
∴P′D+P′E＝P′B+P′E＝BE最小．
即P在AC与BE的交点上时，PD+PE最小，为BE的长度；
∵正方形ABCD的面积为12，
∴AB＝2 ．
又∵△ABE是等边三角形，
∴BE＝AB＝2 ．
故所求最小值为2 ．
故选：A．
【点评】此题主要考查轴对称﹣﹣最短路线问题，要灵活运用对称性解决此类问题．
二、填空题（每小题3分，共18分.）
11．（3分）已知函数y＝（m+1） 是反比例函数，则m的值为 1 ．
【分析】根据反比例函数的定义知m2﹣2＝﹣1，且m+1≠0，据此可以求得m的值．
【解答】解：∵y＝（m+1）xm2﹣2是反比例函数，
∴m2﹣2＝﹣1，且m+1≠0，
第13页（共23页）∴m＝±1，且m≠﹣1，
∴m＝1；
故答案是：1．
【点评】本题考查了反比例函数的定义，重点是将一般式y＝ （k≠0）转化为y＝kx﹣1
（k≠0）的形式．
12．（3分）在﹣1，﹣2，3这三个数中，任选两个数的积作为k的值，使反比例函数y＝ 的图
象在第二、四象限的概率是 ．
【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与任选两个数的
积作为k的值，使反比例函数y＝ 的图象在第二、四象限的情况，再利用概率公式即可求
得答案．
【解答】解：画树状图得：
∵共有6种等可能的结果，任选两个数的积作为k的值，使反比例函数y＝ 的图象在第
二、四象限的有2种情况，
∴任选两个数的积作为k的值，使反比例函数y＝ 的图象在第二、四象限的概率是： ＝
．
故答案为： ．
【点评】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不
遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以
上完成的事件．注意概率＝所求情况数与总情况数之比．
第14页（共23页）13．（3分）若关于x的方程x2﹣mx+m＝0有两个相等实数根，则代数式2m2﹣8m+1的值为
1 ．
【分析】根据方程的系数结合根的判别式即可得出Δ＝m2﹣4m＝0，将其代入2m2﹣8m+1
中即可得出结论．
【解答】解：∵关于x的方程x2﹣mx+m＝0有两个相等实数根，
∴Δ＝（﹣m）2﹣4m＝m2﹣4m＝0，
∴2m2﹣8m+1＝2（m2﹣4m）+1＝1．
故答案为：1．
【点评】本题考查了根的判别式，熟练掌握“当Δ＝0时，方程有两个相等的两个实数根”
是解题的关键．
14．（3分）如图，矩形ABCD的两条线段交于点O，过点O作AC的垂线EF，分别交AD、BC
于点E、F，连接CE，已知△CDE的周长为24cm，则矩形ABCD的周长是 4 8 cm．
【分析】利用FE垂直平分AC可得到AE＝CE，那么△CDE的周长就可以表示为AD+CD，
也就求出了矩形的周长．
【解答】解：∵OA＝OC，EF⊥AC，
∴AE＝CE，
∵矩形ABCD的周长＝2（AE+DE+CD），
∵DE+CD+CE＝24，∴矩形ABCD的周长＝2（AE+DE+CD）＝48cm．
【点评】本题主要是利用矩形的对角线相互平分的性质和垂直平分线的性质求得
DE+CD+CE＝AE+DE+CD＝24．
15．（3分）如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A（2，2），B（4，2），C（6，4），以原点O为位似
中心，将△ABC缩小，使变换后得到的△DEF与△ABC对应边的比为1：2，则线段AC的
中点P变换后对应的点的坐标为 （ 2 ， ）或（﹣ 2 ， ） ．
第15页（共23页）【分析】位似变换中对应点的坐标的变化规律：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以
原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k．本题中k＝2
或﹣2．
【解答】解：∵两个图形的位似比是1：（﹣ ）或1： ，AC的中点是（4，3），
∴对应点是（2， ）或（﹣2， ）．
【点评】本题主要考查位似变换中对应点的坐标的变化规律．
16．（3分）正方形A B C O、A B C C 、A B C C 、…按如图所示的方式放置，点A 、A 、A 、…
1 1 1 2 2 2 1 3 3 3 2 1 2 3
和点C 、C 、C 、…分别在直线y＝x+1和x轴上，则点B 的坐标是 （ 2 202 1 ﹣ 1 ， 2 202 0 ）
1 2 3 2021
．（答案不需要化简）
【分析】根据直线y＝x+1可求与x轴、y轴的交点坐标，得出第一个正方形的边长，得出点
B 的横坐标，根据第二个正方形与第一个正方形的关系，可求出第二个正方形的边长，进
1
而确定B 的横坐标，依此类推，可得出B 的横坐标．
2 2021
【解答】解：当x＝0时，y＝x+1＝1，
∴点A 的坐标为（0，1）．
1
∵四边形A B C O为正方形，
1 1 1
∴点B 的坐标为（1，1），点C 的坐标为（1，0）．
1 1
当x＝1时，y＝x+1＝2，
∴点A 的坐标为（1，2）．
1
∵A B C C 为正方形，
2 2 2 1
第16页（共23页）∴点B 的坐标为（3，2），点C 的坐标为（3，0）．
2 2
同理，可知：点B 的坐标为（7，4），点B 的坐标为（15，8），点B 的坐标为（31，16），…，
3 4 5
∴点B 的坐标为（2n﹣1，2n﹣1）（n为正整数），
n
∴点B 的坐标为（22021﹣1，22020）．
2021
故答案为：（22021﹣1，22020）．
【点评】此题主要考查了一次函数图形上的点与坐标特征，规律型问题常用的方法是，分
别求出前几个数据，然后依据变化规律，得出一般的结论．本题就是先求出B 的横坐标为
1
21﹣1，B 的横坐标为22﹣1，B 的横坐标为23﹣1，B 的横坐标为24﹣1，……进而得到B
2 3 4 n
的横坐标为2n﹣1．
三、解答题：（17----21每题8分；22题12分，共52分）
17．（8分）某灯具店采购了一批某种型号的节能灯，共用去400元．在搬运过程中不慎打碎了
5盏，该店把余下的灯每盏以超出进价4元全部售出，然后用所得的钱又采购了一批这种
节能灯，且进价与上次相同，但购买的数量比上次多了9盏．求每盏灯的进价．
【分析】根据题目的问题，设每盏灯的进价为x元，400元可以买灯 个，实际卖出的是（
）个；单价每盏灯（x+4）元，卖出金额（ ）•（x+4）元；用所得的钱又采购了一
批这种节能灯（ ）个，需要的金额（ +9）•x元，根据题意，列方程．
【解答】解：设每盏灯的进价为x元．
依题意，列方程：（ ）•（x+4）＝（ +9）•x．
解方程得：x ＝10，x ＝ （舍去）．
1 2
经检验，x＝10符合题意．
答：每盏灯的进价为10元．
【点评】本题可以从卖出的节能灯金额＝又采购的节能灯金额，建立等量关系．本题考查
分式方程的应用，分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．
18．（8分）已知：△ABC在坐标平面内，三个顶点的坐标分别为A（0，3），B（3，4），C（2，2）．
（正方形网格中，每个小正方形的边长是1个单位长度）
（1）画出△ABC向下平移4个单位得到的△A B C ，并直接写出C 点的坐标；
1 1 1 1
第17页（共23页）（2）以点B为位似中心，在网格中画出△A BC ，使△A BC 与△ABC位似，且位似比为2：
2 2 2 2
1，并直接写出C 点的坐标及△A BC 的面积．
2 2 2
【分析】（1）根据网格结构，找出点A、B、C向下平移4个单位的对应点A 、B 、C 的位置，
1 1 1
然后顺次连接即可，再根据平面直角坐标系写出点C 的坐标；
1
（2）延长BA到A ，使AA ＝AB，延长BC到C ，使CC ＝BC，然后连接A C 即可，再根据
2 2 2 2 2 2
平面直角坐标系写出C 点的坐标，利用△A BC 所在的矩形的面积减去四周三个小直角
2 2 2
三角形的面积，列式计算即可得解．
【解答】解：（1）如图，△A B C 即为所求，C （2，﹣2）；
1 1 1 1
（2）如图，△A BC 即为所求，C （1，0），
2 2 2
△A BC 的面积：
2 2
6×4﹣ ×2×6﹣ ×2×4﹣ ×2×4
＝24﹣6﹣4﹣4
＝24﹣14
＝10．
第18页（共23页）【点评】本题考查了利用位似变换作图，利用平移变换作图，以及网格内三角形的面积的
求解，根据网格结构准确找出对应点的位置是解题的关键，网格内的三角形的面积通常利
用三角形所在的矩形的面积减去四周三个小直角三角形的面积，一定要熟练掌握并灵活
运用．
19．（8分）我市某校在推进新课改的过程中，开设的体育选修课有：A：篮球，B：足球，C：排球，
D：羽毛球，E：乒乓球，学生可根据自己的爱好选修一门，学校李老师对某班全班同学的选
课情况进行调查统计，制成了两幅不完整的统计图（如图）．
（1）请你求出该班的总人数，并补全频数分布直方图；
（2）该班班委4人中，1人选修篮球，2人选修足球，1人选修排球，李老师要从这4人中人
任选2人了解他们对体育选课的看法，请你用列表或画树状图的方法，求选出的2人恰好
1人选修篮球，1人选修足球的概率．
【分析】（1）根据C类有12人，占24%，据此即可求得总人数，然后利用总人数乘以对应
的比例即可求得E类的人数；
（2）利用列举法即可求解．
【解答】解：（1）该班总人数是：12÷24%＝50（人），
则E类人数是：50×10%＝5（人），
A类人数为：50﹣（7+12+9+5）＝17（人）．
补全频数分布直方图如下：
第19页（共23页）；
（2）画树状图如下：
，
或列表如下：
共有12种等可能的情况，恰好1人选修篮球，1人选修足球的有4种，
则概率是： ＝ ．
【点评】本题考查读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力；利用统计图获
取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．
20．（8分）已知：一次函数y＝3x﹣2的图象与某反比例函数的图象的一个公共点的横坐标为
1．
（1）求该反比例函数的解析式；
（2）将一次函数y＝3x﹣2的图象向上平移4个单位，求平移后的图象与反比例函数图象
的交点坐标．
【分析】（1）先求出两函数的交点坐标，利用待定系数法即可求得反比例函数的解析式；
（2）平移后的图象对应的解析式为y＝3x+2，联立两函数解析式，进而求得交点坐标．
【解答】解：（1）把x＝1代入y＝3x﹣2，得y＝1，
设反比例函数的解析式为y＝ ，
第20页（共23页）把x＝1，y＝1代入得，k＝1，
∴该反比例函数的解析式为y＝ ；
（2）平移后的图象对应的解析式为y＝3x+2，
解方程组 ，得 或 ．
∴平移后的图象与反比例函数图象的交点坐标为（ ，3）和（﹣1，﹣1）．
【点评】考查了反比例函数与一次函数的交点问题，一次函数图象与几何变换，解题的关
键是待定系数法求函数解析式，掌握各函数的图象和性质．
21．（8分）如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点O关于直线CD的对称点
为E，连接DE，CE．
（1）求证：四边形ODEC为菱形；
（2）连接OE，若BC＝2 ，求OE的长．
【分析】（1）利用矩形性质可得OD＝OC，再借助对称性可得OD＝DE＝EC＝CO，从而证
明了四边形ODEC为菱形；
（2）证明四边形OBCE为平行四边形，即可得到OE＝BC＝ ．
【解答】解：（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴OD＝OC．
∵点O关于直线CD的对称点为E，
∴OD＝ED，OC＝EC．
∴OD＝DE＝EC＝CO．
∴四边形ODEC为菱形
（2）由（1）知四边形ODEC为菱形，连接OE．
∴CE∥OD且CE＝OD．
∴CE∥BO且CE＝BO．
第21页（共23页）∴四边形OBCE为平行四边形．
∴ ．
【点评】本题主要考查了矩形的性质，菱形的判定和性质、平行四边形的判定和性质，熟知
特殊四边形的判定和性质是解题的关键．
22．（12分）如图①，在正方形ABCD中，P是对角线AC上的一点，点E在BC的延长线上，
且PE＝PB．
（1）求证：△BCP≌△DCP；
（2）猜想线段DP与PE的位置关系，并证明你的结论；
（3）把正方形ABCD改为菱形ABCD，其它条件不变（如图②），若∠ABC＝60°，求∠DPE
度数．（直接写出答案即可）
【分析】（1）根据正方形的四条边都相等可得BC＝DC，对角线平分一组对角可得∠BCP
＝∠DCP，然后利用“边角边”证明即可；
（2）根据全等三角形对应角相等可得∠CBP＝∠CDP，根据等边对等角可得∠CBP＝∠E，
然后求出∠DPE＝∠DCE，再根据两直线平行，同位角相等可得∠DCE＝∠ABC，从而得
证；
（3）根据（2）的结论解答即可．
【解答】（1）证明：在正方形ABCD中，BC＝DC，∠BCP＝∠DCP＝45°，
在△BCP和△DCP中，
，
∴△BCP≌△DCP（SAS）；
（2）证明：DP⊥PE
由（1）知，△BCP≌△DCP，
第22页（共23页）∴∠CBP＝∠CDP，
∵PE＝PB，
∴∠CBP＝∠E，
∴∠DPE＝∠DCE，
∵∠1＝∠2（对顶角相等），
∴180°﹣∠1﹣∠CDP＝180°﹣∠2﹣∠E，
即∠DPE＝∠DCE，
∵AB∥CD，
∴∠DCE＝∠ABC，
∴∠DPE＝∠ABC；
∴DP⊥PE
（3）与（2）同理可得：∠DPE＝∠ABC，
∵∠ABC＝60°，
∴∠DPE＝60°．
【点评】本题是四边形综合题目，考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，菱形的
性质，等边对等角的性质，熟记正方形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键．
第23页（共23页）
