文档内容
2021-2022学年陕西省宝鸡市凤翔县九年级（上）期末数学试卷
一、选择题（每小题3分，计24分）
1．（3分）下列立体图形中，主视图为矩形的是（ ）
A． B． C． D．
2．（3分）将锐角三角形三边扩大同样的倍数，得到的新三角形是（ ）
A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．任意三角形
3．（3分）函数 的图象不经过（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
4．（3分）一个布袋里装有5个红球、3个黄球和2个白球，除颜色外其他都相同．搅匀后任意
摸出一个球，是白球的概率为（ ）
A． B． C． D．
5．（3分）方程x2﹣2x﹣5＝1经配方后，可化为（ ）
A．（x﹣1）2＝7 B．（x+1）2＝7 C．（x﹣1）2＝4 D．（x+1）2＝4
6．（3分）如图，路灯距地面8米，身高1.6米的小明从距离灯底（点O）20米的点A处，沿AO
所在直线行走12米到达点B时，小明身影长度（ ）
A．变长2.5米 B．变短2米 C．变短2.5米 D．变短3米
7．（3分）如图，AD∥BE∥FC，直线l 、l 分别与三条平行线交于点A、B、C和点D、E、F，若
1 2
AB＝3，BC＝5，DF＝12，则EF的长为（ ）
第1页（共24页）A．4.5 B．6 C．7.5 D．8
8．（3分）如图，在平面直角坐标系中，长方形OABC的顶点O在坐标原点，顶点A在y轴的
正半轴上，顶点C在x轴的负半轴上，OA＝2，OC＝4，D为OC边的中点，E是OA边上的
一个动点，当线段BE+DE的值最小时，E点坐标为（ ）
A．（0， ） B．（0，1） C．（0，2） D．（0， ）
二、填空题（每小题3分，共15分）
9．（3分）已知关于x的方程x2﹣2x+2k＝0的一个根是1，则k＝ ．
10．（3分）如图是某个几何体的三视图，该几何体是 ．
11．（3分）如图，点E在正方形ABCD的边AB上，若EB＝1，EC＝2，那么正方形ABCD的面
积为 ．
12．（3分）如图，在△ABC中，AB＝9，AC＝6，BC＝12，点M在AB边上，且AM＝3，过点M
第2页（共24页）作直线MN与AC边交于点N，使截得的三角形与原三角形相似，则MN＝ ．
13．（3分）已知反比例函数y＝ （k为常数，k≠0），函数y与自变量x的部分对应值如下表：
x … 1 2 4 8 …
y … 8 4 2 1 …
则当﹣4＜y＜﹣1时，x的取值范围是 ．
三、解答题（每小题5分，共81分）
14．（5分）解方程：（x﹣1）2+2x（x﹣1）2＝0．
15．（5分）计算： cos45°+（1﹣ ）0+ +|1﹣ |．
π
16．（6分）画出如图几何体从不同方向看到的形状图．
17．（5分）有一个人患了流感，经过两轮传染后有若干人被传染上流感．假设在每轮的传染
中平均一个人传染了x个人．
（1）第二轮被传染上流感人数是 ；（用含x的代数式表示）
（2）在进入第二轮传染之前，如果有4名患者被及时隔离（未治愈），经过两轮传染后是否
会有81人患病的情况发生，并说明理由．
18．（5分）矩形ABCD中AB＝10，BC＝8，E为AD边上一点，沿CE将△CDE对折，使点D正
好落在AB边上，求tan∠AFE．
第3页（共24页）19．（5分）已知△ABC和点A'，如图以点A'为一个顶点作△A'B'C'，使△A'B'C'∽△ABC，且
△A'B'C'的面积等于△ABC面积的4倍，并说明你这样作图的理由（要求：尺规作图，不写
作法，保留作图痕迹）
20．（5分）如图，在△ABC中，AB＝AC，BD＝CD，CE⊥AB于E．求证：△ABD∽△CBE．
21．（6分）如图，直线y＝x+b与双曲线y＝ （k≠0）交于A、B两点，且点A的坐标为（2，3）．
（1）求双曲线与直线的解析式；
（2）求点B的坐标；
（3）若x+b＞ ，直接写出x的取值范围．
22．（6分）小明想利用所学的知识来求出树的高度．如图，他观察到小树AB在路灯C的照射
第4页（共24页）下形成投影BE．若根据灯杆的指示牌，已知路灯的高度CD＝6米，测得树影BE＝3.6米，
树与路灯的水平距离BD＝4米，则树高AB为多少？
23．（7分）2021年，黄冈、咸宁、孝感三市实行中考联合命题，为确保联合命题的公平性，决
定采取三轮抽签的方式来确定各市选派命题组长的学科．第一轮，各市从语文、数学、英
语三个学科中随机抽取一科；第二轮，各市从物理、化学、历史三个学科中随机抽取一科；
第三轮，各市从道德与法治、地理、生物三个学科中随机抽取一科．
（1）黄冈在第一轮抽到语文学科的概率是 ；
（2）用画树状图或列表法求黄冈在第二轮和第三轮抽签中，抽到的学科恰好是历史和地理
的概率．
24．（8分）如图，菱形ABCD的对角线AC和BD交于点O，分别过点C、D作CE∥BD，
DE∥AC，CE和DE交于点E．
（1）求证：四边形ODEC是矩形；
（2）当∠ADB＝60°，AD＝2 时，求EA的长．
25．（8分）在北京市开展的“首都少年先锋岗”活动中，某数学小组到人民英雄纪念碑站岗
执勤，并在活动后实地测量了纪念碑的高度，方法如下：如图，首先在测量点A处用高为
1.5米的测角仪AC测得人民英雄纪念碑MN顶部M的仰角为35°，然后在测量点B处用
同样的测角仪BD测得人民英雄纪念碑MN顶部M的仰角为45°，最后测量出A，B两点间
的距离为15m，并且N，B，A三点在一条直线上，连接CD并延长交MN于点E，请你利用
他们的测量结果，计算人民英雄纪念碑MN的高度．（参考依据：sin35°≈0.6，cos35°≈0.8，
tan35°≈0.7）
第5页（共24页）26．（10分）如图：点（1，3）在函数y＝ （x＞0）的图象上，矩形ABCD的边BC在x轴上，E是
对角线BD的中点，函数y＝ （x＞0）的图象又经过A、E两点，点E的横坐标为m，解答
下列问题：
（1）直接写出k的值，k＝ ；
（2）求点A的坐标；（用含m代数式表示）
（3）当m＝ 时，求证：矩形ABCD是正方形．
第6页（共24页）2021-2022学年陕西省宝鸡市凤翔县九年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题3分，计24分）
1．（3分）下列立体图形中，主视图为矩形的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据各个几何体的主视图的形状进行判断即可．
【解答】解：球体的主视图是圆形，圆台的主视图是等腰梯形，圆柱的主视图是矩形，圆锥
的主视图是等腰三角形，
故选：C．
【点评】本题考查简单几何体的三视图，理解三种视图的意义是正确解答的前提．
2．（3分）将锐角三角形三边扩大同样的倍数，得到的新三角形是（ ）
A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．任意三角形
【分析】因为锐角三角形三边扩大同样的倍数，而角的度数不会变，所以得到的新的三角
形是锐角三角形．
【解答】解：因为角的度数和它的两边的长短无关，所以得到的新三角形应该是锐角三角
形，
故选：B．
【点评】本题考查了三角形，熟练掌握三角形的定义是解题的关键．
3．（3分）函数 的图象不经过（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【分析】首先根据反比例函数的性质可得双曲线在第二四象限，根据函数解析式可得把y
＝﹣ 的图象向上平移两个单位可得 的图象，因此图象在第一、二、四象限，进
而得到答案．
【解答】解：∵y＝﹣ 中k＝﹣3＜0，
第7页（共24页）∴双曲线在第二四象限，
把y＝﹣ 的图象向上平移两个单位可得 的图象，
∴图象在第一、二、四象限，
不经过第三象限，
故选：C．
【点评】此题主要考查了反比例函数的性质，关键是掌握对于反比例函数 （k≠0），
（1）k＞0，反比例函数图象在一、三象限；（2）k＜0，反比例函数图象在第二、四象限内．
4．（3分）一个布袋里装有5个红球、3个黄球和2个白球，除颜色外其他都相同．搅匀后任意
摸出一个球，是白球的概率为（ ）
A． B． C． D．
【分析】直接利用概率公式计算可得．
【解答】解：搅匀后任意摸出一个球，是白球的概率为 ＝ ，
故选：C．
【点评】本题主要考查概率公式，解题的关键是掌握随机事件A的概率P（A）＝事件A可
能出现的结果数÷所有可能出现的结果数．
5．（3分）方程x2﹣2x﹣5＝1经配方后，可化为（ ）
A．（x﹣1）2＝7 B．（x+1）2＝7 C．（x﹣1）2＝4 D．（x+1）2＝4
【分析】将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后
即可得出答案．
【解答】解：∵x2﹣2x﹣5＝1，
∴x2﹣2x＝6，
则x2﹣2x+1＝6+1，即（x﹣1）2＝7，
故选：A．
【点评】本题主要考查解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有：直接开平方法、因
式分解法、公式法及配方法，解题的关键是根据方程的特点选择简便的方法．
6．（3分）如图，路灯距地面8米，身高1.6米的小明从距离灯底（点O）20米的点A处，沿AO
所在直线行走12米到达点B时，小明身影长度（ ）
第8页（共24页）A．变长2.5米 B．变短2米 C．变短2.5米 D．变短3米
【分析】先根据OF⊥OM，DA⊥OM可得出△ADM∽△OFM，利用相似三角形的对应边成
比例可求出AM的长，同理可求出BN的长，再求出AM与BN的差即可．
【解答】解：∵OF⊥OM，DA⊥OM，
∴OF∥AD，
∴△ADM∽△OFM，
∴ ＝ ，即 ＝ ，
解得AM＝5m；
同理可得，∴△BNE∽△ONF，
∴ ＝
即 ＝ ，
解得BN＝2m，
∴AM﹣BN＝5﹣2＝3m．
故选：D．
【点评】本题考查的是相似三角形在实际生活中的应用，根据题意得出相似三角形，再利
用相似三角形的对应边成比例求解是解答此题的关键．
第9页（共24页）7．（3分）如图，AD∥BE∥FC，直线l 、l 分别与三条平行线交于点A、B、C和点D、E、F，若
1 2
AB＝3，BC＝5，DF＝12，则EF的长为（ ）
A．4.5 B．6 C．7.5 D．8
【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，把已知数据代入计算即可．
【解答】解：∵AB＝3，BC＝5，
∴AC＝AB+BC＝8，
∵AD∥BE∥FC，
∴ ＝ ，即 ＝ ，
解得：EF＝7.5，
故选：C．
【点评】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的
关键．
8．（3分）如图，在平面直角坐标系中，长方形OABC的顶点O在坐标原点，顶点A在y轴的
正半轴上，顶点C在x轴的负半轴上，OA＝2，OC＝4，D为OC边的中点，E是OA边上的
一个动点，当线段BE+DE的值最小时，E点坐标为（ ）
A．（0， ） B．（0，1） C．（0，2） D．（0， ）
【分析】如图，作点D关于OA的对称点D′，把问题转化为两点之间线段最短．
【解答】解：如图，作点D关于OA的对称点D′，连接BD′交AO于点E，连接ED，此时
BE+DE的值最小．
第10页（共24页）∵四边形ABCO是矩形，
∴∠BCD＝90°，BC＝OA＝2，
∵CD＝OD＝OD′＝2，
∴CD′＝6，
∵OE∥BC，
∴ ＝ ，
∴ ＝ ，
∴OE＝ ，
∴E（0， ）．
故选：A．
【点评】本题考查轴对称﹣最短问题，坐标与图形性质，矩形的性质，平行分线段成比例定
理等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决最短问题，属于中考常考题型．
二、填空题（每小题3分，共15分）
9．（3分）已知关于x的方程x2﹣2x+2k＝0的一个根是1，则k＝ ．
【分析】根据一元二次方程的解的定义，将x＝1代入关于x的方程，列出关于k的一元一
次方程，通过解该方程，即可求得k的值．
【解答】解：根据题意，得
x＝1满足关于x的方程x2﹣2x+2k＝0，则
1﹣2+2k＝0，
解得，k＝ ；
故答案是： ．
第11页（共24页）【点评】本题考查了一元二次方程的解的定义．解答该题时，实际上是通过待定系数法求
得k的值．
10．（3分）如图是某个几何体的三视图，该几何体是 圆锥 ．
【分析】由主视图和左视图确定是柱体，锥体还是球体，再由俯视图确定具体形状．
【解答】解：主视图和左视图都是等腰三角形，那么此几何体为锥体，由俯视图为圆，可得
此几何体为圆锥，
故答案为：圆锥．
【点评】本题主要考查了根据三视图判定几何体，关键是熟练掌握三视图，主视图、左视图、
俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形是解答此题的关键．
11．（3分）如图，点E在正方形ABCD的边AB上，若EB＝1，EC＝2，那么正方形ABCD的面
积为 3 ．
【分析】根据勾股定理求出BC，根据正方形的面积公式计算即可．
【解答】解：由勾股定理得，BC＝ ＝ ，
∴正方形ABCD的面积＝BC2＝3，
故答案为：3．
【点评】本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为
c，那么a2+b2＝c2．
12．（3分）如图，在△ABC中，AB＝9，AC＝6，BC＝12，点M在AB边上，且AM＝3，过点M
作直线MN与AC边交于点N，使截得的三角形与原三角形相似，则MN＝ 4 或 6 ．
第12页（共24页）【分析】分别利用，当MN∥BC时，以及当∠ANM＝∠B时，分别得出相似三角形，再利用
相似三角形的性质得出答案．
【解答】解：如图1，当MN∥BC时，
则△AMN∽△ABC，
故 ＝ ＝ ，
则 ＝ ，
解得：MN＝4，
如图2所示：当∠ANM＝∠B时，
又∵∠A＝∠A，
∴△ANM∽△ABC，
∴ ＝ ，
即 ＝ ，
解得：MN＝6，
故答案为：4或6．
【点评】此题主要考查了相似三角形判定，正确利用分类讨论得出是解题关键．
第13页（共24页）13．（3分）已知反比例函数y＝ （k为常数，k≠0），函数y与自变量x的部分对应值如下表：
x … 1 2 4 8 …
y … 8 4 2 1 …
则当﹣4＜y＜﹣1时，x的取值范围是 ﹣ 8 ＜ x ＜﹣ 2 ．
【分析】由反比例函数图象上点的坐标特征得到k＝xy＝8，所以将y＝﹣4和y＝﹣1代入
函数解析式，即可得到相应的x的值，即x的极值，从而得到x的取值范围．
【解答】解：从表格中的数据知，k＝xy＝8，
则该反比例函数解析式为：y＝ ．
把y＝﹣4代入得到：x＝﹣2，
把y＝﹣1代入得到：x＝﹣8，
故x的取值范围为：﹣8＜x＜﹣2．
故答案是：﹣8＜x＜﹣2．
【点评】考查了反比例函数图象上点的坐标特征和反比例函数的性质．图象上的点（x，y）
的横纵坐标的积是定值k，即xy＝k．
三、解答题（每小题5分，共81分）
14．（5分）解方程：（x﹣1）2+2x（x﹣1）2＝0．
【分析】方程利用因式分解法求出解即可．
【解答】解：（x﹣1）2+2x（x﹣1）2＝0，
分解因式得：（x﹣1）2（1+2x）＝0，
所以x﹣1＝0或者1+2x＝0，
解得：x ＝1，x ＝﹣ ．
1 2
【点评】此题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的
关键．
15．（5分）计算： cos45°+（1﹣ ）0+ +|1﹣ |．
π
【分析】先算特殊角的三角函数值、零次幂、二次根式和绝对值，再算加减．
【解答】解： cos45°+（1﹣ ）0+ +|1﹣ |
π
＝
第14页（共24页）＝
＝ ．
【点评】此题考查了特殊角的三角函数值、零次幂、二次根式、绝对值等综合计算能力，关
键是能对以上知识准确理解、计算．
16．（6分）画出如图几何体从不同方向看到的形状图．
【分析】根据简单组合体的三视图的画法画出相应的图形即可．
【解答】解：这个组合体的三视图如下：
【点评】本题考查简单组合体的三视图，理解视图的定义，掌握简单组合体的三视图的画
法是正确解答的前提．
17．（5分）有一个人患了流感，经过两轮传染后有若干人被传染上流感．假设在每轮的传染
中平均一个人传染了x个人．
（1）第二轮被传染上流感人数是 x （ x + 1 ） ；（用含x的代数式表示）
（2）在进入第二轮传染之前，如果有4名患者被及时隔离（未治愈），经过两轮传染后是否
会有81人患病的情况发生，并说明理由．
【分析】（1）利用第二轮被传染上流感人数＝在每轮的传染中平均一个人传染的人数×
（第一轮被传染上流感人数+1），即可用含x的代数式表示出第二轮被传染上流感人数；
第15页（共24页）（2）经过两轮传染后会有81人患病的情况发生，利用经过两轮传染后患病的人数＝1+第
一轮被传染上流感人数+第二轮被传染上流感人数，即可得出关于x的一元二次方程，解
之即可得出x的值，由其正值为正整数，可得出第二轮传染后会有81人患病的情况发生．
【解答】解：（1）∵在每轮的传染中平均一个人传染了x个人，
∴第一轮被传染上流感人数是x，第二轮被传染上流感人数是x（x+1）．
故答案为：x（x+1）．
（2）经过两轮传染后会有81人患病的情况发生，理由如下：
依题意得：1+x+x（x+1﹣4）＝81，
整理得：x2﹣2x﹣80＝0，
解得：x ＝10，x ＝﹣8（不合题意，舍去），
1 2
∵x ＝10为正整数，
1
∴第二轮传染后会有81人患病的情况发生．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用以及列代数式，解题的关键是：（1）根据各数量之
间的关系，用含x的代数式表示出第二轮被传染上流感人数；（2）找准等量关系，正确列
出一元二次方程．
18．（5分）矩形ABCD中AB＝10，BC＝8，E为AD边上一点，沿CE将△CDE对折，使点D正
好落在AB边上，求tan∠AFE．
【分析】根据题意，结合折叠的性质，易得∠AFE＝∠BCF，进而在Rt△BFC中，有BC＝8，
CF＝10，由勾股定理易得BF的长，根据三角函数的定义，易得tan∠BCF的值，借助
∠AFE＝∠BCF，可得tan∠AFE的值．
【解答】解：根据图形有：∠AFE+∠EFC+∠BFC＝180°，
根据折叠的性质，∠EFC＝∠EDC＝90°，
即∠AFE+∠BFC＝90°，
而Rt△BCF中，有∠BCF+∠BFC＝90°，
易得∠AFE＝∠BCF，
在Rt△BFC，
根据折叠的性质，有CF＝CD，
第16页（共24页）在Rt△BFC中，BC＝8，CF＝CD＝10，
由勾股定理易得：BF＝6，
则tan∠BCF＝ ；
故有tan∠AFE＝tan∠BCF＝ ；
答：tan∠AFE＝ ．
【点评】本题考查折叠的性质，注意在折叠变化中，线段的位置一定变化与长度是否变化，
及变化前后的关系．
19．（5分）已知△ABC和点A'，如图以点A'为一个顶点作△A'B'C'，使△A'B'C'∽△ABC，且
△A'B'C'的面积等于△ABC面积的4倍，并说明你这样作图的理由（要求：尺规作图，不写
作法，保留作图痕迹）
【分析】根据尺规作图的过程和相似三角形的性质即可画出图形．
【解答】解：作线段A'C'＝2AC、A'B'＝2AB、B'C'＝2BC，△A'B'C'即可所求．
证明：∵A'C'＝2AC、A'B'＝2AB、B'C'＝2BC，
∴ ＝ ＝ ＝2．
∴△ABC∽△A'B'C'，
∴ ＝（ ）2＝4．
【点评】本题考查了复杂作图、三角形相似、三角形的面积，解决本题的关键是相似三角形
面积的比等于相似比的平方．
20．（5分）如图，在△ABC中，AB＝AC，BD＝CD，CE⊥AB于E．求证：△ABD∽△CBE．
第17页（共24页）【分析】根据等腰三角形三线合一的性质可得AD⊥BC，然后求出∠ADB＝∠CEB＝90°，
再根据两组角对应相等的两个三角形相似证明．
【解答】证明：在△ABC中，AB＝AC，BD＝CD，
∴AD⊥BC，
∵CE⊥AB，
∴∠ADB＝∠CEB＝90°，
又∵∠B＝∠B，
∴△ABD∽△CBE．
【点评】本题考查了相似三角形的判定，等腰三角形三线合一的性质，比较简单，确定出两
组对应相等的角是解题的关键．
21．（6分）如图，直线y＝x+b与双曲线y＝ （k≠0）交于A、B两点，且点A的坐标为（2，3）．
（1）求双曲线与直线的解析式；
（2）求点B的坐标；
（3）若x+b＞ ，直接写出x的取值范围．
【分析】（1）把A的坐标代入一次函数与反比例函数的解析式即可求出解析式；
（2）把一次函数与反比例函数的解析式联立得出方程组，求出方程组的解即可；
第18页（共24页）（3）根据A、B的坐标结合图象即可得出答案．
【解答】解：（1）把点A的坐标（2，3）代入一次函数的解析式中，可得：3＝2+b，解得：b＝1，
所以一次函数的解析式为：y＝x+1；
把点A的坐标（2，3）代入反比例函数的解析式中，可得：k＝6，
所以反比例函数的解析式为：y＝ ；
（2）把一次函数与反比例函数的解析式联立得出方程组 ，
解得： 或 ，
所以点B的坐标为（﹣3，﹣2）；
（3）由图象可知，若x+b＞ ，则x的范围是：﹣3＜x＜0或x＞2．
【点评】本题考查了一次函数与反比例函数的解析式，用待定系数法求出一次函数的解析
式，函数的图形等知识点的应用，主要考查学生的计算能力和观察图形的能力，用了数形
结合思想．
22．（6分）小明想利用所学的知识来求出树的高度．如图，他观察到小树AB在路灯C的照射
下形成投影BE．若根据灯杆的指示牌，已知路灯的高度CD＝6米，测得树影BE＝3.6米，
树与路灯的水平距离BD＝4米，则树高AB为多少？
【分析】利用相似三角形的性质求解即可．
【解答】解：∵AB∥CD，
∴△CED∽△AEB，
∴ ＝ ，
∴ ＝ ，
第19页（共24页）∴AB＝ （m），
答：树高AB为 米．
【点评】本题考查中心投影，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基
本知识，属于中考常考题型．
23．（7分）2021年，黄冈、咸宁、孝感三市实行中考联合命题，为确保联合命题的公平性，决
定采取三轮抽签的方式来确定各市选派命题组长的学科．第一轮，各市从语文、数学、英
语三个学科中随机抽取一科；第二轮，各市从物理、化学、历史三个学科中随机抽取一科；
第三轮，各市从道德与法治、地理、生物三个学科中随机抽取一科．
（1）黄冈在第一轮抽到语文学科的概率是 ；
（2）用画树状图或列表法求黄冈在第二轮和第三轮抽签中，抽到的学科恰好是历史和地理
的概率．
【分析】（1）直接根据概率公式求解即可；
（2）列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．
【解答】解：（1）黄冈在第一轮抽到语文学科的概率是 ，
故答案为： ；
（2）列表如下：
物理 化学 历史
道法 （物理，道法） （化学，道法） （历史，道法）
地理 （物理，地理） （化学，地理） （历史，地理）
生物 （物理，生物） （化学，生物） （历史，生物）
由表可知共有9种等可能结果，其中抽到的学科恰好是历史和地理的只有1种结果，
第20页（共24页）所以抽到的学科恰好是历史和地理的概率为 ．
【点评】本题考查了列表法或树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求
出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式求出事件A或B的概
率．
24．（8分）如图，菱形ABCD的对角线AC和BD交于点O，分别过点C、D作CE∥BD，
DE∥AC，CE和DE交于点E．
（1）求证：四边形ODEC是矩形；
（2）当∠ADB＝60°，AD＝2 时，求EA的长．
【分析】（1）先证四边形ODEC是平行四边形，然后根据菱形的对角线互相垂直，得到
∠DOC＝90°，根据矩形的定义即可判定四边形ODEC是矩形．
（2）根据含30度角直角三角形的性质、勾股定理来求EA的长度即可．
【解答】（1）证明：∵CE∥BD，DE∥AC，
∴四边形ODEC是平行四边形．
又∵菱形ABCD，
∴AC⊥BD，∴∠DOC＝90°．
∴四边形ODEC是矩形．
（2）解：
【点评】本题考查了菱形的性质，矩形的判定与性质，勾股定理的应用，是基础题，熟记矩
形的判定方法与菱形的性质是解题的关键．
第21页（共24页）25．（8分）在北京市开展的“首都少年先锋岗”活动中，某数学小组到人民英雄纪念碑站岗
执勤，并在活动后实地测量了纪念碑的高度，方法如下：如图，首先在测量点A处用高为
1.5米的测角仪AC测得人民英雄纪念碑MN顶部M的仰角为35°，然后在测量点B处用
同样的测角仪BD测得人民英雄纪念碑MN顶部M的仰角为45°，最后测量出A，B两点间
的距离为15m，并且N，B，A三点在一条直线上，连接CD并延长交MN于点E，请你利用
他们的测量结果，计算人民英雄纪念碑MN的高度．（参考依据：sin35°≈0.6，cos35°≈0.8，
tan35°≈0.7）
【分析】在Rt△MED中，由∠MDE＝45°知ME＝DE，据此设ME＝DE＝x，则EC＝x+15，
在Rt△MEC中，由ME＝EC•tan∠MCE知x≈0.7（x+15），解之求得x的值，根据MN＝
ME+EN可得答案．
【解答】解：由题意得四边形ABDC、ACEN是矩形，
∴EN＝AC＝1.5，AB＝CD＝15，
在Rt△MED中，∠MED＝90°，∠MDE＝45°，
∴ME＝DE，
设ME＝DE＝x，则EC＝x+15，
在Rt△MEC中，∠MEC＝90°，∠MCE＝35°，
∵ME＝EC•tan∠MCE，
∴x≈0.7（x+15），
解得：x≈35，
∴ME≈35，
∴MN＝ME+EN≈36.5，
答：人民英雄纪念碑MN的高度约为36.5米．
【点评】本题考查了解直角三角形中的仰俯角问题，解题的关键是从实际问题中整理出直
角三角形并利用解直角三角形的知识解题．
26．（10分）如图：点（1，3）在函数y＝ （x＞0）的图象上，矩形ABCD的边BC在x轴上，E是
第22页（共24页）对角线BD的中点，函数y＝ （x＞0）的图象又经过A、E两点，点E的横坐标为m，解答
下列问题：
（1）直接写出k的值，k＝ 3 ；
（2）求点A的坐标；（用含m代数式表示）
（3）当m＝ 时，求证：矩形ABCD是正方形．
【分析】（1）把（1，3）代入反比例函数解析式即可；
（2）BG＝CG，求出OB即可，A在反比例函数解析式上，求出AB，即A的纵坐标，代入反比
例函数解析式即可求出A的横坐标；
（3）当m＝ 时，点A（ ， ），点E（ ， ）则点B（ ，0），AB＝ ，由
B、E的坐标求得D的坐标，进而即可求得AD＝ ，即可证得AB＝BD，从而证得矩形
ABCD是正方形．
【解答】解：（1）由函数y＝ （x＞0）的图象过点（1，3），
∴k＝1×3＝3，
故答案为：3；
（2）如图，连接AC，则AC过E，过E作EG⊥BC交BC于G点
∵点E的横坐标为m，E在双曲线y＝ 上，
∴E的纵坐标是y＝ ，
∵E为BD中点，
∴由平行四边形性质得出E为AC中点，
∴BG＝GC＝ BC，
∴AB＝2EG＝ ，
第23页（共24页）即A点的纵坐标是 ，
代入双曲线y＝ 得：A的横坐标是 m，
∴A（ m， ）；
（3）当m＝ 时，点A（ ， ），点E（ ， ），
∴点B（ ，0），AB＝ ，
∵E为BD中点，
∴点D（ ， ），
∴AD＝ ﹣ ＝ ，
∴AB＝AD
∴矩形ABCD是正方形．
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，待定系数法求反比例函数的解析式，
矩形的性质，求得点的坐标是解题的关键．
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