文档内容
2021-2022学年陕西省宝鸡市渭滨区九年级（上）期末数学试卷
一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题意的）
1．（3分）如图，该几何体的主视图是（ ）
A． B．
C． D．
2．（3分）下列函数不是反比例函数的是（ ）
A．y＝ B．y＝ C．y＝5x﹣1 D．xy＝10
3．（3分）一元二次方程2x2+3x＝1化为一般式后的a、b、c依次为（ ）
A．2，﹣3，1 B．2，3，﹣1 C．﹣2，﹣3，﹣1 D．﹣2，3，1
4．（3分）某商品经过连续两次降价，销售单价由原来的125元降到80元．设平均每次降价的
百分率为x，根据题意列出的方程是（ ）
A．125（1﹣x）2＝80 B．80（1﹣x）2＝125
C．125（1+x）2＝80 D．125（1﹣x2）＝80
5．（3分）已知点C是线段AB的黄金分割点，且AB＝2，AC＜BC，则AC长是（ ）
A． B． ﹣1 C．3﹣ D．
6．（3分）如图，△ABC的中线BE、CF交于点O，连接EF，则 的值为（ ）
第1页（共24页）A． B． C． D．
7．（3分）如图，反比例函数 的图象经过A（﹣1，﹣2），则以下说法错误的是（ ）
A．k＝2 B．x＞0，y随x的增大而减小
C．图象也经过点B（2，1） D．当x＜﹣1时，y＜﹣2
8．（3分）如图，在矩形ABCD中，点E为AD上一点，且AB＝8，AE＝3，BC＝4，点P为AB边
上一动点，连接PC、PE，若△PAE与△PBC是相似三角形，则满足条件的点P的个数为（
）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分）
9．（3分）如图，在菱形ABCD中，AC与BD交于点O，若AC＝8，BD＝6，则菱形ABCD的面
积为 ．
第2页（共24页）10．（3分）已知 ＝ ，且a+b＝22，则a的值为 ．
11．（3分）把一元二次方程x2+6x﹣1＝0通过配方化成（x+m）2＝n的形式为 ．
12．（3分）若sinA＝ ，则锐角∠A的度数为 ．
13．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AB＝8．若E、F是BC边上的两个动点，
以EF为边的等边△EFP的顶点P在△ABC内部或边上，则等边△EFP的周长的最大值
为 ．
三、解答题（共13小题，计81分，解答应写出过程）
14．（5分）计算：4cos230°+|2 ﹣4|+6× ．
15．（5分）解方程：x（x+1）﹣x＝1．
16．（5分）已知：△ABC．
求作：菱形DBEC，使菱形的顶点D落在AC边上．
结论： ．
17．（6分）现有A、B两个不透明的袋子，各装有三个小球，A袋中的三个小球上分别标记数
字2，3，4；B袋中的三个小球上分别标记数字3，4，5．这六个小球除标记的数字外，其余
完全相同．
（1）将A袋中的小球摇匀，从中随机摸出一个小球，则摸出的这个小球上标记的数字是偶
数的概率为 ；
（2）分别将A、B两个袋子中的小球摇匀，然后从A、B袋中各随机摸出一个小球，请利用画
树状图或列表的方法，求摸出的这两个小球标记的数字之和为7的概率．
18．（6分）点P在反比例函数 （k≠0）的图象上，点Q（2，4）与点P关于y轴对称，求反比
第3页（共24页）例函数的表达式．
19．（5分）如图，已知平行四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，E是BD延长线上的点，
且△ACE是等边三角形．
求证：四边形ABCD是菱形．
20．（5分）如图，有一轮船在A处测得南偏东30°方向上有一小岛F，轮船沿正南方向航行至
B处，测得小岛F在南偏东45°方向上，接原方向再航行10海里至C处，测得小岛F在正
东方向上，求A，B之间的距离．（结果保留根号）
21．（8分）如图，路灯OP在BC左侧，路灯P距地面8米，当身高1.6米的小明在点A时影长
为AM，距离灯的底部O点20米，小明沿AB所在的直线从点A行走14米到点B处时，影
长为BN，
（1）请你画出灯杆OP位置；（保留作图痕迹）
（2）求此时人影的长度BN．
22．（5分）关于x的一元二次方程x2﹣（k﹣3）x﹣2k+2＝0．请说明方程实数根的情况并加以
证明．
23．（7分）为改善生态环境，建设美丽乡村，某村规划将一块长18米，宽10米的矩形场地建
设成绿化广场，如图，内部修建三条宽相等的小路，其中一条路与广场的长平行，另两条
第4页（共24页）路与广场的宽平行，其余区域种植绿化，使绿化区域的面积为广场总面积的80%．
（1）求该广场绿化区域的面积；
（2）求广场中间小路的宽．
24．（7分）已知A（﹣3，4），B（n，﹣2）是一次函数y＝kx+b的图象和反比例函数y＝ 的图象
的两个交点，直线AB与x轴交于点C．
（1）求反比例函数和一次函数的关系式；
（2）连接OB，求△AOB的面积．
25．（5分）如图，在边长为1的正方形网格中建立平面直角坐标系，已知△ABC三个顶点分
别为A（﹣2，1）、B（1，2），C（﹣4，4）．
（1）画出△ABC关于x轴对称的△A B C ；
1 1 1
（2）以原点O为位似中心，在x轴的下方画出△A B C ，使△A B C 与△ABC位似，且位
2 2 2 2 2 2
似比为2，并写出A ，B ，C 的坐标．
2 2 2
第5页（共24页）26．（12分）问题提出：如图，在锐角△ABC中，如何作一个正方形DEFG，使D，E落在BC边
上，F，G分别落在AC，AB边上？
勤奋小组同学给出了如下作法：①画一个有三个顶点落在△ABC两边上的正方形HIJK；
②连接BJ，并延长交AC于点F；③过点F作EF⊥BC于点E；④过F作FG∥BC，交AB
于点G；⑤过点G作GD⊥BC于点D，则四边形DEFG即为所求作的正方形．
受勤奋小组同学的启发，创新小组同学认为可以在锐角△ABC中，作出长与宽的比为2：1
的矩形DEFG，使D，E位于边BC上，F，G分别位于边AC，AB上．
（1）你认为勤奋小组同学的作法正确吗？请说明理由；
（2）请你帮助创新小组同学在在锐角△ABC中，作出所有满足长与宽的比为2：1的矩形
DEFG，使D，E位于边BC上，F，G分别位于边AC，AB上．（在备用图中完成，不写作法，
保留作图痕迹）
解决问题：
（3）在（2）的条件下，已知△ABC的面积为36，BC＝12，求出矩形DEFG的面积．
第6页（共24页）2021-2022学年陕西省宝鸡市渭滨区九年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题意的）
1．（3分）如图，该几何体的主视图是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案．
【解答】解：从正面看，可得如下图形：
故选：C．
【点评】本题考查了简单组合体的三视图，从正面看得到的图形是主视图．
2．（3分）下列函数不是反比例函数的是（ ）
A．y＝ B．y＝ C．y＝5x﹣1 D．xy＝10
【分析】根据反比例函数的定义，知道反比例函数的形式有：y＝ （k为常数，k≠0）或y＝
kx﹣1（k为常数，k≠0）或xy＝k（k为常数，k≠0）．
【解答】解：A，C，D选项都是反比例函数的形式，故A，C，D选项都不符合题意；
B选项不是反比例函数的形式，它是正比例函数，故该选项符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查了反比例函数的定义，掌握反比例函数的三种形式是解题的关键．
第7页（共24页）3．（3分）一元二次方程2x2+3x＝1化为一般式后的a、b、c依次为（ ）
A．2，﹣3，1 B．2，3，﹣1 C．﹣2，﹣3，﹣1 D．﹣2，3，1
【分析】先把方程化为一元二次方程的一般形式，再确定a、b、c．
【解答】解：∵方程2x2+3x＝1化为一般形式为：2x2+3x﹣1＝0，
∴a＝2，b＝3，c＝﹣1．
故选：B．
【点评】本题考查了一元二次方程的一般形式．一元二次方程的一般形式为ax2+bx+c＝0
（a ≠0）．其中a、b分别是二次项和一次项系数，c为常数项．
4．（3分）某商品经过连续两次降价，销售单价由原来的125元降到80元．设平均每次降价的
百分率为x，根据题意列出的方程是（ ）
A．125（1﹣x）2＝80 B．80（1﹣x）2＝125
C．125（1+x）2＝80 D．125（1﹣x2）＝80
【分析】设平均每次降价的百分率为x，则原价×（1﹣x）2＝现价，据此列方程．
【解答】解：设平均每次降价的百分率为x，
由题意得，125（1﹣x）2＝80．
故选：A．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解答本题的关键是读懂题意，设出
未知数，找出合适的等量关系，列方程．
5．（3分）已知点C是线段AB的黄金分割点，且AB＝2，AC＜BC，则AC长是（ ）
A． B． ﹣1 C．3﹣ D．
【分析】根据黄金分割的定义：点C把线段AB分成两条线段AC和BC（AC＜BC），且使
BC是AB和AC的比例中项（即AB•BC＝BC•AC），叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线
段AB的黄金分割点．其中BC＝ AB≈0.618AB．
【解答】解：∵点C是线段AB的黄金分割点，
且AB＝2，AC＜BC，
BC2＝AC•AB
（2﹣AC）2＝2AC
AC2﹣6AC+4＝0
解得AC＝3+ （舍去）或3﹣
第8页（共24页）则AC长是3﹣ ．
故选：C．
【点评】本题考查了黄金分割，解决本题的关键是掌握黄金分割定义．
6．（3分）如图，△ABC的中线BE、CF交于点O，连接EF，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【分析】先根据三角形中位线的性质得到EF∥BC，EF＝ BC，则可判断△OEF∽△OBC，
利用相似比得到 ＝ ，然后根据比例的性质得到 的值．
【解答】解：∵中线BE、CF交于点O，
∴EF为△ABC的中位线，
∴EF∥BC，EF＝ BC，
∴△OEF∽△OBC，
∴ ＝ ＝ ，
∴ ＝ ．
故选：B．
【点评】本题考查了三角形的重心：三角形的重心是三角形三边中线的交点；重心到顶点
的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1．也考查了相似三角形的判定与性质．
7．（3分）如图，反比例函数 的图象经过A（﹣1，﹣2），则以下说法错误的是（ ）
第9页（共24页）A．k＝2 B．x＞0，y随x的增大而减小
C．图象也经过点B（2，1） D．当x＜﹣1时，y＜﹣2
【分析】把A（﹣1，﹣2）代入反比例函数的解析式能求出k，把A的坐标代入一次函数的解
析式得出关于k的方程，求出方程的解即可．
【解答】解：把A（﹣1，﹣2）代入反比例函数的解析式得：k＝xy＝2，故A正确；
∵k＝2＞0，
∴y随x的增大而减小，
∴x＞0，y随x的增大而减小，故B正确；
∵反比例函数的解析式为y＝ ，
把x＝2代入求得y＝1，
∴图象也经过点B（2，1），故C正确；
由图象可知x＜﹣1时，则y＞﹣2，故D错误；
故选：D．
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，主要考查反比例函数的性质，题目
较好，难度适中．
8．（3分）如图，在矩形ABCD中，点E为AD上一点，且AB＝8，AE＝3，BC＝4，点P为AB边
上一动点，连接PC、PE，若△PAE与△PBC是相似三角形，则满足条件的点P的个数为（
）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】设AP＝x，则BP＝8﹣x，分△PAE∽△PBC和△PAE∽△CBP两种情况，根据相似
第10页（共24页）三角形的性质列出比例式，计算即可．
【解答】解：设AP＝x，则BP＝8﹣x，
当△PAE∽△PBC时， ＝ ，即 ＝ ，
解得，x＝ ，
当△PAE∽△CBP时， ＝ ，即 ＝ ，
解得，x＝2或6，
可得：满足条件的点P的个数有3个．
故选：C．
【点评】本题考查了相似三角形的性质，解答时，注意分情况讨论思想的灵活运用．
二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分）
9．（3分）如图，在菱形ABCD中，AC与BD交于点O，若AC＝8，BD＝6，则菱形ABCD的面
积为 2 4 ．
【分析】由菱形面积公式即可得出答案．
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
∵AC＝8，BD＝6，
∴菱形ABCD的面积为 AC×BD＝ ×8×6＝24；
故答案为：24．
【点评】本题考查了菱形的性质；熟记菱形面积公式是解题的关键．
10．（3分）已知 ＝ ，且a+b＝22，则a的值为 1 2 ．
【分析】根据题意设 ＝ ＝k（k≠0），得出a＝6k，b＝5k，求出k的值，然后求出a的值即
可．
第11页（共24页）【解答】解：设 ＝ ＝k（k≠0），
则a＝6k，b＝5k，
∵a+b＝22，
∴6k+5k＝22，
∴k＝2，
∴a＝6k＝6×2＝12．
故答案为：12．
【点评】此题考查了比例的性质，根据题意设出a＝6k，b＝5k是解题的关键．
11．（3分）把一元二次方程x2+6x﹣1＝0通过配方化成（x+m）2＝n的形式为 （ x + 3 ） 2 ＝ 1 0
．
【分析】根据配方法即可求出答案．
【解答】解：∵x2+6x﹣1＝0，
∴x2+6x＝1，
∴（x+3）2＝10，
故答案为：（x+3）2＝10
【点评】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法，本题属于
基础题型．
12．（3分）若sinA＝ ，则锐角∠A的度数为 30 ° ．
【分析】根据锐角三角函数值即可确定锐角的度数．
【解答】解：∵sinA＝ ，
∴锐角∠A的度数为30°．
故答案为：30°．
【点评】本题考查了特殊角的三角函数值，一些特殊角的三角函数值是需要我们熟练记忆
的内容．
13．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AB＝8．若E、F是BC边上的两个动点，
以EF为边的等边△EFP的顶点P在△ABC内部或边上，则等边△EFP的周长的最大值
为 6 ．
第12页（共24页）【分析】当点F与C重合时，△EFP的边长最长，周长也最长，根据30°角所对的直角边是
斜边的一半可得AC＝4，AP＝2，再由勾股定理可得答案．
【解答】解：如图，
当点F与C重合时，△EFP的边长最长，周长也最长，
∵∠ACB＝90°，∠PFE＝60°，
∴∠PCA＝30°，
∵∠A＝60°，
∴∠APC＝90°，
△ABC中，AC＝ AB＝4，
△ACP中，AP＝ AC＝2，
∴PC＝ ＝ ＝2 ，
∴周长为2 ×3＝6 ．
故答案为：6 ．
【点评】本题考查含30°角的直角三角形的性质，运用勾股定理是解题关键．
三、解答题（共13小题，计81分，解答应写出过程）
14．（5分）计算：4cos230°+|2 ﹣4|+6× ．
【分析】首先代入特殊角的三角函数值，再利用绝对值的性质和二次根式的乘法法则进行
计算，最后计算加减即可．
【解答】解：原式＝4× +4﹣2 +2
＝4+3
第13页（共24页）＝7．
【点评】此题主要考查了二次根式的混合运算，关键是掌握特殊角的三角函数值和绝对值
的性质，注意计算顺序．
15．（5分）解方程：x（x+1）﹣x＝1．
【分析】先移项，再将左边利用提公因式法因式分解，继而可得两个关于x的一元一次方程，
分别求解即可得出答案．
【解答】解：∵x（x+1）﹣x＝1，
∴x（x+1）﹣（x+1）＝0，
则（x+1）（x﹣1）＝0，
∴x+1＝0或x﹣1＝0，
解得x ＝1，x ＝﹣1．
1 2
【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：
直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解
题的关键．
16．（5分）已知：△ABC．
求作：菱形DBEC，使菱形的顶点D落在AC边上．
结论： 菱形 DBEC 即为所求 ．
【分析】作BC的垂直平分线交AC于点D，连接DB，再分别以点B，C为圆心，BD长为半
径画弧交于点E，进而可得菱形DBEC．
【解答】解：如图，菱形DBEC即为所求．
第14页（共24页）故答案为：菱形DBEC即为所求．
【点评】本题考查作图﹣复杂作图，菱形的判定和性质等知识，解题的关键是掌握菱形的
判定和性质，属于中考常考题型．
17．（6分）现有A、B两个不透明的袋子，各装有三个小球，A袋中的三个小球上分别标记数
字2，3，4；B袋中的三个小球上分别标记数字3，4，5．这六个小球除标记的数字外，其余
完全相同．
（1）将A袋中的小球摇匀，从中随机摸出一个小球，则摸出的这个小球上标记的数字是偶
数的概率为 ；
（2）分别将A、B两个袋子中的小球摇匀，然后从A、B袋中各随机摸出一个小球，请利用画
树状图或列表的方法，求摸出的这两个小球标记的数字之和为7的概率．
【分析】（1）直接由概率公式求解即可；
（2）画树状图，共有9种等可能的结果，摸出的这两个小球标记的数字之和为7的结果有
3种，再由概率公式求解即可．
【解答】解：（1）将A袋中的小球摇匀，从中随机摸出一个小球，则摸出的这个小球上标记
的数字是偶数的概率为 ，
故答案为： ；
（2）画树状图如下：
共有9种等可能的结果，摸出的这两个小球标记的数字之和为7的结果有3种，
∴摸出的这两个小球标记的数字之和为7的概率为 ＝ ．
【点评】本题考查了树状图法求概率，正确画出树状图是解题的关键，用到的知识点为：概
率＝所求情况数与总情况数之比．
18．（6分）点P在反比例函数 （k≠0）的图象上，点Q（2，4）与点P关于y轴对称，求反比
第15页（共24页）例函数的表达式．
【分析】先求出P点坐标，再把P点坐标代入反比例函数的解析式即可求出k的值，进而得
出结论．
【解答】解：∵点Q（2，4）和点P关于y轴对称，
∴P点坐标为（﹣2，4），
将（﹣2，4）代入解析式 得，k＝xy＝﹣2×4＝﹣8，
∴反比例函数解析式为 ．
【点评】本题考查的是待定系数法求反比例函数的解析式，反比例函数图象上点的坐标特
点，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．
19．（5分）如图，已知平行四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，E是BD延长线上的点，
且△ACE是等边三角形．
求证：四边形ABCD是菱形．
【分析】根据菱形的判定方法可得出答案．
【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，
∵△ACE是等边三角形，
∴EA＝EC，
∴BE⊥AC，
∴平行四边形ABCD是菱形．
【点评】本题考查了菱形的判定，等边三角形的性质，平行四边形的性质，熟练掌握菱形的
判定方法是解题的关键．
20．（5分）如图，有一轮船在A处测得南偏东30°方向上有一小岛F，轮船沿正南方向航行至
B处，测得小岛F在南偏东45°方向上，接原方向再航行10海里至C处，测得小岛F在正
东方向上，求A，B之间的距离．（结果保留根号）
第16页（共24页）【分析】根据等腰直角三角形的性质求出CF，根据正切的定义求出AC，结合图形计算，得
到答案．
【解答】解：在Rt△BCF中，∠BFC＝45°，
∴CF＝BC＝10，
在Rt△ACF中，tan∠CAF＝ ，即 ＝ ，
解得，AC＝10 ，
∴AB＝AC﹣BC＝10（ ﹣1），
答：A，B之间的距离为10（ ﹣1）海里．
【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣方向角问题，掌握方向角的概念、熟记锐角
三角函数的定义是解题的关键．
21．（8分）如图，路灯OP在BC左侧，路灯P距地面8米，当身高1.6米的小明在点A时影长
为AM，距离灯的底部O点20米，小明沿AB所在的直线从点A行走14米到点B处时，影
长为BN，
（1）请你画出灯杆OP位置；（保留作图痕迹）
（2）求此时人影的长度BN．
【分析】（1）小明在不同的位置时，均可构成两个相似三角形，可利用相似比求人影长度
的变化；
（2）证明△BCN∽△OPN，推出 ，由此可得结论．
【解答】解：（1）如图即为所求．
第17页（共24页）（2）解：∵OA＝20米，AB＝14米，
∴OB＝20﹣14＝6（米）．
∵BC∥OP，
∴△BCN∽△OPN，
∴ ，即 ，
解得BN＝1.5（米）
答：人影的长度为1.5米．
【点评】本题考查的是相似三角形的应用，测量不能到达顶部的物体的高度，通常利用相
似三角形的性质即相似三角形的对应边的比相等和“在同一时刻物高与影长的比相等”
的原理解决．
22．（5分）关于x的一元二次方程x2﹣（k﹣3）x﹣2k+2＝0．请说明方程实数根的情况并加以
证明．
【分析】方程总有两个实数根．计算方程根的判别式，利用根的判别式的符号进行证明即
可．
【解答】解：方程总有两个实数根．
理由如下：∵Δ＝b2﹣4ac＝（k﹣3）2﹣4（﹣2k+2）
＝k2﹣6k+9+8k﹣8
＝k2+2k+1
＝（k+1）2≥0．
所以方程总有两个实数根．
【点评】此题考查了根的判别式，关键是掌握一元二次方程根的情况与判别式△的关系：
（1）Δ＞0 方程有两个不相等的实数根；（2）Δ＝0 方程有两个相等的实数根；（3）Δ＜
0 方程没⇔有实数根． ⇔
23．（⇔7分）为改善生态环境，建设美丽乡村，某村规划将一块长18米，宽10米的矩形场地建
设成绿化广场，如图，内部修建三条宽相等的小路，其中一条路与广场的长平行，另两条
第18页（共24页）路与广场的宽平行，其余区域种植绿化，使绿化区域的面积为广场总面积的80%．
（1）求该广场绿化区域的面积；
（2）求广场中间小路的宽．
【分析】（1）根据该广场绿化区域的面积＝广场的长×广场的宽×80%，即可求出结论；
（2）设广场中间小路的宽为x米，根据矩形的面积公式（将绿化区域合成矩形），即可得出
关于x的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论．
【解答】解：（1）18×10×80%＝144（平方米）．
答：该广场绿化区域的面积为144平方米．
（2）设广场中间小路的宽为x米，
依题意，得：（18﹣2x）（10﹣x）＝144，
整理，得：x2﹣19x+18＝0，
解得：x ＝1，x ＝18（不合题意，舍去）．
1 2
答：广场中间小路的宽为1米．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题
的关键．
24．（7分）已知A（﹣3，4），B（n，﹣2）是一次函数y＝kx+b的图象和反比例函数y＝ 的图象
的两个交点，直线AB与x轴交于点C．
（1）求反比例函数和一次函数的关系式；
（2）连接OB，求△AOB的面积．
第19页（共24页）【分析】（1）把A点坐标代入反比例函数解析式可求得反比例函数解析式，则可求得B点
坐标，再由A、B两点坐标可求得一次函数解析式；
（2）根据一次函数解析式可求得C点的坐标，则可求得OC的长度，且根据S△AOB ＝
S△AOC +S△BOC 可求得△AOB的面积．
【解答】解：（1）∵A（﹣3，4）在反比例函数y＝ 的图象上，
∴m＝﹣3×4＝﹣12，
∴反比例函数的关系式为y＝﹣ ，
又∵B（n，﹣2）在反比例函数y＝ 的图象上，
∴n＝6，
又∵B（6，﹣2），A（﹣3，4）是一次函数y＝kx+b的上的点，
∴ ，
解得 ，
∴一次函数的关系式为y＝﹣ x+2；
（2）在y＝﹣ x+2中，令y＝0，则x＝3，
∴C（3，0），
∴CO＝3，
第20页（共24页）∴S△AOB ＝S△AOC +S△BOC ＝ ×3×4+ ＝9．
【点评】本题主要考查待定系数法求函数解析式，三角形的面积，掌握待定系数法求函数
解析式的关键是求得点的坐标．
25．（5分）如图，在边长为1的正方形网格中建立平面直角坐标系，已知△ABC三个顶点分
别为A（﹣2，1）、B（1，2），C（﹣4，4）．
（1）画出△ABC关于x轴对称的△A B C ；
1 1 1
（2）以原点O为位似中心，在x轴的下方画出△A B C ，使△A B C 与△ABC位似，且位
2 2 2 2 2 2
似比为2，并写出A ，B ，C 的坐标．
2 2 2
【分析】（1）分别作出三个顶点关于x轴的对称点，再首尾顺次连接即可；
（2）根据位似变换的定义分别作出三个顶点的对应点，再首尾顺次连接即可．
【解答】解：（1）如图所示，△A B C 即为所求．
1 1 1
第21页（共24页）（2）如图所示，△A B C 即为所求，A （4，﹣2），B （﹣2，﹣4），C （8，﹣8）．
2 2 2 2 2 2
【点评】本题主要考查作图—位似变换、轴对称变换，解题的关键是掌握位似变换与旋转
变换的定义及性质．
26．（12分）问题提出：如图，在锐角△ABC中，如何作一个正方形DEFG，使D，E落在BC边
上，F，G分别落在AC，AB边上？
勤奋小组同学给出了如下作法：①画一个有三个顶点落在△ABC两边上的正方形HIJK；
②连接BJ，并延长交AC于点F；③过点F作EF⊥BC于点E；④过F作FG∥BC，交AB
于点G；⑤过点G作GD⊥BC于点D，则四边形DEFG即为所求作的正方形．
受勤奋小组同学的启发，创新小组同学认为可以在锐角△ABC中，作出长与宽的比为2：1
的矩形DEFG，使D，E位于边BC上，F，G分别位于边AC，AB上．
（1）你认为勤奋小组同学的作法正确吗？请说明理由；
（2）请你帮助创新小组同学在在锐角△ABC中，作出所有满足长与宽的比为2：1的矩形
DEFG，使D，E位于边BC上，F，G分别位于边AC，AB上．（在备用图中完成，不写作法，
保留作图痕迹）
解决问题：
（3）在（2）的条件下，已知△ABC的面积为36，BC＝12，求出矩形DEFG的面积．
第22页（共24页）【分析】（1）由正方形的性质得出IJ＝KJ，KJ∥BC，由平行线分线段成比例定理得出
，则GF＝EF，可得出结论；
（2）按题意画出图形即可；
（3）若DE＝2DG，设AN＝x，则MN＝6﹣x，证明△AGF∽△ABC，由相似三角形的性质得
出 ，则 ，求出x＝3，若DG＝2DE，可求出x＝ ，则可得出答案．
【解答】解：（1）正确．
理由：∵EF⊥BC，BC⊥GD，
∴∠FED＝∠EDG＝90°，
∵FG∥BC，
∴∠EFG＝180°﹣∠FED＝90°，
∴四边形DEFG是矩形，
∵四边形HIJK是正方形，
∴IJ＝KJ，KJ∥BC，
∴ ，
∴GF＝EF，
∴四边形DEFG为正方形；
（2）如图1和图2，矩形DEFG为所作．
（3）如图3，作△ABC的高AM，交GF于点N，
第23页（共24页）∵△ABC的面积＝ BC•AM＝ ×12×AM＝36，
∴AM＝6，
∵DE＝2DG，
设AN＝x，则MN＝6﹣x，DG＝MN＝6﹣x，DE＝GF＝2（6﹣x）＝12﹣2x，
∵GF∥BC，
∴△AGF∽△ABC，
∴ ，
∴ ，
解得x＝3，
∴DG＝6﹣x＝3，
∴DE＝2DG＝6，
∴矩形DEFG的面积＝6×3＝18，
同理，在矩形DEFG中，若DG＝2DE，可求出x＝ ，
∴DG＝6﹣x＝ ，DE＝ ，
∴矩形DEFG的面积＝ ＝ ，
故矩形DEFG的面积为18或 ．
【点评】此题是四边形综合题，考查了相似三角形的判定与性质、正方形的判定与性质、矩
形的性质等知识．解题时注意数形结合思想与方程思想的应用，注意准确作出辅助线是解
此题的关键．
第24页（共24页）
