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专题24.23 切线的性质与判定（提升练）
一、单选题
1．如图，已知 的直径 与弦 的夹角为 ，过点 的切线与 的延长线交于点P，则
的度数是（ ）
A． B． C． D．
2．如图， ， 分别切 于点A，B，点C在 上，若四边形 为菱形，则 为（
）
A． B． C． D．
3．如图，在 中， ，点 是边 上一点，以点 为圆心，以 为半径作圆， 恰
好与 相切于点 ，连接 ．若 平分 ， ，则线段 的长是（ ）
A． B． C．3 D．6
4．点P的坐标为 ，点 是垂直于y轴的直线l上的一点， 经过点P，且与直线l相切
于点A，则点M的纵坐标为（ ）
A． B．1 C．2 D．45．如图， 为 的直径， 分别与 相切于点 ，当 时 的大小为（
）
A． B． C． D．
6．在 中， ，点O是斜边 边上一点，以O为圆心， 为半径作圆， 恰好与
边 相切于点D，连接 ．若 ， 的半径为3，则 的长度为（ ）
A． B． C．3 D．
7．如图，在 中， ，以点A为圆心的圆与边 相切于点D，与 分别交于点E
和点G，点F是优弧 上一点， ，则 的度数是（ ）
A． B． C． D．
8．如图，点A的坐标是 ，点C是以 为直径的 上的一动点，点A关于点的C对称点为点
P，当点C在 上运动时，所有这样的点P组成的图形与直线 有且只有一个公共点，则k
的值为（ ）．A． B． C． D．
9．如图， 是 的内接三角形，过点C的 的切线交BO的延长线于点P，若 ，那
么 度数为（ ）
A． B． C． D．
10．如图，已知△ABC，以AB为直径的☉O交AC于点E，交BC于点D，且BD=CD，DF⊥AC于点F．给
出以下结论：①DF是☉O的切线;②CF=EF；③ 其中正确结论的序号是（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
二、填空题
11．如图， 为 的直径， 、 为 上的点，连接 、 、 、 ， 为 延长线上
一点，连接 ，且 ， ．若 的半径为 ，则点 到 的距离为 ．12．已知△ABC内接于⊙O，过点A作直线EF，如图，若AB为⊙O的直径，要使EF成为⊙O的切线，
（至少说出两种）： 或者 ；
13．如图， 与 相切于点A， 交 于点B，点C在 上，且 ．若 ，
，则 的长为 ．
14．如图， 的两边 、 分别切 于点 、 ，若 ，则 ．
15．如图， 是 的直径， 切 于点 ，线段 交 于点 ，连接 ，若 ，则
．
16．如图， 为直径的 与 相切于点 ，连接 ， ，分别交 于点 ， ．连接 ，，若 ， ，则 的度数为 度．
17．如图， 中， ，斜边 ，以边 为直径在 另一侧作半圆，点 为半
圆上一点，将半圆沿 所在直线翻折，翻折后的 与 边相切于点 ，与 边相交于点 ，则 的
长为 ．
18．如图，在矩形ABCD中，BC=8，AB=6，经过点B和点D的两个动圆均与AC相切，且与AB、
BC、AD、DC分别交于点G、H、E、F，则EF+GH的最小值是 ．
三、解答题
19．如图，在 中， ，以 为直径的 交 于点 ， ，垂足为E．
（1）求证： 是 的切线；
（2）若 ， ，求 的长．20．如图，在 中， ， 的平分线交 于点E，过点E作 的垂线交 于点
F， 是 的外接圆．
（1）求证： 是 的切线；
（2）过点E作 于点H，若 ，求 的半径．
21．如图， 为 的直径， ， 是 上不同于 ， 的两点，过点 的切线垂直于 交
的延长线于点 ，连接 ．
（1）求证： ；
（2）若 ， ，则 的长为__________．22．如图，在 中， ， 的平分线 交 于点 ， 交 于点 ，设
是 的外接圆.
（1）求证： 是 的切线；
（2）探究线段 ， ， 之间的数量关系，并证明；
（3）若 ， ，求 的长.
23．如图，PA为⊙O的切线，A为切点．过A作OP的垂线AB，垂足为点C，交⊙O于点B．延长BO
与⊙O交于点D，与PA的延长线交于点E．
（1）求证：PB为⊙O的切线；
（2）试探究线段AD、AB、CP之间的等量关系，并加以证明．
24． 是 的外接圆， ，延长 至 点．（1）如图 ，若 ，且B为弧 的中点，求证： 是 的切线；
（2）如图 ，若 是 的切线，且 ， ，求圆的半径及弦 的长．
参考答案
1．C
【分析】先由 为 的切线得出 ，再用等腰三角形性质求出 ，最后
利用三角形内角和即可求解．
解：连接 ，
为 的切线，
，
，则 ，
在 中， ．
故选：C．
【点拨】本题是考查圆的切线的性质、等腰三角形性质、三角形内角和的综合运用能力．
2．C
【分析】连接 ，根据菱形的性质得到 ，推出 与 是等边三角形，求得 ，根据切线的性质得到于是得到结论．
解：连接 ，
∵四边形 为菱形，
∴ ，
∴ 与 是等边三角形，
∴ ，
∴ ，
∵ ， 分别切 于点A，B，
∴ ，
∴ ，
故选：C．
【点拨】本题考查了切线的性质，菱形的性质，等边三角形的判定和性质，正确地作出辅助线是解题
的关键．
3．D
【分析】连接 ，根据切线的性质得到 ，根据等腰三角形的性质得到 ，根
据角平分线的定义得到 ，根据平行线的性质得到 ，设 ，则 ，
，根据直角三角形的性质即可得到结论．
解：连接 ，
是 的半径， 是 的切线，点 是切点，
，
，
，平分 ，
，
，
，
，
，
，
，
设 ，则 ， ，
， ，
，
，
．
故选：D．
【点拨】本题考查了切线的性质，直角三角形的性质，平行线的判定和性质，正确地作出辅助线是解
题的关键．
4．A
【分析】根据切线的性质得到 ，求得点 的横坐标为 ，设 ，过 作 轴于
，连接 ， ，则 ， ，根据勾股定理即可得到结论．
解：∵直线 是 的切线，
∴ ，
∵ 轴，
∴ 轴，
∵点 ，
∴点 的横坐标为 ，
设 ，
过 作 轴于 ，连接 ， ，
则 ， ， ，∴ ，
∵点 的坐标为 ，
∴ ，
∴ ，
在 中， ，
即 ，
解得 ，
∴点M的纵坐标为 ．
故选：A．
【点拨】本题考查了切线的性质，平行线的性质，勾股定理，正确的作出图形是解题的关键．
5．B
【分析】由切线的性质得到 ，由圆周角定理得到 ，
由四边形内角和是 ，即可求出 的度数．
解：连接 ，如图所示，
，
分别与 相切于点 ，
，
， ，，
，
，
故选：B．
【点拨】本题主要考查了切线的性质、圆周角定理，关键是掌握切线的性质定理、圆周角定理．
6．B
【分析】如图，连接 ，由题意知， ，由等边对等角可得 ， ，
由 ， ，可得 ，解得
，则 ， ，根据 ，计算求解即可．
解：如图，连接 ，
由题意知， ，
∵ ， ，
∴ ， ，
∵ ， ，
∴ ，解得 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故选：B．
【点拨】本题考查了切线的性质，等边对等角，三角形的外角，三角形内角和定理，含 的直角三
角形．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
7．B
【分析】连接 ，根据切线的性质可得 ，从而得到 ，再由圆周角定
理可得 ，从而得到 ，再由 ，可得 ，即可求解．解：如图，连接 ，
∵ 与圆A相切，
∴ ，即 ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
故选：B
【点拨】本题主要考查了切线的性质，圆周角定理，熟练掌握切线的性质，圆周角定理是解题的关键．
8．B
【分析】由点C的运动轨迹，可以推出点P的运动轨迹.然后根据当点C在 上运动时，所有这样的
点P组成的图形与直线 有且只有一个公共点，推出 ，然后根据勾股定理和等积
法分别求出 和 ，进而确定点P的坐标，然后代入直线 即可求出k的值．
解：如图，连接 ， ，由题意可知，点 为 的中点，点 为 的中点，
∴ 为 的中位线，
∴ ，
∵点A的坐标是 ，
∴ ，
∵点C的运动轨迹是以点B为圆心， 为直径的圆，即： ，∴点P的运动轨迹是以O为圆心，以 为半径的圆，
∵ ，当 时，无论 取何值， ，
∴直线 过定点 ，即： ，
∵当点C在 上运动时，所有这样的点P组成的图形与直线 有且只有一个公共点，
即：直线 与 相切，
∴ ，
∴ ，
过点P作 轴于点 ，
在 中，由勾股定理得： ，
由等积法，可得： ，
即： ，
解得：
在 中， ，
∴点P的坐标为 ，
把点 的坐标代入 ，得： ，解得： ．
故选：B．
【点拨】本题主要考查了双动点模型：主动点运动轨迹是圆，从动点运动轨迹也是圆，圆与直线的位
置关系，勾股定理，等积法，熟记相关模型，利用数形结合思想是解决此类问题的关键．
9．B
【分析】连接OC、CE，根据切线的性质得到OC⊥CP，根据直角三角形的性质求出∠COP，根据圆内
接四边形的性质计算即可．
解：连接OC，设 O与OP交于点E，连接CE，
∵PC为 O的切线⊙，
∴OC⊥C⊙P，
∴∠COP＝90°﹣∠P＝90°﹣34°＝56°，
∵OC＝OE，
∴∠OEC＝∠OCE （180°﹣56°）＝62°，
∵四边形ABEC为 O的内接四边形，
∴∠BAC＝180°﹣∠⊙OEC＝118°，
故选：B．
【点拨】本题考查的是切线的性质、圆内接四边形的性质、等腰三角形的性质，掌握圆的切线垂直于
经过切点的半径是解题的关键．
10．A
【分析】由DB=DC，OA=OB，推出OD是△ABC的中位线，OD∥AC，由DF⊥AC，得出DF⊥OD，即DF是
☉O的切线，继而证得△ABC是等腰三角形，根据等腰三角形的性质可得∠B=∠C，进而推出△DEC是等腰
三角形，进而根据等腰三角形的性质可得CF=EF，由假设推出 进而即可求解．
解：如图,连接OD，DE，AD，∵DB=DC，
∴OD是△ABC的中位线，
∴OD∥AC，
∵DF⊥AC，
∴DF⊥OD，
∴DF是☉O的切线，故①正确；
∵∠CED+∠AED=180°，∠B+∠AED=180°，
∴∠CED=∠B，
∵AB是☉O的直径，
∴∠ADB=90°，即AD⊥BC，
∵BD=CD，
∴AB=AC，
∴∠B=∠C，
∴∠CED=∠C，
∴DC=DE，
又∵DF⊥AC，
∴CF=EF，故②正确；
当∠EAD=∠EDA时， ，此时△ABC为等边三角形，当△ABC不是等边三角形时，
∠EAD≠∠EDA，则
∴ 不一定正确，
综上，正确结论的序号是①②，
故选A．
【点拨】本题考查切线的判定及其性质，等腰三角形的判定及其性质，圆周角定理、线段垂直平分线的性质，圆内接四边形的性质等知识，综合性较强，解题的关键是熟练掌握并灵活运用所学知识．
11． /
【分析】连接OC，证明CD⊥OC；运用勾股定理求出OD=10，过点A作AF⊥DC，交DC延长线于点
F，过点C作CG⊥AD于点G，在Rt OCD中运用等积关系求出CD，同理，在 ACD中运用等积关系可求
出AF △ △
解：连接OC，
∵AB是圆的直径，
∴
∴
∵
∴
∵
∴
∴
∴ ，即OC⊥CD
∵ 的半径为
∴
在Rt OCD中，
△
∴∴
过点A作AF⊥DC，交DC延长线于点F，过点C作CG⊥AD于点G，
∵
∴ ，解得，
同理：
∴
∴
故答案为：
【点拨】本题考查了切线的判定、三角形面积、勾股定理等知识，解题的关键是作辅助线，构造直角
三角形．
12． ∠BAE＝90° ∠EAC＝∠ABC
【分析】求出∠BAE=90°，再根据切线的判定定理推出即可.
解：（1）①∠BAE=90°，②∠EAC=∠ABC，
理由是：①∵∠BAE=90°，
∴AE⊥AB，
∵AB是直径，
∴EF是⊙O的切线；
②∵AB是直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠ABC+∠BAC=90°，
∵∠EAC=∠ABC，
∴∠BAE=∠BAC+∠EAC=∠BAC+∠ABC=90°，
即AE⊥AB，
∵AB是直径，
∴EF是⊙O的切线；
【点拨】本题考查了圆周角定理，切线的判定的应用，掌握：经过半径的外端，并且垂直于半径的直线是圆的切线是关键．
13．
【分析】连接 ，根据切线的性质可得 ，然后利用 证明 ，从而可得
，再在 中，利用勾股定理求出 ，最后根据 的面积 的面积
的面积，进行计算即可解答．
解：连接 ，
∵ 与 相切于点A，
∴ ，
∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
在 中， ， ，
∴ ，
∵ 的面积 的面积 的面积，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
【点拨】本题考查了切线的性质，勾股定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解
题的关键．
14．15°/ 度【分析】如图，连接 ， ，求解 ，可得 ，
证明 ，再利用三角形的外角和的性质可得答案．
解：如图，连接 ， ，
∵ 的两边 、 分别切 于点 、 ，
∴ ，而 ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ；
故答案为： ．
【点拨】本题考查的是平行四边形的性质，圆周角定理的应用，切线的性质，四边形的内角和定理的
应用，三角形的外角的性质，熟记以上基础知识是解本题的关键．
15． /32度
【分析】由 ，由三角形外角的性质得到 ，由切线
的性质即可求出 的度数．
解： ，
，
，
切 于点A，
直径 ，
，
．
故答案为： ．
【点拨】本题考查切线的性质，等腰三角形的性质，三角形外角的性质，掌握以上知识点是解题的关键．
16．54
【分析】由平行线的性质，圆周角定理得到 ，由等腰三角形的性质，三角形内角
和定理得到 ，即可求出 的度数，由余角的性质即可求出 的度数．
解：连接 ，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
切 于 ，
半径 ，
，
是圆的直径，
，
，
．
故答案为：54．
【点拨】本题考查切线的性质，圆周角定理，余角的性质，平行线的性质，等腰三角形的性质，关键
是由以上知识点得到 ， ，求出 的度数．
17．【分析】作点O关于 的对称点 ，连接 ， ，作 于点F，证明四边形 为正
方形，得 ，即 ，作 于G，利用垂径定理、勾股定理、含30度角
的三角形的性质即可求解．
解：如图，作点O关于 的对称点 ，连接 ， ，
∵ 中， ，斜边 ，
∴ ，
∴ ， ，
过A作 于点F，则 ，
∴ ，
∴ ，且 ，
∴四边形 为矩形，
∵ ，
∴四边形 为正方形，
∴ ，
∴ ，
作 于G，
∴ ，∴ ，
∴ ．
∴ ．
故答案为： ．
【点拨】本题考查圆的切线的性质，垂径定理，直角三角形的性质，正方形的判定和性质，解题的关
键是掌握圆的切线的性质．
18．9.6
【分析】设GH的中点为O，过O点作OM⊥AC，过B点作BN⊥AC，垂足分别为M、N，根据∠B=90°
可知，点O为过B点的圆的圆心，OM为⊙O的半径，BO+OM为直径，可知BO+OM≥BN，故当BN为直径
时，直径的值最小，即直径GH也最小，同理可得EF的最小值．
解：如图，设GH的中点为O，过O点作OM⊥AC，过B点作BN⊥AC，垂足分别为M、N，
∵在Rt ABC中，BC=8，AB=6，
△
∴ ，
由面积法可知，BN•AC=AB•BC，
解得BN=4.8，
∵∠ABC=90°，
∴点O为过B点的圆的圆心，OM为⊙O的半径，BO+OM为直径的长，
又∵BO+OM≥BN，
∴当BN为直径时，直径的值最小，
此时，直径GH=BN=4.8，
同理可得：EF的最小值为4.8，
故EF+GH的最小值是9.6．
故答案为：9.6
【点拨】本题考查了切线的性质，垂线的性质及勾股定理的运用．关键是明确EF、GH为两圆的直径，根据题意确定直径的最小值．
19．（1）见分析；（2）
【分析】（1）连接 ，则 ，所以 ，由 ，得 ，则
，所以 ，则 ，即可证明 是 的切线；
（2）连接 ，由 是 的直径，得 ，则 ，因为 ， ，所
以可由 求解．
解：（1）证明：连接 ，则 ，
，
，
，
，
∴ ，
于点 ，
，
是 的半径， ，
是 的切线．
（2）解：连接 ，
是 的直径，，
，
， ，
，
的长是 ．
【点拨】此题重点考查等腰三角形的性质、平行线的判定与性质、切线的判定定理等知识，证明
是解题的关键．
20．（1）见分析；（2）5；
【分析】（1）连接 ，由于 是角平分线，则有 再证得 ，根据平行线的
性质和切线的判定即可解答；
（2）先证明 ，再根据勾股定理列方程求解即可；
解：（1）证明：连接
∵ 平分
∴
又
∴
∴
∴ ，
又 ，即
∴
∴ 是 的切线
（2）∵ 平分设
解得：
故 的半径为5
【点拨】本题主要考查了切线的证明、角平分线的性质定理以及全等三角形的判定与性质勾股定理，
掌握切线的证明、角平分线的性质定理以及全等三角形的判定与性质、勾股定理是解题关键．
21．（1）见分析；（2）
【分析】（1）连接 ，可证 ，从而可证 ，即可求证．
（2）过 作 交 于 ，可求 ， ， ，接可
求解．
解：（1）证明：如图，连接 ，
为 的切线，
，
，
，，
，
，
，
．
（2）解：过 作 交 于 ，
由（1）得： ，
，
，
，
是 的直径，
，
，
，
，
解得： ，
；
故答案： ．【点拨】本题主要考查了圆的基本性质，切线的性质，角平分线的性质定理，勾股定理等，作出适当
的辅助线，掌握相关的性质是解题的关键．
22．（1）见分析；（2） ，见分析；（3） .
【分析】（1）连接OD，由DE与DB垂直，得到一对角互余，再由BD为角平分线，以及一对直角相
等，得到三角形EBD与三角形DBC相似，由相似三角形的对应角相等得到一对角相等，再由OE＝OD，利
用等边对等角得到一对角相等，等量代换即可得证；
（2）BD2＝2BO•BC，理由为：由三角形EBD与三角形DBC相似，得比例式，将BE换为2BO即可得证；
（3）在直角三角形DBC中，利用勾股定理求出BD的长，根据（2）的关系式求出BO的长，即为OD
的长，由OD与BC都与AC垂直，得到OD与BC平行，由平行得比例，即可求出AD的长．
解：（1）证明：连接 ，
∵ ，∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ 为角平分线，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，即 ，
则 为圆 的切线；
（2） ，
理由为：∵ ，
∴ ，
∴ ，即 ，
∵ ，
∴ ；
（3）在 中， ， ，根据勾股定理得： ，
∴由 ，得 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，即 ，
解得： .
【点拨】本题综合考查了切线的性质和判定、相似三角形的性质与判定、角平分线的性质及勾股定理
的综合运用．综合性比较强，对于学生的能力要求比较高．
23．（1）证明见分析；（2）AB2=2AD•PC，证明见分析.
试题分析：（1）要证PB是⊙O的切线，只要连接OA，再证∠PBO=90°即可；
（2）根据 OCB∽ BCP，可得到BC2=OC•PC．再由OC= AD，BC= AB，得到结论：
△ △
AB2=2AD•PC．
解：（1）证明：连接OA．∵PA为⊙O的切线，∴∠PAO=90°．
∵OA=OB，OP⊥AB于C，∴BC=CA，PB=PA．
在△PBO和△PAO中， ，∴ PBO≌ PAO，
△ △
∴∠PBO=∠PAO=90°，∴PB为⊙O的切线．（2）AB2=2AD•PC．证明如下：
∵∠OBP=∠BCO=90°，∴ OCB∽ BCP，∴ ，即BC2=OC•PC．
△ △
∵OC= AD，BC= AB，∴ = AD•PC，∴AB2=2AD•PC．
【点拨】本题考查了切线的判定和性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握切线的判定和性质是解
题的关键．
24．（1）见分析；（2）半径为4；
【分析】（1）连接 ，根据垂径定理逆定理得出 ， ， ，根据平行
线的性质及等腰三角形的判定得出 ，结合 ，即可判定四边形 为平行四边形，根
据平行四边形的性质及切线的判定定理即可得解；
（2）过 点作 于 ，过 点作 于 ，连接 ，如图 ，设 的半径为 ，则
， ，利用勾股定理得到 ，解方程得到 ， ，再利用面积法求出
，则 ，接着利用勾股定理计算出， ，然后根据垂径定理可得到 的长度．
解：（1）证明：如图 ，连接 ，
为弧 的中点，
， ， ，
∵ ，
，
∴
，，
∵ ，
四边形 为平行四边形，
∴ ，
，
是 的半径，
是 的切线；
（2）解：过 点作 于 ，过 点作 于 ，连接 ，如图 ，
设 的半径为 ，则 ， ，
是 的切线，
∴ ，
，
在 中， ，
解得 ，
， ，
∵
∴
∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
在 中， ，∵ ，
∴ ，
∴ ．
【点拨】本题考查了切线的判定与性质，垂径定理，熟记切线的判定与性质并添加合理的辅助线是解
题的关键．
