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2021-2022学年湖北省襄阳市老河口市九年级（上）期末数学试
卷
一．选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中只有一
项是符合题目要求的，请将其序号填涂在答题卡上相应位置．）
1．（3分）下列方程是一元二次方程的是
A． B． C． D．
2．（3分）对于二次函数 的图象与性质，下列说法正确的是
A．对称轴是直线 ，最小值是2
B．对称轴是直线 ，最大值是2
C．对称轴是直线 ，最小值是2
D．对称轴是直线 ，最大值是2
3．（3分）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是
A． B．
C． D．
4．（3分）如图， 是 的外接圆，连接 、 ， ，则 的度数为
A． B． C． D．
5．（3分）如图， 为 外一点， 、 分别切 于点 、 ， 切 于点 ，分别交
、 于点 、 ，若 ，则 的周长为
第1页（共26页）A．8 B．6 C．12 D．10
6．（3分）如果反比例函数 是常数）的图象所在的每一个象限内， 随 增大而减
小，那么 的取值范围是
A． B． C． D．
7．（3分）如图， ，则在图中下列关系式一定成立的是
A． B． C． D．
8．（3分）如图，线段 ， 相交于点 ， ．若 ， ， ，则
的长为
A．2 B．3 C．4 D．5
9．（3分）已知圆锥的底面半径为 ，母线长为 ，则圆锥的侧面积是
A． B． C． D．
10．（3分）函数 与 在同一平面直角坐标系中的图象可能是
A． B．
第2页（共26页）C． D．
二．填空题：（本大题共6个小题，每小题3分，共l8分．把答案填在答题卡的对应位置的横线
上．）
11．（3分）已知关于 的方程 的一个根是 ，则 ；另一根为 ．
12．（3分）抛物线 与 轴有交点，则 的取值范围是 ．
13．（3分）如图，将 绕点 顺时针旋转 得到 ．若点 ， ， 在同一条直线
上， ，则 的度数是 ．
14．（3分）如图是反比例函数 在第二象限内的图象，若图中的矩形 的面积为4，
则 等于 ．
15．（3分）在平面直角坐标系中， 已知点 ， ，以原点 为位似中
心， 相似比为 ，把 缩小， 则点 的对应点 的坐标是 ．
16．（3分）如图，在 中， ， 为 的中点，以 为直径的 分别交
， 于 ， 两点，过点 作 的切线交 于点 ．若 ， ，则 的
长是 ．
第3页（共26页）三．解答题（本大题共9个小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，并且
写在答题卡上每题对应的答题区域内．）
17．（6分）解方程： ．
18．（6分）如图，在 中， ， ， ．求 的长．
19．（6分）列方程解应用题：参加一次商品交易会的每两家公司之间都签订一份合同，所有
公司共签订了45份合同，共有多少家公司参加商品交易会？
20．（7分）如图， 是 的直径， ， 是 上两点， ， 与 相交于点 ，
连接 ．
（1）若 ，求 的度数；
（2）若 ， ，求 的长．
21．（7分）如图，一次函数 与反比例函数 的图象交于 ， 两点，
与坐标轴分别交于 ， 两点．
（1） ， ， ；
（2）比较大小： （填“ ”或“ ”或“ ” ；
（3）关于 的不等式 的解集是 ．
第4页（共26页）22．（8分）如图， ， 分别是 的直径和弦，半径 于点 ．过点 作 的
切线与 的延长线交于点 ， ， 的延长线交于点 ．
（1）求证： 是 的切线；
（2）若 ， ．求图中阴影部分的面积．
23．（10分）小明的爸爸投资1200元围一个矩形菜园（如图），其中一边靠墙（墙长 ，另
外三边选用不同材料建造．平行于墙的边的费用为20元 ，垂直于墙的边的费用为15元
，设平行于墙的边长为 ．
（1）设垂直于墙的一边长为 ，直接写出 与 之间的函数关系式；
（2）设菜园的面积为 ，求 与 的函数关系式，并求出当 时 的值；
（3）小明计算出菜园的最大面积是 ，小明计算的对吗？请说明理由．
24．（10分）如图1，点 是 中 边上一点， ， ．
（1）求证： ；
（2）求 的度数；
（3）将图1中的 绕点 顺时针旋转得到 ， 的对应边 经过点 （如图2所
示），若 ，求线段 的长．
第5页（共26页）25．（12分）如图，抛物线 交 轴于 ， 两点，交 轴于点 ，直线
交 于点 ，交 轴于点 ，交抛物线于点 ，连接 ．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）求线段 长度的最大值；
（3）过点 作 于点 ，当 时，求 的长．
第6页（共26页）2021-2022学年湖北省襄阳市老河口市九年级（上）期末数学试
卷
参考答案与试题解析
一．选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中只有一
项是符合题目要求的，请将其序号填涂在答题卡上相应位置．）
1．（3分）下列方程是一元二次方程的是
A． B． C． D．
【分析】利用一元二次方程的定义判断即可．
【解答】解： 、 是二元二次方程，不合题意；
、 是一元二次方程，符合题意；
、 不是整式方程，不合题意；
、 是二元一次方程，不合题意，
故选： ．
【点评】此题考查了一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义是解本题的关键．
2．（3分）对于二次函数 的图象与性质，下列说法正确的是
A．对称轴是直线 ，最小值是2
B．对称轴是直线 ，最大值是2
C．对称轴是直线 ，最小值是2
D．对称轴是直线 ，最大值是2
【分析】根据抛物线的图象与性质即可判断．
【解答】解：由抛物线的解析式： ，
可知：对称轴 ，
开口方向向下，所以有最大值 ，
故选： ．
【点评】本题考查二次函数的性质，解题的关键是正确理解抛物线的图象与性质，本题属于基
第7页（共26页）础题型．
3．（3分）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是
A． B．
C． D．
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【解答】解： 、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不合题意；
、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
、是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项正确；
、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
故选： ．
【点评】此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称
轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．
4．（3分）如图， 是 的外接圆，连接 、 ， ，则 的度数为
A． B． C． D．
【分析】根据三角形的内角和定理求得 的度数，再进一步根据圆周角定理求解．
【解答】解： ， ，
，
，
．
故选： ．
【点评】此题综合运用了三角形的内角和定理以及圆周角定理．一条弧所对的圆周角等于它
第8页（共26页）所对的圆心角的一半．
5．（3分）如图， 为 外一点， 、 分别切 于点 、 ， 切 于点 ，分别交
、 于点 、 ，若 ，则 的周长为
A．8 B．6 C．12 D．10
【分析】由切线长定理可求得 ， ， ，则可求得答案．
【解答】解：
、 分别切 于点 、 ， 切 于点 ，
， ， ，
，
即 的周长为12，
故选： ．
【点评】本题主要考查切线的性质，利用切线长定理求得 、 和 是解
题的关键．
6．（3分）如果反比例函数 是常数）的图象所在的每一个象限内， 随 增大而减
小，那么 的取值范围是
A． B． C． D．
【分析】根据反比例函数的性质可得 ，再解不等式即可．
【解答】解： 反比例函数 是常数）的图象所在的每一个象限内， 随 增大而减
小，
，
解得： ，
故选： ．
【点评】此题主要考查了反比例函数的性质．对于反比例函数 ，当 时，在每一个象
限内，函数值 随自变量 的增大而减小；当 时，在每一个象限内，函数值 随自变量
增大而增大．
第9页（共26页）7．（3分）如图， ，则在图中下列关系式一定成立的是
A． B． C． D．
【分析】根据 ，再利用平行线分线段成比例定理以及比例的性质进行变形，即
可得出正确答案．
【解答】解： ，
， ， ， ；
故选： ．
【点评】此题主要考查平行线分线段成比例定理的理解及运用，关键是根据平行线分线段成
比例定理得出有关比例线段．
8．（3分）如图，线段 ， 相交于点 ， ．若 ， ， ，则
的长为
A．2 B．3 C．4 D．5
【分析】由 ，利用“两直线平行，内错角相等”可得出 ， ，进而可
得出 ，再利用相似三角形的性质可得出 ，代入 ， ，
即可求出 的长，此题得解．
【解答】解： ，
， ，
，
，即 ，
．
第10页（共26页）故选： ．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，牢记相似三角形对应边的比相等是解题的关
键．
9．（3分）已知圆锥的底面半径为 ，母线长为 ，则圆锥的侧面积是
A． B． C． D．
【分析】根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径
等于圆锥的母线长和扇形的面积公式计算即可．
【解答】解：圆锥的侧面积 ．
故选： ．
【点评】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面
的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．
10．（3分）函数 与 在同一平面直角坐标系中的图象可能是
A． B．
C． D．
【分析】本题只有一个待定系数 ，且 ，根据 和 分类讨论．也可以采用“特值
法”，逐一排除．
【解答】解：当 时，函数 的图象开口向上，但当 时， ，故 不可
能；
当 时，函数 的图象开口向下，但当 时， ，故 、 不可能．
可能的是 ．
故选： ．
【点评】讨论当 时和 时的两种情况，用了分类讨论的思想．
二．填空题：（本大题共6个小题，每小题3分，共l8分．把答案填在答题卡的对应位置的横线
第11页（共26页）上．）
11．（3分）已知关于 的方程 的一个根是 ，则 2 ；另一根为 ．
【分析】把 代入已知方程列出关于 的新方程，通过解新方程来求 的值；然后利用根
与系数的关系来求方程的另一根．
【解答】解：依题意，得
，
解得， ．
设方程的另一根为 ，则 ，
解得 ．
故答案是：2； ．
【点评】本题考查了一元二次方程的解定义和根与系数的关系．能使一元二次方程左右两边
相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这
个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．
12．（3分）抛物线 与 轴有交点，则 的取值范围是 ．
【分析】利用判别式的意义得到△ ，然后解不等式即可．
【解答】解：根据题意得△ ，
解得 ．
故答案为： ．
【点评】本题考查了抛物线与 轴的交点，把求二次函数 ， ， 是常数，
与 轴的交点坐标问题转化为解关于 的一元二次方程．△ 决定抛物线与
轴的交点个数．
13．（3分）如图，将 绕点 顺时针旋转 得到 ．若点 ， ， 在同一条直线
上， ，则 的度数是 ．
第12页（共26页）【 分 析 】 根 据 旋 转 的 性 质 求 出 和 度 数 ， 利 用 三 角 形 外 角 的 性 质
即可．
【解答】解：根据旋转的性质可知 ，
， ，
．
．
故答案为 ．
【点评】本题主要考查了旋转的性质，解决这类问题关键是找准旋转角，利用旋转的性质等量
转化角或线段．
14．（3分）如图是反比例函数 在第二象限内的图象，若图中的矩形 的面积为4，
则 等于 ．
【分析】过双曲线上任意一点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的矩形面积
是个定值 ，再由反比例的函数图象所在象限确定出 的值．
【解答】解：因为反比例函数 ，且矩形 的面积为4，
所以 ，即 ，
又反比例函数的图象 在第二象限内， ，
所以 ．
故答案为： ．
【点评】本题考查了反比例函数比例系数 的几何意义：在反比例函数 的图象中任取一
第13页（共26页）点，过这一个点向 轴和 轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值 ．
15．（3分）在平面直角坐标系中， 已知点 ， ，以原点 为位似中
心， 相似比为 ，把 缩小， 则点 的对应点 的坐标是 或
．
【分析】根据已知得出位似图形对应坐标与位似图形比的关系进而得出答案 ．
【解答】解： 顶点 的坐标是 ，以原点 为位似中心相似比为 将
缩小得到它的位似图形△ ，
点 的坐标是： ， ， ， ，
即 或 ．
故答案为： 或 ．
【点评】此题主要考查了位似图形的性质， 根据如果位似变换是以原点为位似中
心， 相似比为 ，那么位似图形对应点的坐标的比等于 或 得出是解题关
键 ．
16．（3分）如图，在 中， ， 为 的中点，以 为直径的 分别交
， 于 ， 两点，过点 作 的切线交 于点 ．若 ， ，则 的
长是 ．
【分析】连接 ， ，根据直角三角形的性质得到 ，根据勾股定理
，根据圆周角定理得到 ，求得 ，根据切
线的性质得到 ，根据三角形的面积公式即可得到结论．
第14页（共26页）【解答】解：连接 ， ，
， 为 的中点， ，
，
，
为 的直径，
，
，
，
，
， ，
，
是 的切线，
，
， ，
，
，
，
，
故答案为： ．
【点评】本题考查了切线的性质，平行线的判定和性质，勾股定理，正确的作出辅助线是解题
第15页（共26页）的关键．
三．解答题（本大题共9个小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，并且
写在答题卡上每题对应的答题区域内．）
17．（6分）解方程： ．
【分析】方程整理后，利用因式分解法求出解即可．
【解答】解：方程整理得： ，
分解因式得： ，
可得 或 ，
解得： ， ．
【点评】此题考查了解一元二次方程 因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关
键．
18．（6分）如图，在 中， ， ， ．求 的长．
【分析】根据已知可得 ，由对应边成比例可得 ，进而可得 的长．
【解答】解： ， ，
．
．
， ，
．
．
【点评】本题考查相似三角形的判定和性质，能根据已知条件得到 是解题关键．
19．（6分）列方程解应用题：参加一次商品交易会的每两家公司之间都签订一份合同，所有
公司共签订了45份合同，共有多少家公司参加商品交易会？
【分析】设共有 家公司参加商品交易会，就可以得出有 份合同，根据总共有45份合
同建立方程组，求出其解即可．
【解答】解：设共有 家公司参加商品交易会，由题意，得
第16页（共26页），
解得： ， （舍去）．
答：共有10家公司参加商品交易会．
【点评】本题考查了列一元二次方程解实际问题的运用，一元二次方程的解法的运用，解答时
根据单循环问题的数量关系建立方程是关键．
20．（7分）如图， 是 的直径， ， 是 上两点， ， 与 相交于点 ，
连接 ．
（1）若 ，求 的度数；
（2）若 ， ，求 的长．
【分析】（1）由圆周角定理，平行线性质，等腰三角形的判定与性质，角的和差求出 的
度数为 ；
（2） 由 为直径推出 ，再由勾股定理求出 ．
由 ， ，推出 ，根据中位线定理得出 ．所以
．
【解答】解：（1）连接 ．
，
，
，
，
；
（2） 是 的直径，
， ，
．
第17页（共26页）， ，
，
．
．
【点评】本题综合考查相似三角形的判定与性质，线段的和差，圆周角定理，角的和差，勾股定
理等相关知识，重点掌握相似三角形的判定与性质．
21．（7分）如图，一次函数 与反比例函数 的图象交于 ， 两点，
与坐标轴分别交于 ， 两点．
（1） 1 ， ， ；
（2）比较大小： （填“ ”或“ ”或“ ” ；
（3）关于 的不等式 的解集是 ．
【分析】（1）将点 ， 代入 ，即可求得 、 ，然后利用待定系数法即可
求得 ；
（2）由两点间的距离公式求得 、 的长，即可求解；
（3）观察函数图象即可求解．
【解答】解：（1）将点 ， 代入 ，并解得： ， ，
， ，
第18页（共26页）反比例函数 的图象过 ，
；
故答案为：1，1，4；
（2）直线 为 ，
当 时， ，
，
当 时， ，
，
， ，
， ，
，
故答案为： ；
（3）关于 的不等式 的解集是 或 ；
故答案为： 或 ．
【点评】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查一次函数图象上点的坐标特征，待定
系数法求反比例函数解析式，两点间的距离公式，数形结合是解题的关键．
22．（8分）如图， ， 分别是 的直径和弦，半径 于点 ．过点 作 的
切线与 的延长线交于点 ， ， 的延长线交于点 ．
（1）求证： 是 的切线；
（2）若 ， ．求图中阴影部分的面积．
【分析】（1）连接 ，可以证得 ，根据全等三角形的性质以及切线的性质定
理可以得到 ，即 ，即可证得 是 的切线；
（2）根据垂径定理得到 ，根据切线的性质得到 ，求得
第19页（共26页），根据等腰三角形的性质得到 ，根据勾股
定理得到 ，根据三角形和扇形的面积公式即可得到结论．
【解答】（1）证明：连接 ．
是 的切线， 是 的直径，
，
于点 ，
，
，
在 和 中，
，
，
，
，
是 的半径，
是 的切线；
（2）解： 于点 ，
，
， 是 的切线，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
第20页（共26页），
在 中， ，
．
【点评】本题考查了切线的判定和性质，勾股定理，三角形和扇形的面积公式，全等三角形的
判定和性质，正确地作出辅助线是解题的关键．
23．（10分）小明的爸爸投资1200元围一个矩形菜园（如图），其中一边靠墙（墙长 ，另
外三边选用不同材料建造．平行于墙的边的费用为20元 ，垂直于墙的边的费用为15元
，设平行于墙的边长为 ．
（1）设垂直于墙的一边长为 ，直接写出 与 之间的函数关系式；
（2）设菜园的面积为 ，求 与 的函数关系式，并求出当 时 的值；
（3）小明计算出菜园的最大面积是 ，小明计算的对吗？请说明理由．
【分析】（1）根据“垂直于墙的长度 ”可得函数解析式；
（2）根据矩形的面积公式列出总面积关于 的函数解析式；
（3）根据矩形的面积公式列出总面积关于 的函数解析式，配方成顶点式后利用二次函数的
性质求解可得．
【解答】解：（1）根据题意知， ，
故 与 之间的函数关系式为 ；
第21页（共26页）（2）根据题意得， ，
当 时， ，
解这个方程，得 ， ，
，
当 时， ；
（3）小明计算的不对，
理由： ，
，
当 时， 随 的增大而增大．
当 时， 最大，此时 ．
小明计算的不对．
【点评】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是将实际问题转化为一元二次方程和二
次函数的问题．
24．（10分）如图1，点 是 中 边上一点， ， ．
（1）求证： ；
（2）求 的度数；
（3）将图1中的 绕点 顺时针旋转得到 ， 的对应边 经过点 （如图2所
示），若 ，求线段 的长．
【分析】（1）先判断出 ，即可得出结论；
（2）判断出 ，得出 ，即可得出结论；
（3）先判断出 ，得出 ，再用 求出 ，即可得出答案．
【解答】（1）证明： ， ，
第22页（共26页）．
．
（2）解： ，
．
又 ，
．
．
， ，
．
（3）解： 绕点 顺时针旋转得到 ，
， ．
，
．
．
，
．
．
，
．
，
在 中， ．
【点评】此题是相似形综合题，主要考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，判断出
是解本题的关键．
25．（12分）如图，抛物线 交 轴于 ， 两点，交 轴于点 ，直线
第23页（共26页）交 于点 ，交 轴于点 ，交抛物线于点 ，连接 ．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）求线段 长度的最大值；
（3）过点 作 于点 ，当 时，求 的长．
【分析】（1）把 ， 坐标代入抛物线解析式，用待定系数法求函数解析式即可；
（2）令 ，求出点 坐标，再根据待定系数法求出直线 的解析式，设
，则 ，然后求出 ，根据函数性质求最值；
（ 3 ） 当 时 ， ， ， 可 得
，证明 ，有 ，可得 ，求解符合要
求的的值，进而可得 、 、 的值，在 中，由勾股定理得 ，
解得 的值，由 ， ，可证 ，有 ，
计算求解即．
【解答】解：（1）根据题意，得 ，
解得： ，
抛物线的解析式为 ；
（2）当 时， ，
第24页（共26页），
设直线 的解析式为 ，
则 ，
解得： ，
直线 的解析式为 ，
当 时， ，
， ，
，
， ，
当 时， 取最大值，最大值为2，
线段 长度的最大值为2；
（3）如图：
当 时， ．
，
，
，
，
，
即 ，
第25页（共26页），
解得 ， （不合题意，舍去），
， ， ，
，
， ，
，
，
的长为 ．
【点评】本题考查了二次函数解析式、最值，二次函数与线段综合，三角形相似，勾股定理等知
识．解题的关键在于对知识灵活运用．
第26页（共26页）
